2013年浙江省高考模拟冲刺(提优)测试一数学试题(文)含解析
浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）22．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）．．分析：由图解出两个边界直线对应的方程，由二元一次不等式与区域的对应关系从选项中选出正确选项．故区域对应的不等式组为．3．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3B．6C．8D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：由题意三视图复原的几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，上底边长为1，下底边长为2，高为2的梯形，棱柱的高为2，并且是直棱柱，所以棱柱的体积为：=6．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．4．（5分）已知a，b为实数，且ab≠0，则下列命题错误的是（）A．若a＞0，b＞0，则B．若，则a≥0，b≥0C．若a≠b，则D．若，则a≠b考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由基本不等式可得A正确；选项B，有意义可得ab不可能异号，结合可得ab不会同为负值；选项C，可举反例说明错误；选项D平方可得（a﹣b）2＞0，显然a≠b解答：解：选项A，由基本不等式可得：若a＞0，b＞0，则，故A正确；选项B，由有意义可得ab不可能异号，结合可得ab不会同为负值，故可得a≥0，b≥0，故正确；选项C，需满足a，b为正数才成立，比如举a=﹣1，b=2，显然满足a≠b，但后面的式子无意义，故错误；选项D，由平方可得（a﹣b）2＞0，显然可得a≠b，故正确．故选C点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及基本不等式的知识，属基础题．5．（5分）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A．B．C．D．1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解：由图知，T=2×=π，，因为函数的图象经过（﹣）（﹣∵，所以=∴，所以6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（），…，可得数列的前几项依次为﹣，…8．（5分）偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（ax﹣1）＜f（2+x2）恒成立，则实数a的取．D恒成立，得9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率．．D平行的直线为与另一条渐近线联立解得M．|OM|=∴，解得．，则22x，同理可得g（x）=22x，在x∈（2013，+∞）是增函数，∴若a＞b＞2013，则，C选项正确，D错误．二、填空题11．（4分）已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x，则f（﹣4）=﹣2．12．（4分）（2009•嘉定区二模）设i是虚数单位，则=1+i．解：∵==1+i∴=1+i13．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a的值为﹣1．依此类推，a的值呈周期性变化：1，0，﹣1，1，0，﹣1，…第2012圈1 2013﹣1否故最终的输出结果为：﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题．14．（4分）各项都是正数的等比数列{a n}中，首项a1=2，前3项和为14，则a4+a5+a6值为112．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的公比，且各项都是正数，由首项a1=2，前3项和为14列式求出公比，则a4+a5+a6值可求．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=2，前3项和为14，得：，所以q2+q﹣6=0，解得：q=﹣3或q=2．因为等比数列的各项都是正数，所以q=2．则a4+a5+a6=．故答案为112．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，解答时注意公比是否有可能等于1，此题是基础题．15．（4分）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和被3整数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的取法共有=10种，而2个数字和能被3整除的取法有4种，由此求得取出的小球标注的数字之和被3整数的概率．解答：解：所有的取法共有=10种，而2个数字和能被3整除的取法有（12）、（15）、（24）、（45）共4种，故取出的小球标注的数字之和被3整数的概率是=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，其内切圆切AC与D点，O为圆心．若||=2||=2，则=﹣3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由两个向量垂直的性质可得=0，=0，再根据=（）•，结合条件运算求得结果．为圆心，||=2|可得| ||=1再由圆的切线性质可得显然＜，＞||=||+||=1+2=3∴（=17．（4分）直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为．角形得到M的横坐标，两数相等求出k的值，则直线l的方程可求．解：由，得联立所以．的横坐标为所以．解得：的方程为故答案为三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（14分）（2012•杭州一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC ﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．．可求sin cos sinB=2sin cos可求2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分，故．（2）由题意可得，0＜B＜π∴sin cos=sinB=2sin cos=由正弦定理可得，∴，19．（14分）已知数列{a n}满足：a1=20，a2=7，a n+2﹣a n=﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a3，a4，并求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）记数列{a n}前2n项和为S2n，当S2n取最大值时，求n的值．∴a n=（II）s2n=a1+a2+…+a2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）==﹣2n2+29n结合二次函数的性质可知，当n=7时最大点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用及二次函数的性质的应用，体现了分类讨论思想的应用20．（14分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=1，AB=2，CD=3，F为AB中点，且EF∥AD．将梯形沿EF折起，使得平面ADEF⊥平面BCEF．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）求CE与平面BCD所成角的正弦值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由题意可得DE⊥平面BCEF，进而可得BC⊥DE．结合BC⊥BE，由线面垂直的判定可得答案；（Ⅱ）过E点作取EH⊥BD于H，连结HC．可证∠ECH是CE与平面BCD所成的角．在三角形中有已知数据可得其正弦值．解答：证明：（Ⅰ）∵DE⊥EF，平面ADEF⊥平面BCEF，∴DE⊥平面BCEF，∴BC⊥DE．由F为AB中点，可得BC⊥BE，又∵DE∩BE=E，∴BC⊥平面BDE．（Ⅱ）过E点作取EH⊥BD于H，连结HC．∵BC⊥平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD，∴EH⊥平面BCD，∴∠ECH是CE与平面BCD所成的角．由，得，∴．∴CE与平面BCD所成角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，属中档题．21．（15分）已知函数f（x）=e x（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣2，﹣1]上，恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．上，）由af+2ax+a+1）=e[a（x+1）+1]．∵a，∴f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，要使恒成立，则a．22．（15分）如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若，求k的值；（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．，∴，则，=的取值范围为联立又Q、A、B三点在抛物线上，所以．同理由QA⊥QB得：，即．∴，即，解得，又﹣。
2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷(文科)
2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z=2+，其中i是虚数单位，则复平面上，复数z所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】试题分析：把复数z中的分式部分利用复数的除法运算进行化简，得到复数z的实部和虚部，则答案可求．由=．复数z的实部为2，虚部为-1，所以复数z对应的点在第四象限．故选D．2.平面向量与的夹角为60°，=(2，0)，||=1，则|+2|=()A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】试题分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=，故选B3.设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：根据直线ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可．当a=4时，直线4x+2y-3=0与2x+y-4=0平行，∴满足充分性；当：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行⇒a=4，∴满足必要性．故选C4.设函数f(x)=2|x|，则下列结论正确的是()A.f(-1)＜f(2)＜f(-)B.f(-)＜f(-1)＜f(2)C.f(2)＜f(-)＜f(-1)D.f(-1)＜f(-)＜f(2)【答案】D【解析】试题分析：由函数的解析式，可判断出函数f(x)=2|x|为偶函数且在[0，+∞)上为增函数，将三个自变量化到同一单调区间内，进而利用单调性可比较大小．当x≥0时，f(x)=2|x|=2x为增函数又∵f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x)故函数f(x)=2|x|为偶函数故f(-1)=f(1)，f(-)=f()∵2＞＞1故f(2)＞f()＞f(1)即f(-1)＜f(-)＜f(2)故选D5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若-a7＜a1＜a8，则必定有()A.S7＞0，且S8＜0B.S7＜0，且S8＞0C.S7＞0，且S8＞0D.S7＜0，且S8＜0【答案】C【解析】试题分析：由已知-a7＜a1＜a8，可得a7+a1＞0，d＞0，a8＞a7，结合等差数列的求和公式可判断∵-a7＜a1＜a8，∴a7+a1＞0，7d=a8-a1＞0∴d＞0，a8＞a7∴＞0∵S8=4(a1+a8)＞4(a1+a7)＞0故选C6.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是()A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】试题分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．当输入的值为n=5时，n不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=1，k=5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选A．7.设α是第三象限角，且tanα=2，则=()A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查诱导公式及同角的三角函数关系式，由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα=-，化简要求的式子为cosα，从而求得结果．解∵α是第三象限角，且tanα==2，可得sin2α+cos2α=1，可得cosα=-．故==cosα=-，故选B．8.设函数f(x)=|log a x|(0＜a＜1)的定义域为[m，n](m＜n)，值域为[0，1]，若n-m的最小值为，则实数a的值为()A.或B.或C.或D.或【答案】B【解析】试题分析：通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．①若1≤m＜n，则f(x)=-log a x，∵f(x)的值域为[0，1]，∴f(m)=0，f(n)=1，解得m=1，n=，又∵n-m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．