数理经济学茹少峰第章课后题及答案
数理经济学_茹少峰_第1章课后题及答案
第1章习题答案1．什么是数理经济学？解：什么是数理经济学尚无统一的定义，以下是几种代表性的定义。
美国经济学家Kenneth J. Arrow（阿罗）等人在《数理经济学手册》一书中指出：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。
Alpha C. Chiang（蒋中一）、Kevin Wainwright（凯尔文·温赖特）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。
就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。
路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《数学史辞典》指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述和论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。
杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。
因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。
2．数理经济学是如何诞生的？简述其发展过程。
解：数理经济学的诞生和发展是数学在经济学中应用的过程，也是经济学发展的必然结果。
因为经济学家不仅仅要关心现实生活中的许多经济现象，更要对经济现象的数量，如价格、产量、收入、就业、失业、CPI、GDP等进行度量，要和数量打交道，便要研究数量之间的变化与关系，以此来把握经济运行规律，故数学就必然进入经济学的领域。
概率论与数理统计 茆诗松 第二版课后
⎧0,
p(
x)
=
1 θ
Ι 0< x<θ
，
F
(
x)
=
⎪x ⎪⎨θ
,
⎩1,
x < 0; 0≤ x <θ; x ≥θ.
有 X (1)与 X (3)的密度函数分别为
p1 ( x)
=
3[1 −
F (x)]2
p(x)
=
3(θ − x)2 θ3
Ι 0< x<θ
，
p3 (x)
=
3[F (x)]2
p(x)
=
3x2 θ3
+
2)
，
2
且
Cov(Y(1) ,
Y(n) )
=
n
1 +
2
−
1 n +1
⋅
n n +1
=
(n
1 + 1)2 (n
+
2)
可得
E ⎢⎣⎡
1 2
(X
(1)
+
X
(n)
)⎥⎦⎤
=
1 2
[ E (Y(1)
)
+
E (Y( n )
)]
+
θ
−
1 2
=
θ
，
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
1 4
[Var(Y(1) )
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性
数理经济学课后题第2章
第二章 习题答案1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。
如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？ 解：2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得 所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。
2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。
证明：因为边际成本函数，()()22C'156331120q q q q =-+=-+>所以，其边际成本总是正的。
3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。
解：边际成本函数为()C'20q =++4．设某一商品的需求函数为：18000)(2+==p p q q D，其中：q 为需求量，p 为价格。
若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？ 解：2280008000997.568.5109.22918.51p q p q ======++当时，；当时， 所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：（1）每一商品的边际效用函数；（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。
解：（1）商品1的边际效用函数：()()3112223MU x x =++商品2的边际效用函数：()()22212323MU x x =++（2）123x x ==当时，()()31232332160MU =++= 6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。
数理经济学课后题第2节
第二章 习题答案1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。
如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？ 解：2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得 所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。
2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。
证明：因为边际成本函数，()()22C'156331120q q q q =-+=-+>所以，其边际成本总是正的。
3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。
解：边际成本函数为()C'20q =++4．设某一商品的需求函数为：18000)(2+==p p q q D，其中：q 为需求量，p 为价格。
若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？ 解：2280008000997.568.5109.22918.51p q p q ======++当时，；当时， 所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：（1）每一商品的边际效用函数；（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。
解：（1）商品1的边际效用函数：()()3112223MU x x =++商品2的边际效用函数：()()22212323MU x x =++（2）123x x ==当时，()()31232332160MU =++= 6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。
茹少锋教授管理运筹学课后答案
试用单纯形法求其满意解，若有多个满意解，求出其中两个。
解：将原模型转化为
A = b=
选d-i=（i=1，2，3）取为基变量， =(0,P1, P2)
B-1b= B-1A-C=
检验数行 按 形成：
单纯形表
1
0
1
0
0
-1
0
0
6
(2)
-1
0
1
0
0
-1
0
2
2
-3
0
0
1
0
0
-1
6
p0
0
180
0
6
0+180
140+0
280+0
280
2
7
0+180
140+180
280+0
320
1
8
0+360
140+180
280+0
360
0
9
0+360
140+180
280+0
420+0
420
3
10
0+360
140+180
280+180
420+0
460
2
k=1时，S1=10，u1=0，1，2，3，4，5
