九年级数学上册 22.2.4 一元二次方程的根与系数关系教案 新人教版
一元二次方程根与系数的关系
2、总结规律
四、巩固提升
1、巩固练习：完成教材P42练习题。
2、拓展提升：1、已知x1，x2是方程 的两实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，写出方程两根的和与积：并求 的值.
五、自主生成
目标达成根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：
1、
2、激励评价
（1）本节课的收获：先由学生总结，教师补充：关于本节课的知识还有不明白的地方吗？
布置作业：必做教材P437、11题。
葛沽一中整体建构教学模式导学案初中年级学科设计人：电子文件名
第周第课课题：22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1．探寻并会运用一元二次方程的根与系数的关系解决有关问题.
教学过程
一、导学明标
1、导入新课：问题1：从因式分解法可知，方程 的两个根为x1和x2，将方程化为 的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
2、明确目标：用知识树展示及文字描述
二、合作探究
自学指导、引导探究：阅读教材P40-41内容，完成探究活动，并回答下列问题：
1、上述问题反应方程两个和、积与系数有怎样关系？
2、你对一般的一元二次方程的根与系数的关系是怎样理解的？可以举例说明。
三、点拨归纳：
1、精讲点拨
例1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：
22.2.4根与系数关系
教学过程设计分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. ○4两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x 2+21x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.7x 2-12x+5=0 D.2x 2+15x-8=0 ○5.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） A.4x 2-3=0 B.-3x 2+5x-4=0 C.0.5x 2-4x-3=0 D.2x 2+53x-6=0○6.若关于x 的一元二次方程2x 2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，○6中还需考虑m 的值还得受根的判别式的限制. 三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x 1 ，x 2是方程3x 2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：○12111x x +； ○2221212x x x x + ○32221x x +； ○4()221x x -；○52112x x x x + 四、小结归纳本节课应掌握：1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：○1不解方程，判断两个数数否是某一个一元二次方程的两根； ○2已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○3由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○4判断两个根的符号； ○5不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习. 补充作业：已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两个根是βα、， 求αββα+的值. 学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系. 板 书 设 计课题二次项系数是1的方程根与系数的关系二次项系数不是1的方程根与系数的关系练习 归纳教 学 反 思。
人教版九年级数学上册教案-22.2 二次函数与一元二次方程4带教学反思
22.2 二次函数与一元二次方程（2）教学目标：1．知识与能力：复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解.2．方法与过程：让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解.3．情感、态度与价值观：提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想.教学重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点. 教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.教学方法：学生学法教学过程：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解.(精确到0.1)(2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解.二、探索问题已知抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8和直线y 2＝mx ＋1相交于点P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式； (2)当x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点P(3，4m)在直线y 2＝mx ＋1上，所以有4m ＝3m ＋1，解得m ＝1 所以y 1＝x ＋1，P(3，4). 因为点P(3，4)在抛物线y 1＝2x 2－8x ＋k ＋8上，所以有 4＝18－24＋k ＋8 解得 k ＝2 所以y 1＝2x 2－8x ＋10(2)依题意，得⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝2x 2－8x ＋10 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝4 ，⎩⎨⎧x 2＝1.5y2＝2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).五、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解?六、作业：~。
22.2.4一元二次方程根与系数的关系
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
归纳小结：
通过本节课的学习你学到了那些知识？ 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根的和等于一次项系数与二次 项系数的比的相反数，两根的积等于 常数项于二次项系数的比。
作业：
课本P43
习题22.2 第7题。
k 1 2 k 3 2 ∴( ) 4 1 2 2
, k 1x2= x 3
2
解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得 即-8k+4≥0 4(k 1) 2 4k 2 0
22.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1、复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求 根公式。
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b b 4ac X= 2a
2
(a≠0,b2-4ac≥0)
(2)求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 x2-5x+6=0 ①(x-2)(x-3)=0 x2-3x-28=0 ②(x+4)(x-7)=0
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
解：(1)∵x1 ，x2 是方程 x2－6x＋k＝0 的两个根， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝k. ∵ x2x2－x1－x2＝115， 1 2 ∴k2－6＝115 ， 解得 k1＝11，k2＝－11.
