数值计算方法试卷十一A+答案
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值试卷A答案(手写版)
解得 ，即
第三步，求解
解得 ，即
七、证明题
《数值计算方法》A卷答案
一、填空题
1、4 3
解：
2.
解：
3、6 7
解：
4、
解：
5、8
解：
6、1/8
解：
7、B的谱半径<1
解：/link?url=OKcBFzq2AhWGpKyovuza_sfa0KyqVt3GTThkmOGfA6A3KItDQ-tG_Ve58ZvEBlW37hjsbDJa8yKyxAaOLq_X5r6rr6FQXWmPcuDsL568PM3
四次的Newton插值多项式：
四、计算题(共10分)
解：函数 在区间[1,9]上取9个点如下
1
2
3
4
5
6
7
8
9
则复合Simpson公式如下：
由题可知
则
函数 的四阶导数为
则复合Simpson公式的余项:
取 得最大误差为：
五、计算题
解：修改的欧拉公式
六、计算题
解：
第一步，用LU公式法可以将矩阵A分解如下
8、
解：
9、3 2
解：
二、计算题(共10分)
解：令 则函数
则有题给出的表的数据，可以得到 与 的关系如下：
1
3
5
8
10
4
5
10
1造差商表如下：
一阶差商
二阶差商
三阶阶差商
四阶差商
1
1
2
4
3
3
7
3
0
4
8
1
-1
-1/3
5
6
数值计算方法试题及答案
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
出其代数精度：
1xfxdxAfA1f10021
(3) (3) (6分)用幂法求矩阵10A111的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
8
数值试题
离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0。
T
(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
y’xfx,yx,axb,yay0
x1
x
(x1)的形式，使计
6
数值试题
(3) (3) (2分)设(4) (4)
则
2
x12x2
fx
xx12
，则f’x
1x2是3次样条函数，
2x3,0x1
Sx3
2
xaxbxc,(3分)设
(5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算0
10
6
1
edx
x
，要求误差不超过
，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
x11.6x21
分)写出求解方程组0.4x1x22的
(6) (6) (6
代公式
Gauss-Seidel迭
，为此迭代法是否收敛。
5A
4
43
迭代矩阵
(7) (7) (4分)设
数值计算方法总结计划试卷试题集及答案
一、选择题（每题2分，共20分）1.数值计算的基本思想是（）。
A.精确求解B.近似求解C.解析表达D.图像显示2.下列哪种方法不属于数值计算方法？（）A.有限差分法B.有限元法C.插值法D.微积分3.在数值计算中，为避免数值计算误差，通常采用（）方法。
A.精确计算B.误差分析C.误差校正D.舍入运算4.下列哪种数值方法适用于求解偏微分方程？（）A.欧拉法B.龙格-库塔法C.有限差分法D.牛顿法5.下列哪种方法不属于求解线性方程组的数值方法？（）A.高斯消元法B.追赶法C.迭代法D.矩阵分解法二、填空题（每题2分，共20分）6.数值计算方法是利用计算机求解科学和工程问题的_______方法。
7.数值计算的主要目的是将_______问题转化为_______问题。
8.在数值计算中，通常需要对实际问题进行_______，以简化计算过程。
9.有限差分法的核心思想是将偏微分方程转化为_______方程。
10.牛顿法是一种_______方法，适用于求解非线性方程组。
三、判断题（每题2分，共20分）11.数值计算方法只能解决线性问题。
（）12.在数值计算中，误差只能通过增加计算精度来减小。
（）13.迭代法求解线性方程组时，需要预先知道方程组的解。
（）14.数值计算方法在实际应用中具有较高的可靠性。
（）15.有限元法适用于求解所有类型的偏微分方程。
（）四、简答题（每题10分，共30分）16.请简要说明数值计算的基本思想及其应用范围。
17.请简要介绍有限差分法的原理及应用。
18.请简要说明牛顿法求解非线性方程组的原理。
五、计算题（每题10分，共50分）2x+3yz=14xy+5z=2-x+2y+z=3y'=-y+e^x，初始条件y(0)=1答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A二、填空题6.近似7.连续离散8.简化9.差分10.迭代三、判断题11.×12.×13.×14.√15.×四、简答题16.数值计算的基本思想是将实际问题转化为数学问题，再通过计算机求解。
(完整word版)数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题与答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》试题集及答案《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：，2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n ab )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )；11、两点式高斯型求积公式?1d )(xx f ≈(++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 199920012+ 。
13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
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x1 =
18 9 , x2 = 7 14 18 9 , x2 = 。 7 14
9分 12 分
故该矛盾方程组的最小二乘解为 x1 = 2.
