八年级数学相似多边形的性质
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
多边形的相似性与性质解析
多边形的相似性与性质解析多边形是几何学中常见的图形，而相似性是指两个或多个图形的形状相似。
本文将探讨多边形的相似性及其性质，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、相似性的概念多边形的相似性是指两个多边形的对应边成比例，对应角相等。
具体来说，当两个多边形的所有对应边长度之比相等，且对应角度相等时，它们被认为是相似的。
二、相似性的判定条件在判定两个多边形是否相似时，我们可以根据以下条件进行分析：1. 角对应判定：两个多边形的对应角相等。
2. 边对应判定：两个多边形的对应边成比例。
这些判定条件是判断两个多边形相似的基本依据。
三、相似性的性质相似的多边形具有一些重要的性质，接下来我们将介绍其中几个：1. 周长比：相似的多边形的周长比等于任意一条对应边的长度比。
举个例子，若两个三角形相似，它们的周长比等于对应边的长度比。
2. 面积比：相似的多边形的面积比等于任意一条对应边长度的平方比。
对于两个相似的三角形，它们的面积比等于对应边长度的平方比。
3. 高度比：相似三角形的高度比等于对应边长度的比。
4. 布尔斯公式：布尔斯公式是用来计算三角形面积的公式，根据布尔斯公式，相似三角形的面积比等于对应边长度的平方比。
四、应用举例相似性在几何学中有着广泛的应用，特别是在测量和建模方面。
以下是一些应用举例：1. 比例尺计算：根据多边形的相似性，可以利用已知边长比例尺计算未知边长的长度。
2. 面积估算：通过相似多边形的面积比例，可以估算未知多边形的面积。
3. 空间几何建模：多边形的相似性可用于构建三维物体的模型，从而进行工程计算和设计。
五、总结多边形的相似性是几何学中重要的概念，通过判断角对应和边对应的比例关系，我们可以确定多边形之间是否相似。
相似性具有周长比、面积比和高度比等重要性质，并可以应用于测量和建模等实际问题中。
熟练掌握多边形的相似性与性质，对于解决几何问题将大有裨益。
相似多边形的性质的应用
相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（）A．12 B．18 C．24 D．30思路与技巧由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.∴，∴2x=36,x=18.答案 B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的长．思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴（相似多边形对应边成比例），又∵AB=6，∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG，∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又A B=6 ∴AF=4 ∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，∴.点评本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似例4 已知：如图所示，△ABC中，DE//FG//BC．（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．思路与技巧注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积．解（1）令，则，（2）∴可设，则∴AD:AF:AB=1:3:6AD:DF:FB=1:2:3.点评根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．例5 如图所示，△ABC的面积为16，，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC，分别交AC于E、G，设AD=x．（1）把△ADE的面积S1，用含x的代数式表示；（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．思路与技巧转化为相似三角形，利用其性质解决．解（1），即（2）∵F为BD的中点，.例6 如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH//AD，HG//DC，GF//BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．思路与技巧证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等．解四边形四边形．理由：因为，所以，所以，所以又因为，所以，所以，所以．而，所以．因为，所以，所以．而，所以．设，所以，所以，所以因此，所以四边形四边形．点评通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究．例7 已知：ABCD是梯形，AB//DC，对角线AC，BD交于E，ΔDCE的面积与ΔCEB的面积比为1∶3．求：ΔDCE的面积与ΔABD的面积比．分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的．ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而ΔDCE与ΔABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ΔADE与ΔBCE的面积相等，这样ΔDCE与ΔABD的面积比就可求了．解∵SΔ DCE∶SΔCEB=1∶3,而ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，∴DE∶EB=1∶3，∵DC//AB，∴ΔDCE∽ΔBAE，∴SΔDCE∶SΔBAE=(DE∶EB)2=1∶9，∵ΔADC与ΔBDC为等底、等高三角形，∴SΔADC=SΔBDC，∴SΔADC-SΔDCE=SΔBDC-SΔDCE，∴SΔAED=SΔBEC设SΔDCE=k, 则SΔAED=SΔBEC=3k, SΔBAE=9k,∴SΔABD=SΔABE+SΔADE=12k,∴SΔDCE∶SΔABD=1∶12.点评相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方．例8 如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；思路与技巧本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形．第一问，思路，作PEQR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积．第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置．解（1）：作PE⊥QR，E为垂足∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4.∴PE==3.当t=3时，QC=3．设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP，∴=()2.∵S△QEP=×4×3=6，∴S=()2×6=(cm2).（2）当t=5时，QC＝5，B、C两点重合，CR=3，设PR与DC交于G. 由△RCG∽△REP，可求出S△RCG=.S=12-=(cm2).点评本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑．每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想．。
《相似多边形和图形的位似》
《相似多边形和图形的位似》汇报人：日期:•相似多边形的基本概念•相似多边形的判定方法•图形的位似变换目录•相似多边形与位似变换的关系•相似多边形和位似变换的应用举例•总结与展望01相似多边形的基本概念如果两个多边形的对应角相等，则它们是相似的。
对应角相等如果两个多边形的对应边成比例，则它们是相似的。
对应边成比例对应边成比例相似多边形的对应边成比例。
面积比等于相似比的平方相似多边形的面积比等于相似比的平方。
对应角相等相似多边形的对应角相等。
等边三角形矩形三边都相等的三角形。
四个角都是直角的四边形。
等腰三角形等腰梯形正方形两边相等的三角形，其中两边为腰，另一边为底。
有一组对边平行且另一组对边相等的四边形。
四边相等且四个角都是直角的四边形。
02相似多边形的判定方法平行线的性质是判定定理的基础，通过平行线的性质可以推导出相似多边形的判定定理。
平行线性质相似三角形的判定相似多边形的定义首先证明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质推导出两个多边形相似。
根据相似多边形的定义，如果两个多边形的对应角相等，则它们相似。
030201判定定理可以应用于实际问题中，例如在建筑设计、工程绘图等领域中，需要利用相似多边形的性质进行计算和设计。
判定定理也可以应用于数学问题中，例如在几何证明、代数运算等领域中，可以利用相似多边形的性质进行证明和计算。
数学问题中的应用实际问题中的应用首先根据相似三角形的性质，证明两个三角形相似；然后利用相似三角形的性质，推导出两个多边形相似。
证明过程具体证明过程需要使用到平行线的性质、相似三角形的性质等知识点，通过逻辑推理和数学运算来证明判定定理的正确性。
03图形的位似变换如果一个图形经过某种变换后，其形状和大小保持不变，但各对应点间的相对位置关系发生了改变，那么这种变换称为位似变换。
定义位似变换保持了图形间的相对位置关系，但改变了图形的形状和大小。
位似变换的特性位似变换保持了图形间的相对位置关系，即图形中的点在变换后仍然保持它们之间的相对位置不变。
4.8.2相似多边形的性质
如果把四边形换成五变形， 你刚才的结论是否仍然成 立呢
相似多边形的周长比 等于相似比，面积比 等于相似比的平方。
（一）判断题：
1、如果把一个三角形三边长同 时扩大为原来的10倍，那么它的 周长也扩大为原来的10倍。（Y）
2、如果把一个三角形的面积扩大
为原来的9倍，那么它的三边也 扩大为原来的9倍。（N）
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比， 对应中线的比，对应角平 分线的比都等于相似比。
1.△ABC与△A`B`C`的相似比为 1:5,如果A`C`边上的中线B`D`＝ 4cm 20cm,则AC边上的中线BD=____ 2．如图△ABC∽△A`B`C`，对 应中线AD＝6cm，A`D`＝10cm， 7cm 若BC＝4.2cm，则B`C`＝______ 。
2 A B .C D
3 4
2
上题中,ΔABC~ΔA`B`C`， 如果相似比为k，那么周长 面积比呢？ 比应该是多少？
相似三角形的周长比等 相似比 于______,面积比等于 _____________ 相似比的平方.
