浮点数的运算方法
浮点数的表示方法
浮点数的表示方法
一、浮点数表示
一个数的浮点形式（设基数是2）可写成：
N = M × 2E
其中:M代表尾数,E代表阶码。
计算机中浮点数只用尾数和阶码表示，其形式如下：
浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码的位数决定。
为了最大限度提高精度，尾数采用规格化形式，既1/2≤M<1。
采用二进制表示时，若尾数大于零，则规格化数应该是01XXXX的形式；若尾数小于零，则规格化数应为10XXXX的形式。
二、机器零
当浮点数的尾数为0或阶码为最小值时，计算机通常把该数当作零，因此程序中进行浮点运算时，判断某数是否为零，通常可以用小于某个极小值来代替。
三、实例
【例1】设X=0.0110×23 ,用补码、浮点数形式表示阶码为X j=011，尾数为00110，这时由于X 尾数不符合01XXXX的形式，因此不是规格化数，必须先进行规格化处理。
方法：若尾数小于1/2，把尾数左移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码减1即可，否则继续左移和调整阶码；若尾数大于1，则把尾数右移一位（不包括符号位），观察结果是否满足规格化条件，满足则在把阶码加1即可，否则继续右移和调整阶码。
上例中，00110左移一位为01100，符合规则化标准，此时阶码减1，为010即得到浮点表示形式。
这个数具体在计算机中如何表示要看计算机中规定的阶码和尾数的位数，若阶码和尾数均为16位，则上面的数X在计算机内部表示就是00000000000000100110000000000000 ，不足
均用零填充。
浮点数计算方式
浮点数计算方式浮点数是计算机中用来表示实数的一种数据类型。
它由一个小数部分和一个指数部分组成，可以表示非常大或非常小的数值范围。
浮点数的计算方式是基于浮点数的表示规范和运算规则进行的。
本文将介绍浮点数的计算方式，并探讨其中的一些注意事项。
一、浮点数的表示方式在计算机中，浮点数通常采用IEEE 754标准进行表示。
根据该标准，浮点数由三部分组成：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位用于表示浮点数的正负性，指数位用于表示浮点数的指数部分，尾数位用于表示浮点数的小数部分。
通过这种方式，计算机可以表示非常大或非常小的实数。
二、浮点数的四则运算浮点数的四则运算（加法、减法、乘法和除法）是基于IEEE 754标准进行的。
在进行浮点数的四则运算时，需要注意以下几点：1. 精度丢失：由于浮点数的表示方式是有限的，所以在进行浮点数的运算时，可能会出现精度丢失的情况。
这是因为某些实数无法准确表示为有限位数的浮点数。
因此，在进行浮点数计算时，应注意精度丢失可能会产生的误差。
2. 舍入误差：由于浮点数的表示方式是基于二进制的，而实数是十进制的，所以在进行浮点数计算时，可能会出现舍入误差。
这是因为某些十进制数无法准确表示为二进制数。
因此，在进行浮点数计算时，应注意舍入误差可能会对计算结果产生影响。
3. 无穷大和NaN：浮点数的运算结果可能会出现无穷大（Infinity）或不确定值（NaN）。
无穷大表示计算结果超出了浮点数的表示范围，而NaN表示计算结果无法确定。
在进行浮点数计算时，应注意处理这些特殊情况，以避免出现错误结果。
三、浮点数计算中的问题和解决方法在进行浮点数计算时，可能会遇到一些问题，如计算结果不准确、计算速度较慢等。
为了解决这些问题，可以采取以下方法：1. 增加计算精度：可以增加浮点数的位数，从而提高计算精度。
例如，可以使用双精度浮点数（64位）替代单精度浮点数（32位），以提高计算精度。
2. 使用精确计算：可以使用精确计算方法，如使用有理数进行计算，从而避免浮点数计算中的精度丢失和舍入误差。
浮点数的运算方法
阶码位 尾数数码位 总位数
1 1 1
8 11 15
23 52 64
32 64 80
浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 阶码的位数决定数的表示范围 尾数的位数决定数的有效精度 的位数决定数的有效精度。 尾数的位数决定数的有效精度。
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2
负数 正数
