复变函数与积分变换 第二章第四节平面场的复势_复变函数论
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复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
复变函数与积分变换第二章
u ux v uy 0 ,
v
ux
u
uy
0,
(A)
①若
u v
v u
0,
u v 0,
f ( x, y) 0(常数)；
②若
u v
v u
0,
求解得 A 2, B 1, C 1, D 2.
证 (1) 由 f (z) u i v 解析， ux vy , uy vx , 由 f (z) u i v 解析， ux (v)y , uy (v)x , ux uy vx vy 0 , u, v 为常数， 即得 f ( x, y) c(常数)。
二、解析函数概念
定义 (1) 如果函数 f (z) 在 z0点以及 z0点的邻域内处处可导，
P25 定义
则称 f (z)在 z0点解析；
2.2
(2) 如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点解析，则称 f (z)
在区域 D 内解析，或者称 f (z) 是 D 内的解析函数。
(3) 如果存在区域G :闭区域D G,且 f (z) A(G), 则称 f (z)在闭区域 D上解析.记作f (z) A(D)
2.2
且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程：
u v , x y
u v . y x
(简称 C R方程)
三、柯西-黎曼方程
1. 点可导的充要条件 求导公式 若 f (z) 在 z x i y 处可导，则
f (z) u i v . u i u x x x y
(1) 四则运算法则
[ f (z) g(z)] f (z) g(z) ;
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数 complex function第二章复变函数的积分 complex function integral第三章幂级数展开 power series expansion第四章留数定理 residual theorem第五章傅立叶变换 Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角 (ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
复变函数与积分变换第二章
故不连续。 故不连续。
( 2 )在负实轴上 ∀ P ( x , 0 )( x < 0 ) Q lim+ arg z = π
y→ 0 y→ 0
y z o z
(z)
lim− arg z = − π
∀P ( x ,0)
x
∴ arg z 在负实轴 上不连续。 上不连续。
定理2.3 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 连续函数的和、 分母不为0) 定理 分母不为 仍为连续函数; 仍为连续函数 定理2.4 连续函数的复合函数仍为连续函数。 连续函数的复合函数仍为连续函数。 定理 定理2.5 定理 设 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ), 则 f (z)
z → z0
内处处连续， 若在区域 D 内处处连续，则称 f ( z )在 D 内连续 ; 若 z 、 z 0 ∈ C , 且 lim f ( z ) = f ( z 0 )，则称 f ( z )
z → z0
在曲线 C 上点 z 0处连续 .
证明f 在原点及负实轴上不连续。 例4 证明 (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 在原点及负实轴上不连续 证明 (1) Q f ( z ) = arg z 在原点没有定义， 在原点没有定义，
复变函数的极限与连续性
1. 函数的极限 2. 相关定理 3.函数的连续性 函数的连续性
复变函数的极限
定义2.2 定义 设复变函数w=f(z)在z0的某个去心 在 设复变函数 邻域内有定义, 是复常数 是复常数. 邻域内有定义 A是复常数 若对任意给定的ε >0, 使得对一切满足0<|z-z0|<δ 的z , 都有 存在δ >0, 使得对一切满足
复变函数论 数学
复变函数论数学
复变函数论是数学的一个分支，研究复变函数的性质和变换。
复变函数是指定义在复平面上的函数，取值为复数。
它比实变函数更加复杂，有许多独特的性质和应用。
复变函数论主要包括以下内容：
1. 复数及其性质：复数是由实部和虚部组成的数，与实数的性质有所不同，例如有无穷多个复数的平方是-1。
复数还有其他重要性质，如乘法和除法的公式等。
2. 复变函数的导数和积分：与实变函数一样，复变函数也有导数和积分的概念。
但是，与实变函数不同的是，导数和积分具有更多的性质和奇异性。
3. 复变函数的级数表示：复变函数可以用级数表示，这种表示方法称为洛朗级数。
洛朗级数是一种特殊的幂级数，包含着函数的所有信息。
4. 解析函数和亚纯函数：解析函数是指在某个开区域内有导数的复变函数。
它具有许多重要的性质，如极值定理和最大-最小原理等。
亚纯函数是指在一定范围内可导，但是可能在某些点上存在奇异性的函数。
5. 积分定理和残量定理：积分定理和残量定理是复变函数论中最重要的定理之一。
它们可以通过对复变函数积分来计算它的值。
积分定理与Cauchy积分定理和Cauchy-Goursat定理等有关。
残量定理是通过计算奇点处的残量来求解积分。
复变函数论在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如电动力学、热力学和信号处理等。
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
《复变函数与积分变换》PPT课件
z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy
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是与 r 无关的常量. i 称为涡点的强度.
