2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

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2011年高考全国卷理科数学新课标卷及解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D)2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2011年—2019历年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编9.三角函数与解三角形

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编9．三角函数与解三角形一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理11)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③(2019·全国卷Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（）A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │(2019·全国卷Ⅱ，理10)已知(0)2πα∈，，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（）A ．15B C D (2019·全国卷Ⅲ，理12)设函数()sin(0)f x x ωω=+>，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是1229[,)510．其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④（2018·新课标Ⅱ，6）在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =（）A ．BCD ．（2018·新课标Ⅲ，理4）若1sin 3α=，则cos2α=（）A ．89B ．79C ．79-D ．89-（2018·新课标Ⅲ，理9）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π（2017·新课标Ⅰ，9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2（2017·新课标Ⅲ，6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减（2016·新课标Ⅰ，12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（）A ．11B ．9C ．7D ．5（2016·新课标Ⅱ，7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈（2016·新课标Ⅱ，9）若3cos()45πα-=，则sin 2α =（） A ．725B ．15C ．15-D ．725-（2016·新课标Ⅲ，5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（） A.6425 B. 4825 C. 1 D. 1625（2016·新课标Ⅲ，8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A.31010 B. 1010 C.1010- D. 31010- （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-=（）A ．32-B ．32C ．12-D ．12（2015·新课标Ⅰ，8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z（2014·新课标Ⅰ，6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（）（2014·新课标Ⅰ，8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=（2014·新课标Ⅱ，4）钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =2，则AC =（）A ．5B ．5C ．2D ．1（2012·新课标Ⅰ，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]（2011·新课标Ⅰ，5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·新课标Ⅰ，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增二、填空题(2019·全国卷Ⅱ，理15)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________．（2018·新课标Ⅰ，理16）已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 .（2018·新课标Ⅲ，理15）函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．（2018·新课标Ⅱ，理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．（2017·新课标Ⅱ，14）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．（2016·新课标Ⅱ，13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 45A =，1cos 53C =，a = 1，则b = .（2016·新课标Ⅲ，14）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移______个单位长度得到.（2015·新课标Ⅰ，16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .（2014·新课标Ⅰ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 . （2014·新课标Ⅱ，14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.（2013·新课标Ⅰ，15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.（2013·新课标Ⅱ，15）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_________.（2011·新课标Ⅰ，16）在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．(2019·全国卷Ⅲ，理18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin =sin 2A Ca b A +．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD 中，o ADC 90=∠，oA 45=∠，2=AB ，5=BD .（1）求ADB ∠cos ；（2）若22=DC ，求BC .（2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长（2017·新课标Ⅱ，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．（2017·新课标Ⅲ，17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A +=，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．（2016·新课标Ⅰ，17）ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆周长．（2015·新课标Ⅱ，17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．（Ⅰ）求 sin sin B C ∠∠；（Ⅱ）若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．（2013·新课标Ⅰ，17）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .（2013·新课标Ⅱ，17）在△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB . （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ，17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编9．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理11)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C 解析：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确；因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误，画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误，结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. (2019·全国卷Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（）A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=c os│x │D ．f (x )= sin │x │【答案】A 解析：f （x ）＝sin|x |不是周期函数，可排除D 选项； f （x ）＝cos|x |的周期为2π，可排除C 选项；f （x ）＝|sin2x |在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B ．方法2：对于A ，如图，以()1cos4cos22x f x x +==12T π=，且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；A 对.对于B ，如图，以()1cos4sin 22x f x x -==12T π=，且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B 错. 对于C ，()cos cos f x x x ==，2T π=，C 错对于D ，()()()sin 0sin sin 0x x f x x x x ≥⎧⎪==⎨-≤⎪⎩，如图，不是周期函数， D 错；故选A.(2019·全国卷Ⅱ，理10)已知(0)2πα∈，，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（）A ．15B ．5 C ．3 D ．25【答案】B 解析：24sin cos 2cos ααα=()cos 2sin cos 0ααα⇒-= ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan 2α∴=，5sin α=.(2019·全国卷Ⅲ，理12)设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x )在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是1229[,)510．其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【基本解法】令05wx π+=，得05x wπ=-<，令52wx ππ+=，得3010x wπ=>，设()f x 的正零点从小到大一次为()i x i Z +∈由图可知（1）正确；极小值个数可能是2个或3个，故（2）错误令555wx ππ+=，解得5245x πω=令665wx ππ+=，解得6295x πω=，解不等式562x x π≤<，得1229510ω≤<，（4）正确 010x π<<时，(,)55105w wx ππππ+∈+29(,)(0,)5101052ππππ⊆⨯+⊆故()f x 在(0,)10π单调递增，故（3）正确。

