重庆高一上学期第一次月考数学试卷有答案
重庆市巫山高一上学期第一次月考数学试卷
考试时间：120分钟 满分150+10分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 图中阴影部分表示的集合是( )
A. ()U A C B
B. B A C U )(
C. )(B A C U
D. ()U C A B
2. 已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ）
A ．x x 62+
B ．782++x x
C ．322-+x x
D ．1062-+x x
3. 若函数()y f x R =在上单调递减且()()21f m f m >+，
m 则实数的取值范围是（ ）A ．(),1-∞- B ．(),1-∞ C ．()1,-+∞ D ．()1,+∞ 4. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步
行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离．．．．．．。
则较符合该学生走法的图象是（ ）
5. 已知22(1)
()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x 的值是（ ）
0t
d
O
0d
A
0t
d
O
0d
B
0t
d
O
0d
C
0t
d
O
0d
D
U
A` B
A. 1
B. 1或
32 C. 3 D. 1、3
2
或3± 6. 函数2()4f x x x =-的递增区间为（ ）
A.[2,)+∞
B. [4,)+∞
C.(,2]-∞
D. (,4]-∞
7. 奇函数．．．)(x f 在区间[1，
4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间]1,4[--上（ ）
A. 是减函数，有最大值2-
B. 是增函数，有最大值2-
C. 是减函数，有最小值2-
D. 是增函数，有最小值2- 8. 若偶函数)(x f 在(],0-∞上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A.)2()1()23(f f f <-<-
B.)2
3
()1()2(-<-<f f f
C.)1()23()2(-<-<f f f
D.)2()23
()1(f f f <-<-
9. 若*,x R n N ∈∈，规定：()()()121-+⋯++=n x x x x H n x ，例如:
()()()()2412344
4=-⋅-⋅-⋅-=-H ，则()52-⋅=x H x x f 的奇偶性为（ ）
A ．是奇函数不是偶函数
B ．是偶函数不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
10. 已知{}
{}Z k k y y Y Z n n x x X ∈±==∈+==,14|,12|，，那么下列各式正确的是
A ． X
Y B ．Y
X C ．X Y = D ．以上都不对
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．
11. 若}0|{2<-∉a x x ，则实数a 的取值范围是
12. 已知集合(){}2|,=+=y x y x M ,(){}4|,=-=y x y x N ,那么集合N
M ＝ ．
13. 若奇函数)(x f 的定义域为R ，当0>x 时)2()(x x x f -=。
则当0≤x 时=)(x f 14. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是
15. 若0≥x ,0≥y ,且12=+y x ，那么232y x +的值域为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （Ⅰ）（此题是附加题，建议同学们最后完成．．．．．．．．．．．．．．．．。
10分）设集合{}10,,3,2,1 =A ，求集合A 的所有非空子集元素和的和。
（Ⅱ）（本小题满分13分）已知集合{}
{}9,1,1,,12,42
a a B a a A --=--=，已
知{}9=B A ，求实数a 的值。
17. （本题满分13分）设U R =，{}5217A x x =-<+<，函数
1
()42
x f x x x -=
+--的定义域为B ，求：
（Ⅰ）A B ；
（Ⅱ）()U A
C B 。
18. （本题满分13分）已知集合，
，且A B ⊆，求实数
的取值范围。
19. （本题满分12分）某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上
网，费用分为通讯费与网络维护费两部分。
现有政策规定：① 通讯费为1.2元/小时，但此费用每月30元封顶（即超过30元则只需交30元），② 网络维护费1元/小时，但此费用每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时。
（Ⅰ）将该网民在某月内在家上网的费用y （元）表示为时间t （小时）的函
数；
（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？
20. （本题满分12分）设函数1)(2++=bx ax x f （0≠a 、R b ∈），若0)1(=-f ，
且对任意实数x （R x ∈）不等式)(x f ≥0恒成立．
（Ⅰ）求实数a 、b 的值；
（Ⅱ）当∈x [－2，2]时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围
21. （本题满分12分）已知定义在R +
上的函数()f x 同时满足下列三个条件：
① (3)1f =-;
② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+； ③0)(,1<>x f x 时.
（Ⅰ）求)9(f 、)3(f 的值； （Ⅱ）证明：函数()f x 在R +
上为减函数； （Ⅲ）解关于x 的不等式2)1()6(--<x f x f .
参考答案
一、选择题
1. A
2.A
3. B
4. D
5. C
6.B
7. A
8. C
9. B 10. C 二、填空题
11. ]2，（∞- 12.(){}13-，
13. 22x x +
14.8
9
0≥=a a 或
15.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,43 三、解答题
16. 解：由已知{}9=B A 可得：912=-a 或92=a
解得：5=a 或3±
但是 当5=a 时，41-=-a ，
当3-=a 时，41-=-a ， 不满足{}9=B A ，∴5≠a 且3-≠a
而 当3=a 时，{}{}9,2,2,9,5,4-=-=B A ，满足题意。
∴实数a 的值为3.
17. 解：由7125<+<-x 得33<<-x
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≠-≥-040201x x x 解得：41≤≤x 且2≠x ∴{}33|<<-=x x A ，{}241|≠≤≤=x x x B 且 故（1）{}43|≤<-=x x B A
（2）∵{}421|>=<=x x x x B C U 或或 ∴{}213|)(=<<-=x x x B C A U 或 18. 解：
，
当时,，
当
时
,
，
，
或
从而，实数
的取值范围为
19. 解：（1）⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧>+≤<≤<+=)
8()
25(30)5()2510(2.2t
)2()100(2.110分分分t t t t t y (2) 上网时间超过60小时则在家上网便宜。
（12分）（没有过程适当扣分） 20. 解：（Ⅰ）∵0)1(=-f ∴01=+-b a
∵任意实数x 均有)(x f ≥0成立∴⎩⎨⎧≤-=∆>0
402
a b a 解得：1=a ，2=b
（Ⅱ）由（1）知12)(2++=x x x f
∴1)2()()(2+-+=-=x k x kx x f x g 的对称轴为2
2
-=k x ∵当∈x [－2，2]时，)(x g 是单调函数 ∴
222-≤-k 或22
2
≥-k ∴实数k 的取值范围是),6[]2,(+∞--∞ ． 21. （1）解：
2
131333233339-
=∴-==+-=+=⨯=）（）（）（）（）（）（）（）（f f f f f f f f
.