当 k1＝11 时， Δ＝36－4k＝36－44＜0， ∴k1＝11 不合题意． 当 k2＝－11 时， Δ＝36－4k＝36＋44＞0， ∴k2＝－11 符合题意． ∴k 的值为－11.
b c － a a 和系数 a， c 的关系是 x1＋x2＝________， 1·2＝________. b， x x
4．仿照课本 P41 例 4，根据一元二次方程的根与系数的 关系，求下列方程两根的和与积： (1)3x2＋2x―3＝0；
2 解：x1＋x2＝－ ，x1x2＝－1. 3
(2)x2＋8x＝20.
探究点二 一元二次方程根与系数的关系的应用 例 2 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝ 0 的两个实数根，且 x2x2 －x1－x2＝115. 1 2 (1)求 k 的值； (2)求 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
分析： 根据根与系数的关系和已知的 x2x2 －x1－x2＝115， 1 2 列出关于 k 方程，解方程可求 k 的值，根据根与系数的关系 也可求出 x2＋x2 ＋8 的值． 1 2
x1＋x2＝2， 解：(1)由题意，得 x1＋2x2＝3－ 2， x ＝1＋ 2， 1 解得 x2＝1－ 2. ∴a＝x1·2＝(1＋ 2)(1－ 2)＝－1. x (2)方法 1：由题意，得 x2－2x1－1＝0， 1 ∴x3－3x2＋2x1＋x2 1 1 ＝x3－2x2－x1－x2＋3x1＋x2 1 1 1 ＝－x2＋2x1＋1＋x1＋x2－1＝2－1＝1. 1
根与系数关系教案
22.2.4 根与系数的关系（课案：教师用）一、教学目标:1.知识与技能:掌握一元二次方程的根与系数之间的关系以及根的判别式的综合运用。
2.过程与方法:经历由公式法推导一元二次方程根与系数的过程，理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用此关系解题。
3.情感、态度与价值观：在由公式法推导一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展观察、分析、发现问题的能力。
二、学情分析：三、教学重点：根与系数的关系的应用难点：根与系数的关系和根的判别式的综合应用突破难点的关键：鼓励学生动手操作，主动探索和讨论交流。
突破方法：通过活动一中的复习引入得出一元二次方程的根与系数的关系，通过例1运用根与系数的关系解题突出本课的重点。
通过例2运用根据系数的关系求待定系数的值，突破本课的难点，通过跟踪训练加强根与系数的应用的理解。
四、教学方法：采用“探究──发现——应用”的教学过程，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
学习方法：合作交流性学习，探究性学习，概括性学习等方法 五、教师的准备：制作活动一、活动二、活动三中问题的幻灯片学生的准备：复习一元二次方程的求根公式，及一元二次方程的解法。
六、教学过程【课前预习】课本P40~P41【课内探究】复习引入：方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式aacb b x 242-±-=。
问题：解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的和与积，填入下表（2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论.分析：这是一道探究一元二次方程根与系数关系的问题，探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一。
首先要根据题意求出已知方程的解，再根据得出的规律，【解】（1）3， 0， 29-；32， 0， 32， 0； 2， 1， 3， 2； b a -， ca. （2）已知：1x 和2x 是方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根，那么，12b x x a +=-， 12cx x a⋅=. 【点评】探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题一般分为三类：1、条件探究型题；2、结论探究型题；3、探究存在型题。
_22.2.4(修改)一元二次方程根与系数的关系课件
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
2
b 求证： x1 x2 a
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
解：设方程的另一个根为x1, 19 16 则x1+1= 3 , ∴ x1= 3 ,
又x1 1=
●
m 3
,
∴ m= 3x1 = 16
x1+x2= - 2 , x1 · 2= 3 x
2 5 2 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
由根与系数的关系，得 解：
题4. 2 点p(m,n)既在反比例函数y ( x 0) x
图象上, 又在一次函数y
2 解:由已知得, n m
的
x 2
即
2
的图象上,
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
k 1 2 k 3 ∴( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 3 , 2x1x2=
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
九年级上册数学：22.2.4《一元二次方程根与系数关系》课件(新人教版)
达标检测题： 1、已知X1、X2是方程X2－2X=1的两个根， . -1 则X1+X2=________ X 2 1 X2=_______ 2 2、设X1、X2是方程X －4X+3=0的两个根， 则( X1+1)(X2+1)=8 _____ 2 3、以4和-7为根的一元一次方程是_____ _____ X +3X-28=0 4、已知两个数的和为3，积是-10，则这两个数 5和 -2 ___ 是___ ___
又X12+ X2 2 = 4
即(X1+ X2)2 - 2 X1X2=4 K2- 2（k+2）=4
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
K2-2k-8=0
解得：k=4 或k=-2
提 高 练 1、已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。 习
解.设方程的另一个根是，则 3+=2 解之得=－1。 ∵3=c ∴3×（－1）=c ∴c=－3 故：方程的另一个根是－1，c=－3。
提 高 2 2 、方程 2 X -mX+m-1=0有一个正根，一个负根， 练 求m的取值范围。 习
一正根，一负根
△＞0
两个正根
△≥0
两个负根
△≥0
X1X2＜0
X1X2＞0 X1+X2＞0
X1X2＞0 X1+X2＜0
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
一元二次方程根与系数的关 系
口答练习：
下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴、X2－3X+1=0 ⑶、2 X +3X=0
2
⑵ 、3X2－2X=2 ⑷ 、3X =1
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教 学 难 点 对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意 图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系， 教师出示问题， 创设问题情
引 出 课 题 学 生 境，激发学
早在 16 世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关 初 步 了 解 本 课 生好奇心，
系，你能发现吗？
用 加强教学 反思，帮助 学生养成 系统整理 知识的学 习习惯，加 深认识，深 化提高，形 成学生自 己的知识 体系.