[X]补 = X 2n+1 + X 0 ≤ X < 2n -2n ≤ X ≤ 0 0
机器数
浮点数格式：关于移码的知识 浮点数格式：关于移码的知识 移码
8 位的阶码能表示 位的阶码能表示-128~+127，当阶码为 ，当阶码为-128时，其补码表 时 示为 00000000，该浮点数的绝对值 -128,人们规定此浮点数的 ，该浮点数的绝对值<2 人们规定此浮点数的 值为零， 机器零。 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 ，并特称此值为机器零 位数值位组成的移码, 其定义为； 一位符号位和 n 位数值位组成的移码 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 0 -128 机器数 表示范围： 00000000 ~ 11111111 表示范围： 8 位移码表示的机器数为数的真值 向右平移了 在数轴上向右平移 在数轴上向右平移了 128 个位置
（2）尾数相除：MX/MY = 0.1011/(-0.1101) ）尾数相除： = -0.1101 (3) (4) (5) 已是规格化数 不必舍入 也不溢出 已是规格化数, 不必舍入, 最众的商 [MX]移 = 1 0110 1101， ， 即 2-2 *（-0.1101） （ ）
浮点数
浮点数1,浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。
具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。
2、浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd 的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1)。
如果m的第一位是非0整数,m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位(s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。
e是指数。
3、结构由此可以看出，在计算机中表示一个浮点数，其结构如下：尾数部分（定点小数）阶码部分（定点整数）4、浮点加法减法运算设有两个浮点数x和y,它们分别为x=2Ex·Mxy=2Ey·My 其中Ex和Ey分别为数x和y的阶码,Mx和My为数x和y的尾数。
两浮点数进行加法和减法的运算规则是x ±y=(Mx2Ex－Ey±My)2Ey,Ex<=Ey 完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步： 1. 0 操作数的检查； 2. 比较阶码大小并完成对阶； 3. 尾数进行加或减运算； 4. 结果规格化并进行舍入处理。
⑴0 操作数检查浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。
如果判知两个操作数x或y中有一个数为0,即可得知运算结果而没有必要再进行后续的一系列操作以节省运算时间。
0操作数检查步骤则用来完成这一功能。
⑵比较阶码大小并完成对阶两浮点数进行加减，首先要看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。
若二数阶码相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。
反之，若二数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使二数阶码相同，这个过程叫作对阶。
浮点数的运算方法
浮点数的运算方法浮点数是计算机中用于表示实数的一种数据类型，由于实数是无限的，而计算机只能存储有限的信息，所以必然存在精度误差。
浮点数的运算涉及到加法、减法、乘法和除法等基本运算，以及开方、幂函数等高级运算。
1.加法运算：浮点数相加时，先将较小的浮点数调整为与较大的浮点数相同的指数，然后进行尾数的相加，最后对结果进行规格化处理，即进行舍入操作，得到最终的结果。
2.减法运算：浮点数相减的原理与加法相同，只是在相减之前，需要将两个浮点数的指数调整为相等，然后进行尾数的相减操作，最后同样需要对结果进行规格化处理。