)()()(221111*********上为减函数在）（）（）（）（
）（，，〈证明：设）（++
∴>∴<+==∈R x f x f x f x f x f x x
f x x x f x f R
x x x x
（3）不等式等价于⎪⎩
⎪
⎨⎧>->->0106)
1(96x x x x ，解得 31<<x .。
重庆高一上学期第一次月考数学试卷有答案
重庆市巫山高一上学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟 满分150+10分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 图中阴影部分表示的集合是( )A. ()U A C BB. B A C U )(C. )(B A C UD. ()U C A B2. 已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ）A ．x x 62+B ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x3. 若函数()y f x R =在上单调递减且()()21f m f m >+，m 则实数的取值范围是（ ）A ．(),1-∞- B ．(),1-∞ C ．()1,-+∞ D ．()1,+∞ 4. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离．．．．．．。
则较符合该学生走法的图象是（ ）5. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）0tdO0dA0tdO0dB0tdO0dC0tdO0dDUA` BA. 1B. 1或32 C. 3 D. 1、32或3± 6. 函数2()4f x x x =-的递增区间为（ ）A.[2,)+∞B. [4,)+∞C.(,2]-∞D. (,4]-∞7. 奇函数．．．)(x f 在区间[1，4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间]1,4[--上（ ）A. 是减函数，有最大值2-B. 是增函数，有最大值2-C. 是减函数，有最小值2-D. 是增函数，有最小值2- 8. 若偶函数)(x f 在(],0-∞上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A.)2()1()23(f f f <-<-B.)23()1()2(-<-<f f fC.)1()23()2(-<-<f f fD.)2()23()1(f f f <-<-9. 若*,x R n N ∈∈，规定：()()()121-+⋯++=n x x x x H n x ，例如:()()()()24123444=-⋅-⋅-⋅-=-H ，则()52-⋅=x H x x f 的奇偶性为（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数10. 已知{}{}Z k k y y Y Z n n x x X ∈±==∈+==,14|,12|，，那么下列各式正确的是A ． XY B ．YX C ．X Y = D ．以上都不对二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．11. 若}0|{2<-∉a x x ，则实数a 的取值范围是12. 已知集合(){}2|,=+=y x y x M ,(){}4|,=-=y x y x N ,那么集合NM ＝ ．13. 若奇函数)(x f 的定义域为R ，当0>x 时)2()(x x x f -=。
重庆高一高中数学月考试卷带答案解析
重庆高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列说法正确的是（）A．B．C．D．2.若全集且则等于（）A．B．C．D．3.如图所示，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．4.已知是实数，条件；条件，则是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．不充分也不必要条件5.下列各组函数中，表示同一函数的是（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，。
A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸6.已知在区间上是增函数，则实数的范围是（）A．B．C．D．7.函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．8.定义在上的函数满足：的图像关于轴对称，并且对任意的，有.则当时,有（）A．B．C．D．9.唐僧取经途中发现某地村民有人说实话，有人说谎话，唐僧命猪八戒找来4个村民，“你们是说实话的人，还是说谎话的人？”这4个村民回答如下：第一个人说：“我们4个人都是说谎话的人．”第二个人说：“我们4个人中只有一个人是说谎话的人．”第三个人说：“我们4个人之中有两人是说谎的人．”第四个人说：“我是说实话的人．”唐僧听后说：“真难辨．”孙悟空一下就断定了哪个是说实话的人，你认为孙悟空断定的是哪个人呢？（）A．第一个人B．第二个人C．第三个人D．第四个人二、填空题1.集合，集合，则；2.若函数，则等于；3.若函数的定义域是,则实数的取值范围是。
4.已知集合，集合，映射表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则以为坐标的点组成的集合有子集个。
5.若是定义在上的减函数，且的图像经过点，则不等式的解集是；三、解答题1.用单调性的定义证明：函数在上是减函数。
2.已知全集，集合。
（1）求；（2）若，求实数的取值范围。
3.设集合若求实数的取值范围。
4.两城相距，在两地之间距城km处建一核电站给两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于。
高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)
高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合{0,1}A =，{|0}B x x =，则下列结论正确的是( ) A. {0}B ∈B. A B ⋂=∅C. A B ⊆D. A B R ⋃=2. 已知集合，{2,1,0,1,2,4}B =--，则A B ⋂=( ) A. {1,0,1,2}-B. {2,0,4}-C. {0,1,2}D. {0,1}3. 已知命题p ：x R ∃∈，2 1.x x +则命题p 的否定是( ) A. x R ∃∈，21x x >+ B. x R ∃∈，21x x + C. x R ∀∈，21x x +D. x R ∀∈，21x x >+4. 已知a R ∈，则“2a >”是“4a >”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. “A B ⊆“是“A B B ⋂=“的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 如果0a <，0b >，那么下列不等式中正确的是( )A.11a b< B. <C. 22a b <D. ||||a b >7. 已知集合M 满足{1,2}{1,2,3}M ⋃=，则集合M 的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 48. 对于任意实数x ，不等式2(2)2(2)40m x m x ---+>恒成立，则m 的取值范围是( ) A. {|22}m m -<< B. {|22}m m -< C. {|2m m <-或2}m >D. {|2m m <-或2}m9. 已知a ，b R ∈，且0ab ≠，则在下列四个不等式中，不恒成立的是( )A.222a b ab +B.2b a a b+ C. 2()2a b ab +D. 222()22a b a b ++10. 设S 为实数集R 上的非空子集．若对任意x ，y S ∈，都有x y +，x y -，xy S ∈，则称S 为封闭集．下面是关于封闭集的4个判断：(1)自然数集N 为封闭集； (2)整数集Z 为封闭集；(3)若S 为封闭集，则一定有0S ∈； (4)封闭集一定是无限集．则其中正确的判断是( )A. (2)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(2)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知函数21()ln log f x a x b x =+，若(2017)1f =，则1()2017f =______ . 12. 若0x >，则12x x+的最小值为______，此时x 的取值为______. 13. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是__________.14. 设2{|340}A x x x =+-=，{|10}.B x ax =-=若B A ⊆，则a 的值为______.15. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润(y 万元)与机器运转时间(x 年数，*)x N ∈的关系为21825.y x x =-+-则当每台机器运转______ 年时，年平均利润最大，最大值是______ 万元．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
重庆高一高中数学月考试卷带答案解析
重庆高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若,则集合中的元素个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知集合｜，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．集合M是有限集3.函数的定义域是（）A．B．C．D．4.下列各函数中为奇函数的是（）A．B．C．D．5.函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．6.已知，则的表达式为（）A．B．C．D．7.设集合，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知函数在R上是增函数，且，则的取值范围是（）A．(-B．C．D．9.函数在上取得最小值，则实数的集合是（）A．B．C．D．10.设函数，区间，集合，则使M＝N成立的实数对有（）A．0个B．1个C．2个D．无数多个二、填空题1.已知函数，则的值为____________2.若函数，，则的值域是___________3.设，，是的充分条件，则实数的取值范围是________4.函数的单调递减区间为______________5.若函数在区间（0，1]上是减函数，则的取值范围是_________。
三、解答题1.已知集合,求：（1）；（2）2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，（1）求的值；（2）当时，求的解析式；3.已知函数，满足；（1）若方程有唯一的解；求实数的值；（2）若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围。
4.已知函数。
（1）讨论的奇偶性；（2）判断在上的单调性并用定义证明。
5.已知函数满足对一切都有,且,当时有. （1）求的值;（2）判断并证明函数在上的单调性;（3）解不等式:.6.已知函数.（1）画出 a =" 0" 时函数的图象；（2）求函数的最小值.重庆高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若,则集合中的元素个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据题意，由于集合，则可知元素是由点组成的，且为列举法，可知有两个点，故有2个元素，选B.【考点】集合的概念点评：解决的关键是理解集合的元素的性质，属于基础题。
重庆市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(含答案)