当 时取到最大值， =
k=3时，
当 时取到最大值，
k=2时
当 时有最大值，
k=1时
当 时有最大值，
故最优策略集为
2．某工厂生产三种产品，运送各种产品的重量与利润关系如下表所示。现将三种产品运往市场销售。运输能力总量不超过10吨，问如何安排运输使得总利润最大？
茹少峰数量经济学课程PPT第一章
定义方程 定义方程实质上是数学恒等式，常用符号“ =” 表 示。定义方程一般用于描述经济学概念或前提假设。 行为方程 行为方程描述经济现象的规律，由所研究问题内 含的经济学规律决定。行为方程在数学上是两个或两 个以上变量的一种函数关系，而在经济学上，是两个 或两个以上经济学变量的行为关系。 均衡条件 均衡条件仅出现在均衡模型中，它是联结行为方 程和方程组的桥梁和纽带。在均衡模型中，通常通过 均衡条件方程来求得模型的均衡解。
第三节 数理经济学的研究方法和基本问题
1.研究方法 数理经济学通常是从一定的假设条件出发，将经济活 动量转化为一个或一组变量，继而写出函数式或方程组， 从而得到相应的经济现象或经济系统的数学描述，然后运 用数学推理方法得出结论，这是数理经济学的一般研究方 法，简言之，数理经济学研究方法就是建立经济问题的数 学模型与求解模型。
第一章 数理经济学概述
本章主要学习的内容： 1、数理经济学的定义 2、数理经济学的诞生和发展 3、数理经济学的研究方法和基本问题 4、数理经济学研究的内容与地位
第一节 数理经济学的定义
目前对于数理经济学尚无统一的定义，以下是几种 有代表性的定义： 阿罗(Kenneth J. Arrow)：数理经济学是包括数学概念 和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。 蒋中一(Alpha C. Chiang )：数理经济学是一种经济分析 方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已 知的数学定理进行推理的一种方法。
总结
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学 方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模 型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问 题。因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科， 不如说它是一种经济学分析方法。
《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料
吴赣昌编 《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。
（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。
解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。
解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。
解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。
4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。
A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=， 或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
茹少锋运筹学课后答案西北大学考研第二章到第十章分解
0
1 A= 1
1 1
0
0
0
1
b
1 2
C=（2，3，0，0）
cB
xB
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
b
0
x3
1
-1
1
0
1
0
x4
1
0
0
1
2
2
3
0
0
对应图中原点。以 1 为轴心项，换基迭代，得
cB
xB
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
b
2
x1
1
-1
1
0
1
0
x4
0
1
-1
1
1
0
5
-2
0
-2
此时对应图中 A 点，坐标是 （1，0） 以 1 为轴心项，换基迭代，得
x3 2 4x3 6
x1, x2 , x3 0
1 解：由题意知：A= 1
1 1
2
2
4
=（
p1, p2, p3 ）
b=
6
c=（3，1，3）
（1） B1 =（ p1, p2 ），︱ B1 ︳≠0， B1 是基， x1 ， x2 是基变量， x3 是非基变量，令
x1
x2
x3 =0，得 x1 =-2， x2 =4 即 x3 = 2, 4,0 为基解，但不是基本可行解。
0 x4 600,
5．某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度 10 至 12 月的进货及销售计划。
已知该种商品的初始库存量为 2000 件，公司仓库最多可存放 10000 件，公司拥有的经
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第四章 习题答案1.求下列函数的极值。
（1）by ax y xy x y 3322--++= （2）x xy212-=（3）()1613+-=x y （4）()1ln >=x xx y 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。
根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为22353b ab a ---。
（2）根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。
（3）根据一元函数极值的必要条件，可得 求得极值点为1=x 。
由充分条件知66''-=x y 。
当1=x 时0''=y ，所以该函数极值不存在。
（4）根据一元函数极值的必要条件，可得 求的极值点为e x =。
由充分条件知4''3ln 2xxx x y -=。
当e x =时，013''<-=ey ，因此该函数存在极大值为e 1。
2. 讨论函数()()122-+=y x xy y x f ，的极值。
解：根据二元函数极值的必要条件，可得 )21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可能的极值点。
根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为)0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；)21,21(),(=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-； )21,21(),(--=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为813. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数βαL AK x f =)(是凹函数。
证明：βαL K A f K 1-∂=,11--∂=ββαL KA f KLβααL K A f KK 2)1(-∂-=,2)1(--=βαββL K A f LL所以函数的Hessian 矩阵为 因为10,10<<<<βα，所以0),(>L K H ;且0)1(,0)1(221>->-A A ,Hessian 是 负定的，因此生产函数是严格凹函数。
4. 考虑生产函数βαK L y =。
如果11010<+<<<<βαβα，，，试说明该生产函数对于L和K 的任意取值都是严格凹函数。
