高中数学第二章2.3.1圆的标准方程基础过关训练新人教B版必修
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程学业分层测评 新人教B版必修2
2.3.1 圆的标准方程学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1 B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．【答案】 D5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C 二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． 【解析】 由题意知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12－1－2＋＋2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.【答案】 (x －2)2＋y 2＝257．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________. 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1138．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|112|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2 三、解答题9．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．【解】 法一 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－3－a 2＋－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )． 由圆的定义得|AC |＝|BC |， 即a －2＋－2a －2＝a ＋2＋－2a －2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝－2＋－2＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．【解】 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，∵它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32.∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.[能力提升]1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b 等于( ) A ．3 B ．2 C ．5D ．1【解析】 由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，所以a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3，故选A.【答案】 A2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋－2＝455，又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.【答案】 B3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________． 【解析】 设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋1＝r 2，－a2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝104．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程. 【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝132，圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－6， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694.。
新教材高中数学第2章圆的标准方程学案含解析新人教B版选择性必修第一册
新教材高中数学：2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点) 1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养．我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥．赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁．赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格．虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥．由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞r d＝r d＜r思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．( )(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9．( )[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4C[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是．x2＋(y－2)2＝1[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]直接法求圆的标准方程【例1】(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．[思路探究]只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．[解](1)所求圆的半径r＝|CA|＝2＋22＋－2－12＝5．又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝25．(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b )，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a ＝4，b ＝－6，所以圆的半径r ＝4－22＋0＋32＝13，从而所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.[跟进训练]1．求圆心在x 轴上，半径为5且过点A (2，－3)的圆的标准方程．[解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝25，因为点A (2，－3)在圆上，所以有(2－a )2＋(－3)2＝25，解得a ＝－2或a ＝6，所以所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25或(x －6)2＋y 2＝25．待定系数法求圆的标准方程【例2】 求下列各圆的标准方程．(1)圆心在y ＝0上且过两点A (1,4)，B (3,2)；(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)．[思路探究] 由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a ，b ，r 三个参数．[解] (1)设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ， 则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． ∵圆心在y ＝0上，故b ＝0， ∴圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2． 又∵该圆过A (1,4)，B (3,2)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋16＝r 2，3－a2＋4＝r 2，解得a ＝－1，r 2＝20．∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20． (2)设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.故所求圆的标准方程为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x －a )2＋(y －b )2＝r 2)→列方程组(由已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组)→解方程组(解方程组，求出a 、b 、r )→得方程(将a 、b 、r 代入所设方程，得所求圆的标准方程)．[跟进训练]2．求经过点A (10,5)，B (－4,7)，半径为10的圆的方程． [解] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝100，将A 、B 两点代入得⎩⎪⎨⎪⎧10－a 2＋5－b2＝100 ①－4－a2＋7－b 2＝100 ②①－②得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15 ③ 将③代入得：a 2＋8－6a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100．圆的标准方程的实际应用【例3】1米后，水面宽多少米？[思路探究] 桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．[解] 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x 轴，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，则O (0,0)，A (6，－2)．设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100．当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝51，∴水面下降1米，水面宽为2x0＝251≈14．28(米)．解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面[跟进训练]3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入？[解] 以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝16－2.72＝8.71＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．