学士学位论文 - 副本

定义1若 ， 是 上的实值函数， ，如果 是有限，而并且存在一个有限实值函数 ，同时对于所有的的 ，都有 ，当 时，有 ，那么可以得到 在 点相对于E是可导的，而且我们可以得到b是 在 点相对于 的导数，用数学符号用数学符号表示为 （相对于 ）.如果 在 中任何一点相对于 都是可导的，那么可以说 在 上可导.
(
若 P(x)是一个与可测集E中的点x有关的命题，并且 δ>0，存在可测集 ，使得m(E- ) <δ并且命题 P(x)在 上成立，那么我们可以得到命题 P(x)在可测集E上基本成立，并将其用数学符号表示为P(x)n.*.成立于E，即P(x)n.*.成立于E如易知函数列在E内基本上一致收敛与0.
（二）基本上可导
In this paper for the beginner to better help real variable function, easy-to-follow almost everywhere are introduced and the dialectical relationship between basically, to understand the relationship between them has great help, and can improve their learning enthusiasm, for us to study real variable function can also play the role of theory and practice.
（2） 是可测集,
（3）对所有的 ,
(
可测函数列几种收敛的定义
(1)
若 是定义在点集 上的实值函数．如果对于任意 存在 使得对于任意 任意 ，都恒有
那么我们可以得到 在 上一致收敛到 ．记作： (其中u表示一致)．
(2)
若 是可测集，如果 使得 在 上有 那么我们可以得到 在 上几乎一致收敛与 ，并记作 (其中a.u．表示几乎一致) ．
学士学位论文
几乎处处与基本上之间关系的研究
学院、专业
数学科学学院数学与应用数学
研究方向
函数论
学生姓名
李 丹
学号
20111101072
指导教师姓名
郭志刚
指导教师职我们可以得到
副教授
2015年 4月 5日
淮北师范大学本科生毕业论文（若计）诚信承诺书
本人郑重承诺所呈交的毕业论文（若计）《柯西积分公式的应用》，是在指导教师郭志刚的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的．本人在毕业论文（若计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明．本人承诺在毕业论文（若计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，如果有抄袭行为，由本人承担一切责任．
对于刚刚学习实变函数的学习者来说,该篇论文有较好的辅助作用，非常简明的介绍了几乎处处与基本上之间的辩证关系，对于大家了解它们之间的联系着较大的帮助，并并且能够提高他们学习的积极性和自觉性，对于我们研究实变函数也能起到一定的理论作用.
关键词：基本上可导；几乎处处可微；几乎处处收敛
English Title
引理1如果 在 点相对于 可导，那么 在 点相对于 连续.
定理1如果 在 上几乎处处可导，那么 在 上几乎处处连续.
定理2如果 在 上几乎可导，那么 在 上几乎连续.
定理3如果 在 上几乎处处可导，那么 在 上几乎可导，反过来也是这样的，其中 .
证明：由定义知如果 在 上几乎处处可导，那么函数 在 上几乎可导,例题如下：
假若 为 中的可测集，函数 是 上的实函数，如果对所有的 ，都存在可测子集 ,满足：（1） ，（2） 在 上可导，那么可我们可以得到 在 上基本上可导.
（三）基本上连续的定义
若 为 中可测集， 于 有定义，如果对所有的 ，都存在可测子集 ,满足：（1） ，（2） 在 上连续，那么我们可以得到 在 上基本上连续.
的几何意义是：如果函数 在 上是可积的，那么只要我们分割达到足够的细，那么包围曲线 的一系列小矩形面积之和就可以取得任意小，；反过来也是这样的．
三、正文
一、实分析中关于几乎处处的几种定义
（一）几乎处处收敛的定义
下面的定理中所讲到的测度都是指 中Lebesgue测度， 表示可测函数, 表示 中的可测子集， 是指 上的Lebesgue可积函数族, 表示可测函数列.