3.乘法运算：浮点数相乘时，将两个浮点数的指数相加，然后将尾数相乘得到结果的尾数部分，最后对结果进行规格化处理。
4.除法运算：浮点数除法的原理与乘法类似，先将两个浮点数的指数相减，然后将尾数相除得到结果的尾数部分，最后同样需要进行规格化处理。
5.开方运算：浮点数的开方运算是通过求解多项式的根来实现的，常用的方法有牛顿法、二分法和二次近似法等。
这些方法都是通过迭代的方式，逐步逼近平方根的值，直到达到所需的精度。
6.幂函数运算：浮点数的幂函数运算可以通过连乘或连乘的方式实现。
幂函数运算的精度取决于底数和指数的精度以及所需的结果精度。
在浮点数的运算过程中，需要注意以下几个常见问题：1.精度丢失：浮点数的表示是有限的，不可避免地存在精度误差，特别是在进行连续的浮点数运算时，会导致误差累积，可能导致结果的不准确。
2.舍入误差：浮点数的结果需要进行舍入操作以保持一定的精度。
舍入规则有多种，如四舍五入、向上取整、向下取整等，选择合适的舍入规则可以减小误差。
3.溢出和下溢：浮点数的范围是有限的，当计算结果超出范围时，会发生溢出；当结果接近零但无法表示时，会发生下溢。
这两种情况都需要进行特殊处理。
4. 特殊数值：浮点数中有几个特殊的数值，如无穷大（Infinity）、非数值（NaN）和零（0）。
这些特殊值的运算需要按照特定的规则进行处理，以免引起错误。
浮点数的加减乘除运算步骤
1、浮点加减法的运算步骤设两个浮点数X=Mx※2Ex Y=My※2Ey实现X±Y要用如下5步完成：①对阶操作：小阶向大阶看齐②进行尾数加减运算③规格化处理：尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数，对于双符号位的补码尾数来说，就必须是001×××…×× 或110×××…××的形式, 若不符合上述形式要进行左规或右规处理。
④舍入操作：在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入，以确保精度。
⑤判结果的正确性：即阶码是否溢出若阶码下溢（移码表示是00…0），要置结果为机器0；若阶码上溢（超过了阶码表示的最大值）置溢出标志。
例题：假定X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此处的数均为二进制）?? 计算X+Y；解：[X]浮：0 1010 1100110[Y]浮：0 0110 1101101符号位阶码尾数第一步：求阶差：│ΔE│=|1010-0110|=0100第二步：对阶：Y的阶码小，Y的尾数右移4位[Y]浮变为0 1010 0000110 1101暂时保存第三步：尾数相加，采用双符号位的补码运算00 1100110+00 000011000 1101100第四步：规格化：满足规格化要求第五步：舍入处理，采用0舍1入法处理故最终运算结果的浮点数格式为：0 1010 1101101，即X+Y=+0. 1101101*2102、浮点乘除法的运算步骤①阶码运算：阶码求和（乘法）或阶码求差（除法）即[Ex+Ey]移= [Ex]移+ [Ey]补[Ex－Ey]移= [Ex]移+ [－Ey]补②浮点数的尾数处理：浮点数中尾数乘除法运算结果要进行舍入处理例题：X=0 .0110011*211，Y=0.1101101*2-10求X※Y解：[X]浮：0 1 010 *******[Y]浮：0 0 110 1101101第一步：阶码相加※※2+000。
浮点数运算方法
（续） ： 即 [x-y]补=11,100;10.110001， 尾数符号位出现“10”， 需右规。 ③规格化 右规后得 [x-y]补=11,101;11.0110001 ④舍入处理 采用0舍1入法，其尾数右规时末位丢1，则 [x-y]补=11,101;11.011001 ⑤溢出判断 经舍入处理后阶符为“11”，不溢出，故最终 结果： x-y= 2-011×(-0.100111)
舍入操作实例
[x]补舍入前 1.01110000 1.01111000 1.01110101 1.01111100 舍入后 1.0111（不舍不入） 1.0111 （舍） 1.0111 （舍） 1.1000 （入） 对应的真值 -0.1001 -0.1001 -0.1001 -0.1000 对应的真值
2.
3.
浮点乘除法运算
设两浮点数
x Sx r j y y Sy r
jx j y
jx
则
x y (Sx S y ) r
1. 2.
