同构习题

H H/N
证明：因为N 证明：因为N是G的正规子群，则有同态映射 的正规子群， G/N， G/N中所有的象 中所有的象。 σ使G～G/N，看σ（H）在G/N中所有的象。 注意到G/N中元是G中对N G/N中元是 注意到G/N中元是G中对N来看的陪集 (i=1,2,…,) ,)。 Na1,Na2,…,其中代表ai∈G (i=1,2, ,)。 ,其中代表a 因此H中任意元在G/N中的象也是N的陪集。 G/N中的象也是 因此H中任意元在G/N中的象也是N的陪集。 代表元应取自上面属于H的各a 可见H 代表元应取自上面属于H的各ai,可见H在 G/N中的象正是H/N。根据第一同构定理， 中的象正是H/N G/N中的象正是H/N。根据第一同构定理， H/N是G/N的正规子群 的正规子群， H/N是G/N的正规子群，并且 G ≅ G / N .
G τσ下 同态核为σ )=σ 在 τσ 下 G ～ H ' 同态核为 σ -1τ-1(1”)=σ-1(H ) 。 因为 )= (H’)
'
H'
H'
)=H。 τσ的核为 的核为H H⊇N，所以σ-1(H )=H。故τσ的核为H，因此 所以σ (H’)=H G G' .
H ≅ H'
都是G 的正规子群。 4. 设 H 和 N 都是 G 的正规子群 。 H⊇N 由第一同 构定理推出 G ≅ G / N 。

b jk →a jk a jk+1 b jk+1 → →
习题6 习题6.4
求证循环群的子群仍是循环群。 8. 求证循环群的子群仍是循环群。 证明：若循环群G由其中元a生成。 证明：若循环群G由其中元a生成。H是G的子 但不是单位元群。 中必含有幂m>0 m>0的 群,但不是单位元群。则H中必含有幂m>0的 因为若m<0 m<0， 的逆元a 也在H 元am。因为若m<0，am的逆元a-m也在H内， m>0。假定a 中的最小正幂，显然H 而-m>0。假定am是H中的最小正幂，显然H 包含a 的任意乘幂。假如又有H中任意元a 包含am的任意乘幂。假如又有H中任意元aS, S=tm+r。0≤r<m知 由S=tm+r。0≤r<m知ar=aS-tm=(aS)·(am)-t是 (a H中元，但m最小。而0≤r<m，故r=0，因此 中元， 最小。 0≤r<m， r=0， 这表明H中任意元a 也是a 有aS=(am)t这表明H中任意元aS也是am的乘幂 而知H 生成的循环群。 ,而知H为am生成的循环群。
12. 试证明元数为pm的群一定包含一个 试证明元数为p 元数是p的子群，其中p为质数， 1 元数是p的子群，其中p为质数，m≥1。 证明： 为元数为p 的群，任取G 证明：设G为元数为pm的群，任取G中一非单 位元的元素a, a,则 的周期n 一定整除p 位元的元素 a, 则 a 的周期 n 一定整除 pm, 且 n≠1 不妨设n= ,k≥1 n≠1,不妨设n= pk,k≥1。 k=1 的周期为p (a)即为元数为 即为元数为p 若k=1，则a的周期为p，(a)即为元数为p的G 的子群。 的子群。 p p p p=( k>1 则取b= 若 k>1 ， 则取 b= a ， 则 b a ) =1, 而 不等于1 其中p>m> 所以b p>m>0 （b）p-m不等于1,其中p>m>0,所以b的周期 (b)是一个元数为 是一个元数为p 的子群。 为p，故(b)是一个元数为p的G的子群。 因此， 元数为p 的群一定包含一个元数是p 因此 ， 元数为 pm 的群一定包含一个元数是 p 的子群，其中p为质数， 1 的子群，其中p为质数，m≥1。
上的同态映射.H是包含σ 3. 设σ是G到G’上的同态映射.H是包含σ的核N的G 上的同态映射.H是包含 的核N 的正规子群.H .H’＝ (H),求证 是 的正规子群 求证H 的正规子群. 的正规子群.H ＝σ(H),求证H’是G’的正规子群.并 G G' 证明“第一同构定理” 证明“第一同构定理”： ≅ 。
H H/N
的正规子群。 的任意子群。求证“ 5. 设N是G的正规子群。H是G的任意子群。求证“ 第二同构定理” 第二同构定理” HN ≅ H 。
N H ∩N
证明： 的正规子群， 故有同态映射σ 证明 ： 因 N 是 G 的正规子群 ， 故有同态映射 σ ， 使 G ～G/N＝G’。在此映射下σ（H）＝H’是G’的子群， G/N＝ 。在此映射下σ 是 的子群， 的子群 (H’)= )=σ (H))=HN。 HN） 而σ-1(H )=σ-1(σ(H))=HN。故σ（HN）＝H’。即HN 。 下的象是H’ 。 所以在同态映射σ HN～ ’, 在 σ 下的象是 H’。 所以在同态映射 σ 下 ， HN ～ H’, 同态核仍是N 同态核仍是N，故H’ ≅HN/N 又在σ H~H’。 又在σ下σ（H）＝H’，所以H~H 。这个同态的核是N ，所以H~H 这个同态的核是N 中所有属于H的元素， 中所有属于H的元素，即H∩N。H∩N作为这个同态 的核是正规子群，所以H H/H∩ 的核是正规子群，所以H’ ≅H/H∩N。 由上便知HN/N H/N∩ HN/N≅ 由上便知HN/N≅H/N∩N。