②若0＜m＜n＜1，则f(x)=log a x，∵f(x)的值域为[0，1]，∴f(m)=1，f(n)=0，解得m=a，n=1，又∵n-m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．③若0＜m＜1＜n时，不满足题意．9.已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于() A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m-n=2a①，再由m2+n2=4c2②，以及=5可得m=8a，故cos∠PF2F1==，运算求得结果．设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m-n=2a①，且三角形PF1F2为直角三角形，故有m2+n2=4c2②．再由=5可得c=5a．把①和②联立方程组解得m=8a，故cos∠PF2F1====，故选C．10.已知函数∞∞，则函数F(x)=xf(x)-1的零点个数为()A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】试题分析：求函数F(x)=xf(x)-1的零点个数，我们可以转化为求函数y=f(x)与函数y=图象交点的个数，根据函数y=f(x)的解析式，我们在同一坐标系中分别画出两个函数图象，由图象即可求出两个函数的交点个数，即函数F(x)=xf(x)-1的零点个数．∵∞∞，则函数F(x)=xf(x)-1的零点个数等于函数y=f(x)与函数y=图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示：由图可知函数y=f(x)与函数y=图象共有6个交点故函数F(x)=xf(x)-1的零点个数为6个，二、填空题(本大题共7小题，共28.0分)11.在等比数列{a n}中，若a2=1，a5=-8则a8= ．【答案】64【解析】试题分析：利用等比数列的通项公式或性质即可得出．设等比数列{a n}的公比为q，则a2=a1q=1，=8，两式相除得q3=8，∴=8×8=64．或利用=a2a8解得．故答案为64．12.若sinx+cosx=1，则= ．【答案】±1【解析】试题分析：由sinx+cosx=1，可求得sin2x=0，从而可求得cos2x，继而可得答案．∵sinx+cosx=1，∴(sinx+cosx)2=1+sin2x=1，∴sin2x=0，∴cos2x=±1，∴==±1．故答案为：±1．13.若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．【答案】9【解析】试题分析：将x+y=1代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案．∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=(+)(x+y)=4+1++≥5+2=9(当且仅当x=，y=时取等号)．故答案为：9．14.无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推．记该数列为{a n}，若a n-1=7，a n=8，则n= ．【答案】29【解析】试题分析：利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出数8所在的组，求出第28项为7，之后的8项就是8，从而得出n的值．∵一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则当n=7，1+2+3+…+n===28，∴a28=7，a29=a30= (8)若a n-1=7，a n=8，则n=29．故答案为：29．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=，则直线ax-by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为．【答案】2【解析】试题分析：求出圆心到直线的距离，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．圆心(0，0)到直线的距离d==，再由a2+b2=，可得d=．而圆的半径为3，故弦长为2=2=2，故答案为2．16.若实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为．【答案】【解析】试题分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=时，目标函数z=2x+y取得最大值．作出不等式组表示的平面区域，得到直线y-x=0的下方且在直线x+y-7=0的上方，即如图的阴影部分，设z=F(x，y)=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A(，)时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F(，)=2×+=故答案为：17.设Q为圆C：x2+y2+6x+8y+21=0上任意一点，抛物线y2=8x的准线为l．若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PQ|的最小值为．【答案】-2【解析】试题分析：先根据圆的方程求得圆心坐标和半径，抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，根据根据抛物线的定义可知，P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，根据图象可知当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．圆C：x2+y2+6x+8y+21=0即(x+3)2+(y+4)2=4，表示以C(-3，-4)为圆心，半径等于2的圆．抛物线y2=8x的准线为l：x=-2，焦点为F(2，0)，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：|FC|-r=-2=-2，故答案为-2．三、解答题(本大题共5小题，共72.0分)18.设f(x)=6cos2x-sin2x(x∈R)．(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f(A)=3，B=，求的值．【答案】解：(Ⅰ)f (x)===2cos(2x+)+3，当时，f (x)取得最大值为2+3；最小正周期T==π．(Ⅱ)由f (A)=3-2得2cos(2A+)+3=3-2，∴cos(2A+)=-1，又由0＜A＜，得＜2A+＜π+，故2A+=π，解得A=．又B=，∴C==．由余弦定理得=2cos C=0．【解析】(Ⅰ)利用倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式、三角函数的单调性和周期性即可得出；(Ⅱ)利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=(1，λsin A)，=(sin A，1+cos A)，且∥(Ⅰ)若λ=2，求角A的大小；(Ⅱ)若sin B+sin C=sin A，求实数λ的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)由∥，得2sin2A-1-cos A=0，化为2cos2A+cos A-1=0，解得cos A=或cos A=-1(舍去)，∴A=．(Ⅱ)∵sin B+sin C=sin A，由正弦定理得b+c=a，由∥，得λsin2A-1-cos A=0，化为λcos2A+cos A+1-λ=0，解得cos A=或cos A=-1(舍去)．又cos A===，综上，λ需要满足，解得λ≥．【解析】(Ⅰ)利用向量共线的充要条件即可得出；(Ⅱ)利用正弦、余弦定理及基本不等式即可得出．20.设在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=1，b1=2，b n＞0(n∈N*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=，数列{c n}的前n项和为S n，若恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q＞0)．由题意，得，解得d=q=3．∴a n=3n-2，．(Ⅱ)∵c n==3b n-2=3×2×3n-1-2=2×3n-2．∴S n=c1+c2+…+c n=2×(31+32+…+3n)-2n==3n+1-3-2n．∴==3n+1．∵恒成立，∴3n+1＜2×3n+t恒成立，即t＞(-3n+1)max，n∈N*．由于函数y=-3x+1在(0，+∞)上单调递减，∴-3n+1≤-31+1=-2，故t＞-2．【解析】(Ⅰ)利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出；(Ⅱ)利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．21.设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx，(其中a＞0)(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极小值；(Ⅱ)当a=4时，给出直线l1：5x+2y=m=0和l2：3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f(x)的图象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=2x-3+=，当时，f′(x)＞0；当时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0．所以当x=1时，f(x)取极小值-2．…(7分)(Ⅱ)当a=4时，f′(x)=2x-6+，∵x＞0，∴f′(x)=2x+-6≥，故l1或l2中，不存函数图象的切线．由2x+-6=3得x=，或x=4，当x=时，可得n=，当x=4时，可得n=4ln4-20．(15分)【解析】(Ⅰ)把a=1代入，求导数，由导数的正负可得单调区间，进而可得极值；(Ⅱ)把a=4代入可得导数≥，故l1或l2中，不存函数图象的切线，令导数=3，可得n值．22.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)和⊙M：x2+y2+8x-12=0，过抛物线C上一点P(x0，y0)(y0≥0)作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)当P点坐标为(2，2)时，求直线AB的方程；(Ⅲ)设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=，求点P(x0，y0)的坐标．【答案】解：(Ⅰ)由⊙M：x2+y2-8x+12=0，配方得(x-4)2+y2=4，∴圆心M(4，0)，半径r=2．由题意知：，解得p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x．(Ⅱ)设P(2，2)，∵P，A，B，M四点共圆，∴此圆的方程为：(x-4)(x-2)+(y-2)(y-0)=0，①又⊙M：x2-8x+y2+12=0，②又由①-②得直线AB的方程：x-y-2=0．(Ⅲ)设过P的直线l方程为y-y0=k(x-x0)，由于⊙M与直线l相切，得到，整理得到：，∴，即，∴x0=2或10，经检验得点P坐标为．【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义即可得出；(Ⅱ)利用两圆的根轴即可得出；(Ⅲ)利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．高中数学试卷第11页，共11页。
浙江省嘉兴市2013届高三一模试题：数学(文)(扫描版)--含答案
∴90=∠ADB ，即DB AD ⊥；…3分∵⊥FD 底面ABCD 于D ，⊂AD 平面ABCD ，∴DF AD ⊥，…5分∴⊥AD 平面DBF .又∵⊂BF 平面DBF ，∴可得BF AD ⊥. …7分 （Ⅱ）如图，过点M 作BE MN ⊥于N ，连接AN .又由EC AB BC AB ⊥⊥,，⊥∴AB 平面BCE . …9分MN AB ⊥∴，可得⊥MN 平面ABEF .故MAN ∠即为直线AM 与平面ABEF 所成角. …11分又由EMN ∆∽EBC ∆，可得33=MN ； ACFEDBM（第20题）N且2222221)2()22(++=++=CM BC AB AM 11=，…13分3333sin ==∠∴AM MN MAN . 故直线AM 与平面ABEF 所成角的正弦值为3333. …15分21．解：（Ⅰ）()()313112213'2'=⇒=-=⇒-=m m f mx x f …2分 ∴3131)(3+-=x x x f ，∴()12==f n …4分（Ⅱ）∵312131)()()(23+++-=+=ax x a x x g x f x F ∴a x a x x F ++-=')1()(2，令0)(='x F 得1=x 或a x = …6分当10<<a 时，)(),(,x F x F x '的变化如下表：∵)(x F 在]2,0[有最大值1，∴1)(≤a F 即04323≥+-a a …9分 记=)(a g 4323+-a a ，则)2(3)63)(2-=-='a a a a a g ∴0)(<'a g ∴0)1()(=>g a g ∴10<<a…11分当1=a 时，0)1(12)(22≥-=+-='x x x x F ，∴1)2()(=≤f x F 成立 …12分 当21<<a 时)(),(,x F x F x '的变化如下表：∵)(x F 在]2,0[有最大值1，∴1)(≤a F 即35≤a ∴351≤<a …14分当2≥a 时，由)(x F 的单调性知，)2()1()(max F F x F >=故不成立 综上：实数a 的取值范围是350≤<a …15分22．（Ⅰ）∵MN 的中垂线恰好过焦点F ，∴2==MF NF ,…3分 所以21=+N x ，所以1=N x ，即N 到y 轴的距离为1.…5分（Ⅱ）)0,1(F，…6分。