2011年高考数学试题分类汇编5——解析几何

五、解析几何一、选择题1.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210 C． D ．220【答案】B2.（浙江理8）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =【答案】C3.（四川理10）在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为A ．(2,9)--B ．(0,5)-C ．(2,9)-D ．(1,6)-【答案】C【解析】由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)b a =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =- D ．24y x = 【答案】B5.（山东理8）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为 A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -=【答案】A6.（全国新课标理7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A（B（C ） 2 （D ） 3 【答案】B7.（全国大纲理10）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-【答案】D8.（江西理9）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（3-，3） B ．（3-，0）∪（0，3）C ．[，]D ．（-∞，）∪（，+∞）【答案】B9.（湖南理5）设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥3【答案】C11.（福建理7）设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或【答案】A 12.（北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【答案】C13.（安徽理2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）42【答案】C14.（辽宁理3）已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）74【答案】C二、填空题15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''x Oy （其中'y 轴一与y 轴重合）所在的平面为β，'45xOx ∠=︒。

2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

9．解析几何（含解析）一、选择题【2018,8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8【2018,11】已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．4【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【2016，5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（） A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）A ．(33-B ．(66-C ．(,33-D ．(33- 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m【2014，10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（）A ．72 B ．52C ．3D ．2【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x【2013，10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 【2012，4】设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【2012，8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（）AB ．C ．4D ．8【2011，7】设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）A B C ．2 D ．3 二、填空题【2017，15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．【2015，14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。

9.解析几何——2011—2017年新课标全国卷理科数学分类真题解析(含答案)

=6.
椭圆的性质,容易排除点 P1(1,1)不在椭圆上,从而求出椭圆方程;(2)利用直线与椭圆优解依题意,抛物线 C:y2=8x 的焦点 F(2,0),准线 x=-2,因为 M 是 C 上一点,FM 的延
的方程得出根与系数的关系,从而使问题得解,在解题中要注意斜率不存在的情形.
长线交 y 轴于点 N,M 为 FN 的中点,则点 M 的横坐标为 1,所以|FN|=2|MF|=2[1-(-2)]=6.
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……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
9-2
的斜率为 k,则 l1:y=k(x-1),l2:y=- (x-1),由
消去 y 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2. 如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t≠0,且|t|<2,得 A,B 的坐标分别为(t,
),(t,- ).
的距离 d=
,因为∠MAN=60°,圆的半径为 b,所以 b·sin 60°= ,即
,所
2018 课标Ⅱ卷(全国甲卷)
以 e=
.
2018 课标Ⅲ卷(全国丙卷)
20．已知椭圆 C: + =1(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(-1, ),P4(1, )中恰有三点在
2017 课标Ⅰ卷(全国乙卷) 10．已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交

2011-2017全国1卷分类汇编解析几何

2011-2017全国卷分类汇编——解析几何【2011年全国】（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【2012年全国】（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点。

（Ⅰ）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

【2013年全国】(20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【2014年全国】20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【2015年全国】（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。