习题6.3 习题6.3 计算（ 3）（ ）（2 4）（ 4）（ 4）。 ）（1 ）（2 1. 计算（1 2 3）（2 3 4）（1 4）（2 4）。 )(2 )(1 )(2 解：(1 2 3)(2 3 4)(1 4)(2 4) =(1 )(2 =(1 3)(2 4)。 2. 用 1 ， 2 ， …， n 代表 M 中元素 。 求证 M 的任意置 ， 代表M 中元素。 求证M 换可以表为（ …， 换可以表为（ 1 2 ），（ 1 3 ）， …，（ 1 n ）的 乘积。又可表为（ 乘积 。又可表为 （ 1 2 ） ， （ 2 3 ） ，…，（ n-1 ， 的乘积。 n）的乘积。 的任意置换都可分为对换之乘积，如果a 解 ： M 的任意置换都可分为对换之乘积 ， 如果 ar ， =(1 )(1 )(1 as≠1 则（ar as）=(1 ar)(1 as)(1 ar)， )=(1 )(2 而 (1 ar)=(1 2)(2 3)…(ar-2 ar-1)(ar-1 ar)(ar-2 (a )(1 ar-1)…(2 3)(1 2)。 (
是两个置换。 3. 设 σ ， τ 是两个置换 。 把 τ 表示为不相杂的轮换 的乘积。求证στσ 只要用σ变换τ中文字。 的乘积 。 求证 στσ -1 只要用 σ 变换 τ 中文字 。 例如 σ=（1 2 3）。τ=（1 2）（3 4）则στσ-1=（2 3 即按照σ的变法把τ中之1换成2 ）（1 4）。即按照σ的变法把τ中之1换成2，2换 换成1 即得στσ 成3，3换成1，即得στσ-1。
证明： 证明：若τ=(a11 a12 …a1r)(a21… a2s)…(am1…amt) a (a a
而σ=
a11 …a1r a21…a2s…am1…amt a a a a
b11 …b1r b21…b2s…bm1…bmt b b b b 取典型元素b 取典型元素bjk，我们有
σ −1 τ σ
)
所以在στσ 所以在στσ-1下，bjk→bjk+1。 jk+1
H
证明： 显然H 是 的子群 对任g ∈ , 必有g 的子群。 证明 ： 显然 H’是 G’的子群 。 对任 g’∈G’, 必有 g∈G ， (g)=g’ 使 σ (g)=g 。 所 以 由 gHg-1⊆H ， 有 σ (gHg-1)= (g)σ(H)σ ⊆σ(H)=H 所以g H g (H)=H’。 σ(g)σ(H)σ(g)-1⊆σ(H)=H 。 所以 g’H’g’-1⊆H’。 这 。 表明H 是 的正规子群 的正规子群。 表明H’是G’的正规子群。 G' 的正规子群. 因H’是G’的正规子群.故有同态映射τ,使G’~ H ',其 是 的正规子群 故有同态映射τ ~ ' 核为H ， 为 的壹。又在σ 核为H’，1”为 G 的壹。又在σ下，G～G’，故 ，
k−1 k−1
习题6.2 习题6.2 2. 举例说明不要求可除条件而要求消去条件 即要求由aχ=ay 可推出χ=y aχ=ay可推出 χ=y， a=y·a , 即要求由 aχ=ay 可推出 χ=y ， 由 χ·a=y a a=y 可推出χ=y, χ=y,则 不见得是一个群, 可推出 χ=y, 则 G 不见得是一个群 , 若 G 有限 怎么样？ 怎么样？ 例如，全体自然数在普通乘法下， 解 ： 例如 ， 全体自然数在普通乘法下 ， 适合 消去律，但不是群。 消去律，但不是群。 右乘G 若 G={a1 ， a2 ， …an} ， 用 a 右乘 G 中各元素得 a a1a ， a2a ， … ， ana 必 不 相 同 ， 否 则 若 (i≠ 由消去条件有a aia=aja (i≠j) ， 由消去条件有 ai=aj ， 矛 对任意b 必有a a=b， 盾 。 对任意 b∈G ， 必有 ai ， 使 aia=b ， 因之 方程xa=b有解。同理可知ay=b有解。 xa=b有解 ay=b有解 方程xa=b有解。同理可知ay=b有解。故G是 群。
10. 求证若G的元数是一个质数， 10. 求证若 G 的元数是一个质数 ，则 G 必是循 环群。 环群。 证明： 证明：设G的元数为质数P，任取G中非单位元 的元数为质数P 任取G (a)是 的一个循环子群， a，则(a)是G的一个循环子群，设a的周期 (a)的元数为 的元数为r 因此r 为r，则(a)的元数为r，因此r|P。但P是质 显然r 1,故r=P，所以G=(a) G=(a)， 数。显然r≠1,故r=P，所以G=(a)，即G是由 生成的循环群。 a生成的循环群。