重庆2023-2024学年度（上）月考高一年级数学试题（答案在最后）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,0,1,2,3,4430A B x x x =-=--≥∣，则RA B = ð（）A.{}1,2,3- B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}0,1【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集和并集运算求解即可.【详解】由{}2R 4430B xx x =--<∣ð，由24430x x --<，得()()1323210,,22x x x ⎛⎫-+<∈-⎪⎝⎭，所以R 13,22B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ð，则{}R 0,1A B = ð.故选：D D .2.“2x y z +>”是“x y z >>”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用特殊值、不等式的性质，以及充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】令1,3, 1.5x y z ===，满足2x y z +>，但不满足x y z >>；当x y z >>时，,,x z y z x y z z >>∴+>+，即2x y z +>，所以“2x y z +>”是“x y z >>”的必要不充分条件.故选：B3.函数()22log x f x x =+的零点所在区间为（）A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,42⎛⎫⎪⎝⎭C.13,24⎛⎫⎪⎝⎭D.3,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由零点存在定理，代入计算，即可判断.【详解】函数()22log x f x x =+是定义域()0,∞+上的增函数，又1412204f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()22log x f x x =+的零点所在区间为11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B .4.若R a ∈，幂函数()()2422a f x a a x-=--在()0,∞+上单调递减，则实数a 的值为（）A.1-B.3C.1-或3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由幂函数定义结合幂函数单调性知识可得答案.【详解】由()f x 为幂函数有2221a a --=，即3a =或1-，又由()f x 在()0,∞+上单调递减得40a -<，经验证3a =或1-均成立.故选：C .5.已知函数()1)f x a =<<，则()1f x +的定义域为（）A.()1,-+∞ B.(),1-∞- C.()0,∞+ D.(),0∞-【答案】A 【解析】【分析】先求出()f x 的定义域，利用抽象函数求定义域的方法求解()1f x +的定义域.【详解】解：由根据函数()1)f x a =<<的解析式可知011x a <-<，有0x >，即()f x 定义域为()0,,∞+()1f x ∴+定义域为()1,-+∞.故选：A .6.小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122m L m L =，其中12,m m 分别为左右盘中物体质量，12,L L 分别为左右横梁臂长）.A.等于20g B.小于20gC.大于20gD.与左右臂的长度有关【答案】C 【解析】【分析】设天平左臂长为a ，右臂长为b ，根据已知条件列式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ¹，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则10,10bx a ay b ==，1010,,101020a b a b x y x y b a b a ⎛⎫∴==∴+=+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ¹，等号不成立，即20x y +>.因此，小明两次称得的黄金总重量大于20g .故选：C7.若函数()()22log 3a f x x ax =-在()0,1上有意义且不单调，则a 的取值范围是（）A.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.13,22⎛⎫⎪⎝⎭ C.3,32⎛⎫⎪⎝⎭D.3,32⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用对数底数的取值范围得到0a >且12a ≠，再设()23g x x ax =-，利用它在区间()0,1上有意义且不单调，进一步求a 的取值范围.【详解】根据对数底数的取值范围得：0a >且12a ≠.设()23g x x ax =-，在区间()0,1上不单调，由0a >知()g x 开口向下，只需要对称轴()30,12x a=∈，且()(){}min 0,10g g ≥即可，所以：3012300030a a a ⎧<<⎪⎪⨯-⨯≥⎨⎪-≥⎪⎩，解得3,32a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：D8.若函数()()0,0,1,1xxf x m nm n m n =+>>≠≠是偶函数，则2n m-的取值范围是（）A.[)1,-+∞ B.()2,1-- C.()1,-+∞ D.()()1,00,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】由偶函数定义可化简整理得到1mn =，代入消元，可将所求式子化为关于n 的二次函数，结合二次函数值域和n 的范围可求得结果.【详解】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，即11x xx x m n m n+=+，()()()()110x nxxxxxxm n m n m n mn mn ⎡⎤+∴-+=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0xm > ，0xn >，()11xmn ∴=，则1mn =，()22222111n n n n n mn--∴==-=--，0n > 且1n ≠，()()2111,n ∴--∈-+∞，即2n m-的取值范围为()1,-+∞.故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列大小关系正确的是（）A.0.30.422<B.0.20.234<C.24log 3log 8<D.23log 3log 2>【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.【详解】A 选项：由指数函数2x y =为单调递增函数，可得0.30.422<成立，所以A 选项正确；B 选项：由幂函数0.2y x =为单调递增函数，可得0.20.234<成立，所以B 选项正确；C 选项：由对数函数4log y x =为单调递增函数，则244log 3log 9log 8=>，所以C 选项不正确；D 选项：由函数2log y x =与3log y x =均为单调递增函数，则22log 3log 21>=，而33log 2log 31<=，所以D 选项正确.故选：ABD.10.若“2R,10x ax ax ∃∈++≤”为假命题，则a 的值可能为（）A.1-B.0C.2D.4【答案】BC 【解析】【分析】首先根据“2R,10x ax ax ∃∈++≤”为假命题，将问题转化为“2R,10x ax ax ∀∈++>”恒成立问题，然后通过对a 分类讨论求解；【详解】“2R,10x ax ax ∃∈++≤”为假命题，则“2R,10x ax ax ∀∈++>”为真命题，当0a =时，10>，符合题意，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04,a <<04a ∴≤<，故a 的值可能为02，，故选：BC BC .11.函数()21ax f x x a+=+的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.【详解】当0a =时，()21f x x=是偶函数，当0x >时，()f x 为减函数，此时对应图象可能是C ；当0a >时，x ∈R ，令()0f x =得10x a =-<，()f x 为非奇非偶函数，且()()22222ax x a f x x a --+'=+，令222y ax x a =--+其对应方程的3440a ∆=+>，设其对应方程的两根分别为1x ，2x ，()120x x <<，所以()1,x x ∈-∞，()0f x '<，()12,x x x ∈，()0f x ¢>，()2,x x ∈+∞，()0f x '<，即函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是B ；当a<0时，()f x 为非奇非偶函数，()f x在x =取()21212,,0,22x a f x f x x -⎛⎫=-==< ⎪-⎝⎭时()0f x >且()f x单增，x >时()0f x <且()f x单增，x <<时()f x 单增，此时对应图象可能是D ；对于A ，由于图象无间断点，故0a >，但此时()f x 在0x <上不可能恒正，故选：BCD .12.已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列选项正确的是（）A.函数()f x 的值域为[)1,-+∞B.方程()2f x =有两个不等的实数解C.不等式()()0f f x >的解集为()10,8,84∞⎛⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D.关于x 的方程()()2221f x f x a -=-的解的个数可能为2,4,5【答案】ACD 【解析】【分析】画出函数的图象，通过图象即可确定函数的值域求解A ，根据2y =与函数()f x 图象的交点个数即可求解B,根据()0f x >时确定12x <或2x >，即可由()12f x <或()2f x >求解C ，结合二次函数的性质即可求解D.【详解】画出()221,0log 1,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象，如下图所示：令22log 10log 1x x -=⇒=，解得12x =或2x =，所以()f x 的图象与x 轴交于()1,0,2,02⎛⎫⎪⎝⎭，对于A ，由图象可知，函数()f x 的值域为[1,),∞-+A 对；对于B ，由图象可知，直线2y =与函数()f x 图象有三个不同的交点，故方程()2f x =有三个不等的实数解，B 错；对于C ，由图象可知，当12x <或2x >时，()0f x >，所以，由()()0f f x >，可得()12f x <或()2f x >.令21log 12x -=，解得4x =或x =2log 12x -=，解得18x =或8x =，由图象可知，不等式()()0ff x >解集为()10,8,,84∞⎛⎛⎫⋃⋃+ ⎪ ⎝⎭⎝C 对；对于D ，令()t f x =，则22210t t a -+-=，则()2Δ42a=-，当Δ0=时，22,1a t ==，由图可知1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()2221f x f x a -=-解的个数为2个，当Δ0>时，即22a <时，1t =±，则0<≤，故111<+≤+，111-≤-<，当1t =-()()11,1=-f x ，则x 有两解，当1t =+(]1,2t ∈，则x有三解，若(2,1∈+t ，则x 有两解，故方程()()2221fx f x a -=-解的个数为4或5个，综上方程()()2221f x f x a -=-解的个数可能为2,4,5个.故选：ACD.【点睛】方法点睛：函数零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()3232f x x x =-+在[]2,3上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1)时，至少需要进行__________次函数值的计算.【答案】4【解析】【分析】根据二分法求零点的方法，计算一次，区间精度变为上一次的12，根据精度要求即可求解.【详解】设对区间[]2,3二等分n 次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为12；第2次计算后区间长度为210.252=；第3次计算后区间长度为310.1252=；第4次计算后区间长度为410.06250.12=<；故至少计算4次.故答案为：4.14.已知346xy==，则21x y+=_________．【答案】2【解析】【分析】由346x y ==可得3466log x log y ==，代入目标，利用换底公式即可得到结果.