冲激偶函数(可编辑修改word版)

- ⎰ (1/) ˆ'(t ) -/2 /2 t '(t )

O t 三、单位冲激偶信号

冲激函数(t ) 的导数定义为（单位）冲激偶函数，用'(t ) 或

(1) (t ) 表示。

'(t ) =

d (t ) d t （1.3-16） 式（1.3-16）可从极限的角度理解， '(t ) = lim ˆ'(t )

→0 ，由图 1.3-6， ˆ

(t ) 的导 数ˆ'(t ) 如图 1.3-11(a)所示，用公式表示为

ˆ'(t ) = 1 (t + - 1 (t -

2 ) 2 )

当→ 0 时，ˆ'(t ) 由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。

故称它为冲激偶函数，用图 1.3-11(b)表示。

（a ） （b ）

图 1.3-11 冲激偶函数

设 x (t ) 为常规函数，其导数 x '(t ) 在t = t 0 处连续，则积分

∞ ∞

⎰-∞ x (t )'(t - t 0 )d t =⎰-∞ x (t )d (t - t 0 )

= x (t )(t - t 0

∞

∞ -∞ -∞ x '(t )(t - t 0 )d t = -⎰-∞ x '(t )(t - t 0 )d t

) ∞

∞ ∞ 利用冲激函数的抽样性质，从上式得

⎰

-∞ x (t )'(t - t 0 )d t = -x '(t 0 ) （1.3-17）

该式称为'(t ) 的抽样性质。

采用对 x (t )(t ) 分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得

x (t )'(t ) = x (0)'(t ) - x '(0)(t ) （1.3-18）

注意 x (t )'(t ) ≠ x (0)'(t ) 。再来考虑'(t ) 的对称性。

'(-t ) = =-t

由于(t ) 为偶对称函数，则有

'(-t ) =

d (t ) = -'(t ) -

d t （1.3-

19）

可见，'(t ) 为奇对称函数。故

⎰

-∞ '(t )d t = 0 当然，令式（1.3-17）中的 x (t ) = 1 ，也可得上式结果 。

函数(t ) 的各阶导数统称为高阶冲激。特别指出，在同一时刻出现的单

位冲激函数、高阶冲激函数间的乘积，如 2 (t ) ，(t )'(t ) 等没有意义。 d (τ ) d τ