《第十二章 数的开方无理数与实数》PPT教学课件
第十二章数的开方
平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
平方根的基本性质一个数的平方根分为三种情况：正数有两个个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0_；负数没有平方根。
算术平方根正数的正的平方根称为算术平方根。
而0的算术平方根是0开平方运算求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方是一种运算，它与平方互为逆运算，计算器求一个数的平方根时要特别注意按键顺序。
平方根与算术平方根的联系与区别：联系：具有包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。
存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。
0的平方根和算术平方根都为零。
区别：定义不同个数不同表示方法不同取值范围不同几个非负数之和为零，则它们分别为零。
立方根的定义：一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根。
立方根的性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
平方根与立方根的联系与区别联系：都与相应的乘方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算。
都可以归结为非负数的非负根来研究零的平方根和立方根都是它本身区别：符号不同，根指数2可以省略而根指数3不可以省略平方根只有非负数才有而立方根任何数都有正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个实数与数轴开立方的运算：求一个数立方根的运算叫做开立方，=__________无理数无限不循环小数叫做无理数。
一看是否是无限小数；二看是否是不循环小数。
无理数的常见形式含开平方不尽的式子；含π的式子；定义本身的形式。
实数有理数与实数统称为实数实数与数轴上的点一一对应分类⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数正有理数有理数负有理数实数正无理数无理数负无理数分数正整数有理数实数整数负整数无理数实数的运算顺序先算乘方开方、再算乘除、最后算加减，如果有扩号，则先算括号里面的。
第12章 数的开方
第12章数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：3a （读作：三次根号a ），a 称为被开方数，“3”称为根指数。
3a 中的被开方数a 的取值范围是：a 为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±a ”、“a ”、“3a ”的实质意义：“±a ”→问：哪个数的平方是a ； “a ”→问：哪个非负数的平方是a ； “3a ”→问：哪个数的立方是a 。
2、注意a 和3a 中的a 的取值范围的应用。
如：若3-x 有意义，则x 取值范围是 。
2017春上海教育版数学七年级下册第十二章《实数》ppt复习课件 (共14张PPT)
到末位数字为止的所有数字，
叫做这个近似数的有效数字.
1.408 1.41
用数轴上的点表示实数 数轴上的每个点都有一个实数与之对应
C
（2）求出在数轴上到点C距离为5的点所表示的数
设 这 个 数 为x
数轴上两点间的距离
-1- x 5
公式：AB=|a–b|．
- 1 - x 5或 - 1 - x 5
正数的奇次方根是正数
0的奇次方根是0 负数的奇次方根是负数
a的奇次方根与a的 正负性相同
2、当 n为偶数时
正数a有2个互为相反数的偶次方根，记作 n a 0的偶次方根等于0 负数没有偶次方根,
任意实数a都有且只有一个奇次方根
练习1 当 x 为何值时，下列各式有意义？ （1）3 x x 取一切实数
（3） 已 知3 5.25 1.738, 3 52.5 3.744,
则3 5250的 值 是_1_7_._3__8__
※化简求值：
练习4 3 2 2 2 3 2 3
是负数 是正数
是负数
等于它的相反数 等于本身 等于它的相反数
32 2 2 3 2 3
2 2 3
3 2
※化简求值：
去绝对值要看， 绝对值里面式子的符号
a a 0
a = 0 a 0
× (2)3 (3)3 33 ( ) 3 a3 a × (3)( 2 )2 22 ( )
× (4) (2 5)2 25 - 25 ( )
× (5) 32 42 392 1642 325457 ( )
x -6
x4
实数的分类
有理数 无理数
整数
分数
有限小数 或无限循环小数
无限不循环小数
实数 用数轴上的点表示实数
数的开方PPT教学课件
宫妇左右莫不私王 朝廷之臣莫不畏王
四境之内莫不有 求于王
“ ——
《 古 文 观 止 》
语 破 之 ， 快 哉 ！ ”
关 头 ， 从 闺 房 小
臣 谄 君 蔽 ， 兴 亡
参 出 微 理 。 千 古
详 勘 。 正 欲 于 此
徐 公 之 美 ， 细 细