2013届高考数学(浙江专用)冲刺必备：第一部分 专题一 第三讲 专题专项训练含答案
限时:50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分,共50分)1．（2012·河南三市联考）若椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为2,则m的值为（)A．9 B．9或16C．7 D．9或7解析：选D 依题意得，当m〉8时，有错误!＝1，解得m＝9；当0<m<8时，有错误!＝1，解得m＝7。
因此，m＝7或m＝9。
2．（2012·济南模拟)设函数f（x)＝错误!，若错误!f(－1)＝2,则a＝（) A．－3 B．±3C．－1 D．±1解析：选D 依题意得，f（a）＝2－f(－1）＝2－错误!＝1.当a≥0时，有错误!＝1,则a＝1；当a〈0时，有错误!＝1,a＝－1。
综上所述，a＝±1. 3．若loga 错误!〈1,则a的取值范围是（)A.错误!B。
错误!C.错误!∪(1，＋∞) D。
错误!解析：选C 将原式变为loga 错误!<1＝loga a．当a〉1时，有a〉错误!，所以a〉1；当0<a〈1时，有a〈错误!，所以0<a〈错误!.综上所述，a ∈错误!∪（1，＋∞）．4．若方程x2k－4－错误!＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为（）A．（错误!k,0)、（－错误!k,0）B．（0，错误!k）、(0，－错误!k）C．（错误!，0）、(－错误!，0）D．由k的取值确定解析:选D 若焦点在x轴上,则错误!即k>4，且c＝错误!。
若焦点在y轴上，则｛k－4〈0k＋4〈0即k<－4，且c ＝－2k。
5．(2012·四川高考）函数y＝ax－错误!(a>0，且a≠1）的图像可能是( )解析:选D 当a>1时，y＝ax－错误!为增函数,且在y轴上的截距为0〈1－1a<1，排除A，B.当0〈a<1时，y＝ax－错误!为减函数,且在y轴上的截距为1－错误!〈0，故选D。
6．已知k∈Z，AB＝（k,1)，AC＝(2，4)，若｜AB｜≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为（)A。
2013年浙江高考数学模拟卷文10
秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷十数学（文科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k k n k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式 24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径 棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 棱台的体积公式11221()3V h S S S S =，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．复数z=11-i 在复平面上所对应的点处在第（）象限 A ． Ⅰ B ． Ⅱ C ． Ⅲ D ． Ⅳ2．设λ∈R ，M={a |a =（-1+3λ，-2+4λ）} ，N={b |b =（1-λ，3+λ）} ，则M ∩N=（）A ． φB ．{2}C ． {（2，2）}D ． {（－2，2），（2，2）}3．用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的较少者，设f （x ）=min{x+2，14－x ，x 2}（x ≥0），则f （x ）的最大值是（）A ．6B ．7C ．8D ．94．把菱形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．若0 ＜x ＜2π，则2x 与4sinx 的大小关系是（） A ．2x ＞4sinx B ．2x ＜4sinx C ．2x=4sinx D ．与x 的值有关6．设P （a ，b ）是单位圆x 2+y 2=1内一动点，Q 是直线ax+by=1上一动点，则|OQ |的取值范围是（）A ． （0，+∞）B ． （0，1）C ．（1，+∞）D ．[)∞+，17．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角D 1—AC —B ，则异面直线AB 与CD 1所成的角为（）A ．30°B ． 45°C ．60°D ．90°8．已知直线x=2，x=4与函数y=log 3x 图象的交点分别为A 、B ，与函数y=log 5x 图象的交点分别为C 、D ，则直线AB 与CD （）A ．平行B ． 相交且交点在第二象限C ．相交且交点在第三象限D ．相交且交点在原点9．张老师给出一个函数y=f (x )，请四名学生各指出其中一个性质:学生甲:对于x ∈R ，都有f (x )= f (π－x );学生乙:函数y= f (x )的图象关于原点对称;学生丙:函数y= f (x )满足f (x +y)= f (x )·f (y)－f (2π－x )·f (2π－y);学生丁:函数y= f (x )有最大值ｍ和最小值ｎ，且ｍ≠ｎ.张老师说:你们四名同学中恰有3人说的是正确的，则张老师给出的函数可能是（）A ．f （x ）=cosxB ．f （x ）=sinxC ．f （x ）=tanxD ．f （x ）=sin3x 10．P 是双曲线92x －162y =1右支上一动点，F 1，F 2是焦点，从右焦点F 2向∠F 1PF 2的平分线引垂线，交∠F 1PF 2的平分线于Q 点，某学生判断Q 点轨迹是圆；另一学生从左焦点F 1向∠F 1PF 2的平分线引垂线，交∠F 1PF 2的平分线于M 点，则M 点轨迹方程是（）A ． x=3B ．y 2=6xC ．x 2+y 2=16D ．x 2+y 2=9第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答11．设f （x ）为R 上的奇函数，且满足f （x+1007）=－f （x ），则f （2014n ）=____（n ∈N ）12．已知f （x ）=x 2+（m+1）x+m+n+1，若f （0）＞0，f （1）＜0，则mn n m 22+的取值范围是______13．设n a 是以-1为首项，以7为公差的等差数列的第n 项，n b 是该等差数列的第2n 项，定义1n n n b b b +∆=-（{}n b ∆叫做数列{}n b 的“一阶差分”），则n b ∆与1n a +之间的关系是1n n b x a y +∆=⋅+（x 、y 是常数），且x y +等于____14．向量OA 与OB 满足|OA |=1，|OB |=2，OP =（1－t ）OA ，OQ =t OB ，01t ≤≤．|PQ |在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，OA 与OB 夹角的取值范围是（）15．椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）与曲线22ax －22b y =λ有四个交点，则λ的取值范围是____ 16．正三棱锥的侧棱长与底面边长之比为λ，则侧面与底面所成的二面角的平面角的余弦值是 ，其中λ的取值范围是17．已知函数2()()f x ax bx c x R =++∈)0(>a 的零点为)(,2121x x x x <，函数)(x f 的最小值为0y ，且),[210x x y ∈，则函数))((x f f y =的零点个数是______三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分) 设给定平面区域M ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+111y x m y x ，其边界为M ′，曲线C ：（x －2）2+（y －2）2=1，（1）若card （M ′∩C ）=3，求m ；（2）若抛掷两枚骰子出现的点数落入平面区域M 的概率为61，求m 的取值范围19． (本小题满分14分) 已知函数5()(1).x f x x x +=≠-+设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b{}满足*12|().n n n n ba Sb b b n N ==+++∈（Ⅰ）求证11)2nn n b -≤； （Ⅱ）证明1n S < 20． (本小题满分14分) 三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为a 的正三角形，侧面11A ABB 是菱形且垂直于底面，∠AB A 1＝60°，M 是11B A 的中点．（1）求证：BM ⊥AC ；（2）求直线AC 1与平面11A ABB 所成角正切值；（3）求二面角111A C B B --的正切值；21．(本小题满分15分) 已知一次函数()g x ax b =+对应的图象是函数2()ln ln f x x x =-在点(1,0)处的切线，（1）求,a b 的值；（2）令F （x ）=x （f ′（x ）+g ′（x ）），求F(x)在(0,)+∞内极值；（3）若G （x ）=x （f ′（x ）+λg ′（x ））在（0，e 2）内恒为负，求λ的取值范围22．(本小题满分15分) 已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．（1）求p 的值；（2）抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A ．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A ．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100 cm3C92cm3D84cm3．．．．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A ．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C 2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b ∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A ．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A ．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．析：解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜c osα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A ．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个答：三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A ．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F 2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C 2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A ．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a ）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2 联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x +y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专解三角形．题：分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a ，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD 的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD 的交点为O ，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC 的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos ∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x0（0，1）1（1，a）a（a，2a）2af′（x）+0﹣0+f（x）0单调递增极大值3a﹣1单调递减极小值e2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X0（0，1）1（1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0+f（x）0单调递减极小值3a﹣1单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y 1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x 2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M ===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M ﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t 不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析