与圆有关的最值问题[探究问题1．若P (x ，y )为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12．2．若P (x ，y )是圆C ：(x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，所以点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2．【例4】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3．求y x的最大值和最小值．[思路探究] y x的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得． [解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ， 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3．故y x的最大值为3，最小值为－3．1．在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ， 即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6．故y －x 的最大值为－2＋6， 最小值为－2－6．2．在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－43．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型 1形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点x ，y 和a ，b 的动直线斜率的最值问题.2形如l ＝ax ＋by b ≠0形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b ＋l b截距的最值问题.3形如x －a2＋y －b2形式的最值问题，可转化为动点x ，y 到定点a ，b的距离的平方的最值问题.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝m ．当m ＞0时，表示圆心为C (a ，b )，半径为m 的圆； 当m ＝0时，表示一个点C (a ，b )； 当m ＜0时，不表示任何图形． 2．确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径． 直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 第二步：根据条件列方程组求待定系数a ，b ，r ． 第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．4．重点掌握的方法 (1)求标准方程的方法． (2)求与圆相关的最值的方法．1．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的圆心坐标( ) A ．(2,1) B ．(2，－1) C ．(－2,1)D ．(－2，－1)B [结合圆的标准形式可知，圆C 的圆心坐标为(2，－1)．] 2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为( ) A ．(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 0212B ．(x ＋2 020)2＋(y ＋2 020)2＝2 0212C ．(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 021 D ．(x ＋2 020)2＋(y ＋2 020)2＝2 021A [由圆的标准方程知(x －2 020)2＋(y －2 020)2＝2 0212．]3．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的外部，则a 的取值范围为 ．a ＞1或a ＜－15[因为(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的外部，所以4a 2＋(a －2)2＞5，解得a ＞1或a ＜－15．]4．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，则圆的方程是 ．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋1＝m ． ∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10．]5．已知圆M 的圆心坐标为(3,4)，且A (－1,1)，B (1,0)，C (－2，3)三点一个在圆M 内，一个在圆M 上，一个在圆M 外，求圆M 的方程．[解] ∵|MA |＝－1－32＋1－42＝5，|MB |＝1－32＋0－42＝25，|MC |＝－2－32＋3－42＝26，∴|MB |＜|MA |＜|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外， ∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25．。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习 新人教B版必修2
2.3.1 圆的标准方程1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π,故周长为2π·=2π.2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()A. B.2 C.4 D.3(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.5B.4C.5.5D.2d=,故当b=-2时,d 取最小值2.4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A.x2+y2=2R2B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2D.x2+y2=9R2R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.5方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.C(a,b),则即且|AC|=|BC|=r=.故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.x-2)2+(y+3)2=57圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得解得故所求圆的方程为=1.=18已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.x-2)2+y2=9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,即3a≤a,∵a>0,∴3,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜.圆C外的居民从B地购货便宜.圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.。
圆的一般方程(基础过关练习)-2023学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2.3.2圆的一般方程（基础过关）题型一：理解圆的一般方程1、圆(x+1)2+(y−3)2=2的一般方程是（）A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2−2x+8y+6=0D.x2+y2+2x−6y+8=02、圆x2+y2+4x−6y−3=0的标准方程是（）A.(x−2)2+(y−3)2=16B.(x−2)2+(y+3)2=16C.(x+2)2+(y−3)2=16D.(x+2)2+(y+3)2=163、已知点A(1，2)在圆C：x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是（）A.(−13，+∞)B.(−13，134)C.(−∞，134)D.(−∞，−13)∪(134，+∞)4、若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x−4y=0的圆心，则a的值为（）A.−1B.1C.3D.−35、圆的方程为(x−1)(x+2)+(y−2)(y+4)=0，则圆心坐标为（）A.(1，−1)B.(12，−1)C.(−1，2)D.(−12，−1)6、如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为7、圆的方程为x2+y2+2ax−2ay=0，给出下列叙述：①圆心在直线y=−x上；②圆心在x轴上；③过原点；④半径为√2a，其中叙述正确的是题型二：求圆的一般方程8、过点A(1，√5)和B(2，−2√2)，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（）A.x2+y2−6y=0B.x2+y2+6y=0C.x2+y2+6x=0D.x2+y2−6x=09、经过三点(0，0)、(1，1)、(2，0)的圆的一般方程为10、圆心在直线y=x上，且经过点A(−1，1)、B(3，−1)的圆的一般方程是11、求过点(−1，1)，且圆心与圆x2+y2−6x−8y+15=0的圆心相同的圆的方程12、已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y−1=0上，且圆心在第二象限，半径为√2，求圆的一般方程题型三：圆的一般方程的应用13、已知圆C：x2+y2+mx−4=0上存在两点关于直线x−y+3=0对称，则实数m的值为（）A.8B.−4C.6D.无法确定14、已知两定点A(−2，0)、B(1，0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）A.πB.4πC.8πD.9π15、已知圆C：x2+y2−4x−14y+45=0及点Q(−2，3)（1）若点P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率（2）若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值。
高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程练习新人教B版必修2
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案：C
解析：方程(x－a)2＋(y－b)2＝0，解得 ，因此它只表示一个点(a，b)，故选C.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝ ＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)圆上的点的距离的最大值为________．
答案：5＋
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为 ＋5＝5＋ .