x Sx jx j y r y Sy
阶码运算 尾数运算
1. 阶码运算
若阶码用补码运算，乘积的阶码为[jx]补+[jy]补，商的 阶码为[jx]补-[jy]补。 若阶码用移码运算，则 [jx]移=2n+ jx -2n≤jx<2n (n为整数的位数) [jy]移=2n+ jy -2n≤jy<2n (n为整数的位数)
这一步操作是将两个加数的小数点对齐。
数向右移，每右移一位，阶码加“1”， 直到两数阶码相同为止。
尾数右移时可能会发生数码丢失，影响
精度。
例：两浮点数
x = 0.1101×201， y = -(0.1010)×211，求x+y。
浮点数的运算方法
EX
X = Ms Es Em-1 ...E1 E0 M-1 M-2 ...M-n IEEE 标准：阶码用移码，基为2
按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点 数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以 2为底 的指数的幂。既然该指数的底一定为 2 ，可以不必在浮点数 的格式中明确表示出来， 只需给出阶码的~+127，当阶码为-128时，其补码表 示为 00000000，该浮点数的绝对值<2-128,人们规定此浮点数的 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 一位符号位和 n 位数值位组成的移码, 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 表示范围： 00000000 ~ 11111111 8 位移码表示的机器数为数的真值 在数轴上向右平移了 128 个位置
注意：计算结果的阶码符号位在此变了一次反， 结果为 +6 的 移码
（2）尾数相乘：MX*MY = 0.1011*(-0.1101) = -0.10001111 (3) (4) (5) 已是规格化数, 不必舍入, 也不溢出 最众乘积 [MX]移 = 1 1110 10001111， 即 26 * （-0.10001111）
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2 浮点数: X = M s Es E m-1 ...E1 E 0 M-1 M-2 ...M-n IEEE 标准：尾数用原码
按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要 用原码表示，即符号位 Ms: 0 表示正，1 表示负，且非 0 值尾数 数值的最高位 M-1 必为 1, 才能满足浮点数规格化表示的要求；
（2）尾数求和：00 0011011011 + 11 01010100 11 1000101011
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浮点数的运算方法
浮点数是计算机中一种表示实数的数据类型，其特点是可以表示带有
小数部分的数字。
在进行浮点数的运算时，需要考虑到浮点数的精度问题、舍入误差以及运算顺序等因素。
浮点数的表示方法为：±m×be，其中m为尾数（即小数部分的数值），b为基数或底数，e为指数（表示位移的量）。
1.浮点数加法运算：
-对两个浮点数的指数进行比较，将较小指数的浮点数的尾数左移指
数之差的位数，使两个浮点数的小数点对齐。
-对齐后的尾数相加，得到一个和。
-对和进行规格化，即将结果的尾数进行处理，使其满足指定的位数
限制。
-对规格化后的结果进行舍入运算，得到最终结果。
2.浮点数减法运算：
-先将减数的指数调整与被减数的指数相等。
-对齐后的尾数相减，得到一个差。
-对差进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
3.浮点数乘法运算：
-将两个浮点数的指数相加，得到加法的和，并相应地调整两个浮点
数的尾数。
-尾数相乘，得到一个乘积。
-对乘积进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
4.浮点数除法运算：
-将被除数的指数减去除数的指数，得到差，并相应地调整两个浮点
数的尾数。
-尾数相除，得到一个商。
-对商进行规格化和舍入运算，得到最终结果。
在进行浮点数运算时需要注意一些问题：
-浮点数的精度问题：由于浮点数的尾数有限位数，所以会存在精度
丢失的问题。
这就意味着进行浮点数运算时，可能会出现舍入误差，导致
结果有微小的偏差。
-运算顺序：浮点数的运算顺序可能会影响最终结果。
在连续进行多
次浮点数运算时，可能会得到不同的结果。
这是因为浮点数的运算不满足
交换律和结合律。
因此，在编程中需要谨慎选择运算顺序，以避免结果的
不确定性。
-溢出和下溢问题：由于浮点数的范围限制，可能会出现溢出（结果
超出浮点数的表示范围）或下溢（结果过小，无法表示）的情况。
针对这
些情况，需要进行特殊处理，如返回特定的错误码或进行科学计数法表示。
在实际编程中，可以使用编程语言提供的浮点数运算库或内置函数来
进行浮点数运算，以确保运算结果的准确性和可靠性。
此外，程序员还需
注意使用合适的数据类型、精度以及适当控制运算顺序，以最大程度地避
免浮点数运算带来的问题。