2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm36．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=08．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=_________．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=_________．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1]D．（﹣2，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．解答：解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．解答：解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．解答：解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．即可．解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0．解答：解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．点评：本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B ．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．解答：解：由导数的图象可得，函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，图象是下凹型的；在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：计算题；新定义．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．考点：函数的值．专题：计算题．分析：利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．解答：解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．点评：本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=故答案为：点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．解答：解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．解答：解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，z max=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，z max=F（2，3）=2k+3或z max=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时z max=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．考点：函数恒成立问题．专题：转化思想；函数的性质及应用．分析：由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=±1时，其值都为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，从而解出它们的值，即可求出积解答：解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0；当x=﹣1时，将﹣1代入不等式有0≤2﹣a+b≤0，所以b﹣a=﹣2联立以上二式得：a=1，b=﹣1所以ab=﹣1故答案为﹣1点评：本题考查函数恒成立的最值问题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，将问题灵活转化是解题的关键17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解答：解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d ＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解答：解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．点评：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且PC==．由△COG∽△PCA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值单调递增4a3e2（3﹣a）比较f（0）和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=令4k﹣3=t，t不为0，则k=当t＞0时，|MN|=2＞2当t＜0时，|MN|=2=2≥综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用。
浙江省丽水市2013届高三高考第一次模拟测试数学文试题--含答案
浙江省丽水市2013届高三高考第一次模拟测试数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合}1{>=x x A ，}21{<<-=x x B ，则B A =(A) }1{->x x } (B) }11{<<-x x (C) }21{<<-x x (D) }21{<<x x （2）已知复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z(A) 12i -- (B) 12i -+ (C) 12i - (D) 12i +（3）某程序框图如右图所示，该程序运行后输出S 的值是(A) 10(B) 12(C) 100 (D) 102（4）已知实数x ,y 满足不等式组2020350x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，，， 则y x +2的最大值是(A) 0(B) 3 (C) 4 (D) 5（5）“22ab >”是 “22log log a b >”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件（6）设n m ,为两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论成立的是 (A) n m //且α//m ，则α//n （B ） n m ⊥且α⊥m ，则α//n （C ）n m ⊥且α//m ，则α⊥n（D ） n m //且α⊥m ，则α⊥n（7）在某次大型活动期间，随机分派甲、乙、丙、丁四名志愿者分别担任A 、B 、C 、D 四项不同的工作，则甲担任D 项工作且乙不担任A 项工作的概率是(A)61 (B) 14 (C) 127 (D) 23（8）在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，若C a A c A b cos cos cos 3+=，则A tan 的值是(A) 22-(B) 2-(C) 22(D)2（9）若双曲线的右焦点F 到一条渐近线的距离是点F 到右顶点的距离与点F 到中心的距离的等差中项，则离心率=e (A)45(B)34(C)2 (D) 3（10）如图，已知圆M ：4)3()3(22=-+-y x ，四边形 ABCD为圆M 的内接正方形，E ，F 分别为边AB ， AD 的中点， 当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，⋅的取值范 围是(A) ]26,26[- (B) ]6,6[- (C) ]23,23[- (D) ]4,4[-第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） （11）在正项等比数列{}n a 中，若984=⋅a a ， 则=6a .（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（13）若非零向量b a ,满足||2||||a b a b a =-=+，则向量a 与b a +的夹角是 .（14）若函数220()0x ax x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，，是奇函数，则=a .（15）为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重(kg ) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在)5.64,5.56[内的学生人数是 .（16）若圆M ：)0()3(222>=+-r r y x 上有且只有三个点到直线033=--y x 的距离为2，则=r .（17）已知正数b a ,满足12=+b a ，则ab b a ++224的最大值为 .三、解答题（本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（18）（本题满分14分）设向量a =)1sin (cos --，x x ωω，b =)1sin 2(-，x ω，其中0>ω，R x ∈,已知函数=)(x f a ·b 的最小正周期为π4. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若0sin x 是关于t 的方程0122=--t t 的根，且0(,)22x ππ∈-，求0()f x 的值.（第15题） 体重(kg)（19）（本题满分14分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前10项和1055S =，且248a a a ，，成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)2n nn n b a =-+，求{}n b 的前n 项和n T .（20）（本题满分14分）已知直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆是等腰三角形，°120BAC ∠=，,4211==AA AB AN CN 3=, 点Q P M ，，分别是111AA A B ，， BC 的中点.（Ⅰ）求证：直线//PQ 平面BMN ；（Ⅱ）求直线AB 与平面BMC 所成角的正弦值.（21）（本题满分15分）若函数c bx ax x x f +++=23)(在R 上有三个零点，且同时满足：①0)1(=f ；②)(x f 在0=x 处取得极大值； ③)(x f 在区间)1,0(上是减函数. （Ⅰ）当2-=a 时，求()y f x =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若x x g -=1)(，且关于x 的不等式)()(x g x f ≥的解集为),1[+∞，求实数a 的取值范围.（22）（本题满分15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆1)1(22=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,，若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围.丽水市2012年高考第一次模拟测试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1-5: DABCB 6-10： DACAB 二、填空题（每小题4分，共28分）（11）3 （12） π3108+ （13）3π（14） 1 （15） 40 （16） 32+ （17） 1617三、解答题（本大题共5小题，共72分.）（18）解(Ⅰ) )1,sin 2()1,sin (cos )(-⋅--=⋅=x x x b a x f ωωω x x x x x ωωωωω2cos 2sin 1sin 2cos sin 22+=+-= )42sin(2πω+=x因为 π4=T 所以 πωπ422= 41=ω ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分 (Ⅱ) 方程0122=--t t 的两根为 1,2121=-=t t因为 0(,)22x ππ∈- 所以 0sin (1,1)x ∈-，所以01sin 2x =-即06x π=-又由已知001()sin()24f x x π=+所以 226sin 2)412sin(2)6(==+-=-ππππf ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分（19）解(Ⅰ) 由已知得：⎩⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=+=⨯+01192)7)(()3(5529101012111211d a d d a d a d a d a d a 因为 0≠d 所以 1a d =所以 119211=+a a ，所以 1,11==d a所以 n n a n =-+=)1(1 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧++-=)(2)(2为偶数为奇数n n n n b nnn(ⅰ) 当n 为奇数时252221)21(221)222()43()21(22221122--=--⋅+--=++++-++-++-=+-++++-=+n n n n n T n n n nn(ⅱ) 当n 为偶数时22221)21(22)222()1()43()21(22221122-+=--⋅+=++++++-+++-++-=+-++++-=+nn n n n T n n n nn所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=++)(222)(252211为偶数为奇数n n n n T n n n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分（20）解(Ⅰ) 取AB 中点G ，连结QG PG ,分别交BN BM ,于点F E ,，则F E ,分别为BN BM ,的中点，连结EF ，则有MN EF //，而AN GF AM GE 21//,21// 所以31,31===NC AN FQ GF EP GE ， 所以31==FQ GF EP GE 所以 PQ EF //，又 ⊂EF 平面BMN ，⊄PQ 平面BMN 所以 //PQ 平面BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分 (Ⅱ) 过A 作AD BC ⊥于D ，连接MD ,作AO ⊥MD 于O ，连接BO ，⊥MA 平面ABC ， ∴ MA ⊥BC 又AD BC ⊥∴ADM BC 平面⊥∴AO BC ⊥ MD AO ⊥∴BCM AO 平面⊥∴ABO ∠就是AB 与平面ABC 所成在角.