ABSTRACT
Please enter text to be translated "almost everywhere" and "basically" is the two important basic concepts in letter of reality, and they are in the measurable function and lebesgue integral frequency is very high, the chapter to master this two chapters content must always pay attention to these two concepts, thus to explore these two concepts is very necessary. This paper first gives the almost everywhere in several theorems and definition, including almost everywhere can guide, almost everywhere convergence, almost everywhere, as well as their reasoning. And then gives the several theorems and proofs associated with almost everywhere, including Lusin theorems and proofs, Lebesgue theorem and proof, and measurable function is discussed and the dialectical relations of differentiable almost everywhere, gives the concept basically continuous, basically can guide again, once again proved basically can guide really contains almost everywhere can guide, basically successive really contains almost everywhere. And the differences and relations between them are discussed.
定义2若 在 中是可测集,函数 是 上的实值函数，同时任何时候都存在 ,并且也满足：（1） ,(2)对于任何的 ,函数 在 点都是相对于 可导的，那么可以得到 在 上是几乎处处可导的.
定义3若 为 中可测集，函数 是 上的实函数，如果有 ,满足：（1） ,(2) 在 上是可导的，那么我们可以得到 在 上几乎可导.
定义2若 为 中可测集， 于 是有定义的，假若存在 ,满足：（1） ,(2) 在 上是连续的，那么可以得到 在 上是“几乎连续”。.
定义3假若 为 中的可测集， 在 是有定义，如果有 ，满足：（1）
对所有的 , 在 点都事相对于 连续的，那么可以得到 在 上“几乎处处连续”。
(
以下任何的结论都可以推广到 维欧氏空间中去， ，定义都是在一维欧氏空间 中进行讨论的， 是用来表示 的Lebesgue测度.
若
那么函数 在 上都是几乎处处可导（令 为 中有理数所成的集合.那么 ， 在 - 上是可导的）.但是又因为 在 上非Riemann可积，所以可以得到函数 在 上非几乎处处连续，再由定理1知 在 上非几乎处处可导.
引理2存在可测集 ,使得对所有的开区间 ，皆有 .其中 .（ 表示 的余集）
二、实分析中关于基本上的几种定义
三、对实分析中几乎处处与基本上关系的研究
（一）几乎处处可导与基本上可导
如果 在 上几乎可导，那么 在 上是基本上可导的，反过来也是这样的.其中 .
证明：由以上概念知几乎可导 基本上可导测集.
首先证 在 上基本上可导的.
事实上对所有的 ，由 可测知存在闭集 使得 ，
又 - 可测，故存在闭集 ,使得 令
注意到 ，
知
下边证 在 上可导.因为 与 是不相交的有界闭集，故 ,( 表示点集 与 的距离).再注意到 在 上恒等于1,在 上恒等于0,由此易证对所有的 , 在 点皆相对于 可导,按定义知 在 上可导.综上知 在 上基本上可导.
承诺人：2011级数学与应用数学专业
签 名：
年 月 日
几乎处处与基本上之间关系的研究
摘要
“几乎处处”与“基本上”是实函中的两个重要的基本概念,它们在可测函数及勒贝格积分这两章中出现频率很高，要掌握这两章内容必须时刻注意这两个概念，因此对这两个概念进行探究十分有必要。本文给出了几个定理，在定义几乎无处不在，包括几乎处处可微的，几乎处处收敛，几乎处处连续，以及他们的推论。然后给出了用几乎无处不在，包括Lusin定理和勒贝格定理及证明，以及相关的几个定理，可测函数可微的辩证关系的讨论几乎是到处都有，又一次给出了基本连续的概念，基本上是可以指导的理念，再次证明，基本上是可以引导它包含几乎处处可微的，基本上包含了几乎处处连续,并且还讨论了它们之间存在的区别和联系.
二、基础知识
（一）基础知识1
可测集的定义及等价条件
定义若 总有
= ,
那么我们可以得到 为Lebesgue的可测集，也可以说我们可以得到 为可测的，此时 的外测度 我们可以得到为 的Lebesgue测度，用数学符号表示为 .