邹 忌 将 己 之 美 、
思考问题：
从文中看，齐威王最终能使 齐国“战胜于朝廷”，达到 “大治”的原因是什么？这给 我们带来什么启示？请结合你 的生活体验，简要谈谈你的看 法。
( )
四：小结 1：为什么要学习数的开方？ 2：开方与什么互为逆运算？ 3：平方根，算术平方根，立方根的概念和性质
五：作 业 练习册
导入新课
“以铜为镜，可以正衣冠； 以史为镜，可以知兴亡； 以人为镜，可以明得失。”
唐·魏征
《战国策》是一部重要的历史著作，也 是一部重要的散文集。作者已不可考， 最初有《国策》、《国事》、《短长》 等名称，经过汉代刘向整理编辑，始定 为《战国策》。全书共33篇，分国别编 辑。
2.君子之过，如日月之食也。过也， 人皆见之，及其更也，人皆仰之。 （《论语》）
3.良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。 （孔子家语）
4.信言不美，美言不信。（老子）
解释下列蓝色的词 词类活用
1、吾妻之美我 认为……美，形容词意动用 者，私我也。 法 偏爱，形容词作动词。
2、能面刺寡人 之过者
3、受上赏
《战国策》的内容，主要记载战国时期 各国谋臣策士游说诸侯或进行谋议论辩 时的政治主张和纵横捭阖、尔虞我诈的 故事，也记叙了一些义士豪侠不畏强暴、 勇于斗争的行为。
《战国策》长于议论和叙事，文笔流畅， 生动活泼，在我国散文史上具有重要的 地位。
第12章 数的开方.
第12章数的开方§12.1平方根与立方根1.平方根2.立方根§12.2实数与数轴阅读材料为什么说2不是有理数小结复习题第12章数的开方要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?（）2=25§12.1 平方根与立方根1. 平方根本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm2，求这个正方形的边长．容易知道，这个正方形的边长是5cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）．在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为（－５）2＝５2＝２５，所以－５也是25的一个平方根．这就是说，5与－５都是25的平方根．根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．例1 求100的平方根．解 因为102＝100， （－１０）2＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．试一试（1） 144的平方根是什么?（2） 0的平方根是什么?（3）254的平方根是什么?（4） －４有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．概 括一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第２节），每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根．正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－a．因此正数a的平方根可以记作±a．a称为被开方数．因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0．通常也记作0＝0．思考负数有平方根吗?求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．在例1中，100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±１０．例2将下列各数开平方：（1）49；（2）1.69解（1）因为72＝49，所以49＝7，因此49的平方根为±７；（2）在例1、例2中，我们是通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的．如果被开方数比较复杂，我们常用计算器直接得出一个正数的算术平方根（有时得到的是近似值）．例3用计算器求下列各数的算术平方根：（1）529；（2）1225；（3）4481．分析用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．解（1）在计算器上依次键入■ 5 2 ９＝，显示结果为23，所以529的算术平方根为529＝23．（2）在计算器上依次键入■ 1 2 2 5 ＝，显示结果为，所以1225的算术平方根为1225＝．（3）在计算器上依次键入■ 4 4 ·8 1 ＝，显示结果为，如果要求精确到0.01，那么44≈．.81练习1. 说出下列各数的平方根：（1）64；（2）025；（3）49〖〗81．2. 用计算器计算：（1）676；（2）278784；（3）4225 （精确到0.01）．3. 下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案．（1）0.09的平方根是0.3；（2）25＝±５．2. 