在ADC R ∆t 中， o 60=∠DAC ，∴AD =2. 在ADM R t ∆中， 2=MD 5，554=AO , 55sin ==∠AB AO ABO .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14分 （21）解：由0)1(=f 得：01=+++c b a2()32f x x a xb '=++ 因为 (0)0f '= 所以 0=b因为(1)0f '≤，所以 023≤+a ，所以 23-≤a (Ⅰ) 当2-=a 时，2()34f x x x '=-，所以 (2)4f '= 因为 01,0,2=+++=-=c b a b a ，所以 1=c 所以 12)(23+-=x x x f ，点))2(,2(f 为)1,2(，所以切线方程为： 74-=x y ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分 (Ⅱ) x a ax x x g x f +---+=-11)()(23223--++=a x ax x 0211)1()1(=--++=-a a g f)]2()1()[1()1)(1()2)(1(22223++++-=+-+++-=--++a x a x x x x a x x x a x ax x要使)()(x g x f ≥的解集为),1[∞+，必须0)2()1(2≥++++a x a x 恒成立所以，0)2(4)1(2<+-+=∆a a 或 0112a =+-≥⎧⎨⎩解得：11a -<<+又32a ≤-∴312a -<≤- ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分（22）解(Ⅰ) 设抛物线方程为py x 22=， 由已知得：p 222= 所以 2=p所以抛物线的标准方程为 y x 42= ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线与圆相切， 所以t t k k t 2111222+=⇒=++把直线方程代入抛物线方程并整理得： 0442=--t kx x由016)2(16161622>++=+=∆t t t t k 得 0>t 或3-<t设),(,),(2211y x N y x M ， 则k x x 421=+t k t x x k t kx t kx y y 242)()()(2212121+=++=+++=+由))24(,4(),()(22121λλλλt k k y y x x OM OC +=++=+= 得 ))24(,4(2λλt k k C + 因为点C 在抛物线y x 42=上， 所以，λλ)24(416222t k k += 42114212122++=++=+=⇒t tt t k t λ 因为0>t 或3-<t ，所以 442>+t 或 242-<+t 所以λ的取值范围为 )45,1()1,21( ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15分。
浙江省考试院2013届高三数学上学期测试试题 文(含解析)新人教A版
2013年浙江省考试院高考数学测试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•浙江模拟）已知集合A{﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣x﹣2≥0}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，2 } B．{﹣2，﹣1，2 } C．{﹣2，1，2 } D．{﹣2，﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意解出集合B，再根据交集的定义进行求解；解答：解：集合A{﹣2，﹣1，1，2}，B={x|x2﹣x﹣2≥0}，∴B={x|x≥2或x≤﹣1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选B点评：此题主要考查一元二次不等式的解法以及交集的定义，是一道基础题；2．（5分）（2013•浙江模拟）已知a∈R，则“a＞0”是“a+≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据均值不等式的性质，可以得只要a＞0，就有“a+≥2，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵a＞0，可得a+=2（当a=1时等号成立，）若a+＞2＞0，∴a＞0，∴“a＞0”⇔“a+≥2”，∴“a＞0”是“a+≥2”的充分必要条件，故选C；点评：此题主要考查均值不等式的应用及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．（5分）（2013•资阳二模）已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；解答：解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，其中熟练掌握空间线面关系的几何特征是解答的关键．4．（5分）（2013•浙江模拟）若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则（）A．函数f[g（x）]是奇函数B．函数g[f（x）]是奇函数C．函数f（x）•g（x）是奇函数D．函数f（x）+g（x）是奇函数考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：令h（x）=f（x）．g（x），由已知可知f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），然后检验h（﹣x）与h（x）的关系即可判断解答：解：令h（x）=f（x）．g（x）∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）∴h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）．g（x）=﹣h（x）∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数故选C点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题5．（5分）（2013•浙江模拟）在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示．去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（）A．86，3 B．86，C．85，3 D．85，考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：由茎叶图写出8个数据，去掉79和92，然后利用平均数和方差公式计算．解答：解：由茎叶图看出，8个数据的最大值是92，最小值是79，去掉后还剩的数据为：84，84，85，87，88，88．平均数，方差为=3．故选A．点评：本题考查了茎叶图，极差、方差和标准差，解答的关键是熟记公式，是基础题．6．（5分）（2013•浙江模拟）函数y=sin （2x+）的图象可由函数y=cos 2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到B．向右平移个单位长度而得到C．向左平移个单位长度而得到D．向右平移个单位长度而得到考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x 的路线，即可得到选项．解答：解：函数y=cos2x=sin（2x+），所以只需把函数y=sin（2x+）的图象，向右平移个单位长度，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin （2x+），即可得到函数y=sin （2x+）的图象．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．7．（5分）（2013•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若||=a，||=b，则=（）A．a2﹣b2B．b2﹣a2C．a2+b2D．a b考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论．解答：解：∵AD⊥DC，∴=0，∴==﹣=﹣∵AB⊥BC，∴=0，∴﹣=﹣∵||=a，||=b，∴﹣=b2﹣a2∴=b2﹣a2，故选B．点评：本题考查向量在几何中的应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式，属于中档题．8．（5分）（2013•浙江模拟）设函数f（x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞2考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0可得 x=．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，可得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，可得＞x2＞0．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．9．（5分）（2013•浙江模拟）已知双曲线x2﹣=1，点A（﹣1，0），在双曲线上任取两点P，Q满足AP⊥AQ，则直线PQ恒过点（）A．（3，0）B．（1，0）C．（﹣3，0）D．（4，0）考点：双曲线的简单性质；恒过定点的直线．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可设PQ的方程为x=my+b，与双曲线方程x2﹣=1联立，结合A（﹣1，0），AP⊥AQ可求得b的值，从而可知直线PQ过的定点，于是可得答案．解答：解：设PQ的方程为x=my+b，则由得：（m2﹣）y2+2bmy+b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1，y2是该方程的两根，∴y1+y2=，y1•y2=．又A（﹣1，0），AP⊥AQ，∴•=﹣1，∴y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，又x1=my1+b，x2=my2+m，∴（1+m2）y1y2+（b+1）m（y1+y2）+（b+1）2=0①，将y1+y2=，y1•y2=代入①得：（1+m2）﹣+（b+1）2=0，整理得：（b2﹣1）（1+m2）﹣2bm2（b+1）+（m2﹣）（b+1）2=0，∴b2﹣2b﹣3=0，∴b=3或b=﹣1．当b=﹣1时，PQ过（﹣1，0），即A点，与题意不符，故舍去．当b=3时，PQ过定点（3，0）．故选A．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的相交问题，突出考查韦达定理的应用，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．10．（5分）（2013•浙江模拟）如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：函数y=f（x）的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g（x）的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f（x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g （x）的解析式再进行判断；解答：解：如图：函数y=f（x）的图象为折线ABC，函数f（x）为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B（0，1），C（1，﹣1），这直线BC的方程为：l BC：y=﹣2x+1，x∈[0，1]，其中﹣1≤f（x）≤1；若x＜0，可得lAB：y=2x+1，∴f（x）=，我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤，解得0≤f（x）≤1，此时g（x）=f[f（x）]=﹣2（﹣2x+1）=4x﹣2；若＜x≤1，解得﹣1≤f（x）＜0，此时g（x）=f[f（x）]=2（﹣2x+1）=﹣4x+2；∴x∈[0，1]时，g（x）=；故选A；点评：此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法，是一道好题；二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江模拟）已知i是虚数单位，a∈R ．若复数的实部为1，则a= 9 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，利用实部为1，求出a即可．解答：解：复数==，复数的实部为1，，所以a=9．故答案为：9．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．（4分）（2013•浙江模拟）某四棱柱的三视图（单位：cm）如图所示，则该四棱柱的体积为12 cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是一个直四棱柱，高为2；底面是一个直角梯形，上、下底长分别为2，4，高为2．