四川省成都石室中学2020届高三数学10月月考试题 文

四川省成都石室中学2020届高三数学10月月考试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N =R U 2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1- 3.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B.35C. 252D. 255.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的5x =，2y =，输出的4n =，则程序框图中的中应填（ ） A. x y ≤B.y x ≤C. y x <D.x y =6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D. (][),02,-∞⋃+∞7. 若直线()42y k x -=-与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A.[)1,+∞B.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.3,14⎛⎤⎥⎝⎦D.(],1-∞- 8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，其中e 是自然对数的底数．则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a c b >>B. b c a >>C. c a b >>D. c b a >>9.已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则sin α等于（ ）B.1510.函数x x x x x f sin )1()(2+-+=的零点的个数是（ ）A.1B.2C.3D.411.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:3E y x =交于,A B 两点，O为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）B. 212.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ…，4p -为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫⎪⎝⎭-上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A. 11B. 13C. 15D.17二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =______． 14.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α=______．15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______． 16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BDCD； （Ⅱ）若1AD AC ==，求BC 的长．18.（本小题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 免征额3500元免征额5000元级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1 不超过1500元的部分31 不超过3000元的部分 32 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过3000元至12000元的部分103 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000元至25000元的部分 10 ………………（Ⅰ）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（Ⅱ）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下收入（元） [)3000,5000 [)5000,7000 [)7000,9000 [)9000,11000 [)11000,13000 []13000,15000人数 304010875先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（Ⅲ）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求三棱锥D GAC -与三棱锥P ABC -的体积之比.20.（本小题满分12分）已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.21.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()0,1A ，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C ：()2244x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.成都石室中学2019~2020学年度上期高2020届10月月考数学试卷（文科）答案一、选择题：B D B C A D C C A B D C 二、填空题：13. __100____．14. ___1-___．15.____ 254π__．16. ___67___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠，…………………………3分 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==.…………………………6分 （Ⅱ）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅.…………………………9分因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =32BC x ==.…………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩.…………………4分 （Ⅱ）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，分别记为,,A B C ，[)5000,7000中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB ，AC ，1A ，2A ，3A ，4A ，BC ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，12，13，14，23，24，34，共21种情况，…………………7分其中不在同一收入人群的有：1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，共12种，所以所求概率为124217P ==.…………………10分 （Ⅲ）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元；按调整起征点后应纳个税为25003%75⨯=元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元，所以小红的实际收入增加了220元. …………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：取AD 的中点为O ，连接OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连接GH .AD BC ∵∥，12AB BC CD AD ===， ∴四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形. OB AC ∴⊥，OB CD P .CD AC ∴⊥. PAD QV 等边三角形，O 为AD 中点， PO AD ∴⊥.…………………3分Q 平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥， PO ∴⊥平面ABCD .CD ⊂Q 平面ABCD ，PO CD ∴⊥.H Q ，G 分别为OB ，PB 的中点，GH PO ∴∥. GH CD ∴⊥.…………………7分又GH AC H Q ⋂=，CD \^平面GAC .…………………8分（Ⅱ）2D GAC G ADC G ADC P ABC P ABC G ABC V V V V V V ------==1:122ADC ABC S ADS BC===△△.…………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()21exx a x a f x -++'=()()1e x x x a --=，…………………2分 由()0f x '=得1x =或x a =.当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增. …………………3分当1a <时，函数()f x 在(),a -∞，()1,+∞内单调递增，在(),1a 内单调递减.…………4分 当1a >时，函数()f x 在(),1-∞，(),a +∞内单调递增，在()1,a 内单调递减. …………5分（Ⅱ）证明：要证[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-，即证[)0,x ∈+∞，()min 1f x ≥-. ①由（Ⅰ）可知，当1a >，[)0,x ∈+∞时，()()(){}min min 0,f x f f a =.(0)1f =-，()1eaa f a --=. 设()1e a a g a --=，1a >，则()0e aag a '=>， ()g a ∴在()1,+∞单调递增，故()()211e g a g >=->-，即()1f a >-.∴()min =1f x -.…………………8分②当1a =时，函数()f x 在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-.…………………9分③当3e 1a -≤<时，由（1）可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0,1f x f f =. 又()01f =-Q ，()()3e 3311e ea f ---=≥=-， ()min 1f x ∴=-.综上，当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.…………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221,,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =． 所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ,由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. …………………………6分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． ……………………………………7分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． ………………………………8分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． …………………………………………12分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………3分（Ⅱ）4sin ρθ=………………………7分233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭……………………10分。