G
C D A B H E F
四边形ABCD~四边形EFGH， 相似比为K. 讨论：它们的周长比会是多少？ 它们的面积比会是多少？
D C
B A'
D'
B'
3. ΔABC和ΔA`B`C`面积比是多少？
C'
1 SABC AB CD, 2 1 ' ' ' ' SA' B'C ' A B C D 2
A
D C
B A'
D'
B'
3. ΔABC和ΔA`B`C`面积比是多少？
相似多边形的性质表格式教案
（1） △ASR 与△ABC 相似吗为什么
（2） 求正方形 PQRS 的边长。
解略
A
课后练习：1、2。
SER
B
C
P DQ
谈谈本节后你的收获与疑惑。
理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、以 及对应中线的比都等于相似比。
培养学生的分析能力和数形结合的能力
知识点
理解并初步掌握相似多边形周长的比等于相似比、面积的比
的等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
学 本节课共分 2 课时，第 1 课时主要探索相似三角形中对应高的
情 分
比、对应中线的比与相似比的关系；第 2 课时探索相似多边形的
少。
（2）如果 CH 和 FG 是他们的对应角平分线，那么 CH FG
等于多少。如果 CH 和 FG 是他们的对应中线呢那么 CH 等 FG
于多少。
性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对
应中线的比都等于相似比。
如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=60cm，高
AD=40cm，四边形 PQRS 是正方ed on 22 November 2020
课题 ：
课时安排：
课题名称 相似多边形的性质（一） NO：1 课 型 新 授
教 德育点 材 分 创新点 析
能力点
经历探索相似多边形的过程，并在探究过程中发展学生积极 的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
析 周长笔、面积比与相似比的关系。
教学流程 （内容概 要）
一、引入
师生互动 （问题设计、情景创设）
A B 若正方形 ABCD 边长为 1 周长为 4,面积为 1 若边长增大一倍,变为 2.周长为 8,面积为 4 若边长,变为 3.周长为 12,面积为 9
多边形的相似性质
多边形的相似性质在几何学中，多边形是由连续的直线段组成的封闭图形，它是我们研究的重要对象之一。
在多边形的研究中，相似性质是一个关键概念，它描述了在一些特定条件下，两个多边形之间的形状和大小的关系。
本文将介绍多边形相似性质的定义、判定方法以及相关的应用。
一、多边形的相似性质定义在几何学中，两个多边形被认为是相似的，当且仅当它们每两个对应边的长度之比相等，并且对应的角度也相等。
简而言之，两个多边形相似意味着它们具有相似的形状，只是尺寸不同。
例如，在图形学中，我们常常遇到的问题是，如何判断两个多边形是否相似，并且根据相似性质进行进一步的推导和计算。
二、多边形的相似性质判定判断两个多边形是否相似的一种常用方法是通过比较它们的对应边的长度之比，并且对应的角度是否相等。
如果两个多边形的边长比和角度比都相等，那么它们就是相似的。
具体来说，可以通过以下步骤进行判定：1. 确定两个多边形的对应边；2. 计算对应边的长度之比；3. 计算对应角度之间的差值；4. 比较长度之比和角度差值是否满足相似性质。
三、多边形的相似性质应用多边形的相似性质在现实生活和各个学科中有广泛应用。
以下是一些具体的例子：1.建筑设计：在建筑设计中，多边形的相似性质可以应用于模型放大缩小、结构设计等方面，从而实现建筑设计的灵活性和优化效果；2.地图制作：在地图制作中，多边形的相似性质可以用于测量和推算地理距离、比例尺等，从而准确地绘制地理形状和位置；3.工程测量：在工程测量中，多边形的相似性质可以应用于实际测量，通过已知的尺寸计算未知的尺寸；4.数学推导：在数学推导中，多边形的相似性质可以用于证明几何定理和解决几何问题。
总结：多边形的相似性质是几何学中重要的概念，它描述了两个多边形之间的形状和大小的关系。
判断多边形的相似性质可以通过比较对应边的长度之比和对应角度之间的差值。
多边形的相似性质在实际应用中具有广泛的应用，涉及建筑设计、地图制作、工程测量等多个领域。
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
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