如果1=+βα，该函数是什么形状？证明：（1）同上，可求得函数的Hessian 矩阵为Hessian 是负定的，该函数对于K 、L 任意取值都是严格凹函数。
5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为0W 。
若该厂商每期的固定成本为F ，产品的价格为0P ，要求：（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数； （2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？ 解:（1）生产函数为：)(L f Q = 收益函数为：)(L f P Q P R ⋅=⋅= 成本函数为：F W L C +⋅=0利润函数为：)()(0F LW L Pf C R +-=-=π（2）利润最大化的一阶条件为：0)(0=-=∂∂W LL df P L π，即P W L L df 0)(=。
该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。
（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件： 因为0>P，所以0)(22<Ld L df ，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最大化.6. 某厂商有如下的总成本函数C 与总需求函数Q ：，Q Q -Q C 5011173123++= P Q -=100.请回答下列问题：（1） 确定总收益函数R 与总利润函数π。
（2） 确定利润最大化的产出水平及最大利润。
解：（1）)100(Q Q PQ R -== (2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，11,1==**Q Q 。
利润最大化的二阶充分条件为：1222+-=∂∂Q Qπ， 当1=Q 时，02>∂∂Qπ，函数取得极小值为； 当11=Q 时，02<∂∂Qπ，函数取得极大值为； 所以，在产出水平为11时，利润最大为。
7. 设有二次利润函数()，k jQ hQ ++=2Q π试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：（1） 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负； （2） 证明利润函数为严格凹函数；（3） 求在正的产出水平Q 下的最大化利润。
解：（1）由题可知，当0=Q 时，k =π。
由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为0<k。
（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为02=+=∂∂j hQ Qπ， 求得hjQ 2-=；二阶充分条件为h Q 22=∂∂π。
函数为严格凹函数满足的充要条件：0)(''<x f ，即02<∂∂Qπ, 因此，0<h 。
(3)在正的产出水平下，02>-=hjQ，因此0>j 。
8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为1P 和2P ，产品的需求函数Q 及成本函数C 为：211240-P P -Q =，21235-P -P Q =，102221++=Q Q C ，求利润最大化的价格水平。
解：利润函数2835185270837212122212211-++---=-+=P P P P P P C Q P Q P π 利润最大化的一阶必要条件为：027*******=+--=∂∂P P P π,018568212=+--=∂∂P P P π解得，,5.21,721==**P P又020,06,01421222112211>=-<-=<-=πππππ 所以，在利润最大化是价格水平为,5.21,721==P P9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为1P 和2P ，单位时间内i 产品的产出水平为i Q ，厂商成本函数为22212122Q Q Q Q C ++=，求：（1） 利润最大化的产出水平；（2） 若总成本函数为222122Q Q C +=，两产品的生产是否存在技术相关性，1Q 与2Q 的新最优水平是多少？（3） 对参变量1P 和2P 进行比较静态分析。
解:（1）)22(2221212211Q Q Q QQ P Q P ++-+=π4211=--=∂∂Q Q P Q π,041222=--=∂∂Q Q P Q π可得,34211P P Q -=,3413212P P Q --= （2）)22(22212211Q Q Q P Q P +-+=π04111=-=∂∂Q P Q π，04211=-=∂∂Q P Q π， 可得，1141P Q =,2241P Q = 而0212=∂∂Q Q π,即在最优产量下，21,Q Q 不存在技术相关性。
（3）由（1）问中的最优产量,34211P P Q -=,3413212P P Q --= 3411=∂∂P Q ,3121-=∂∂P Q ,31312-=∂∂P Q ,3422-=∂∂P Q 即，产品1价格上升1单位，产量上升34，价格下降313； 产品1价格上升1单位，产量下降31，价格下降34；10.一个公司有严格凹的生产函数()L K Q ,。
给定=P 产品价格，=r 资本的利用率，=ω工资。
要求：（1） 对利润达到最大化的投入要素K 与L 进行比较静态分析，并作简要的分析说明； （2） 假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas 函数，做同样的比较静态分析。
解：（1）wL rK L K PQ --=),(π利润最大化时，最优解为),,(w r P K K *=，),,(w r P L L *= ******--=wL rK L K PQ ),(π为最优值函数。
r 变化对最大利润的影响为：**********-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=∂∂K r L w r L L Q P r K r r K K Q P r π 利润最大化时有0=-∂∂**r K Q P ,0=-∂∂**w LQ P则r K r ∂∂=-=∂∂**ππ，wL w ∂∂=-=∂∂**ππ 即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。
（2）wL rK L PK --=βαπ利润最大化时，最优解为),,(w r P K K *=，),,(w r P L L *=******--=wL rK L K PQ ),(π为最优值函数。
r K r ∂∂=-=∂∂**ππ，w L w ∂∂=-=∂∂**ππ,βαπ)()(***=∂∂L K P11. 考虑参数为a 的极大化问题函数()()043;22>++-=a aax x a x f ：（1） 利用包络定理求函数()a x f ;的最大值关于参数a 的导数； （2） 分析参数a 对目标函数的最大值的影响。
解：（1）假设最优解为)(a x x *=，（2）一阶条件为0)),((=∂∂*xa a x f ，即03)(2=+-*a a x 所以，参数a 与木匾函数的最大值同向变动。
12. 考虑参数最优化问题()1323,m ax 2343+-+-=x e x x a a x f a（a 为参数）：（1） 求目标函数的极大值关于参数a 的导数；（2） 分析参数a 对目标函数的极大值的影响（假设这个问题的最优解()0≠*a x ）。
解：（1）假设最优解)(a x x *=利用包络定理（2）0)(≠*a x ，由（1）中结果，0),(<*daa x df，所以参数a 对目标函数极值的影响是同增同减的。