【详解】∵346x y ==∴3466log x log y ==，，∴66634212123436266log log log x y log log +=+=+==故答案为2【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.15.若函数()()224f x x a x a =+-+-在()0,1上只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】5,42⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】根据题意，将函数零点问题转化为方程根的问题，然后分离参数，构造函数()14g t t t=-++，即可得到结果.【详解】()2224240,1x x x a x a a x -+++-+-==+，设()11,2t x =+∈，()22(1)2144114t t t t a t t t t--+-+-++===-+，令()()14,g t t g t t=-++在()1,2t ∈上单调递减，故()()()52,1,42a g g ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭.故答案为：5,42⎛⎫⎪⎝⎭16.已知函数()2222x x f x -=+，若()()2220f a f a -+->，则实数a 的取值范围为__________.【答案】()(),32,-∞-⋃+∞【解析】【分析】构造函数()()1g x f x =+，得其为奇函数，结合单调性即可求解.【详解】解：令()()11222112221x x x xg x f x ++--=+==++，因为()()21212112R,021212121x x x xx x x x x g x g x ------∈+-=+=+=++++，()g x ∴为奇函数，又因为()2121x g x =-+，由复合函数单调性知()g x 为x ∈R 的增函数，()()2220f a f a -+->，则()()()()()()22222,313133f a f a f a f a g a g a ->---+>--+->--,，()()2233,33g a g a a a ->-∴->-，解得3a <-或2a >，故()(),32,a ∈-∞-+∞ .故答案为：()(),32,-∞-⋃+∞四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2A x x a =->，集合2112x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭.（1）若2a =，求A B ⋂；（2）若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}20x x -<<（2）(]0,1【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式和分式不等式的解法求出集合A 、B ，然后由交集运算可得；（2）根据A B ⋃=R ，结合数轴分析即可求解.【小问1详解】若2a =，由22x ->，解得0x <或4x >，则{0A x x =<或}4x >，又2112x x -≤+，即302x x -≤+，解得23x -<≤，则{}23B xx =-<≤∣，{}20A B x x ∴⋂=-<<.【小问2详解】由题设解得{2A x x a =<-或}2x a >+，{}23B x x =-<≤ ∣，且A B ⋃=R ，2223a a ->-⎧∴⎨+≤⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1.18.已知函数()243f x mx mx =++.（1）若()0f x ≤的解集为{}31xx -≤≤-∣，求实数m 的值；（2）若0m >，求不等式()0f x ≤的解集.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）()0f x ≤的解集为{}31xx -≤≤-∣即0m >且3-和1-是方程2430mx mx ++=的两根，列式求解即可；（2）根据()243f x mx mx =++图像与x 轴的交点情况分类讨论，确定解集.【小问1详解】由题设知，0m >且3-和1-是方程2430mx mx ++=的两根，所以()()()2Δ4120331m m m ⎧=->⎪⎨-⨯-=⎪⎩，解得1m =.【小问2详解】①若Δ0<，则304m <<，此时()243f x mx mx =++图像恒在x 轴上方，所以()0f x ≤的解集为∅；②若Δ0=，则34m =，此时()223333(2)44f x x x x =++=+的图像开后向上且与x 轴只有一个交点(2,0)-，所以()0f x ≤的解集为{}2xx =-∣；③若Δ0>，则34m >，此时()243f x mx mx =++图像与x 轴有两个交点，令()2430f x mx mx =++=，解得1243432,2m m x x m m--=--=-+，所以此时()0f x ≤的解集为22⎡--⎢⎣.综上，当304m <<时，解集为∅；当34m =时，解集为{}2xx =-∣；当34m >时，解集为22m m ⎡---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.19.塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y 与时间t 年之间的关系为00e,r t vy y y -=⋅为初始量，r 为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），v 为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：ln5 1.6,lg20.3≈≈）（1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年？（2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的20%.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？【答案】（1）144年（2）26年【解析】【分析】（1）由题意00.2y y =代入条件式运算得解；（2）由题意得2004e 5r vy y -⨯⋅=，可求出r v ，然后解不等式4ln 25001e 20t y y ⋅≤可得结果.【小问1详解】由题可知19000e0.2t y y y -=⋅=，所以190e 0.2-=，所以1ln0.2 1.690t -=≈-，解得144t ≈，所以残留量为初始量的20%，大约需要144年.【小问2详解】根据题意当2t =时，()0120%y y =-，2004e5r vy y -⨯⋅=，4ln 250et y y ∴=⋅，若残留量不超过初始量的5%，则4ln 25001e20t y y ⋅≤，即241520t⎛⎫≤ ⎪⎝⎭两边取常用对数41lg lg 2520t ≤，解得()2lg21263lg21t -+≥=-，所以至少需要26年.20.已知函数()()2log 3f x a x a =--，函数()4xg x =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()y f x =图象恒在()y g x =图象的下方，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()()()32R xf x a a x =--∈（2）(1,)+∞【解析】【分析】（1）根据题意，令2log t x =，得到2t x =，求得()()()32R tf t a a t =--∈，即可求得()f x 的解析式；（2）根据题意，转化为任意x ∈R ，不等式()2322xxa a --<恒成立，令2xt =，得到2max31t t a t ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，再令1u t =+，则()45h u u u ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】由函数()()2log 3f x a x a =--的定义域为()0,∞+，令2log t x =，因为()0,x ∈+∞，所以R t ∈，则2t x =，所以()()()32R tf t a a t =--∈，即函数()f x 的解析式为()()()32R xf x a a x =--∈.【小问2详解】由()y f x =图象恒在()y g x =图象的下方，即()()f x g x <恒成立，即对任意x ∈R ，不等式()324xxa a --<恒成立，即对任意x ∈R ，不等式()2322xxa a --<恒成立，令()20,xt =∈+∞，则2max31t t a t ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，再令()11,u t ∞=+∈+，则()2544551u u h u u u u -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当=4u u时，即2u =，0x =时，等号成立，所以1a >，即实数a 的取值范围为(1,)+∞.21.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且当1x >时，()1f x >.（1）证明函数()f x 是偶函数；（2）证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；（3）若()22f =，解不等式()()2213f x f x >-+.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）,11,1,3553⎛⎫⎛⎛⎫⎛---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）令1x y ==得到()11f =，再令1x y ==-得到()11f -=，然后令1y =-，结合奇偶性的定义判断.（2）设()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，得到22111,1x x f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，由()()()1f xy f x f y +=+得到()()()1f xy f x f y -=-，再利用单调性的定义证明；（3）令2x y ==，得到()43f =，将原不等式转化为()()2244f x f x>-，再利用单调性求解.【小问1详解】解：令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=.令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数【小问2详解】设()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，则22111,1x x f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.由()()()1f xy f x f y +=+得()()()1f xy f x f y -=-，则()()221110x f x f x f x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】令2x y ==，则()43f =，由已知定义()()221f x f x=+，()()()2214441f x f f x -+=-+，所以()()2244f xf x>-，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递增，所以222440 10x x x x ⎧>-⎪⎪≠⎨⎪-≠⎪⎩，解得35x -<<-或(153x x <<≠且1)x ≠-，即()()2213f x f x <-+的解集为：,11,1,3553⎛⎫⎛⎛⎫⎛---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .22.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,i n n =∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）判断()[]()0,4g x x x =∈是否为()[]()20,1f x x x =+∈的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由.（2）若()()2231,21ln ,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨>⎩为()2e 2log e 1x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如][][1.21,22, 1.22⎡⎤==-=-⎣⎦.