2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何1.（2019北京理科）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.2.（2019北京理科）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y+=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.3.（2019北京理科）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =；(Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.（2019全国1卷理科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足.的，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.（2019全国1卷理科）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,A F F B F F ∠∠互补，2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．6.（2019全国1卷理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2. 【解析】【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==可求离心率. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．7.（2019全国1卷理科）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2【解析】【分析】（1）设直线l ：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.8.（2019全国2卷理科）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.（2019全国2卷理科）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10.（2019全国2卷理科）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为−12，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；（2）（i ）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，求出P ，Q 两点的坐标，进而求出点E 的坐标，求出直线QE 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G 的坐标，再求出直线PG 的斜率，计算PQ PG k k 的值，就可以证明出PQG 是直角三角形；（ii ）由（i ）可知,,P Q G 三点坐标，PQG 是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出PQG 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2y x x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x yx +=≠±；（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P 在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE k k =，可得直线QE方程：2k y x =2222 4.k y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形；（ii ）由（i）可知：P Q ，G的坐标为23，PQ ==，PG ==,34218()2252PQGk k S k k ∆+==++ 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16 (1)9 S=.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.11.（2019全国3卷理科）双曲线C：22 42x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A.B. C. 12xxD.【答案】A【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．详解】由2,,a b c===．,2PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．12.（2019全国3卷理科）设12F F，为椭圆22:+13620x yC=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MF F△为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．13.（2019全国3卷理科）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或. 【解析】【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d t d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =。

2019年高考数学试题分类汇编解析几何附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编解析几何一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷理科10）双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒答案：C解析：由题可知,130tan ︒=-a b 即,50tan ︒=a b 则有︒︒=50cos 50sin 2222a b ，即︒︒=-50cos 50sin 22222a a c 所以︒︒=-50cos 50sin 1222e ，︒=50cos 12e ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科10，文科12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=答案：B解析：设x B F =||2，则x B F B F AF AB B F 3||3||||||||2221==+== 由椭圆定义得x a B F B F 42||||21==+，故,23||,2||12aB F a B F ==a AF a AF a AF =-==||2||,||212在21F AF ∆和21F BF ∆中，由余弦定理得a c a a c a F AF 1224cos 22221=⨯⨯-+=∠ a a c a a c a F BF 2222212221249441cos -=⨯⨯-+=∠ 21F AF ∠、21F BF ∠互补得a a a 122=-，解得32=a ，22=b ，方程为12322=+y x 。

故选B 3、（2019年高考全国II 卷理科8，文科9）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p=A ．2B ．3C ．4D ．8 答案：D解析：易知抛物线的焦点为)0,2(p,故椭圆焦点在x 轴上由p p p b a c 23222=-=-=,则p p 2)2(2=,解得p=8。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——3.程序框图

（2013·新课标Ⅰ，5）执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．
A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]
【答案】A解析：．若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．
若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．
，，裂项相消可得；执行第一次循环： ﹑ ﹑ ，当时，即可终止，，即，故输出值为3.
（2017·新课标Ⅲ，7）.执行下面的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为（）.
A．5B．4
C．3D．2
【答案】D解析：程序运行过程如下表所示：
初始状态
0
100
1
第1次循环结束
100
2
A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A 1000和n=n+1D．A 1000和n=n+2
（2017·新课标Ⅱ，8）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2017·新课标Ⅲ，7）.执行下面的程序框图，为使输出的值小于，则输入的正整数的最小值为（）
A．4B．5C．6D．7
（2013·新课标Ⅰ，5）执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()．
A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]
（2013··新课标Ⅱ，6）执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（）
A. B.
C. D.
（2012·新课标Ⅰ，6）如果执行右边和程序框图，输入正整数（）和

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——4.简易逻辑、推理

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编 4．简易逻辑、推理与证明、数学文化一、选择题 (2019·全国卷Ⅰ，理4)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm(2019·全国卷Ⅱ，理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++．设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为（） A ．21M R M B ．212M R M C ．2313M R M D ．2313M R M （2017，新课标Ⅱ，7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩（2015，新课标Ⅰ，3）设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n =（2011·新课标Ⅱ，10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题中真命题是（）12:+10,3P πθ⎡⎫>⇔∈⎪⎢⎣⎭a b 22:1,3P πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦a b3:10,3Pπθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭a b4:1,3Pπθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦a bA．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4二、填空题（2016·新课标Ⅱ，15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______. （2014，新课标Ⅰ，14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编 4．简易逻辑、推理与证明、数学文化（解析版）一、选择题 (2019·全国卷Ⅰ，理4)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【答案】B【基本解法】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为,,,A B C D ，故可得512AB BC -=，512AC CD -=，设身高为x ，可得51CD x -=，35AC x -=，735AB x -=，由题意可得73526,51105AB x CD x ⎧-=<⎪⎪⎨-⎪=>⎪⎩化简可得13(735),105(51)2x x ⎧<+⎪⎨+>⎪⎩即169.9178.2x <<，故选B 。

