重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)

重庆南开中学高2018级高一(上)期中考试数学(试题+答案)
重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试
数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满
分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）
1.下列说法正确的是（ ）
A. N ∈-1
B.
Q ∈2 C. π∉R D. Z ⊆∅
2.已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，
则右图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. {1} B ．{0,1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
3.给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下(3,1)的原像为（ ）
A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(1,1)
D ．(5,5)
4.“2x y +>”是“1>x 且1y >”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要
条件
（ ）
A ．3(,)2+∞
B ．(0,)+∞
C ．3(0,)2
D ．3(,3)2
11.已知集合}0,,,,0|{},032|{22≠∈≤++=>--=ac R c b a c bx ax x B x x
x A ，若(]4,3=B A I ，R B A =Y ，则22c a a b +的最小值是（ ）
A ．3
B ．32
C ．1
D ．34
12.设集合{|16,}A x x x N =≤≤∈，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1,2,5}的“交替和”是5214-+=，{3}的“交替和”就是3）.则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ）
A. 128
B. 192
C. 224
D. 256
第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.
13.设2,(2015)()(5),(2015)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩
，则(2018)f = ．
14. 计算：1
35342=— ．
15. 函数x x x f --=12)(的值域为 ．
16. 若函数1
22)(2---+=x a x x x f 的图象与x 轴恰有四个不同的交点，则实数a 的取值范围为 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17.（10分）已知集合3{|1}A x x
=<，集合{|213}B x x =-<． （Ⅰ）分别求集合A 、B ； （Ⅱ）求()R C
A B I ．
18．（12分）已知函数()f x 的定义域为(0,4)，函数()1g x x =-的定义域为集合A ，集合{}21B x a x a =<<-，若A B B =I
,求实数a
的取值范围﹒
19. （12分） 已知函数23()1x f x x +=+﹒
（Ⅰ）求函数()f x 在区间[]0,2上的最值； （Ⅱ）若关于x 的方程(1)()0x f x ax +-=在区间(1,4)内有两个不等实根，求实数a 的取值范围﹒
20. （12分）已知二次函数()f x 的图象过点(0,4)，对任意x 满足(3)()f x f x -=，且有最小值74
﹒
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数()()(23)h x f x t x =--在[]0,1上的最小值()g t ﹒
21. （12分）已知函数
()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且(1)2f =-﹒ （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性；
（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,2-上的最大值； （Ⅲ）解关于x 的不等式2
()2()()4f ax f x f ax -<+﹒
22. 对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．
（Ⅰ）若(,)a b 是)(x f 的一个“P 数对”，且,9)4(,6)2(==f f 求常数,a b 的值；
（Ⅱ）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求k 的值及()f x 在区间[1,2)n
(*)N n ∈上的最大值与最小值．
重庆南开中学高2018级高一（上）期中考试
数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题（每小题5分）
DACBC CCBAA BB
二、填空题（每小题5分）
13．2015 14．2 15．(,2]-∞ 16．),6()2,0(+∞Y
三、解答题（共70分）
17．（Ⅰ）{|03}A x x x =<>或，{|12}B x x =-<<﹒
（Ⅱ）(){|02}R C A B x x =≤<I ﹒
18．{|13}A x x =<<，由A B B =I 得B A ⊆
① 当B =∅时，211a a a ≥-⇒≤；
②当B ≠∅时，2111
122132a a a a a a a <-⇒>⎧⎪≥⇒<≤⎨⎪-≤⇒≤⎩；
综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞﹒
19．（Ⅰ）令1,[1,3]x t t +=∈，则
2232442[2,3]1x t t y t x t t +-+===+-∈+ 即min ()2f x =，max ()3f x =﹒
（Ⅱ）由条件，230x
ax -+=在区间(1,4)内有两个不等实根，令2()3h x x ax =-+，则
2(1)0(4)034120142h h a a a >⎧⎪>⎪⎪⇒<<⎨∆=->⎪⎪<<⎪⎩﹒
20．（Ⅰ）2()34f x x x =-+﹒
（Ⅱ）2()24h x x tx =-+，240
()401
521t g t t t t t ≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩﹒
21．（Ⅰ）令0x y ==，得(0)0f =；
令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=
故()f x 为R 上的奇函数﹒
（Ⅱ）任取x R ∈，对任意的0h >，则()0f h <，又()()()()f x h f x f h f x +=+<，
故()f x 在R 上单调递减；
又(2)(1)(1)4(2)(2)4f f f f f =+=-⇒-=-=，
故()f x 在区间[]2,2-上的最大值为(2)4f -=﹒ （Ⅲ）由条件， 22()2()()4(2)(2)f ax f x f ax f ax x f ax -<+⇔-<- 222(2)(1)0ax x ax ax x ⇔->-⇔-->
（1）当0a =时，解集为(,1)-∞； （2）当0a ≠时，122,1x x a == ①当21a >即02a <<时，解集为2(,1)(,)a
-∞+∞U ； ②当21a =即2a =时，解集为(,1)(1,)-∞+∞U ；
③当21a <即2a >或0a <时，
若2a >，解集为2(,)(1,)a -∞+∞U ；
若0a <，解集为2(,1)a ﹒
22．（Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+)4()2()2()1(f b af f b af ，即⎩⎨⎧=+=+9663b a b a ，解得：⎩
⎨⎧==31b a （Ⅱ）当[1,2)x ∈时，()|23|f x k x =--，令1x =，可得(1)13f k =-=，解得4k =，
所以，[1,2)x ∈时，()4|23|f x x =--，故()f x 在[1,2)上的值域是[3,4]． 又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立，
当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x
-∈， ()2()4()24x x f x f f =-==…11(2)()2k k x
f --=-，
故k 为奇数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[32,2]k k -+⨯； 当k 为偶数时，()f x 在1[2,2)k k -上的取值范围是11[2,32]
k k +---⨯． 所以当1n =时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为4，最小值为3； 当3n ≥且为奇数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为12n +，最小值为2n -； 当n 为偶数时，()f x 在[1,2)n 上的最大值为2n ，最小值为12n +-．。