2．点与圆的位置关系的判定方法
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为A(a，b)，半径为r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.反之也成立．
第23课时2.3.1圆的标准方程
课时目标
1.掌握圆的标准方程及其推导方法．
2．会判断点与圆的位置关系．
3．会用待定系数法求圆的标准方程．
识记强化
1．圆的标准方程：若圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；特别地，如果圆心在坐标原点，圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
高中数学2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程优化训练新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.若方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A.m<21 B.m<10 C.m>21 D.m≤21 解析：方程x 2+y 2-x+y+m=0，变形为(x-21)2+(y+21)2=21-m ，方程表示圆，∴21-m ＞0，即m ＜21. 答案：A2.方程x 2+y 2+2ax-2ay=0表示的圆( )A.关于x 轴对称B.关于原点对称C.关于直线x-y=0对称D.关于直线x+y=0对称解析：考查方程表示圆的判定、直觉思维能力.圆的方程化为(x+a)2+(y-a)2=2a 2,圆心(-a,a).由圆心坐标易知圆心在x+y=0上, ∴圆关于x+y=0对称. 答案：D3.已知圆x 2-4x-4+y 2=0的圆心是点P ，则点P 到直线x-y-1=0的距离是_____________. 解析：本题考查圆的一般方程向标准方程的转化和点到直线的距离公式.由x 2-4x-4＋y 2＝0得(x-2)2+y 2=8,即圆心为(2,0),根据点到直线的距离公式可得222|12|=-. 答案：22 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若方程a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆,则a 的值是( )A.-1B.2C.-1或2D.1解析：本题考查圆的一般方程,由⎪⎩⎪⎨⎧>⨯-+=,04)2(,22222a aaa a a 可得a=-1或a=2(舍). 答案：A2.方程x 2+y 2+kx+2y+k 2=0表示圆，当该圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(0,-1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(-1,1)解析：由半径最大可求k 值为0，进而求圆心坐标. 答案：A3.若直线l 将圆x 2+y 2-4x-2y=0平分,并且l 不经过第二象限,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.［1,2］B.［21,+∞) C.［2,+∞) D.(-∞,21］解析：由已知,l 过圆的圆心C(2,1),又l 不过第二象限,画图分析,知直线l 的斜率k≥k OC =21. 答案：B4.试判断A(1,2),B(0,1),C(1,-6),D(4,3)四点是否在同一圆上.解：因为线段AB 、BC 的斜率分别为k AB =1，k BC =-7，k AB ≠k BC ，所以A 、B 、C 三点不共线.过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2+y 2-8x+4y-5=0.因为42+32-8×4+4×3-5=0，所以点D 在此圆上.故A 、B 、C 、D 四点共圆.5.已知方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 4+9=0. (1)t 为何值时,方程表示圆?(2)t 为何值时,方程表示的圆半径最大?请求出半径最大时圆的方程.解：(1)方程表示圆的条件是［-2(t+3)］2+［2(1-4t 2)］2-4(16t 4+9)＞0， 即7t 2-6t-1＜0.解得71-＜t ＜1. ∴当71-＜t ＜1时,方程表示圆. (2)当71-＜t ＜1时,方程表示圆,其半径为r=)916(4)]41(2[)]3(2[214222+--++-t t t =716)73(7167)167(421222+--=++-=---t t t t t . 当t=73时，半径有最大值,r max =774716=,此时圆心坐标为(t+3,4t 2-1),即(4913,724-).故半径最大时,圆的方程为(724-x )2+(4913-y )2=716. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示圆，则a 的取值范围是( ) A.a<-2 B.32-<a<0 C.-2<a<0 D.-2<a<32 解析：由D 2+E 2-4F ＞0可得. 答案：D2.曲线x 2+y 2+22x-22y=0关于( )A.直线x=2轴对称B.直线y=-x 轴对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称解析：将圆方程化为标准方程得(x+2)2+(y-2)2=4.圆心(2,2-)在直线y=-x 上，故圆关于y=-x 轴对称.故选B. 答案：B3.设A 、B 是直线3x+4y+2=0与圆x 2+y 2+4y=0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A.4x-3y-2=0B.4x-3y-6=0C.3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0解析：即求过圆心(0，-2)且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程，即y+2=34x ，整理,得4x-3y-6=0. 答案：B4.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( ) A.36 B.18 C.26 D.25 解析：x 2+y 2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为23.