2011年-2019年全国二卷理科数学解析几何分类汇编

2012年—2019年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编11．解析几何一、选择题（2019·8）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8（2019·11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D（2018·5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y = （2018·12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14（2017·9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2BCD ．3（2016·4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（）AB ．32CD ．2（2015·7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（）A．B ．8C．D ．10（2015·11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（） AB ．2CD（2014·10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（） ABC ．6332D ．94（2013·11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（）A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x =（2013·12）已知点(1,0)A -，，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（） A .(0,1)B.1(1)2-C .D .（2012·4）设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（） A.21B.32 C.43 D.54 （2012·8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（）A.2B. 22C. 4D. 8（2011·7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A , B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（） ABC ．2D ．3二、填空题(1,0)B 1(1]311[,)32（2017·16）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2014·6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·14）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 . 三、解答题（2019·21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.（2018·19）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．（2017·20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·20）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .（Ⅰ）当t =4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围.（2015·20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b ab +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .（2013·20）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>右焦点F 的直线0x y +交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.（2012·20）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点. （Ⅰ）若∠BFD =90º，△ABD 面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.（2011·20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, -1)，B点在直线y=-3上，M点满足⋅=⋅，M点的轨迹为曲线C .MB OA，MA AB MB BA//（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值.。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理10)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += (2019·全国卷Ⅱ，理8)若抛物线22y px =(0)p >的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（） A ．2B ．3C ．4D ．8(2019·全国卷Ⅱ，理11)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（）A B C ．2 D (2019·全国卷Ⅲ，理10)双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（）A B C ． D ．(2018·新课标Ⅰ，理8) 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（） A ．5B ．6C ．7D ．8(2018·新课标Ⅰ，理11)已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（）A ．32B ．3C ．D ．4（2018·新课标Ⅱ，理5）双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = （2018·新课标Ⅱ，理12）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，A ．23B ．12C ．13D ．14（2018·新课标Ⅲ，理6）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ （2018·新课标Ⅲ，理11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为（）A B ．2 C D（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10（2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2BC D（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（）. A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= （2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）.A B C ．3D ．13（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（）AB ．32CD ．2（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.34（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（）（A ）( （B ）( （C ）( （D ）( （2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（）A ．B ．8C ．D ．10（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）AB ．2CD （2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（）A B .3 C D .3m（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 （2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A BC ．6332D ．94（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x （2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + （2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = （2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A ．12 B ．23 C ．34D ．45（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则C 的实轴长为（）AB ．C ．4D ．8（2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）（A （B （C ）2 （D ）3二、填空题(2019·全国卷Ⅰ，理16)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________． (2019·全国卷Ⅲ，理15)设F 1，F 2为椭圆C ：2213620x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为______________．（2018·新课标Ⅲ，理16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．（2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l ：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =，则||CD =__________.（2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .（2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·新课标Ⅰ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理19)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．(2019·全国卷Ⅱ，理21)已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为12 -．记M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．（i）证明：PQG△是直角三角形；（ii）求PQG△面积的最大值．(2019·全国卷Ⅲ，理21)已知曲线C：22xy=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．（2018·新课标Ⅰ，理19）设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20，．⑴当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； ⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠．（2018·新课标Ⅱ，理19）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k ＞的直线l 与C 交于A B ，两点，8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A B ，且与C 的准线相切的圆的方程．（2018·新课标Ⅲ，理20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . .（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>右焦点F的直线x y+交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理10)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】B 解析：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+b y a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x . (2019·全国卷Ⅱ，理8)若抛物线22y px =(0)p >的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（） A ．2 B ．3 C ．4D ．8【答案】D 解析：抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆2231x y p p +=的焦点坐标为()，2p=，则8p =. (2019·全国卷Ⅱ，理11)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（）ABC ．2 D【答案】A 解析：由题意，把x代入x 2+y 2＝a 2，得PQ，再由|PQ |＝|OF |，得，即2a 2＝c 2，∴，解得e ．方法2：由题意知： 222222224a x y a x c c c abx y y c ⎧⎧+==⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎛⎫-+=⎪⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎩，又2abc c=，所以2220a b ab +-=，即a b =，e =(2019·全国卷Ⅲ，理10)双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（）A．4B．2C． D．【答案】A 解析：一条渐近线方程为y x =，则设()P x x，双曲线的方程得焦点坐标F ，则PO PF ==，由PO PF =得一个坐标P ，即112224PFO OF y ∆==⨯=(2018·新课标Ⅰ，理8) 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 解析：焦点F (1,0)，直线l , 2224(2)(2)3333y x x x =+=+=+，242433y xy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2540x x -+=，解得121214,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以M (1，2),N (4，4). (0,2)(3,4).8FM FN FM FN ===，故选D.(2018·新课标Ⅰ，理11)已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（） A ．32B ．3 C． D ．4【答案】B 解析：因为双曲线221,(2,0)3x y F -=，所以渐近线方程为3y x =±，倾斜角分别为30,150，所以60MON ∠=，不妨设90MNO ∠=，所以30,30OMN FON ∠=∠=，因为2OF =，所以在Rt FON ∆中，cos3022ON OF =⋅=⨯=，所以在Rt MON ∆中，tan 6033MN ON =⋅==．【基本解法2】由题意可得渐近线方程为y x=±，可分别求出M 和点N 的坐标；32)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3(,2M ．2)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，可得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩M ．所以在MN=3=，故选B（2018·新课标Ⅱ，理5）双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞）A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x = 【答案】A 解析：由于()2222100x y a b a b -=>>，可知：该双曲线的渐近线方程为by x a =±.已知离心率e =（ce a=），设a t =，则c =，由222c a b =+可知：b =，故双曲线的渐近线方程为y =。