据此可计算出答案．解答：解：由三视图可知：原几何体是一个直四棱柱，高为2；底面是一个直角梯形，上、下底长分别为2，4，高为2．∴V直四棱柱==12．故答案为12．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．13．（4分）（2013•浙江模拟）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．考点：程序框图．分析：根据已知流程图可得程序的功能是计算S=+…++的值，利用裂项相消法易得答案解答：解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+…++=1﹣=故答案为：点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．14．（4分）（2013•浙江模拟）从3男2女这5位舞蹈选手中，随机（等可能）抽出2人参加舞蹈比赛，恰有一名女选手的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：由题意由组合数公式分别写出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，由古典概型公式可得答案．解答：解：从3男2女这5位舞蹈选手中，随机抽出2人参加舞蹈比赛共有=10种方法，而恰有一名女选手即从3名男选手和2名女选手中各选1名，故有=6种方法，故所求概率为：P==故答案为：点评：本题为古典概型的求解，写对总的基本事件数和符合条件的基本事件数是解决问题的关键，属基础题．15．（4分）（2013•浙江模拟）当实数x，y满足不等式组（m为常数）时，2x+y的最大值为4，则m= ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出目标函数的最值，即可求解比值．解答：解：若使得不等式有公共区域，则m＞0作出不等式组表示的平面区域，如图所示令z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大结合图象可知，当z=2x+y经过点B时z最大由题意可知A（m，）此时z=m=4∴m=故答案为：点评：本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．16．（4分）（2013•浙江模拟）设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．解答：解：∵F1，F2是椭圆C+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图：∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②①+②得：x+4+3﹣x+5=4a，∴a=3，x=2．在Rt△F1F2A中，=+，∴4c2=4+16=20，∴c=．∴椭圆的离心率为e=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．17．（4分）（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，则a的取值范围是[，+∞）．考点：基本不等式；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f （x）=，a∈R．若对于任意的x∈N*，f （x）≥4恒成立，我们可将其转化为a≥恒成立，进而将其转化为a≥g（x）max=，解不等式可得a的取值范围．解答：解：∵函数f （x）=，且f （x）≥4，对于任意的x∈N*恒成立即a≥==令g（x）=，则g（x）≤6﹣4，当且仅当x=2﹣1时g（x）取最大值又∵x∈N*，∴当x=2时，g（x）取最大值故a≥即a的取值范围是[，+∞）故答案为：[，+∞）点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中将其转化为函数的最值，是转化思想在解答此类问题时的亮点，应引起大家的注意．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2013•浙江模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosA=bcosC+ccosB．（14分）18．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB﹣sinC的取值范围．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理与三角函数间的关系式可求得cosA=，从而可求得A的大小；（Ⅱ）由C=﹣B，再结合辅助角公式即可求得cosB﹣sinC的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，2acosA=bcosC+ccosB，∴由正弦定理===2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，即sin2A=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA，∴2sinAcosA﹣sinA=0，∴sinA（2cosA﹣1）=0，而sinA≠0，∴cosA=，又A∈（0，π）∴A=…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=﹣B，故cosB﹣sinC=cosB﹣sin（﹣B）=cosB﹣[sin cosB﹣cos sinB]=cosB﹣cosB+（﹣）sinB=﹣cosB﹣sinB=﹣sin（B+），∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴﹣1≤﹣sin（B+）＜﹣．∴cosB﹣sinC的取值范围是[﹣1，﹣]…14分点评：本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．19．（14分）（2013•浙江模拟）已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比．（Ⅰ）求a及b n；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n的值．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由等比数列{an}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*，先分别求出a1，a2，a3，由，能求出a；由公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，列方程组先求出首项和公差，由此能求出b n．（Ⅱ）由，知a n==2（n﹣1），故数列{a n}的前n项和T n=n（n﹣1）．由此能求出使T n＞b n的最小正整数n的值．解答：解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n项和S n=2n﹣a，n∈N*，∴a1=S1=2﹣a，a2=（22﹣a）﹣（2﹣a）=2，a3=（23﹣a）﹣（22﹣a）=4，∵，∴22=（2﹣a）•4，解得a=1，∴．∵公差不为零的等差数列{b n}满足：b1=a1+2，且b2+5，b4+5，b8+5成等比数列，∴，∴（8+3d）2=（8+d）（8+7d），解得d=0（舍），或d=8，∴b n=8n﹣5，n∈N*．（Ⅱ）∵，∴a n==2（n﹣1），∴数列{a n}的前n项和T n=2（1﹣1）+2（2﹣1）=2（3﹣1）+2（4﹣1）+…+2（n﹣1）=2[0+1+2+3+…+（n﹣1）]=2×=n（n﹣1）．∵b n=8n﹣5，T n＞b n，∴n（n﹣1）＞8n﹣5，∵n∈N*，∴n≥9，∴使T n＞b n的最小正整数n的值是9．点评：本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．20．（15分）（2013•浙江模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，A B⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．考点：直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：（I）根据E，F分别是PC，PD的中点，结合三角形中位线定理及平行公理，可得AB∥EF，进而由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC，故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF 所成角的大小，作MH⊥AF，垂足为H，连接EH，可证得∠MEH是ME与平面ABEF所成角，解Rt△EHM可得答案．解答：证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点∴EF∥CD又∵AB∥CD，∴AB∥EF，又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；∴EF∥平面PAB；解：（Ⅱ）取线段PA中点M，连接EM，则EM∥AC故AC与平面ABEF所成角等于ME与平面ABEF所成角的大小作MH⊥AF，垂足为H，连接EH∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB又∵AB⊥AD，PA∩AD=A∴AB⊥平面PAD∴EF⊥平面PAD∵MH⊂平面PAD∴EF⊥MH∴MH⊥平面ABEF∴∠MEH是ME与平面ABEF所成角在Rt△EHM中，EM=AC=，MH=∴sin∠MEH==∴AC与平面ABEF所成角的正弦为点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力，其中（1）要熟练掌握线面平行的判定定理；（2）的关键是找出线面夹角的平面角．21．（15分）（2013•浙江模拟）已知函数f （x）=x3﹣3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f （x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（I）根据函数解析式，求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，分别分析导函数的符号，进而可得不同情况下f （x）的单调区间；（Ⅱ）根据（I）中的结论，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三种情况分析不等式﹣1≤f （x）≤1对x∈[0，]是否恒成立，综合讨论结果，可得答案．解答：解：（I）∵f （x）=x3﹣3ax+1，∴f′（x）=3x2﹣3a，当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞故f （x）的单调增区间为（﹣∞，）和（，+∞），f （x）的单调减区间为（，）（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，]递增，且f（0）=1，此时无解；当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，）上递减，在（，]递增，∴f （x）在[0，]的最小值为f（）=1﹣2a∴，即解得：a=1当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，]上递减，且f（0）=1，∴解得：a≤此时无解综上a=1点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力22．（14分）（2013•浙江模拟）如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；（Ⅱ）求|AB|的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上，可求|FA|+|FB|的值；（Ⅱ）利用|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”，可得结论．解答：解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1∴|FA|+|FB|=x1+x2+2∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上∴x1+x2+=2t，∴|FA|+|FB|=2t+2；（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”∴|AB|的最大值是2t+2．点评：本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
浙江省温州市2013届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版
