7.3.2 向量的直角坐标运算(第一课时)
7.3.2平面向量的直角坐标运算
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问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
新课：平面向量的直角坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
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例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
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例4、 1已知A(2,3), B ( 3,5), 求BA 的坐标. 3,5 5, 2 . 解： BA 2,3 2), A (2,1), 求 B 的坐标. 2已知AB (1,
（2） a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(3) a ( x1, y2 )
结论：两个向量差的横坐标等于这两个向量横坐标的差 两个向量差的纵坐标等于这两个向量纵坐标的和
结论：实数与向量乘积的横坐标等于实数乘原来向量的横坐标； 实数与向量乘积的纵坐标等于实数乘原来向量的纵坐标。
解：设B x,y ,
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
1 x 2 即 2 y 1
x3 y 1
即B 3,-1 .
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3、已知 A( x1 , 巩固练习
AB ( x2 -x1 , y2 -y1 )
3、已知点A(X，5)关于点M (1，1)的中心对称点是 (－2，Y)，则X和Y的值分别是?
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空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
空间向量的直角坐标及其运算
课 题：9 6空间向量的直角坐标及其运算 (一)教学目的：⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律；3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4.会用中点坐标公式解决有关问题教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 内容分析：本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式垂直于平面的性质定理 教学过程：一、复习引入：平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a+=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i，)1,0(=j ，0,0(0=2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=3．a ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a⋅设i 是x 轴上的单位向量，j是y 轴上的单位向量，那么j y i x a11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或||a =（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)6.向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos ＜a ,b ＞= co s θ=||||b a ba⋅⋅8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p是空间任意一向量，存在唯一的实数组,,x y z 使p xa yb zc =++． 二、讲解新课：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示；A （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45 ），90yOz ∠= ；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立标系2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 三、讲解范例：例1 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =--，求a b + ，a b - ，||a，8a ，a b ⋅ ．解：(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)a b +=-+--=--， (2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)a b -=----=-，||a =88(2,3,5)(16,24,40)a =-=-， (2,3,5)(3,1,4)29a b ⋅=-⋅--=-．例2．求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点解：∵(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影(2,3,0)C -，在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，∴点(2,3,1)A --关于xOy 平面的对称点为(2,3,1)C '-，关于zOx 平面及原点O 的对称点分别为(2,3,1)B '-，(2,3,1)A '-．例3．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面ADE ．证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度，设DA i = ，DC j = ，1DD k =，分别以,,i j k为坐标向量建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)AD =- ，11(0,,1)2D F =- ，11(1,0,0)(0,,1)02AD D F ⋅=-⋅-= ，∴1D F AD ⊥，又1(0,1,)2AE = ，111(0,1,)(0,,1)022AE D F ⋅=⋅-= ，∴1D F AE ⊥，AD AE A = ， 所以，1D F ⊥平面ADE ．四、课堂练习：1．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘点，此时|x|＝||,DA |y|＝||,DC|z|＝'||DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，,D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)2．已知a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，求a ＋b ，a －b ，8a ，a •b解：a ＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1）， a －b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9）， 8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40）， a •b＝（2，－3,5）•（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29 3． 在正方体要ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE证明：不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则111(2,0,0),(0,1,2),(2,0,0)(0,1,2)0AD D F AD D F D F AD =-=-⋅=-⋅-=∴⊥又(0,2,1),AE =11(0,2,1)(0,1,2)220,AE D F D F AE ⋅=⋅-=-=∴⊥∴D 1F ⊥AE ，又AD ∩AE ＝A ，∴D 1F ⊥平面ADE①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定②原点的坐标为(0,0,0)，x 轴上的坐标为(x,0,0)，y 轴上的坐标为(0,y,0)，z 轴上的坐标为(0,0,z).③要使一向量a ＝(x,y,z)与z 轴垂直，只要z ＝0即可要使向量a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标为0巩固练习 P 39 练习 1－6 五、小结 ：⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律；3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4. 会用中点坐标公式解决有关问题5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：教学以单位正交基底建立直角坐标系时，根据前面向量分解定理，引导学生体会从一般到特殊的思想方法在解数学问题中的重要性；.点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时.有向线段终点的坐标与向量的坐标相同.这一点务必向学生讲清楚.