h( z ) . 流速 v i 1 ,
2 z
2 z
复势函数为
f (z) Lnz c, 2i
(c c1 ic2 )
于是势函数为
比较后得 , , 柯西 –黎曼
x y y x 方程
在单连域内可以作一个解析函数
w f (z) ( x, y) i ( x, y). 平面流速场的复
势函数(复势)
因为
v
vx
ivy
x
i
y
x
i
x
f (z),
所以流速场v 可以用复变函数v f (z) 表示.
给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对 应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给 定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速 场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得 到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图 形, 即得描绘该场的流动图象.
*第四节 平面场的复势
一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考
一、用复变函数表示平面向量场平面ຫໍສະໝຸດ 常向量场:向量场中的向量都平
S
行于某一个平面S, 而且在
垂直于S 的任何一条直线
上的所有点处的向量都是
相等的; 场中的向量也都与
S0
时间无关.
显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情 况是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示.
由对称性, z 0 处的流速 v g(r)r0,
其中r z 是 z 到原点的距离, r0 是指向点z 的向径上的单位向量, r0 z ,
z g(r) 是一待定函数.
因为流体不可压缩,
流体在任一以原点为中心的圆环域r1 z r2 内不可能积蓄,
所以流过圆周z r1 与 z r2 的流量相等,
的全微分, d( x, y) vxdx vydy,
x
vx,
y
vy.
grad
v.
函数
(
x,
y)
称为场
v
的势函数(或位函数).
等值线 ( x, y) c2 等势线(或等位线)
3. 平面流速场的复势函数: 如果在单连域B内,向量场 v 既是无源场又
是无旋场,
x
v
y
,
y
vx
与
x
v
x
,
y
v y 同时成立,
例1 设一平面流速场的复势为 f (z) az (a 0 为 实常数), 试求该场的速度、流函数和势函数.
解 因为 f (z) a,
所以场中任一点的速度 v f (z) a 0,
方向指向 x 轴正向.
y 等势线
流函数 ( x, y) ay,
流线是直线族 y c1;
流线
势函数 ( x, y) ax,
态, 试求该流速场的复势, 并画出流动图象.
解 与例2类似, 设场内某点 z 的流速 v h(r) 0,
0 是点 z 处与 r0 垂直的单位向量, 0 iz ,
z h(r) 是仅与r z 有关的待定函数.
沿圆周的环流量为
v
0ds
z r
h( z ) ds 2 z h( z ).
z r
场
v
x, y) vydx
在等值线 ( x,
vxdy y) c1
0, 所以 dy vy .
上每
dx 一点处
的v向x 量v
都与等值线相切,
函数
(
x,
y)
称为场
v
的流函数.
2.
势函数:
如果
v
又是
B内的无旋场 (即势量场),
那么 rot
v
0,
即 v y vx 0.
x y
于是 vxdx v ydy 为某个二元函数 ( x, y)
如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),
那末
div
v
v x
v y
0,
x y
即 vx v y , x y
于是 v ydx vxdy 为某个二元函数 ( x, y)
的全微分, d ( x, y) vydx vxdy.
x
vy ,
y
vx.