温州市2013届高三第一次模拟考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）（2013•温州一模）设全U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，则（C U A）∪B（）A．{3，4} B．{3，4，5} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4}考点：并集及其运算；补集及其运算．专题：计算题．分析：根据并集、补集的意义直接求解即得．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，∴C U A={3，4，5}，∴（C U A）∪B={2，3，4，5}，故选C．点评：本题考查集合的基本运算，较容易．2．（5分）（2013•温州一模）已知i是虚数单位，则（）A．1﹣i B．1+i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则即可得出．解答：解：∵==1﹣i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则是解题的关键．3．（5分）（2013•温州一模）把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及诱导公式求得所得图象的解析式．解答：解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin2（x+）=cos2x，故选C．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2013•温州一模）设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意看命题“a＞1且b＞1”与命题“ab＞1”否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵a＞1且b＞1，∴ab＞1，若已知ab＞1，可取a=，b=8，也满足已知，但不满足a＞1且b＞1．∴“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件，故选A．点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．5．（5分）（2013•温州一模）某四面体的三视图都为直角三角形，如图所示，则该四面体的体积是（）A．4B．8C．16 D．24考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的几何体是长方体被截下的一个角，依据三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是长方体被截下的一个角，长方体的三度分别是：4，3，4；所以三棱锥的体积为：=8．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．6．（5分）（2013•温州一模）已知椭圆+=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据椭圆的标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立a的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．解答：解：由题意可得：抛物线y2=8x的焦点（2，0），椭圆的方程为+=1．∵焦点（2，0）在x轴上，∴b2=12，c=2，又∵c2=a2﹣b2=4，∴a2=16，解得：a=4．所以e===．故选B．点评：本题主要考查椭圆的标准方程及性质，在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解．7．（5分）（2013•温州一模）记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的（a，b）共有6×6=36个，用列举法求得故满足条件的（a，b）有9个，由此求得方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率．解答：解：所有的（a，b）共有6×6=36个，方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根，等价于△=a2﹣8b＞0，故满足条件的（a，b）有（3，1）、（4，1）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），共9个，故方程x2﹣ax+2b=0有两个不同实根的概率为=，故选B．点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．8．（5分）（2013•温州一模）在△ABC中，∠A=120°，=﹣1，则||的最小值是（）A．B．2C．D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设，则根据数量积的定义算出=2，即bc=2．由余弦定理得a2=b2+c2+bc，结合基本不等式b2+c2≥2bc可得a2=b2+c2+bc≥3bc=6，可得a的最小值为，即得||的最小值．解答：解：∵∠A=120°，=﹣1，∴=﹣1，解之得=2设，则bc=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos120°=b2+c2+bc∵b2+c2≥2bc∴a2=b2+c2+bc≥3bc=6，可得a的最小值为即||的最小值为故选：C点评：本题给出△ABC两边b、c的夹角，且在已知=﹣1的情况下求边a的最小值，着重考查了向量数量积的公式、余弦定理和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．9．（5分）（2013•温州一模）设函数f（x）=，那么f（2013）（）A．27 B．9C．3D．1考点：函数的值．专题：计算题．分析：由题意可得f（2013）=f（2008）=…=f（3），代入即可求解解答：解：由题意可得f（2013）=f（2008）=…=f（3）=33=27 故选A点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是利用周期性把所求的函数值转化到所求区间上10．（5分）（2013•温州一模）若实数a，b，c满足log a2＜log b2＜log c2，则下列关系中不可能成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b，c的大小关系分类讨论即可得到答案．解解：∵a，b，c满足log a2＜log b2＜log c2，答：∴①若a，b，c均大于1，由log a2＜log b2＜log c2，知必有a＞b＞c＞1，故C有可能成立；②若a，b，c均大于0小于1，依题意，必有0＜c＜b＜a＜1，故C有可能成立；③若log c2＞0，而log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1＜c，故B有可能成立；④0＜log b2＜log c2，而log a2＜0，必有b＞c＞1＞a＞0，故D由可能成立；综上所述，A：a＜b＜c不可能成立．故选A．点评：本题考查对数函数的单调性，着重考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•温州一模）某校举行2013年元旦汇演，九位评委为某班的节目打出的分数（百分制）如图茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为85 ．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某班的节目打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，即可得到所剩数据的中位数．解答：解：由已知的茎叶图9位评委为某班的节目打出的分数为：79，83，84，84，85，86，91，93，94．去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据按照大小顺序排列为83，84，84，85，86，91，93．中位数是85．故答案为：85．点评：本题考查的知识点是茎叶图，中位数．其中根据已知的茎叶图分析出9位评委为某班的节目打出的分数，是解答本题的关键12．（4分）（2013•温州一模）若向量，，那么（）•= 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量线性坐标的运算公式，可得=（﹣1，1），再根据数量积的坐标公式即可得到（）•的值．解答：解：∵，∴=（1，2）﹣（2，1）=（﹣1，1）因此，（）•=﹣1×1+1×2=1故答案为：1点评：本题给出向量、的坐标，求（）•的值．着重考查了平面向量线性运算、平面向量数量积公式等知识，属于基础题．13．（4分）（2013•温州一模）按图所示的程序框图运算，若输入x=20，则输出的k= 3 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：本题是一个循环结构，循环体中执行的是对输入x的值乘2减1，k值增大1，一直到x的值大于100时程序退出，最后输出k的值．解答：解：输入x=20，根据执行的顺序，x的值依次为20，39，77，153，故程序只能执行3次，故k的值由0变化为3，故答案为：3．点评：考查对循环结构的理解以及根据程序运行的顺序求值．属于基础题．14．（4分）（2013•温州一模）已知双曲线=1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1⊥MF2，则点M到x轴的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由 MF1⊥MF2，可知点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上，由此可以推导出点M到x轴的距离．解答：解：已知双曲线=1的焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0）．又∵MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上故由得|y|=，∴点M到x轴的距离为，故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．15．（4分）（2013•温州一模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣A1B﹣D的余弦值为．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：如图所示，不妨设棱长AB=1，则A1（0，0，0），B（0，1，1），D（1，0，1），C1（1，1，0）．则，，．设平面A1BD的法向量为，则，令x=1，则y=1，z=﹣1．∴．设平面A1BC1的法向量为，则，令a=1，则b=﹣1，z=1．∴．∴==．从图上看二面角C1﹣A1B﹣D的平面角是一个锐角，故其余弦值为．点评：本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方法．必须熟练掌握．16．（4分）（2013•温州一模）若变量x，y满足不等式，则x2+y2的最小值为5 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示点（0，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（0，0）到可行域的距离的最小值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域z=x2+y2表示（0，0）到可行域的距离的平方，当原点到点A（2，1）时，距离最小，则y2+x2的最小值是（0，0）到（2，1）的距离的平方：5，则z=x2+y2的最小值是5．故答案为：5．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．点评：17．（4分）（2013•温州一模）方程（x﹣1）•sinπx=1在（﹣1，3）上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4 4 ．根的存在性及根的个数判断；数列的求和．考点：专函数的性质及应用．题：分方程（x﹣1）•sinπx=1即sinπx=．根据函数f（x）=sinπx和g（x）=析：的解析式，可以得到函数的图象关于点（1，0）对称，因此sinπx=．的四个根分别为x1、x2、x3、x4两两关于点（1，0）对称，因此x1+x2+x3+x4=4．解解：方程（x﹣1）•sinπx=1即sinπx=．答：设函数f（x）=sinπx和g（x）=．其图象如图所示．则这两个函数的图象关于点（1，0）对称，∵方程（x﹣1）•sinπx=1在（﹣1，3）上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，∴x1+x2+x3+x4=4，故答案为：4．点本题考查根的存在性及根的个数判断，根据函数的解析式求得函数的对称性是解题评：的关键，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•温州一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且满足2asinB﹣=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当A为锐角时，求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．考点：正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（I）根据正弦定理，化简2asinB﹣=0得2sinAsinB﹣=0，结合sinB＞0算出sinA=，由A∈（0，π）即可得到A=或A=；（II）因为A为锐角，可得A=，从而得到B+C=，将函数y=sinB+sin（C﹣）化简为y=sinB+sin（﹣B），再由两角差的正弦公式和辅助角公式化简整理，得y=2sin（B+），最后根据三角函数的图象与性质，结合角B的取值范围，即可求出函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．解答：解：（Ⅰ）∵2asinB﹣=0∴由正弦定理，得：2sinAsinB﹣=0，∵B是三角形内角，可得sinB＞0…（3分）∴等式的两边约去sinB，得2sinA﹣=0，即sinA=…（5分）因此，A=或A=…（7分）（Ⅱ）∵A为锐角，∴结合（I）得A=结合三角形内角和，得B+C=…（9分）∵y=sinB+sin（C﹣）=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=2sin（B+）…（12分）∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈，可得2sin（B+）∈（1，2]因此，函数y=sinB+sin（C﹣）的值域域为（1，2]…（14分）点评：本题给出三角形中的边角关系，求角A的大小并依此求一个三角函数式的值域，着重考查了用正余弦定理解三角形、三角函数的图象与性质和三角恒等变换等知识，属于中档题．19．