立方根问题现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少?思 考这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?概 括上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．容易验证，63＝216，除6 以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm ．如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）．试一试（1） 27的立方根是什么?（2） －２７的立方根是什么?（3） 0的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．概 括任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个．数a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”．a 称为被开方数，3称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．例4求下列各数的立方根：（1）278； （2） －125； （3） －0.008．解（1） 因为（32）3，所以.322783=（2） 因为（－5）3＝－125，所以3125-＝－5．（3） 。
无理数与实数(北京课改版)课件
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称 。
实数包括有理数、无理数以及 有理数和无理数的混合数。
实数具有完备性和连续性，即 任意两个不相等的实数之间必 存在另一个实数。
无理数与实数的关系
无理数是实数的一个子集，即所有无理数都是实数，但不是所有实数都是无理数。
有理数和无理数共同构成了实数的完整集合，两者缺一不可。
总结1
无理数与实数的定义。无理数是 不能表示为两个整数的比的数， 而实数包括有理数和无理数。
总结2
无理数与实数的性质。无理数具 有无限不循环的小数表示，而实 数具有连续性和完备性等性质。
分析无理数与实数在实际应用中的重要性
分析1
无理数在几何学中的应用。无理数在 解决一些几何问题中起到关键作用， 例如计算圆的周长和面积。
无理数与实数(北京课改版 )ppt课件
contents
目录
• 无理数与实数的定义 • 无理数的性质与表示 • 实数的性质与表示 • 无理数与实数的应用 • 总结与展望
01
无理数与实数的定义
无理数的定义
无理数是不能表示为 两个整数的比的数。
无理数在实数范围内 是不可数的。
无理数既不是有限小 数，也不是无限循环 小数。
分析2
实数在数学分析中的应用。实数的连 续性和完备性为数学分析提供了基础 ，使得数学分析中的定理和结论得以 成立。
展望无理数与实数未来的研究方向
展望1
探索无理数与实数的更多应用领域。随着科学技术的发展，无理数与实数将会 在更多领域得到应用，例如物理学、工程学等。
展望2
深入研究无理数与实数的性质和结构。目前关于无理数与实数的性质和结构仍 有许多未知领域，未来可以进一步深入研究，以揭示其更深层次的数学规律。
华师大版八年级上数学复习课件(第12章数的开方)
数学·人教版（RJ）第十一章 复习知识归纳1．平方根、算术平方根、立方根 平方根 算术平方根 立方根 如果一个数的 立方 等于a，那么 这个数叫做a的立 方根
定 义
正数a的 正的平方根，叫 如果一个数的 平方 等于a，那 做a的算术平方根； 么这个数叫做a 0的算术平方根 的平方根 是 0 ，即 0 ＝ 0
数学·人教版（RJ）
第十一章 |复习 考点六 实数的运算
计算：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16.
解：|－3|＋(－2)3－(－3)2－110＋ 16 ＝3＋(－8)－9－1＋4 ＝3－8－9－1＋4 ＝－11.
方法技巧 在进行实数的综合运算时，要搞清运算种类、确定运 算顺序、认真细心运算，如果能用运算律时莫忘用运算律简 化计算．
数学·人教版（RJ）
第十一章 |复习
如图11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上， 以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是( D )
图11－1
A．2.5 B．2 C．－ 5 D. 5
数学·人教版（RJ）
第十一章 |复习
[解析] D 由勾股定理可以得，OB＝ 12＋22＝ 5，又因为交点在正半 轴上，所以表示的数是 5，选 D. 方法技巧
数学·人教版（RJ）
第十一章 |复习
[解析] (1)负数都小于 0， 正数都大于 0， 最小； 5 －5 (2) ≈2.236，比 5小的正整数有 1 不 2. 方法技巧 比较实数的大小常用以下方法：①正数＞0＞负数；② 两个负数绝对值大的反而小；③在数轴上表示的两个实数， 右边的数总大于左边的数；④作差法：已知实数 a、b，若 a－b＝0，则 a＝b；若 a－b＞0，则 a＞b；若 a－b＜0，则 a＜b.