因为等值线 ( x, y) c1, 流线
d (
o
x
等势线是直线族 x c2.
例2 在《场论》中将散度div v 0的点统称为
源点
(有时称使
div
v
0
的点为源点,
而使
div
v
0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常
流速场的复势, 并画出流动图象. 解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原
点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷
远处保持静止状态.
平面电场强度向量为
E
Ex(
x,
y)i
Ey(
x,
y)
j
可以用复变函数E E(z) Ex ( x, y) iEy ( x, y) 表示.
二、平面流速场的复势
1. 流函数: 设向量场v 是不可压缩的定常的理想流
体的流速场:
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j ,
其中速度分量vx ( x, y) 与 vy ( x, y) 都有连续偏导数.
在平面
S0
内取定一直角坐标系
xoy,
向量 A Axi Ay j 可表示
y
Ay
A
为复数 A Ax iAy .
o
Ax
x
由于场中的点可用复数 z x iy 表示,
所以平面向量场 A Ax ( x, y)i Ay ( x, y) j 可表
示为复变函数 A A(z) Ax ( x, y) iAy ( x, y).
反之,已知一个复变函数w
u(
x,
y)
iv( x,
y),
也
可作出对应的平面向量场 A u( x, y)i v( x, y) j .
例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j
可以用复变函数v v(z) vx ( x, y) ivy ( x, y) 表示,
流过圆周的流量为
N
v
r
0ds
g(r)r0 r0ds 2 z g( z ).
z r
z r
N 称为源点的强度. 是与 r 无关的常数.
故 g( z ) N . 流速 v N z N 1 .
2 z
2 z z 2 z
复势函数 f (z)的导数为 f (z) v(z) N 1 . 2 z
复势函数为
f
( z)
N 2
Lnz
c,
(c
c1
ic2
复常数)
于是势函数为
( x,
y)
N ln 2π
z
c1 ,
流函数为
(
x,
y)
N 2π
Arg z
c2 . (流动图象如下)
y
(N 0)
y
(N 0)
o
x
o
x
蓝色为等势线, 红色为流线.
例3 平面流速场中rotv 0 的点称为涡点. 设平
面上仅在原点有单个涡点, 无穷远处保持静止状
h( z ) . 流速 v i 1 ,
2 z
2 z
复势函数为
f (z) Lnz c, 2i
(c c1 ic2 )
于是势函数为
比较后得 , , 柯西 –黎曼
x y y x 方程
在单连域内可以作一个解析函数
w f (z) ( x, y) i ( x, y). 平面流速场的复
势函数(复势)
因为
v
vx
ivy
x
i
y
x
i
x
f (z),
所以流速场v 可以用复变函数v f (z) 表示.
给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数——它的复势与之对 应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给 定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速 场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得 到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图 形, 即得描绘该场的流动图象.
*第四节 平面场的复势
一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考
一、用复变函数表示平面向量场平面ຫໍສະໝຸດ 常向量场:向量场中的向量都平
S
行于某一个平面S, 而且在
垂直于S 的任何一条直线
上的所有点处的向量都是
相等的; 场中的向量也都与
S0
时间无关.
显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情 况是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示.
由对称性, z 0 处的流速 v g(r)r0,
其中r z 是 z 到原点的距离, r0 是指向点z 的向径上的单位向量, r0 z ,
z g(r) 是一待定函数.
因为流体不可压缩,
流体在任一以原点为中心的圆环域r1 z r2 内不可能积蓄,
所以流过圆周z r1 与 z r2 的流量相等,
的全微分, d( x, y) vxdx vydy,
x
vx,
y
vy.
grad
v.
函数
(
x,
y)
称为场
v
的势函数(或位函数).