若()[][)()0,2g x ax ax x =-∈为()[)()20,21xf x x x =∈+的“5重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.【答案】22.是，1；23.23a ≤；24.95,42⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解；（2）先求出()f x 的值域，然后将问题转化为()y g x =的图象与直线y k =有两个交点的问题，然后对a 进行分类讨论可得；（3）作出()y g x =的图象，结合图象可解.【小问1详解】由定义可得，对任意[]00,1x ∈，恰好存在n 个不同的实数[]12,,,0,4n x x x ⋯∈，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋯∈），即[]022,3i x x =+∈，][2,30,4⎡⎤⊆⎣⎦ ，且()g x x =为增函数，∴对于任意[]00,1x ∈，都有唯一一个[]0,4i x ∈，使得02i x x =+，()g x ∴是()f x 的“n 重覆盖函数”，1n =；【小问2详解】可得()22e 21log log 1e 1e 1x x x f x +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭的定义域为R ，即0x ∀∈R ，存在2个不同的实数[)12,2,x x ∈-+∞，使得()()0i g x f x =，其中1,2i =，11e 0,e 1101112e 1e 1x x x x >∴+>⇒<<⇒<+<++ ，210log 11e 1x ⎛⎫∴<+< ⎪+⎝⎭，即()()021log 10,1e 1i x g x ⎛⎫=+∈ ⎪+⎝⎭，即对任意()01,k g x k <<=有2个实根，当1x >时，()ln g x x k ==已有一个根，故只需21x -≤≤时()g x k =仅有1个根.当0a =时，()31g x x =-+，符合题意，当0a >时，若对称轴3202ax a-=<，()244617g a a -=-++= ，且()01g =，()y g x ∴=在322,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，32,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则一定存在()0,1k ∈使得()g x k =有两个根，舍去；若对称轴3202ax a -==，则()()1,g x g x k ≥=无解，舍去；若对称轴3202ax a-=>，则()y g x =在()0,1上必须单调递减，且()10g ≤，32122310aa a a -⎧≥⎪∴⎨⎪+-+≤⎩，解得203a <≤；当a<0时，对称轴3202ax a-=<，()27g -= 且()01g =，(]2,0x ∴∈-时，()1g x ≥，()g x k =无解；当()0,1x ∈时，()y g x =单调递减且()1320g a =-<，因此()g x k =仅有1个根，符合题意.综上，实数a 的取值范围是23a ≤；【小问3详解】()002010,12x f x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦∴对于任意()[)10,,,0,22m g x m x ⎡⎤∈=∈⎢⎥⎣⎦要有5个根，()[]1,0,121,,232,,ax x a ax x g x ax ax a a ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢=-=⎣⎭⎨⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⋅⋅⋅⎩，作出函数的图像，如下图：要使()[),0,2g x m x =∈有5个根，需9522a a<≤，又0a >，解得9542a <≤，所以正实数a 的取值范围95,42⎛⎤⎥⎝⎦.。
2020-2021学年重庆市某校高一(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年重庆市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列关系正确的是（）A.{0}∈{0, 1, 2}B.{0, 1}≠{1, 0}C.{0, 1}⊆{(0, 1)}D.⌀⊆{0, 1}2. 已知集合A＝{1, 3a}，B＝{a, b}，若A∩B={13}，则a2−b2＝（）A.0B.43C.89D.2√233. 设x>0，y>0，M=x+y1+x+y ，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是（）A.M＝NB.M<NC.M>ND.不能确定4. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a, b)=√a2+b2−a−b，那么φ(a, b)＝0是a与b互补的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知不等式ax2−bx−1≥0的解集是{x|−12≤x≤−13}，则不等式x2−bx−a<0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|x<2或x>3}C.{x|13<x<12}D.{x|x<13x>12}6. 若a>0，b>0且a+b＝7，则4a +1b+2的最小值为（）A.89B.1 C.98D.102777. 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（）A.−2<a≤−1或3≤a<4B.−2≤a≤−1或3≤a≤4C.−2≤a<−1或3<a≤4D.−2<a<−1或3<a<48. 下列说法正确的是（）A.若命题p，￢q都是真命题，则命题“(￢p)∨q”为真命题B.命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”与命题“若x＝2且y＝3，则x+y＝5”真假相同C.“x＝−1”是“x2−5x−6＝0”的必要不充分条件D.命题“∀x>1，2x>0”的否定是“∃x0≤1，2x0≤0”二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）下列各不等式，其中不正确的是（）A.a2+1>2a(a∈R)B.|x+1x|≥2(x∈R,x≠0)C.√ab ≥2(ab≠0) D.x2+1x2+1>1(x∈R)下列不等式中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的有（）A.x<1B.0<x<1C.−1<x<0D.−1<x<1下列命题正确的是（）A.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D.若a≥b>0，则a1+a ≥b1+b给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A.集合M＝{−4, −2, 0, 2, 4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M＝{n|n＝3k, k∈Z}为闭集合D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知集合A＝{x∈Z|x2−4x+3<0}，B＝{0, 1, 2}，则A∩B＝________．若“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．若不等式ax2+2ax−4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．已知x>0，y>0，且x+3y＝xy，若t2+t<x+3y恒成立，则实数t的取值范围是________四、解答题：（本大题共6小题，共70分。
2022-2023学年重庆市南开中学高一上学期第一次月考数学测试题(解析版)
2022-2023学年重庆市南开中学高一上学期第一次月考数学测试题一、单选题1．集合{}2{N 6},R 30A x x B x x x =∈>=∈->∣∣，则()NA B ⋂=（ ）A ．{}3,4,5B ．{}4,5,6C ．{36}xx <≤∣ D ．()(],03,6∞-⋃【答案】B【分析】根据一元二次不等式可得B ,进而根据集合的补运算和交运算即可求解. 【详解】由题意得{}{2R30=3B x x x x x =∈->>∣或}0x <，{}=0123456NA ，，，，，，，所以(){}456N A B ⋂=，，， 故选：B2．已知集合{}1,2,3,5,10,{A B x x ==∣为质数}，则A B 的非空子集个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16【答案】B【分析】由题意易知{}2,3,5A B =，则可求出答案.【详解】结合交集的运算易得{}2,3,5A B =，共含有3个元素，其非空子集个数为3217-=.故选：B.3．已知集合{}32,N A x x n n ==+∈，{}53,N B x x n n ==+∈，若()x A B ∈，则下列选项中符合题意的x 为（ ） A ．5 B ．8C ．20D ．25【答案】B【分析】根据53,N x n n =+∈，可得x 的个位数为3或8，从而代入选项判断即可. 【详解】因为53,N x n n =+∈，故x 的个位数为3或8，排除ACD.当8x =时，328n +=，解得2n =满足条件. 故选：B4．已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】D【分析】依题意可得1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得即可.【详解】解：因为(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+且A B =R ，所以1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈；故选：D5．已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23【答案】C【分析】由两集合相等，其元素完全一样，则可求出=0,=0x y 或1,0x y ==或1124x y ==，，再利用集合中元素的互异性可知1124x y ==，，则可求出答案.【详解】若A B =，则22x x y y ⎧=⎨=⎩或22x y y x =⎧⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩或1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由集合中元素的互异性，得1214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则111244x y -=-=， 故选：C ．6．设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值不可以是（ ） A ．0 B ．16C ．12D ．2【答案】D【分析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案. 【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B =，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.7．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ） A ．6 B ．5C ．7D ．8【答案】A【分析】根据题意，作出维恩图，由数形结合列出方程求解即可. 【详解】作维恩图，如图所示，则周一开车上班的职工人数为a b c x +++，周二开车上班的职工人数为b d e x +++， 周三开车上班的职工人数为c e f x +++，这三天都开车上班的职工人数为x . 则1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，得22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，得212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 取得最大值6. 故选：A8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k -再求和，例如{2,3,8}A =，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87-⋅+-⋅+-⋅=，对S 的所有非空子集，这些和的总和为 A ．