2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——11.立体几何

2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编11．立体几何一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理12)已知三棱锥P −ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）A．68πB．64πC．62πD．6π(2019·全国卷Ⅱ，理7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面(2019·全国卷Ⅲ，理8)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM = EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM = EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线(2018·新课标Ⅰ，理7) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．217B．25C．3D．2(2018·新课标Ⅰ，理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．33B．23C．32D．3（2018·新课标Ⅱ，9）在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB BC==，13AA=，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A．15B．5C．5D．2（2018·新课标Ⅲ，理3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）MNCE4423· （2018·新课标Ⅲ，理10）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A ．123B ．183C ．243D ．543（2017·新课标Ⅰ，7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A ．10B ．12C ．14D ．16（2017·新课标Ⅱ，4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π（2017·新课标Ⅰ，7）（2017·新课标Ⅱ，4）（2016·新课标Ⅰ，6）（2017·新课标Ⅱ，10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A 3B 15C 10D 3（2017·新课标Ⅲ，8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4（2016·新课标Ⅰ，6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（）（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28（2016·新课标Ⅰ，11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，α平面ABCDm =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（）（A ）3（B ）2 （C ）3 （D ）13（2016·新课标Ⅱ，6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π（2016·新课标Ⅲ，9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. 18365+B. 54185+C. 90D. 81（2016·新课标Ⅲ，10）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（）A. 4πB.9π2C. 6πD. 32π3（2015·新课标Ⅰ，6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛（2015·新课标Ⅰ，11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620π+，则r =（）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8（2015·新课标Ⅱ，6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（） A ．81B ．71 C ．61 D ．51（2015·新课标Ⅱ，6）（2014·新课标Ⅰ，12）（2015·新课标Ⅱ，9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π面体的个条棱中，最长的棱的长度为( )A .62B .42C .6D .4（2014·新课标Ⅱ，6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A ．1727B ．59C ．1027D ．13（2014·新课标Ⅱ，6）（2013·新课标Ⅰ，6）（2013·新课标Ⅰ，8）（2014·新课标Ⅱ，11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90º，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（） A ．110B ．25C 30D 2（2013·新课标Ⅰ，6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3cm 3（2013·新课标Ⅰ，8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π（2013·新课标Ⅱ，4）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）A.α // β且l // αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l（2013·新课标Ⅱ，7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）B.C. D.体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．15（2012·新课标Ⅰ，11）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22（2011·新课标Ⅰ，6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）二、填空题(2019·全国卷Ⅱ，理16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）HEFGOD1C1B1CDBA1(2019·全国卷Ⅱ，理16) (2019·全国卷Ⅲ，理16)(2019·全国卷Ⅲ，理16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm．3D打印所用的材料密度为0．9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g．（2018·新课标Ⅱ，理16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45 ．若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为_________．（2017·新课标Ⅰ，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．（2017·新课标Ⅲ，16）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角；②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45；④直线AB 与a 所称角的最小值为60；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）（2016·新课标Ⅱ，14）α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . （3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)（2011·新课标Ⅰ，15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为．