由点到直线的距离公式得25210=,由数形结合思想可得:该圆上点到已知直线的距离的最小值为22,最大值为28,故所求距离之差为26.答案：C5.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( ) A.y=x 3 B.y=x 3-C.y=x 33 D.y=x 33- 解析：设直线方程为y=kx,由圆心(-2,0)到直线kx-y=0(k ＞0)的距离等于圆的半径1，得1|02|2+--k k =1，解得k=33,所以所求直线方程为y=x 33. 答案：C6.已知A(-2,0)、B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点,则△ABC 的面积的最大值为( ) A.23- B.24- C.226- D.23+ 解：要使△ABC 的面积最大,即要求点C 到AB 的距离最大,亦即求圆上点中到直线AB 距离的最大值,应为圆心到直线AB 距离d 与半径r 之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d 为2232|201|=+-,即C 到AB 的距离的最大值为223+1,故△AB C 面积的最大值为21×|AB|×(223+1)=23+. 答案:D7.直线x-y+4=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长为( )A.2B.22C.23D.24解析：利用圆半径r 、弦心距d 、弦的关系:弦长为222d r -.答案：B8.设圆x 2+y 2-4x-5=0的弦AB 的中点为P(3，1)，则直线AB 的方程是_______________. 解析：直线AB 的方程与点P 和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得. 答案：x+y-5=09.已知3x+4y-10=0与圆x 2+y 2-5y+F=0相交于A 、B 两点，且OA⊥OB(O 是原点)，则F=_______________.解析：易得圆x 2+y 2-5y+F=0的圆心坐标为(0,25),它在3x+4y-10=0上，再由OA⊥OB，可知圆x 2+y 2-5y+F=0过原点O ，将O(0,0)代入圆方程可求得F=0. 答案：010.已知P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为___________.解析：将圆的一般方程配方化为标准方程(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1)，r=1,如图所示. 方法一:从运动观点看问题：当动点P 沿直线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC 的面积S Rt△PAC =21d(P,A)·d(A,C)=21d(P,A)越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当P 点从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小.显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线时，S 四边形PACB应有唯一的最小值，此时d(P,C)=2243|81413|++⨯+⨯=3，从而d(P,A)=2213),(),(2222=-=-C A d C P d .∴S 四边形PACB 的最小值=2·21·d(P,A)·d(A,C)=22. 方法二：利用等价转化的思想：设P 点坐标为(x,y),则d(P,C)=22)1()1(-+-y x ，由勾股定理及|AC|=1，得d(P,A)=1)1()1(),(),(2222--+-=-y x C A d C P d .从而S 四边形PACB =2S △PAC =2·21d(P,A)·d(A,C)=d(P,A)=1)1()1(22--+-y x , 从而欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x,y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x+4y+8=0距离的平方，即d 2=(2243|8413|++⨯+⨯)2=9.∴S 四边形PACB 最小值=2219=-. 方法三：利用函数的思想.将方法二中S 四边形PACB =1)1()1(22--+-y x 中的y ，从3x+4y+8=0中解出，代入关于x 的一元函数，进而用配方法求最值，也可得S 四边形PACB 的最小值=22. 答案：2211.已知实数x 、y 满足关系式：x 2+y 2-6x-4y+12=0,点P(x,y),A(-1,0),B(1,0). (1)求xy的最大值与最小值； (2)求x 2+y 2的最大值与最小值； (3)求x-y 的最大值与最小值. 解：(1)设x y =k,则y=kx,当直线y=kx 与圆x 2+y 2-6x-4y+12=0，即(x-3)2+(y-2)2=1相切时，xy 取得最值.∴圆心(3，2)到y=kx 的距离等于1. ∴21|23|kk +-=1.∴k=433±. ∴x y 的最大值为433+,最小值为433-. (2)设x 2+y 2=r 2，当两圆相切时，x 2+y 2取得最值. ∴圆心距2223+=|r±1|. ∴r=13±1.∴r 2=14±213.∴x 2+y 2的最大值为14+213，最小值为14-32.(3)设x-y=m ，当直线x-y=m 与圆相切时，x-y 取得最值. ∴2|23|m --=1.∴m=1±2.∴x-y 的最大值为1+2，最小值为1-2.。