508 B ．512 C ．1020 D ．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是72(12345678)512-+-+-+-+=.【详解】因为元素1,2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现72次，则对S 的所有非空子集中元素k 执行乘以(1)k -再求和操作,则这些和的总和是7123456782[(1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(1)6(1)7(1)8]-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯72(12345678)512=-+-+-+-+=.故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.二、多选题9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．U N C M ⋂B ．UMNC ．()U M N N ⋂⋂⎡⎤⎣⎦D ．()()U UM N【答案】AC【分析】根据Venn 图，由集合运算的概念，即可得出结果.【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于N ，不属于M ，故其表示集合UN M 或()UM N N ⎡⎤⋂⋂⎣⎦．故选:AC ．10．已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值可能为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】BCD【分析】分别将各选项代入集合A ，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案. 【详解】选项A ：当1a =-时，213--≤，143--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误； 选项B ：当0a =时，13-≤，(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确； 选项C ：当1a =时，213-≤，1(4)3-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确； 选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确. 故答案为：BCD.11．我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为{,}S A xx S x A =∈∉∣．类似地，对于集合A 、B ，我们把集合{},x x A x B ∈∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．例如，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，则有{1,2,3}A B -=，{6,7,8}B A -=，下列说法正确的是（ ）A ．若{2}A xx =>∣，{}24B x x =>∣，则{2}B A x x -=<-∣ B ．若A B -=∅，则B A ⊆C ．若S 是高一（1）班全体同学的集合，A 是高一（1）班全体女同学的集合，则SS A A -=D ．若{2}A B =，则2一定是集合A B -的元素 【答案】AC【分析】选项AC 符合题意，正确；选项BD 可以通过举反例来证明错误.【详解】选项A ：{}{}2422B xx x x x =>=><-∣∣，或，{2}A x x =>∣，则{2}B A x x -=<-∣.判断正确；选项B ：令{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =，则A B -=∅，但B A ⊆.判断错误；选项C ： S A -表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有SS A A -=.判断正确；选项D ：令{1,2,3}A =，{2,4,5}B =，则{2}A B =，{}1,3A B -=，此时{}21,3∉.判断错误； 故选：AC12．设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0r >，都存在x X ∈，使得00x x r <-<成立，那么称0x 为集合X 的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（ ）A ．1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭B ．,1nx x n N n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭ C ．{},0x x Q x ∈≠ D ．整数集Z【答案】AC【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断.【详解】A.因为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，所以对于任意0r >，都存在1n r >，使得10x r n <=<成立，所以0为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭的聚点，故正确；B. 因为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大12，所以对于12r <时，不存在满足0x r <<的x ，所以0不为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭的聚点，故错误； C. 对任意0r >，都存在2=rx ，使得02x r r <=<成立，那所以0为集合{},0x x Q x ∈≠的聚点，故正确；D. 对任意0r >，如0.5r =，对任意的整数，都有00x x -=或01x x -≥成立，不可能有000.5x x <-<成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误； 故选：AC三、填空题13．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则UA________【答案】}{3213x x x -<≤-<<或 【分析】根据补集的含义即可求解.【详解】因为全集{}33U x x =-<<，集合{}21A x x =-<≤， 所以{}3213UA x x x =-<≤-<<或.故答案为：{}3213x x x -<≤-<<或.14．已知集合3(,)|2,,1y A x y x y x -⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭R ，{(,)|4160,,}B x y x ay x y =+-=∈R ，A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为________．【答案】(,2)(2,4)(4,)-∞--+∞【分析】明确集合A,B 的含义，由A B ⋂≠∅可得相应的不等式，即可求得答案. 【详解】集合A 表示直线32(1)y x -=-，即21y x =+上除去点(1,3)的点， 集合B 表示直线4160x ay +-=上的点．因为A B ⋂≠∅，所以直线21y x =+与4160x ay +-=相交，且交点不是点(1,3)， 所以240a +≠且43160a +-≠，解得2a ≠-且4a ≠， 所以实数a 的取值范围为(,2)(2,4)(4,)-∞--+∞， 故答案为：(,2)(2,4)(4,)-∞--+∞15．已知集合{}23124A x x x x =≤+≤+，{}12B x m x m =+≤-≤，若B A ，则实数m 的取值范围为______．【答案】[)1,-+∞【分析】根据题意分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可.【详解】由题意，得{}13A x x =-≤≤，{}212B x m x m =+≤≤+． ①当B =∅，即221m m +<+，即1m 时，B A ，满足题意； ②当B ≠∅，即1m 时，若B A ，则21123m m +≥-⎧⎨+<⎩或21123m m +>-⎧⎨+≤⎩，解得11m -≤≤．综上，实数m 的取值范围为[)1,-+∞． 故答案为：[)1,-+∞16．设()1,2,3i a i =均为实数，若集合{}123,,a a a 的所有非空真子集的元素之和为12，则123a a a ++=__________ 【答案】4【分析】列举出集合{}123,,a a a 的所有非空真子集，根据题意可求得123a a a ++的值. 【详解】集合{}123,,a a a 的所有非空真子集为：{}1a 、{}2a 、{}3a 、{}12,a a 、{}13,a a 、{}23,a a ，由题意可得()123312a a a ++=，解得1234a a a ++=. 故答案为：4.四、解答题17．已知20x px q ++=的两个不相等的实根是{}1212,,,x x M x x =，{}{}1,3,5,7,9,1,4,7,10A B ==，若,A M B M M ⋂=∅⋂=，求p q +的值.【答案】26p q +=【分析】根据交集结果及方程根的情况可得{}4,10M =，应用根与系数关系即可求值. 【详解】由,A M B M M ⋂=∅⋂=， 所以{}4,10M =或{}4或{}10戓∅，因为20x px q ++=的两个不相等的实根是{}1212,,,x x M x x =，所以{}4,10M =，所以410,40p q +=-=，解得14,40p q =-=， 所以26p q +=.18．已知m 为实数，(){}210A x x m x m =-++=，{}10B x mx =-=．(1)当A B ⊆时，求m 的取值集合； (2)当B A 时，求m 的取值集合. 【答案】(1){}1 (2){}0,1-【分析】（1）分1m =、1m ≠两种情况讨论，求出集合A ，根据A B ⊆可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m =、0m =、1m ≠且0m ≠三种情况，求出集合A 、B ，根据B A 可得出关于m 的等式，即可解得实数m 的值.【详解】(1)解：因为()()()211x m x m x x m -++=--，所以当1m =时，{}1A =，当1m ≠时，{}1,A m =． 又A B ⊆，所以1m =，此时{}1B =，满足A B ⊆． 所以当A B ⊆时，m 的取值集合为{}1． (2)解：当1m =时，{}1A B ==，B A 不成立； 当0m =时，{}1,0A =，B =∅，B A 成立；当1m ≠且0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1,A m =，由B A ，得1=m m ，所以1m =-．综上，m 的取值集合为{}0,1-．19．已知集合{}{}25,121A xx B x m x m =-≤≤=-≤≤+∣∣． (1)当*x ∈N 时，求A 的非空真子集的个数；(2)当x ∈R 时，若A B =∅，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)30 (2)32m <-或6m >【分析】（1）当*x ∈N 时，可得A 中元素的个数，进而可得A 的非空真子集的个数； （2）根据A B =∅，可分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，可得出实数m 的取值范围． 【详解】(1)当*x ∈N 时，{}{}251,2,3,4,5A xx =-≤≤=∣，共有5个元素， 所以A 的非空真子集的个数为52230-=． (2)（1）当B =∅时，121m m ->+，解得2m <-； （2）当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得12115m m m -≤+⎧⎨->⎩或121212m m m -≤+⎧⎨+<-⎩ 解得：322m -≤<-或6m >综上可得，实数m 的取值范围是32m <-或6m >．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”．(1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a cb d b d ++、、之间的大小关系．