三、解答题(2019·全国卷Ⅰ，理18)如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A −MA 1−N 的正弦值．(2019·全国卷Ⅱ，理17)如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．(2019·全国卷Ⅲ，理19)图1是由矩形ABED，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合．连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小．GFCAE BDE(F)图1 图2（2018·新课标I ，理18）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（2018·新课标Ⅱ，20）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．（2018·新课标Ⅲ，理19）如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑵当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．（2017·新课标Ⅰ，18）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A -PB -C 的余弦值．（2017·新课标Ⅱ，19）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面P AB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值（2017·新课标Ⅲ，19）如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，ACD △是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角––D AE C 的余弦值．（2016·新课标Ⅰ，18）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60．（Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．（2016·新课标Ⅱ，19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE =CF =54，EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D ´EF的位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值.OBAFDHED 'ABCDE（2016·新课标Ⅲ，19）如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD =AC =3，P A =BC =4，M 为线段AD 上一点，AM =2MD ，N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.（2015·新课标Ⅰ，18）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=，,E F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，2BE DF =，AE EC ⊥.（I ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；（II ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.（2015·新课标Ⅱ，19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.（2014·新课标Ⅰ，19）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（Ⅰ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=BC 求二面角111A A B C --的余弦值.（2014·新课标Ⅱ，18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60º，AP=1，AD3E-ACD的体积.（2013·新课标Ⅰ，18）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，19）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点， DC 1⊥BD ．（1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．1AD1B1CACEBA 1（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：P A⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．C2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编11．立体几何（解析版）一、选择题(2019·全国卷Ⅰ，理12)已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（） A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【答案】D 解析：设PA x =，则2222222-42cos =22PA PC AC x x x APC PA PC x x x ++--∠==⋅⋅⋅ ∴2222cos CE PE PC PE PC APC =+-⋅⋅∠22222222424x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+∵90CEF ∠=︒，1,322xEF PB CF === ∴222CE EF CF +=,即222344x x ++=，解得2x =，∴2PA PB PC ===，又2AB BC AC ===，易知,,PA PB PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC -的外接球的半径为6， ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为346632ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D. 解法2：如图，由PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ﹣ABC 为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于G ，则AC ⊥BG ，又PO ⊥AC ，PO ∩BG ＝O ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ， ∵E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF ∥PB ，又∠CEF ＝90°，即EF ⊥CE ，∴PB ⊥CE ，得PB ⊥平面PAC ， ∴正三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D．半径为，则球O 的体积为．(2019·全国卷Ⅱ，理7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B 解析：对于A ，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B ，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C ，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D ，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故选：B ．