《回归分析》教案1

【教学目标】

1. 了解相关系数r ；

2. 了解随机误差；

3. 会简单应用残差分析

【教学重难点】

教学重点：相关系数和随机误差教学难点：残差分析应用.

【教学过程】

一、设置情境，引入课题

上节例题中，身高172cm 女大学生，体重一定是60kg 吗？如果不是，其原因是什么？二、引导探究，发现问题，解决问题

1 $0.84985.712y x =-对于0.849b

=$是斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位，体重就，表明体重与身高具有的线性相关关系.

2 如何描述线性相关关系的强弱？

()()

x x y y r --=

∑

(1)r >0表明两个变量正相关；(2)r <0表明两个变量负相关；

(3)r 的绝对值越接近1，表明相关性越强，r 的绝对值越接近0，表明相关性越弱. (4)当r 的绝对值大于0.75认为两个变量具有很强的相关性关系.

3 身高172cm 的女大学生显然不一定体重是60.316kg ，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg .

①样本点与回归直线的关系

②所有的样本点不共线，而是散布在某一条直线的附近，该直线表示身高与体重的关系的线性回归模型表示y bx a ε=++

e 是y 与$y bx a =+的误差，e 为随机变量，e 称为随机误差. ③E (e )=0，D (e )= 2σ>0.④D (e )越小，预报真实值y 的精度越高. ⑤随机误差是引起预报值$y 与真实值y 之间的误差之一.

⑥$,a b $为截距和斜率的估计值，与a ，b 的真实值之间存在误差，这种误差也引起$y 与真

实值y 之间的误差之一.

4 思考

产生随机误差项e 的原因是什么？

5 探究在线性回归模型中，e 是用$y 预报真实值y 的误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？如何衡量预报的精度？

①2

()D e σ=来衡量随机误差的大小.②μi i i e y y =- ③μμ$i i i i i

e y y y bx a =-=--$ ④μ$22111(,)(2)22

n i e Q a b n n n σ

===>--∑$$ ⑤$(,)Q a b $称为残差平方和，μ2

越小，预报精度越高. 6 思考

当样本容量为1或2时，残差平方和是多少？用这样的样本建立的线性回归方程的预报误差为0吗？

7 残差分析

①判断原始数据中是否存在可疑数据；②残差图 ③相关指数μ

()1()

i n

i y y R y y ==-=-

-∑∑

④R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好；R 2越接近1，表明回归的效果越好. 8 建立回归模型的基本步骤：

①确定研究对象，明确哪个变量时解释变量，哪个变量时预报变量. ②画出确定好的解释变量和预报变量得散点图，观察它们之间的关系； ③由经验确定回归方程的类型； ④按一定规则估计回归方程中的参数； ⑤得出结果后分析残差图是否异常. 三、典型例题

例1 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数，y 表示响应的年均价格，求y 关于x 的回归方程

减，但不在一条直线附近，但据此认为y 与x 之间具有线性回归关系是不科学的，要根据图的形状进行合理转化，转化成线性关系的变量间的关系.

解：作出散点图如下图

可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y 与x 之间应是非线性相关关系.

与已学函数图像比较，用$μ

bx a y e +=来刻画题中模型更为合理，令$ln z y =$，则$z

bx a =+$$，题中数据变成如下表所示：拟合，由表中数据可得0.996,0.75r r ≈->，认为x 与z 之间具有线性相关关系，由表中数

据的$0.298,8.165,b a ≈-≈$所以0.2988.165z x =-+$，最后回代$ln z y =$，

即$0.2988.165x y e -+= 四、当堂练习：

1 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )

A 模型1的20.98R =

B 模型2的20.80R =

C 模型3的20.50R =

D 模型4的20.25R = 答案 A 五、课堂小结

1 相关系数r 和相关指数R

2 2 残差分析

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