高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课后训练 新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程课后训练1．曲线220x y ++-=关于( )．A ．直线x ＝2对称B ．直线y ＝－x 对称C ．点(－2,2)中心对称D ．点(－2,0)中心对称2．若方程x 2＋y 2＋ax ＋a ＋1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )． A ．a ＜－2或23a > B ．223a -<< C ．－2＜a ＜0 D ．a ＞2或23a <-3．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )．A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．36B ．18C ．．5．已知A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最大值为( )．A ．3B ．4C ．62- D ．3+ 6．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程是__________．7．已知直线3x ＋4y －10＝0与圆x 2＋y 2－5y ＋F ＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 是原点)，则F ＝__________.8．已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________．9．已知过点M (－1,1)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －14＝0所截得的弦长为求直线l 的方程．10．已知实数x ，y 满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0.(1)求yx的最大值与最小值；(2)求x2＋y2的最大值与最小值；(3)求x－y的最大值与最小值．参考答案1. 答案：B 将圆方程化为标准方程得22(2)(2)4x y ++-=.圆心(2,2)-在直线y ＝－x 上，故圆关于直线y ＝－x 对称．故选B.2. 答案：D3. 答案：C 设直线方程为y ＝kx (k ＞0)，由圆心(－2,0)到直线kx －y ＝0的距离等于圆的半径1，得211k =+，解得3k =，所以所求直线的方程为33y x =. 4. 答案：C x 2＋y 2－4x －4y －10＝0(x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为(2,2)，半径为32522=该圆上点到已知直线的距离的最小值为228262.5. 答案：D 要使△ABC 的面积最大，即要求点C 到AB 的距离最大，亦即求圆上点中到直线AB 距离的最大值，应为圆心到直线AB 的距离d 与半径r 之和．由于圆心C (1,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d 3222=，即C 到AB 3212，故△ABC 的面积的最大值为13||213222AB ⎫⨯⨯=+⎪⎭6. 答案：x ＋y －4＝0 直线AB 与点P 和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．7. 答案：0 易得圆x 2＋y 2－5y ＋F ＝0的圆心坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，，它在3x ＋4y －10＝0上，再由OA ⊥OB ，可知圆x 2＋y 2－5y ＋F ＝0过原点O ，将O (0,0)代入圆的方程可求得F ＝0.8. 答案：(x －2)2＋(y －2)2＝109. 答案：解：由圆的方程可求得圆心C 的坐标为(1，－1)，半径为4，∵直线l 被圆C 所截得的弦长为3∴圆心C 到直线l 的距离为2.(1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，此时点C 到l 的距离为2，可求得弦长为3(2)若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离为2，221k =+，∴k 2＋2k ＋1＝k 2＋1，∴k ＝0，∴直线l 的方程为y ＝1.综上(1)(2)可得：直线l 的方程为x ＝－1或y ＝1.10. 答案：解：(1)设y k x=，则y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，即(x －3)2＋(y －2)2＝1相切时，yx 取得最值．∴圆心(3,2)到y ＝kx 的距离等于1，1=，∴k =∴y x 的最大值为34+，最小值为34-.(2)设x 2＋y 2＝r 2，当两圆相切时，x 2＋y 2|1|r =±.∴1r =.∴214r =±∴x 2＋y 2的最大值为14+14-(3)设x －y ＝m ，当直线x －y ＝m 与圆相切时，x －y 取得最值．1=.∴1m =∴x －y 的最大值为1+1.。
学年新教材高中数学第二章平面解析几何..圆的一般方程训练含解析新人教B版选择性必修第一册
第二章平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.2 圆的一般方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.若方程ax 2+ay 2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a 的取值范围是( )A.RB.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞)D.(1,+∞)a ≠0时,方程为(x -2a -2a )2+(y +2a )2=4(a 2-2a+2)a 2,由于a 2-2a+2=(a-1)2+1>0恒成立,∴a ≠0时方程表示圆.当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.圆x 2+y 2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )A.2B.√22C.1D.√2(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=√2=√2. 3.方程x 2+y 2+2ax+2by+a 2+b 2=0表示( )A.以(a ,b )为圆心的圆B.以(-a ,-b )为圆心的圆C.点(a ,b )D.点(-a ,-b )(x+a )2+(y+b )2=0,∴{x +a =0,y +b =0,即{x =-a ,y =-b .∴方程表示点(-a ,-b ). 4.方程x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的图形是半径为r (r>0)的圆,则该圆的圆心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为(x +a 2)2+(y-a )2=-34a 2-3a ,故圆心坐标为(-a 2,a),r 2=-34a 2-3a.