(2019·全国卷Ⅲ，理8)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A ．BM = EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM = EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B 解析：∵点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，∴BM ⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，∵BM 是△BDE 中DE 边上的中线，EN 是△BDE 中BD 边上的中线， ∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE ＝a ，则2BD a =，2235244BE a a a =+=，∴62BM a =，223144EN a a a =+= ∴BM ≠EN ．(2018·新课标全国Ⅰ卷理7) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．217B ．25C ．3D ．2【答案】B 解析：当路径为线段MN 时，长度最短，故最短路径的长度为222425+=.MN C E(2018·新课标Ⅰ，理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（） A ．33B ．23C ．32D ．3 【答案】A 解析：（直接法）平面11A C B 符合题意，如图（1）所示，例题中的平面α可得面11A C B 平移平移后的图象如图（1）所示，六边形EFGHMN 为该截面设1A N x =，则有2,2(1)EN x MN x ==-根据对称性可知2(1),2EF x FG x =-=，延长,EN HM 相交于点P延长,EF HG 相交于点Q ，易证60HEF EHG ∠=∠= 所以EHQ ∆为等边三角形，同理EHP ∠为等边三角形，所以maxEHG EPG PMN FGQEFGHMNS S S S S ∆∆∆∆=+--六边形22223333(2)(2)(2(1))(2)4444x x =+---233(221)2x x =-+当12x =时，max 334EFGHMN S =六边形．【解法2】（特殊位置法）由题可知，截面α应与正方体体对角线垂直，当平面平移至截面为六边形时，此时六边形的周长恒定不变，所以当截面为正六边形时，面积最大max232336()424EFGHMN S =⨯⨯=六边形．（2018·新课标Ⅱ，9）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C 解析：法一：由几何关系可知：11522EF B D ==，132AE =，1AF =，由余弦定理可知：5cos 5θ=解法二：坐标法：由几何关系可知：()11,1,3B D =，点A 的坐标为()1,0,3，点1D 的坐标为()1,1,0 ()10,1,3AD =-，25cos 25θ-==解法三：补型法（以右补为例）：由几何关系可知：5BD ，2DG =，15B G =45cos 45θ=.（2018·新课标Ⅲ，理3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）【答案】A 解析：根据题意，A 选项符号题意.（2018·新课标Ⅲ，理10）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A ．123B ．183C ．243D ．543【答案】B 解析：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由93ABC S ∆=，得6AB =，取BC 的中点H ，∴sin 6033AH AB =⋅︒=，∴2233AG AH ==，∴球心O 到面ABC 的距离为224(23)2d =-=，∴三棱锥D ABC -体积最大值193(24)1833D ABC V -=⨯⨯+=.（2017·新课标Ⅰ，7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16【答案】 B 解析：由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，()24226S =+⨯÷=梯，6212S =⨯=全梯，故选B ；（2017·新课标Ⅱ，4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】 B 解析：从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为V Sh =，3r =，4h =，∴ 136V π=；上面阴影的体积2V 是上面部分体积3V 的一半，即2312V V =，3V 与1V 的比为高的比（同底），即3132V V =，213274V V π==，故总体积02163V V V π=+=.方法2：354V Sh π==，其余同上，故总体积02163V V V π=+=.（2017·新课标Ⅱ，10）已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）A 3B 15C 10D 3 【答案】 B 解析：解法一：在边1BB ﹑11B C ﹑11A B ﹑AB 上分别取中点E ﹑F ﹑G ﹑H ，并相互连接. 由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线1AB 和1BC 所成的夹角为FEG ∠或其补角，通过几何关系求得22EF =5FG =112FH =，利用余弦定理可求得异面直线 1AB 和1BC 10.解法二：补形通过补形之后可知：1BC D ∠或其补角为异面直线1AB 和1BC 所成的角，通过几何关系可知： 12BC =15C D =，3BD 1AB 和1BC 10. 解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，()0,2,1A ，()10,0,0B ，()0,0,1B ，131,02C ⎫-⎪⎪⎝⎭，∴ 131,12BC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,1B A =，∴ 111110cos 52B A BC B A BC θ⋅===⨯⋅ （2017·新课标Ⅲ，8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】 B 解析：由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则圆柱体体积23ππ4V r h ==.故选B.（2016·新课标Ⅰ，6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（）（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28【答案】 A 解析：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ．（2016·新课标Ⅰ，11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，α平面ABCDm =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（）（A ）23 （B ）22 （C ）33（D ）31【答案】 A 解析：如图所示：αAA 1B1DCC 1D 1∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即113sin CD B ∠=．故选A ．（2016·新课标Ⅱ，6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】 C 解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =， 2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+=，21π4π16π8π28π2S r ch cl =++=++=表，故选C ．