实数ppt课件
化学
在化学中，实数可以用来 描述化学反应中的反应物 和生成物的比例关系。
在日常生活中的应用
金融与经济
在金融和经济活动中，实 数被广泛应用于财务计算 、成本分析、市场预测等 方面。
计算机科学
在计算机科学中，实数被 用于各种算法和数据结构 的实现，如浮点数运算、 排序算法等。
统计学
在统计学中，实数被用于 描述各种数据的分布特征 和规律，如平均数、中位 数、方差等。
数轴的表示
在数轴上，正实数表示为向右的箭头，负实数表示为向左的箭头，零表示为原点。实数的 序关系可以通过数轴上的位置关系来表示，例如a>b表示a在b的右侧。
数轴的应用
数轴是学习数学的重要工具之一，可以用于比较大小、计算距离、表示不等式等。通过数 轴可以直观地理解实数的性质和运算规则，帮助我们更好地掌握实数的知识。
实数的性质
01 02
实数的四则运算
实数可以进行加、减、乘、除四则运算，运算结果仍然属于实数集合。 实数的加法、减法和乘法满足交换律、结合律和分配律，除法满足除法 的可交换性、可结合性和除法的倒数关系。
实数的序关系
实数集合是有序的，可以比较大小。实数的序关系满足传递性、反对称 性和可比较性，使得实数可以进行大小比较和排序。
实数ppt课件
• 实数简介 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数的应用 • 实数的扩展知识
目录
Part
01
实数简介
实数的定义
实数定义
实数是包括有理数和无理数的所有数的集合，具有连续性和完备性。实数包括有理数和 无理数，有理数包括整数和分数，无理数则无法表示为两个整数的比值。
实数集合
实数集合在数学中常用字母R表示，是一个无限大的集合，包含了所有的有理数和无理数 。实数在数轴上表示为连续的点，具有稠密性。
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实数的分类：
实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
整数
｛ ｛ 按数的概念来分：全体实数
有理数 分数(有限小数和循环小数)
无理数(无限不循环小数)
｛ 按数的性质来分： 全体实数
正实数 0
负实数
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作业练习：
1．将下列实数填入相应的括号中:－3.14 , 2006 ,－ 2 , 1
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区别有理数和无理数
课堂练习:下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？
,3.14 , 0.1010010001…, 2 , 3 , 9 , 21 5
答案:无理数有 0.1010010001…, 3 , , 21
有理数有 3.1拔: （1）从定义作出判断； （2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能；
0.010110111…(每相邻两各O之间依次多个1); 22 , 22
0.23, 9 , 0
7
38
自然数的有(
)
有理数的有(
)
无理数的有(
)
正实数的有( 负实数的有(
) )
1.下列说法正确的是( ).
A.无限小数都是无理数; B.所有小数都是有理数;
C.带有根号的数都是无理数; D.无理数都是无限小数.
答案:无理数有 0.1010010001… , 3 , , 21
方法点拔: 判定一个数是否无理数: (1)是看它是不是无限小数,(2)看它是不是不循环小数.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;
(2) 是无理数;
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
0.13
1 3
8 5
4 2
按数的性质来分：
正数的有：( 0 ,0.35 ,1,5.34 ,0.13
2)
负数的有:( -12 , -3.14 , -58 ,
1 3
4 )
非202正0/12非/10负数：(
0
)
3
试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方:
请问0:, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 ,
2.在 4 , 1 , 0 A20.200/个12/10 B.3 2个
,3 C.
, 2这五个数中是无理数的共有(
3个 D. 4个
)
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PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
10
8 5
上述各数中除了有理数，还剩下的数有:(
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1 3
)
2)
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认识无理数 定义:无限不循环的小数是无理数。
例如： 、 2 、3 5 都是无理数。
举例:请你说出一个无理数 fenghuangxueyi
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课堂练习:下列各数哪些是无理数？
,3.14 , 0.1010010001…, 2 , 3 , 9 , 21 5
12.1无理数与实数
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本课学习内容和目标
▪ 了解数的扩充,理解无理数的概念。 ▪ 使学生理解实数的概念，能把实数进行分类； ▪ 重点：知道有理数、无理数与实数间的关系 ▪ 难点：把实数进行分类。
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新课引入
想一想: 到目前为止,我们认识了哪些数?
试一试:请把下列各数进行分类，填入相应的地方: 0, -12 , 0.35 , 1 , -3.14 ,5.34 ,-58 ,
0.13
2 ，
，这些 13数与，有85 理, 数 有4 什, 么2不同之处？
按数的概念来分：
整数有：( 0, -12 , 1 ,-58 4
)
分数有:( 0.35 , , -3.14 ,5.34,
0.13
1 3
8 5)
有理数的有:(
0, -12 0.13
,
1 ,-58 4
0.35 , , -3.14 ,5.34,