⎡4 6 2 4⎤ ⎡ 4 6 2 4⎤ ⎡ 2 5 3 6⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 解 2 4 3 5 → 0 1 2 3 → 0 2 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 6 2 4 0 2 2 4 0 0 1 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
∫
2
1
1 dx ，并估计误差。 x
5．用切线法求方程 x 4 − 3 x + 1 = 0 的最小正根。 （1） 确定含根区间，检验切线法收敛条件 （2） 写出切线法迭代公式； （3） 选初始值 x 0 ，计算出 x1 。 四、证明题（本题 10 分，每小题 5 分） 证明 由 x n +1 = φ ( x n ) 1． 设 x = φ ( x ), ρ = max φ ′( x) < 1 ，
所以， e n = 1 − 10 h e n −1 = L = 1 − 10 h e0
n
河北理工大学数值计算方法试卷
当 h < 0.2 时，有 1 − 10h ≤ 1, en ≤ e0 所以欧拉法绝对稳定。 5分
河北理工大学数值计算方法试卷
数值计算方法试卷十一 A（闭卷）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．近似值 0.450 × 10 2 的误差限为（ A． 0.5 2. 求积公式 A. 1 B. 0.05
2 0
） 。 C．0.005 D. 0.0005 ） 。
∫
f ( x )dx ≈
1 4 1 f (0) + f (1) + f (2) 的代数精确度为（ 3 3 3
⎡2 1 1 ⎤ ⎥ ⎢ 4.已知 A = 1 2 2 ，则 A ∞ = （ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 3 5 ⎦ ⎣
A. 4 B. 5
） 。
C. 6
D. 9 ） 。
5.当实方阵 A 满足 λ1 = −λ 2 , λ 2 > A. x k +1 B.
λi (i > 2) ，则乘幂法计算公式 e1 =（
C. x k D. x k +1 − λ1 x k
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 3.142. 2. Δx1 − Δx 2 . 3. 1
河北理工大学数值计算方法试卷
4. 全部特征值和特征向量
) ⎧ y (n0 = y n + hf ( x n , y n ) +1 ⎪ h ⎪ (m +1) (m ) 5. ⎨ y n +1 = y n + f ( x n , y n ) + f ( x n +1 , y n +1 ) . 2 ⎪ ⎪m = 0,1,... n = 0,1,L , N − 1 ⎩
∫
2
1
8分
所以， R4 ( f ) ≤ 分
M2 1 = 2 96 12 × 4
12
5． （1） 由于 f (0) = 1 > 0, f (0.5) = −0.4375 < 0
3
所以 x ∈ [0, 0.5]
*
在区间 [0, 0.5] 上 , f ′( x) = 4 x − 3 < 0, f ′′( x) = 12 x ≥ 0, 则由条件 f ( x0 ) f ′′( x) ≥ 0, 取 x0 = 0.5 ，切线法收敛。 （2）切线法迭代公式为： x n +1 = x n −
[
]
三、 计算题(每题 12 分，共 60 分) 1． 解 由
ϕ ( x1 , x 2 ) = ( x1 + x 2 − 3) 2 + ( x1 + 2 x 2 − 4) 2 + ( x1 − x 2 − 2) 2
6分
⎧ ∂ϕ ⎪ ∂x = 3 x1 + 2 x 2 − 9 = 0 ⎪ 1 ⎨ ⎪ ∂ϕ = 2 x + 6 x − 9 = 0 1 2 ⎪ ⎩ ∂x 2
两式相减，应用中值定理得
x n − x * = ϕ ( x n −1 ) − ϕ ( x * ) = ϕ ′(ξ n ) x n −1 − x * ≤ ρ x n − x * ≤ L ≤ ρ n x n − x *
由 ρ < 1 得 x n → x * (n → ∞) 。 2. 由欧拉公式得 5分