4423· 2016，62015，62014，6（2016·新课标Ⅲ，9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18365+ B. 54185+ C. 90 D. 81【答案】 B 解析：由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2332362393654185⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=+（2016·新课标Ⅲ，10）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是A. 4πB.9π2C. 6πD.32π3【答案】 B 解析：由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA=<⨯，所以内接球的半径为32，即V的最大值为34932Rππ=（2015·新课标Ⅰ，6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛【答案】 B 解析：284Rπ=，圆锥底面半径16Rπ=，米堆体积21320123V R hππ==，堆放的米约有221.62V≈，选（B）.（2015·新课标Ⅰ，11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620π+，则r=（）（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】 B 解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都r，圆柱的高为2r，其表面积为2222142225416202r r r r r r r rπππππ⨯+⨯++⨯=+=-，解得2r=，故选（B）.1086（2015·新课标Ⅱ，6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（） A ．81 B ．71 C ．61 D ．51（2015·6）D 解析：由三视图得，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A-A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.（2015·新课标Ⅱ，9）已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C 解析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故R=6，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．（2014·新课标Ⅰ，12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4D ABC -，【答案】 C 解析：（解析）：如图所示，原几何体为三棱锥其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，选CCADD 1C 1B 1A 1BOAC（2014·新课标Ⅱ，6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A ．1727B ．59C ．1027D ．13【答案】 C 解析：原来毛坯体积为π·32·6=54π (cm 2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm 2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=.（2014·新课标Ⅱ，11）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90º，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（） A ．110B ．25C 30D 22【答案】 C 解析：取BC 的中点P ，连结NP 、AP ， ∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴四边形NMBP 为平行四边形，∴BM //PN ，∴所求角的余弦值等于∠ANP 的余弦值，不妨令BC =CA =CC 1=2，则AN =AP 5NP =6，∴222222||||||(5)(6)(5)cos 2||||256AN NP AP ANP AN NP +-∠=⨯⋅⨯⨯30=. 【另解】如图建立坐标系，令AC =BC =C 1C =2，则A (0, 2, 2)，B (2, 0, 2)，M (1,1,0)，N (0,1,0)，(1,1,2)(0,1,2),BM AN ∴=--=--，30cos 10||||65BM AN θBM AN ⋅===⋅（2013·新课标Ⅰ，6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm 3 B ．866π3cm 3 C ．1372π3cm 3 D ．2048π3cm 3ACB1A1C1BN MP【答案】 A 解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. （2013·新课标Ⅰ，8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】 A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A.（2013·新课标Ⅱ，4）已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）A.α // β且l // αB.αβ⊥且l β⊥C.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【答案】 D 解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l ⊄α，所以l ∥α. 同理可得l ∥β. 又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.（2013·新课标Ⅱ，7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）【答案】A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为右图，则它在平面zOx 上的投影即正视图为右图，故选A.（2012·新课标Ⅰ，7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】 B 解析：由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ，底面△BCD 为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ，AO ⊥底面BCD ，因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B ．（2012·新课标Ⅰ，11）已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（） A ．26B ．36C ．23D ．22【答案】A 解析：如图所示，根据球的性质，知⊥1OO 平面ABC ，则C O OO 11⊥．在直角C OO 1∆中，1=OC ，331=C O ，所以36)33(122121=-=-=C O OC OO ．因此三棱锥S －ABC 的体积6236433122=⨯⨯⨯==-ABC O V V ，故选择A ．（2011·新课标Ⅰ，6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）B. C. D.O DA SCOO 1BA1-x 21-x 2x【答案】D 解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的．故选D 二、填空题(2019·全国卷Ⅱ，理16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【命题意图】考查空间想象能力，数学抽象概括能力.【答案】26，21 解析：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x ，则x x x ＝1，解得x 1．(2019·全国卷Ⅲ，理16)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O -EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ．3D 打印所用的材料密度为0．9g /cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g ．。