【答案】(1)是，理由见解析； (2)a a c cb b d d+<<+.【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得ad bc <，然后利用作差比较大小即可. 【详解】(1)有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”； 37112⨯<⨯,(3,11)∴是(2,7)的"下位序列"；(2)(),a b 是(),c d 的“下位序列”，ad bc ∴<，a ，b ，c ，d 均为正数，∴0()a c a bc ad b d b b d b +--=>++，即0a c ab d b+->+， a c ab d b+∴>+， 又0()a c c ad bcb d d b d d+--=<++， ∴a c cb d d+<+， 综上所述：a a c cb b d d+<<+. 21．已知集合143A x x ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭N ，{}10B x ax =-≥.请从①A B B ⋃=，②A B =∅，③()R A B ⋂≠∅这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当12a =时，求A B ； (2)若______，求实数a 的取值范围. 【答案】(1){}2,3(2)选择①，[)1,+∞；选择②，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；选择③，(),1-∞【分析】(1)取12a =化简B ，化简A ，再根据交集的定义求A B ； (2)若选①，由A B B ⋃=可得A B ⊆，讨论a 的正负，由条件列不等式求a 的取值范围；若选②，讨论a 的正负，化简集合B ，结合条件A B =∅列不等式求a 的取值范围；若选③，讨论a 的正负，化简集合B ，结合条件()R A B ⋂≠∅列不等式求a 的取值范围.【详解】(1)由题意得，{}141,2,33A x x ⎧⎫=∈<<=⎨⎬⎩⎭N .当12a =时，{}11022B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭， ∴{}2,3A B ⋂=； (2)选择①.∵A B B ⋃=，∴A B ⊆，当0a =时，B =∅，不满足A B ⊆，舍去；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B ⊆，则11a ≤，解得1a ≥；当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭ ，此时10a <，不满足A B ⊆，舍去.综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞. 选择②.当0a =时，B =∅，满足A B =∅；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，要使A B =∅，则13a >，解得103a <<；当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，此时10a <，A B =∅.综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.选择③.当0a =时，B =∅，R R B =，∴()R B A A ⋂=≠∅，满足题意；当0a >时，1B x x a ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，R 1B x x a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，要使()RA B ⋂≠∅，则11a>，解得01a <<； 当0a <时，1B x x a ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，R 1B x x a ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，此时10a <，()R B A A ⋂=≠∅，满足题意.综上，实数a 的取值范围为(),1-∞.22．对于任意的*n N ∈，记集合{1,2,3,,}n E n =，,n n n P x x a E b E ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭，若集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②12,x x A ∀∈，且12x x ≠，不存在*N k ∈，使212x x k +=，则称A 具有性质Ω.如当2n =时，2{1,2}E =，2P ⎧=⎨⎩，112,x x P ∀∈，且12x x ≠，不存在*N k ∈，使212x x k +=，所以2P 具有性质Ω.(1)写出集合3P ，4P 中的元素个数，并判断3P 是否具有性质Ω. (2)证明：不存在A ､B 具有性质Ω，且A B =∅，使15E A B =⋃. (3)若存在A ､B 具有性质Ω，且A B =∅，使n P A B =⋃，求n 的最大值.【答案】(1)3P ，4P 中的元素个数分别为9，14，3P 不具有性质Ω． (2)证明见解析 (3)14【分析】（1）由已知条件能求出集合3P ，4P 中的元素个数，并判断出3P 不具有性质Ω． （2）假设存在A ，B 具有性质Ω，且A B =∅，使15E A B =．其中15{1E =，2，3，⋯，15}，从而1AB ∈，由此推导出与A 具有性质Ω矛盾．从而假设不成立，即不存在A ，B 具有性质Ω，且AB =∅，使15E AB =．（3）当15n 时，不存在A ，B 具有性质Ω，且A B =∅，使n P A B =．14n =，根据1b =、4b =、9b =分类讨论，能求出n 的最大值为14．【详解】(1)解：对于任意的*n N ∈，记集合{1n E =，2，3，⋯，}n ，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭．当3n =时{}31,2,3E =，3P ⎧=⎨⎩；当4n =时{}41,2,3,4E =，413,22P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴集合3P ，4P 中的元素个数分别为9，14，集合A 满足下列条件：①n A P ⊆；②1x ∀，2x A ∈，且12x x ≠，不存在*k N ∈，使212x x k +=，则称A 具有性质Ω，因为31P ∈，33P ∈，2132+=，*2∈N ，不符合题意，3P ∴不具有性质Ω．(2)证明：假设存在A ，B 具有性质Ω，且A B =∅，使15E A B =．其中15{1E =，2，3，⋯，15}．因为151E ∈，所以1A B ∈，不妨设1A ∈．因为2132+=，所以3A ∉，3B ∈．同理6A ∈，10B ∈，15A ∈．因为21154+=，这与A 具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A ，B 具有性质Ω，且A B =∅，使15E A B =．(3)解：因为当15n 时，15n E P ⊆，由（2）知，不存在A ，B 具有性质Ω，且A B =∅，使n P A B =．若14n =，当1b =时，1414x x a E E ⎧⎫∈=⎨⎬⎩⎭， 取1{1A =，2，4，6，9，11，13}，1{3B =，5，7，8，10，12，14}， 则1A ，1B 具有性质Ω，且11A B =∅，使1411E A B =．当4b =时，集合14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外，其余的数组成集合为13513{,,,,}2222⋯， 令215911{,,,}2222A =，23713{,,}222B =， 则2A ，2B 具有性质Ω，且22A B =∅，使2213513{,,,,}2222A B ⋯=．当9b =时，集14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中除整数外，其余的数组成集合12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333， 令31451013{,,,,}33333A =，32781114{,,,,}33333B =． 则3A ，3B 具有性质Ω，且33A B =∅，使3312457*********{,,,,,,,,,}3333333333A B =．集合1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫=∈∈≠⎨⎬⎩⎭中的数均为无理数， 它与14P 中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令123A A A A C =，123B B B B =，则AB =∅，且14P AB =．综上，所求n 的最大值为14．。
重庆高一高中数学月考试卷带答案解析
重庆高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．（3, 4）2.已知向量，则的值为（）A．B．C．D．3.（）A．B．C．D．4.函数的值域为（）A．B．C．D．5.已知函数，则的值为（）A．B．C．D．6.已知，则（）A．B．C．D．7.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点（）A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的2倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的2倍（纵坐标不变）8.已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为（）9.已知是定义域为R的奇函数，且当时，．则函数的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．410.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集,为有理数集，则关于函数有如下四个结论：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数对任意的恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．411.函数的定义域为 .二、填空题1.设的终边过点,那么 .2.已知向量，则向量夹角的余弦值为 .3.已知函数上为增函数，则实数的取值范围是 .4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， = .5.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分）重庆市杨家坪中学彩云湖校区于2014年11月正式动工.彩云湖校区将修建标准的400m跑道运动场.运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米（运动场平面图如图），已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元.（1）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；（2）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近似计算）.三、解答题1.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）计算：（1）（2）2.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知函数在处取得最大值3，其相邻两条对称轴间的距离为.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.3.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知向量的夹角为.（1）求；（2）若，求的值.4.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）已知函数.（1）设函数，若函数为偶函数，求实数的值；（2）当时，是否存在实数（其中），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.5.（本小题满分12分，（1）小问3分，（2）小问4分，（3）小问5分）对于函数,若存在实数对（）,使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“（）型函数”.