y n = (1 − 10h) y n −1 ~ y n = (1 − 10h) ~ y n −1
的一种变换方法。 。
河北理工大学数值计算方法试卷
1. 求矛盾方程组
⎧ x1 + x 2 = 3 ⎪ ⎨ x1 + 2 x 2 = 4 ⎪x − x = 2 2 ⎩ 1
的最小二乘解。
2．用列主元法解方程组
⎧2 x1 + 5 x 2 + 3x3 = 6 ⎪ ⎨2 x1 + 4 x 2 + 3x3 = 5 ⎪4 x + 6 x + 2 x = 4 2 3 ⎩ 1
故得方程组的解为 3. （1） 雅可比法迭代公式为：
x1 = −1, x 2 = 1, x3 = 1,
12 分
⎧ ( m +1) 1 (m) ) = (1 + ax 2 ⎪ x1 4 ⎪ ⎪ ( m +1) 1 ( m) ) = (3 + ax1( m ) + ax3 ⎨ x2 4 ⎪ ⎪ ( m +1) 1 (m) ) = (1 + ax 2 ⎪ x3 4 ⎩
m = 0,1,L
5 分 （2）因为 a < 2 时， A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。 8
河北理工大学数值计算方法试卷
分 （3）取 a = 1 ， X 分 4.解
(0)
= (1, 1, 1) T ，
计算得 X ( 0 ) = ( ,
2 5 2 T , ) 4 4 4
12
1 1 4 4 4 1 dx ≈ [1 + 2( + + ) + ] ≈ 0.697 8 5 6 7 2 x 1 1 2 用 f ( x ) = , f ′( x ) = − 2 , f ′′( x) = 3 , M 2 = max f ′′( x) = 2 x x x
x k +1 + λ1 x k
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1.
π = 3.14159L ，具有 4 位有效数字的近似值为
。 。 。
2. 已知近似值 x1 , x2 ，则 Δ( x1 − x 2 ) = 3．已知 f ( x) = x − 1 ，则差商 f [1,2,3] =
2
4．雅可比法是求实对称阵 5．改进欧拉法的公式为 三、计算题（每小题 12 分 ，共 60 分）
B. 2 C. 3 D. 4
3. 若实方阵 A 满足 （ A. C.
使 A = LR 。 ） 时， 则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角阵 R ， B. 某个 det Ak ≠ 0 D. det Ak ≠ 0 ( k = 1, L , n)
det A ≠ 0
det Ak ≠ 0 (k = 1, L n − 1)
∗ ∗
n = 0,1, L ，得到的序
列 {x n } 收敛于 x ∗ 2． 对于初值问题， ⎨
。
⎧ y ′ = −10 y ，证明当 h < 0.2 时，欧拉法绝对稳定。 ⎩ y (0) = 1
数值计算方法试卷十一 A 参考答案
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．B． 2. C. 3. C. 4. D. 5. B
4 xn − 3xn + 1 , n = 0,1,L 3 4 xn −3
4分
8分
（3）由 f ( x0 ) f ′′( x) ≥ 0, 取 x0 = 0 ，用上迭代公式计算得 x1 = 分
1 3
12
四、证明题（每小题 5 分，共 10 分） 1.证明 由 x n +1 = φ ( x n )
n = 0,1,L ， x ∗ = φ ( x ∗ )
⎡ 4 − a 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3．已知方程组 − a 4 − a⎥ ⎥ ⎢ x 2 ⎥ = ⎢3⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣1⎥ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦⎢ ⎣ 0 −a 4 ⎥
（1） 写出雅可比法迭代公式； （2） 证明 a < 2 时，雅可比法收敛； 4．用 n = 4 的复化梯形公式计算积分