等值线 ( x, y) c2 等势线(或等位线)
3. 平面流速场的复势函数: 如果在单连域B内,向量场 v 既是无源场又
是无旋场,
x
v
y
,
y
vx
与
x
v
x
,
y
v y 同时成立,
例1 设一平面流速场的复势为 f (z) az (a 0 为 实常数), 试求该场的速度、流函数和势函数.
解 因为 f (z) a,
所以场中任一点的速度 v f (z) a 0,
方向指向 x 轴正向.
y 等势线
流函数 ( x, y) ay,
流线是直线族 y c1;
流线
势函数 ( x, y) ax,
态, 试求该流速场的复势, 并画出流动图象.
解 与例2类似, 设场内某点 z 的流速 v h(r) 0,
0 是点 z 处与 r0 垂直的单位向量, 0 iz ,
z h(r) 是仅与r z 有关的待定函数.
沿圆周的环流量为
v
0ds
z r
h( z ) ds 2 z h( z ).
z r
场
v
x, y) vydx
在等值线 ( x,
vxdy y) c1
0, 所以 dy vy .
上每
dx 一点处
的v向x 量v
都与等值线相切,
函数
(
x,
y)
称为场
v
的流函数.
2.
势函数:
如果
v
又是
B内的无旋场 (即势量场),
那么 rot
v
0,
即 v y vx 0.
x y
于是 vxdx v ydy 为某个二元函数 ( x, y)
如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),
那末
div
v
v x
v y
0,
x y
即 vx v y , x y
于是 v ydx vxdy 为某个二元函数 ( x, y)
的全微分, d ( x, y) vydx vxdy.
x
vy ,
y
vx.
因为等值线 ( x, y) c1, 流线
d (
o
x
等势线是直线族 x c2.
例2 在《场论》中将散度div v 0的点统称为
源点
(有时称使
div
v
0
的点为源点,
而使
div
v
0的点为洞). 试求由单个源点所形成的定常
流速场的复势, 并画出流动图象. 解 不妨设流速场v内只有一个位于坐标原
点的源点, 而其他各点无源无旋, 在无穷
远处保持静止状态.
平面电场强度向量为
E
Ex(
x,
y)i
Ey(
x,
y)
j
可以用复变函数E E(z) Ex ( x, y) iEy ( x, y) 表示.
二、平面流速场的复势
1. 流函数: 设向量场v 是不可压缩的定常的理想流
体的流速场:
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j ,
其中速度分量vx ( x, y) 与 vy ( x, y) 都有连续偏导数.
在平面
S0
内取定一直角坐标系
xoy,
向量 A Axi Ay j 可表示
y
Ay
A
为复数 A Ax iAy .
o
Ax
x
由于场中的点可用复数 z x iy 表示,
所以平面向量场 A Ax ( x, y)i Ay ( x, y) j 可表
示为复变函数 A A(z) Ax ( x, y) iAy ( x, y).
反之,已知一个复变函数w
u(
x,
y)
iv( x,
y),
也
可作出对应的平面向量场 A u( x, y)i v( x, y) j .
例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)
v vx ( x, y)i vy ( x, y) j
可以用复变函数v v(z) vx ( x, y) ivy ( x, y) 表示,
流过圆周的流量为
N
v
r
0ds
g(r)r0 r0ds 2 z g( z ).
z r
z r
N 称为源点的强度. 是与 r 无关的常数.
故 g( z ) N . 流速 v N z N 1 .
2 z
2 z z 2 z
复势函数 f (z)的导数为 f (z) v(z) N 1 . 2 z
复势函数为
f
( z)
N 2
Lnz
c,
(c
c1
ic2
复常数)
于是势函数为
( x,
y)
N ln 2π
z
c1 ,
流函数为
(
x,
y)
N 2π
Arg z
c2 . (流动图象如下)
y
(N 0)
y
(N 0)
o
x
o
x
蓝色为等势线, 红色为流线.
例3 平面流速场中rotv 0 的点称为涡点. 设平
面上仅在原点有单个涡点, 无穷远处保持静止状