（1）判断函数是否为“（）型函数”，并说明理由；（2）若函数是“（）型函数”,求出满足条件的一组实数对；（3）已知函数是“（）型函数”,对应的实数对为（1,4）.当时,,若当时,都有,试求的取值范围.重庆高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．（3, 4）【答案】B【解析】，∴，故答案为B.【考点】交集点评：解本题的关键是熟练掌握两个集合的交集，是由两个集合中的共同元素组成的集合.2.已知向量，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴1×（－4）－2x＝0，解得x＝－2，故答案为D.【考点】向量共线的条件点评：解本题的关键是掌握向量共线的坐标表示的形式，，若，则. 3.（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故答案为D.【考点】三角函数的诱导公式点评：解本题的关键是掌握三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，利用这些公式进行求值.4.函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的对称轴为x＝1，在[0，1]上单调递减，值域为[－2，－1]；在[1，3]上单调递增，值域为[－2，2]，∴函数在x∈[0，3]的值域为[－2，2]，故答案为B.【考点】函数的值域点评：解本题的关键是求出二次函数的对称轴，利用二次函数的单调性分段求出函数的值域，最后要注意合并. 5.已知函数，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵－1＜0，∴，∴，故答案为C.【考点】分段函数求值点评：解本题的关键是分段函数求值的时候，要代入到对应的解析式进行求值.6.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据对数函数的单调性，，由指数函数的单调性可知，由2为钝角，可知，∴，故答案为A.【考点】函数的单调性点评：解本题的关键是掌握指数函数和对数函数的单调性，余弦函数的符号的判断，注意与0，1进行比较.7.要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点（）A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的2倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原料的2倍（纵坐标不变）【答案】A【解析】把的图象向左平移个单位，得到的图象，再把横坐标缩短为原来的倍，可得到函数的图象，故答案为A.【考点】三角函数图像的平移点评：解本题的关键是掌握函数图像的平移，左右平移时“左加右减”，注意必须是x的系数为1时加减的值，x的系数由1变为时，横坐标变为原来的倍．8.已知函数，是定义在R上的奇函数，当时，，则函数的大致图象为（）【答案】D【解析】由可知为偶函数，为奇函数，可知为奇函数，所以函数图象关于原点对称，当时，∴，故答案为D.【考点】函数的图像点评：解本题的关键是找出函数的奇偶性，由奇函数与偶函数的乘积为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，再利用函数值与0的大小关系，确定函数的图象．9.已知是定义域为R的奇函数，且当时，．则函数的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据题意，当x＞0时，函数在（0，＋∞）上单调递增，由，可得出的零点的个数为1个，根据奇函数的图象关于原点对称，可知x＜0时，的零点的个数与x＞0时零点个数也是1个，且x＝0时，∴函数共有3个零点，故答案为C.【考点】函数的零点点评：解本题的关键是利用函数的性质求函数的零点，由定义域为R的奇函数有，再根据奇函数的图象关于原点对称，求出x＞0时的零点即可得到x＜0时的零点.10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集,为有理数集，则关于函数有如下四个结论：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数对任意的恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由题意知，，故，故①是假命题；当时，，则；当时，，则，故函数是偶函数，②是真命题；任取一个不为零的有理数,若，则是有理数；若，则，∴都有，故③是真命题；取点，，是等边三角形，故④是真命题.故答案为C.【考点】函数的性质点评：解本题的关键是掌握新给函数的含义，能够根据给出函数的运算对给出的选项进行判断.11.函数的定义域为 .【答案】【解析】要使函数有意义，必须满足，解得，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.点评：解本题的关键是掌握对数的真数必须大于0，分式的分母不为0求出x的取值集合.二、填空题1.设的终边过点,那么 .【答案】1【解析】∵角的终边过点P（－4，3），点P到原点的距离为5，∴，∴，故答案为1.【考点】三角函数的定义点评：解本题的关键是根据三角函数的定义，利用角终边上一点的坐标求出角的三角函数值，再代入进行运算.2.已知向量，则向量夹角的余弦值为 .【答案】【解析】根据向量的数量积可得：设向量的夹角为，，∴.【考点】向量的数量积点评：解本题的关键是根据向量的数量积，把向量夹角的余弦值利用向量的数量积及模乘积的商来表示.3.已知函数上为增函数，则实数的取值范围是 .【答案】[1，2]【解析】根据复合函数的单调性可知，由在（0，＋∞）上单调递减，若在（－∞，1）上为增函数，必须满足在（－∞，1）上为减函数且函数值大于0，可得，解得，∴.【考点】复合函数的单调性.点评：解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0.4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， = .【答案】22【解析】根据向量加法的几何意义，可得：，∵ABCD为平行四边形，∴，∴，∴，解得.【考点】向量加法的几何意义，向量的数量积点评：解本题的关键是根据向量加法的几何意义，把向量都用表示，利用向量的运算求出向量的数量积．5.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分）重庆市杨家坪中学彩云湖校区于2014年11月正式动工.彩云湖校区将修建标准的400m跑道运动场.运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米（运动场平面图如图），已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元.（1）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；（2）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近似计算）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）总造价：∴易知函数在区间上单调递减，故当时，总造价最低.【考点】建立函数模型，求函数的最值点评：审清题意，合理建立数学模型，利用函数的单调性求函数的最值三、解答题1.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）计算：（1）（2）【答案】（1）0；（2）3【解析】（1）原式===0（2）原式==1+2=3【考点】有理数指数幂的运算，对数式运算点评：解决此题的关键是掌握有理数指数幂的运算法则，对数式运算法则2.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知函数在处取得最大值3，其相邻两条对称轴间的距离为.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵f（x）的最大值为3，∴A=3，∵相邻两条对称轴间的距离为.∴，∴T=π，∴，∴∵当x= 时，函数f（x）的最大值为3，∴，又，∴∴；（2）当时，∴，∴【考点】正弦函数的图象和性质，函数的图象和性质点评：掌握A为振幅，决定周期，为初相，以及正弦函数的图象和性质3.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知向量的夹角为.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）-12；（2）【解析】（1）由题意得，∴（2）∵，∴，∴，∴，∴【考点】平面向量的数量积的定义的应用，平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件点评：解决此题的关键是掌握平面向量数量积的运算法则，以及向量垂直的充要条件4.（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）已知函数.（1）设函数，若函数为偶函数，求实数的值；（2）当时，是否存在实数（其中），使得不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在t符合题意【解析】（1）∵函数g（x）为偶函数，∴g（-x）=g（x）∴，整理得（2k+1）x=0，∴（2）不等式，等价于恒成立，即，h（x）的对称轴为x=2t，∵0<t<1，∴2t<t+2，∴函数h（x）在[t+2,t+3]上单调递增，∴，解得，又0<t<1，所以不存在t符合题意.【考点】函数的奇偶性，函数恒成立的问题点评：掌握函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）；解决恒成立的问题，常利用转化的数学思想，转化为求函数的最值问题5.（本小题满分12分，（1）小问3分，（2）小问4分，（3）小问5分）对于函数,若存在实数对（）,使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“（）型函数”.（1）判断函数是否为“（）型函数”，并说明理由；（2）若函数是“（）型函数”,求出满足条件的一组实数对；（3）已知函数是“（）型函数”,对应的实数对为（1,4）.当时,,若当时,都有,试求的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）a=1,b=16；（3）【解析】（1）不是“（）型函数”，因为不存在实数对使得，即对定义域中的每一个x都成立；（2）由，可得，所以存在实数对,如a=1,b=16，使得对任意的X∈R都成立（3）由题意得,,所以当时, ,其中,而时,，且其对称轴方程为.当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,从而；当,即时,的值域为,即,则在上的值域为，则由题意得且,解得当,即时,g（x）的值域为,即,则g（x）在[0,2]上的值域为,则,解得.综上所述,所求m的取值范围是.【考点】新定义问题；函数恒成立问题的处理方法点评：考查了学生对新概念函数的理解能力，以及动轴定区间求二次函数的值域问题，注意分类讨论。
高一数学上学期第一次月考试题附答案
已知 A = {x | x ∈ R, x2 + (m + 2)x + 1 = 0} ， B＝{x｜x 是正实数}，若 A B = ∅ ，求实数 m 的取值范围．
（22）（本小题满分 10 分） 已知 p：|1－ x − 1 |≤2，q：x2－2x+1－m2≤0（m＞0）的解集依次为 A、B，
3 且（CUB） （CUA）。求实数 a 的取值范围。
（18）（本小题满分 8 分）
已知集合 P = {y | y = −x2 + 2x + 5, x ∈ R} ， Q = {y | y = 3x − 4, x ∈ R} ， 求PQ，PQ．
（19）（本小题满分 10 分）
已知 A= {x | −2 < x ≤ 5} ，=B {x | 2m −1 ≤ x ≤ m +1}，且 A B = B ，
－N）等于（ ）．
A． M N
B． M N
C．M
D．N
第Ⅱ卷（非选择题 共 72 分）
考生注意事项： 请在．答．题．纸．上．书．写．作．答．，．在．试．题．卷．上．书．写．作．答．无．效．．．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填在答题纸的相应
位置．
（13）设集合 A = {x | (x − 2)2 ≤ 4} ，B＝{1，2，3，4}，则 A B ＝__________．
A． −16 ≤ a < 0
B． a > −16 C． −16 < a ≤ 0
）
D． a < 0
（9）已知 M 有 3 个真子集，集合 N 有 7 个真子集，那么 M∪N 的元素个数为（ ）
A.有 5 个元素