（14分）（2013•温州一模）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，=a4+8 （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d＞0，依题意可得（2+d）2=2+3d+8，解得d，而a1=2，可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n=2n，从而得b n=2n+22n，利用分组求和的方法即可求得数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d＞0，∵a1=2，=a4+8∴（2+d）2=2+3d+8，∴d2+d﹣6=0，解得d=2或d=﹣3（舍），…（3分）∴d=2…（5分）代入：a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n …（7分）（Ⅱ）∵b n=a n+=2n+22n…（9分）∴数列{b n}的前n项和：S n=b1+b2+…+b n=（2+22）+（4+24）+…+（2n+22n）=（2+4+…+2n）+（22+24+…+22n））…（11分）=+=n（n+1）+…（14分）点评：本题考查等差数列的通项公式，考查数列求和，着重考查分组求和与公式法求和，属于中档题．20．（14分）（2013•温州一模）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC，（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）若PQ⊥平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（I）过点Q作QD⊥BC于点D，利用面面垂直的性质定理可得QD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理可得QD∥PA，再利用线面平行的判定定理即可证明；（II）由已知可证明△PQB≌△PQC，得到BQ=CQ．根据点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面QBC，于是PQ∥AD，AD⊥QD．得到四边形PADQ是矩形．设AB=AC=2a，则PQ=AD=a，PD=a．又BC⊥PA，BC⊥PQ，可得BC⊥平面PADQ，从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．得到∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．再利用边角关系即可得出．解答：（Ⅰ）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD．∴四边形PADQ是矩形．设PA=AB=AC=2a，则PQ=AD=a，PD=a．又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．在Rt△PQD中，PQ•QD=PD•QH，则QH==，CQ=BQ=a．∴sin∠QCH==．∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为．点评：熟练掌握空间中的线面、面面垂直的判定与性质定理、线面角的定义、矩形的判定与性质定理、三角形全等的判定与性质定理、等积变形是解题的关键．21．（15分）（2013•温州一模）已知函数f（x）=ax2﹣g x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（g为自然对数的底数）（Ⅰ）解关于x的不等式：f（x）＞f′（x）；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）原不等式等价于ax（x﹣2）＞0，分a=0，a＞0，和a＜0讨论可得；（Ⅱ）设g（x）=f′（x），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，求导数可得g′（x），若a≤0时，不合题意，若a＞0时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于a的不等式，解之可得．解答：解：（Ⅰ）求导数可得f′（x）=2ax﹣g x，∴f（x）﹣f′（x）=ax（x﹣2）…（4分）原不等式等价于f（x）﹣f′（x）=ax（x﹣2）＞0，当a=0时，无解；…（5分）当a＞0时，解集为{x|x＜0，或x＞2}；…（6分）当a＜0时，解集为{x|0＜x＜2} …（7分）（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣g x，则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，则g′（x）=2a﹣g x…（9分）若a≤0时，g′（x）＜0恒成立，g（x）单调递减，方程g（x）=0不可能有两个根…（11分）若a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减…（13分）∴g max（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a＞0，解得a ＞…（15分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值，涉及分类讨论的思想，属中档题．22．（15分）（2013•温州一模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．考点：直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．专题：综合题；压轴题；直线与圆．分析：方法一：（I）设直线AB的方程为y=kx+b，与y2=4x联立，利用韦达定理结合x1+x2=2可求得直线AB的方程为y=k（x﹣1）+，而AB中点的坐标为（1，），AB的中垂线经过点P（0，2），可求得AB的斜率，从而可求直线AB的方程；（Ⅱ）依题意，直线AB的方程为k2x﹣ky+2﹣k2=0，利用点到直线间的距离公式可求得点M到直线AB的距离d，联立AB的方程与抛物线方程，结合韦达定理可求得|AB|，于是可得到面积表达式，通过导数法即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程；法二：（Ⅰ）设AB的中点为Q（1，t），可求得k AB =，由（t﹣2）•=﹣1，可求得t 继而可得直线AB的方程为y=x ﹣；（Ⅱ）依题意可得直线AB的方程，继而可求点M到直线AB的距离为d==，从而可得面积表达式，利用基本不等式即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．解答：解：方法一：（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y2=4x得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0 ∴x1+x2==2，…（2分）得：b=﹣k，∴直线AB的方程为y=k（x﹣1）+，∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为（1，）…（4分）∴AB的中垂线方程为y=﹣（x﹣1）+=﹣x+，∵AB的中垂线经过点P（0，2），故=2，得k=…（6分）∴直线AB的方程为y=x﹣，…（7分）（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=﹣x+，∴M点的坐标为（3，0）…（8分）因为直线AB的方程为k2x﹣ky+2﹣k2=0，∴M到直线AB的距离d==…（10分）由得y2﹣ky+2﹣k2=0，y1+y2=，y1y2=，|AB|=|y1﹣y2|=…（12分）∴S△AMB=4（1+），设=t，则0＜t＜1，S=4t（2﹣t2）=﹣4t3+8t，S′=﹣12t2+8，由S′=0，得t=，即k=±时S max=，此时直线AB的方程为3x±y﹣1=0．…（15分）（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）法二：（1）根据题意设AB的中点为Q（1，t），则k AB==…（2分）由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t﹣2，…（4分）由（t﹣2）•=﹣1，得t=，…（6分）∴直线AB的方程为y=x﹣，…（7分）（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣t=（x﹣1），…（8分）AB中垂线方程为y﹣t=﹣（x﹣1），中垂线交x轴于点M（3，0），点M到直线AB的距离为d==，…（10分）由得：4x2﹣8x+（t2﹣2）2=0，∴|AB|=|x1﹣x2|=，x1+x2=2，x1x2=∴S=|AB|•d==≤=，当t2=时，S 有最大值，此时直线AB方程为3x±y﹣1=0…（15分）点评：本题考查：直线的一般式方程，考查：直线的一般式方程与直线的垂直关系，突出考查点到直线的距离公式，属于难题．。
2013年浙江省高考数学试卷(文科)及解析汇报
实用文档2013年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）28．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）．C D9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）．C D10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b= a∨b=二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a= _________ ．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于_________ ．13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于_________ ．14．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________ ．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k= _________ ．15．16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于_________ ．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．2013年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.等，5．（5分）（2013•浙江）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）6．（5分）（2013•浙江）函数f（x）=sinxcos x+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）sin2x+2x+）2x+28．（5分）（2013•浙江）已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f ′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）．CD9．（5分）（2013•浙江）如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）．C D，依题意，解此方程组可求得：c=，即=由①②得：，解得，，设双曲线x=22c=2，==10．（5分）（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b= a∨b=b=，二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）（2013•浙江）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a= 10 ．12．（4分）（2013•浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．名共有名共有=3故所求的概率为：=故答案为：13．（4分）（2013•浙江）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．=414．（4分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．S=1+++++++的值．++++﹣+﹣+﹣．故答案为：．15．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k= 2 ．解：作出不等式组16．（4分）（2013•浙江）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1 ．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于 2 ．，|=====，的最大值．、和的夹角等于°，∴．∵非零向量=x+y|======时，取得最大值为三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．2asinB=2sinAsinB=sinA=；，又，=bcsinA=．19．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．（Ⅰ）由题意得，即．=|=20．（15分）（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．PC=．由△，可得AD=CD=PAGO=PA=，OC=OD==．PC=，可得GC=GC=﹣，=．21．（15分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．=1|==4=，|MN|=﹣|=8|=k=|MN|=2＞|MN|=2=2≥﹣的最小值是。