四年级上册数学奥数讲义-线段 含解析

线段
平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．
构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．
几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．
解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题
【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．
思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．
注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．
当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．
求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：
(1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?
(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?
(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?
【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．
【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．
思路点拨引人未知数，通过列方程求解．
【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?
思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名
段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．
【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
(3)如图c ，有一正方体的盒子ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C l 处不动)
思路点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．
注： 恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．
数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．
“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．
分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．
【例6】 摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走C 市到这里路程的一半就到达目的地．问A 、B 市相距多少千米?
思路点拨 画出线段图进行分析．
如图13—1所示，设小镇为D 点，傍晚在正点休息．
∵GE=2EB ，∴GE=
3
2BC ∵AD=31AC ，∴DC=3
2AC ． ∵DC+CE=32（BC+AC ）=3
2AB ∴DE=32AB ，又DE=400km ； ∴ AB=600 km ．
注： 线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km ”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C 市到这里路程的31就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．
【例7】 如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短?
思路点拨 虽然A 、B 两点在河两侧，但连结AB 的线段不垂直于河岸．
如图13-8，关键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

如图13-9，建立在PD 处符合题意．
注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
学力训练
1．如图，已知B 、C 是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，MN=a ，BC=b ，则线段AD= ．
2．从哈尔滨开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有 种不同的票价．
3．如图，AB ＝a ，BC ＝b ，CD=c ，DE=d ，EF=e ，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的所有线段长度的和为 ．
4．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．
A ．1条
B ．4条
C 6条
D ．1条或4条或6条
5．如图，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点(端点除外)，则( )．
A ．AD ．DB<AC ．BC
B ．AD ．DB=A
C ．BC
C ． A
D ．DB>AC ．BC D ．它们的大小关系不能确定
6．线段AB ＝1996厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP ＝1050厘米，则线段PQ ＝( )厘米．
A ．254
B ．150
C ．127
D ．871
7．如图，线段AB=2BC ，DA=2
3 AB ，M 是AD 中点，N 是AC 中点， 试比较MN 和AB 十NB 的大小．
8．已知A 、B 、C 三点在同一直线上，若线段AD ＝60，其中点为M ；线段BC ＝20，其中点为N ，求MN 的长．
9．线段AB 上有P 、Q 两点，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ= ．
10．将长为20cm 的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是 ．
11．如图，C 是线段AB 上的一点，D 是线段CB 的中点．已知图中所有线段的长度之和为
12．线段AC 的长度与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度为 ．
13．五位朋友a 、b 、c 、d 、e 在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a 握了4次，b 握
了1次，e 握了3次，d 握了2次．到目前为止，e 握了( )次．
A ．1
B ．2
C ． 3
D ．4
14．平面内有条直线(n ≥2)，这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到
b 个交点，则a+b 的值是( )．
A ．n(n 一1)
B ．n 2一n+1
C ． 22n n -
D ．2
22+-n n 15．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为( )．
A ．19
B ．20
C ．24
D ．26
16．某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，BN 有15人，C 区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在( )．
A ．A 区
B ．B 区
C ．C 区
D ．A 、B 两区之间
17．(1)一条直线可以把子面分成两个部分(或区域)，如图，两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明．
(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
(3)平面上有n 条直线。

每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为n a ，试研究n a 与n 之间的关系．
18．如图，设A 、B 、C 、D 为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?说明理由．
19．一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短?
参考答案。