又r 2>0,即-34a 2-3a>0,解得-4<a<0, 故该圆的圆心在第四象限.5.已知圆C :x 2+y 2+4x=0的圆心和圆上两点A ,B 间的连线构成等边三角形,则AB 中点M 的轨迹方程是( )A.(x+2)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=3C.(x+1)2+y 2=2D.(x+2)2+y 2=3C :x 2+y 2+4x=0⇒(x+2)2+y 2=4,所以圆心C (-2,0),半径r=2,因为△ABC 为等边三角形,且AC=BC=2,所以AB=2,MC=√3,所以点M 的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径为√3的圆.所以AB 中点M 的轨迹方程是(x+2)2+y 2=3.6.已知圆C 过定点(7,2),且和圆C':x 2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C 的一般方程是 .2+y 2-8x+2y-1=0(7,2)为点A ,切点(1,2)为点B ,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方程为x+y-3=0,设圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则C 点坐标为(-D 2,-E2),则{-D 2-E 2-3=0,72+22+7D +2E +F =0,12+22+D +2E +F =0,解得{D =-8,E =2,F =-1.所以圆C 的一般方程是x 2+y 2-8x+2y-1=0.7.已知直线与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A ,B 两点,且弦AB 的中点Q 的坐标为(0,1),则直线AB 的方程为 .1=0P 的坐标为(-1,2). ∵AB 的中点Q 的坐标为(0,1),∴直线PQ 的斜率k PQ =2-1-1-0=-1,∴直线AB 的斜率k=1,故直线AB 的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.8.若圆x 2+y 2+2x-4y-4=0的圆心C 到直线l 的距离为2,且l 与直线3x+4y-1=0平行,则直线l 的方程为 .x+4y+5=0或3x+4y-15=0(-1,2).设所求的直线方程为3x+4y+D=0,由点到直线的距离公式,得22=2,即|5+D |5=2,解得D=5或-15.故所求的直线方程为3x+4y+5=0或3x+4y-15=0.9.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A (5,2)和点B (3,-2)的圆的一般方程.。
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§2.3圆的方程
2．3.1 圆的标准方程
一、基础过关
1． (x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为
( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
( )
A．在圆内B．在圆外
C．在圆上D．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝
3
3
x的距离为
( )
A.1
2
B.
3
2
C．1 D. 3
5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
7．求满足下列条件的圆的方程．
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．二、能力提升
9．方程y＝9－x2表示的曲线是( ) A．一条射线B．一个圆
C．两条射线D．半个圆
10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
三、探究与拓展
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
答案
1．A 2．B 3．B 4.A
5．5＋ 2
6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1952
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
y －352
＝1
7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝ 5－8 2＋ 1＋3 2＝5，
圆心为点C (8，－3)，
∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2.
∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有
⎩⎨⎧ 16＋ 2－b 2＝r 2
，
36＋ 2＋b 2＝r 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧
r 2
＝1454，
b ＝－52.
∴所求圆的方程是x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522
＝1454.
8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，
∴由⎩⎨⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝7，
y ＝－3.
∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65.
∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.
9．D 10．D
11．[0,2]
12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有
⎩⎨⎧ a 2＋ 1－b 2＝r 2，
2－a 2＋ 1－b 2＝r 2，
3－a 2＋ 4－b 2＝r 2，
解得⎩⎨⎧ a ＝1，
b ＝3，
r ＝ 5.
∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.
将D (－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，
最小值为72.。