A.4x2-3=0
B.-3x2+5x-4=0
C.0.5x2-4x-3=0
D.2x2+ 3 5 x- 6 =0
○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时
方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m
号、合并得到 知道二次项 一般形式的一 系数为 1 的 元二次方程， 一元二次方 教 师 适 时 点 程的根与系
于两根之积.
拨，分析总结 数关系，为
2.跟踪练习
得到结论. 后面继续研
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
学生独自完成 究做铺垫
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 巩固上诉知识 让学生通
时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关 系，确定方程各项系数的符号，○6 中还需考虑 m 的 值还得受根的判别式的限制.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的
关系求下列各式的值：○1
1 x1
1 x2
；○2 x2 x12
x1 x2 2
○3
x12 x22 ；
○4
x1 x2
2 ；○5 x2 x1
x1 x2
四、小结归纳
本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关 系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不 为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型：
两根的和、积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，并交流
生的应用意
b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二 先观察，尝试选 识和能力
次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项 用 合 适 方 法 解
系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常 题，之后交流， 通过学生亲
数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下 比较解法
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类 教 师 出 示 探 究 过探究问
似的关系吗？
问题，学生通过 题，体会从
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有 特殊例子入手， 特殊到一
所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，再 通 过 一 般 形 般的认知
检验上面的结论是否பைடு நூலகம்立，若不成立，新的结论是 式推导证明，教 过程，体会
解韦达定
一个根是 ,k 的值是 .
理及其应
○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为 相反数，则 p= ; 若两个根互为倒数，则 q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的 值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个 字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母 系数.二次项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数 或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一 次项系数和常数项. ○4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 ○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
什么？
师 引 导 学 生 根 数学结论
4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 据 求 根 公 式 进 的确定性
不一定是 1，它的两根的和、积与系数之间有第 3 题 行探究、交流， 加深对韦达
中的关系吗？
尝试发现结论 定理的理
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算 学生独立解决， 解，培养学
22.2.4 一元二次方程的根与系数关系
课 教学时间
题
课新 型授
教学媒体
多媒体
知
识
技
教 能
过 学
程
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎
方 目
法
证明.
情 标
感
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积
态 极性，激励学生勇于探索的精神.
度
教 学 重 点 一元二次方程的根与系数关系
自解题的感
推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，学生尝试归纳， 受与经验，
任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之 师生总结
感受数学的
间都有这一关系.
严谨性和数
5.跟踪练习
学 生 独 立 完 学结论的确
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
成，教师巡回 定性.
○1 3x2+7x+2=0 ； 3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0 ； 检查，师生集 进一步加
3x2-7x-2=0；
体订正
强对所学
○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
学生归纳，总 知识的理
6.拓展练习
结阐述，体会， 解和掌握
○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3， 反 思 . 并 做 出 通过归纳，
则 b=
,c= .
笔记.
进一步理
○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另
五、作业设 计 必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两 个根是、 ，求 的值.
教 学 反思
所 要 研 究 的 问 求知欲
二、探究新知
题
通过思考问
1.课本思考
学生通过去括 题，让学生
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实数 根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等