；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算课 题：6空间向量的直角坐标及其运算 (二)教学目的：1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直 教学重点：夹角公式、距离公式教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用 教学过程：一、复习引入： 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A xy z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y zz =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 二、讲解新课： 1 模长公式：若123(,,)a a a a= ，123(,,)b b b b =，则||a == ||b == ．2．夹角公式：cos ||||a ba b a b⋅⋅==⋅3．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB == ，或,A B d =三、讲解范例：例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则13()(2,,3)22OM OA OB =+= ．∴AB 的中点坐标是3(2,,3)2，,A B d ==（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，=化简得：46870x y z +-+=,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是46870x y z +-+=． 点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件46870x y z +-+=的系数构成一个向量(4,68)a =-，发现与(2,3,4)AB =--共线例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ， 11(0,,1)4F ，∴11(0,,1)4BE =- ，11(0,,1)4DF = ，∴11BE DF == ，11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯= ．111515cos ,1744BE DF == ．例3．已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅来求面积解：∵(1,2,2)AB =- ，(2,0,3)AC =--，∴||3AB ==，||AC ==(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅，∴13sin sin ,39A AB AC =<>== ，所以，1||||sin 22ABCS AB AC A ∆=⋅⋅=． 点评：三角形的内角可看成由该角的顶点出发的两边所在向量的夹角四、课堂练习：1 若(3cos ,3sin ,1)A θθ，(2cos ,2sin ,1)B θθ，求||AB的取值范围；2．已知(,2,0)a x = ，2(3,2,)b x x =- ，且a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；3．若(cos ,sin ,2sin )P ααα，(2cos ,2sin ,1)Q ββ，求||PQ的最大值和最小值4．求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足． 求证：OA //BD ．证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，i ,j ,k为沿x 轴，y轴，z 轴的坐标向量，且设BD＝),,(z y x ．∵BD ⊥α，∴BD ⊥i ，BD ⊥j，∴BD ·i＝),,(z y x ·(1,0,0)＝x ＝0， BD ·j＝),,(z y x ·(0,1,0)＝y ＝0, ∴BD＝(0,0,z )．∴BD ＝z k．即BD //k ．由已知O 、B 为两个不同的点，∴OA //BD ．说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a ⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 五、小结 ：1．空间向量的模长公式、两点间的距离公式的形式与平面向量中相关内容一致，因此可类比记忆；2．在计算异面直线所成角时，仍然用向量数量积的知识，建立空间直角坐标系后能方便的求出向量的坐标，则通常考虑用坐标运算来求角3．对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当． 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：9 6空间向量的直角坐标及其运算 (三)教学目的：1.进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用；2.能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；3.了解平面法向量的概念教学重点：向量的数量积的综合运用 教学难点：向量的数量积的综合运用 教学过程：一、复习引入：1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k，以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk=++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b bb =，则||a ==||b == ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB == ，或,A B d =二、讲解范例：例1 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行 已知：直线OA α⊥于O ，BD α⊥于B ． 求证：//OA BD ．证明：以O 为原点，射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k分别为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，设(,,)BD x y z =，∵BD α⊥，∴BD i ⊥ ，BD j ⊥，(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==， ∴(0,0,)BD z =，即BD zk = ，又知O ，B 为两个不同的点，∴//BD OA ．点评：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，记作a α⊥ ，此时向量a叫做平面α的法向量．例2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱CD 上，14CG CD =，H 是1C G 的中点， （1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与1C G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长解：如图以D 为原点建立直角坐标系D xyz -，则1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，3(0,,0)4G ，1(0,1,1)C ，71(0,,)82H ，（1）111(,,)222EF =- ，1(1,0,1)B C =-- ，∴1111(,,)(1,0,1)0222EF B C ⋅=-⋅--= ，∴1EF B C ⊥．（2）∵11(0,,1)4C G =-- ，∴111113(,,)(0,,1)22248EF CG ⋅=-⋅--= ，||EF ==，1||C G ==∴13cos(,)EF CG ==， ∴EF 与1C G （3）∵131(,,)282FH =- ，∴||8FH == ．例3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-- ，(4,2,0)AD =，(1,2,AP =--（1）求证：AP是平面ABCD 的法向量；（2）求平行四边形ABCD 的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=，(1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A = ，AP⊥平面ABCD ，∴AP是平面ABCD 的法向量．（2）||AB == ||AD =∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=， ∴cos(,)105AB AD ==， ∴sin BAD ∠=∴||||sin ABCD S AB AD BAD =⋅∠=例4 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值分析一：利用11BD BA BC BB =++ 11BC BC BB =- ，以及数量积的定义，可求出cos ＜11,BD B C＞，从而得到异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值 分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的 运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的解：建立如图所示空间直角坐标系，使D 为坐标原点， 则B(b,a,0),D 1(0,0,c),B 1(b,a,c),C(0,a,0)11(,,),(,0,)BD b a c BC b c ∴=--=-- 22211)(0)()(c b c c a b CB BD -=-⋅+⋅-+-=⋅∴1122111111|||cos ,||||BD B C BD B C BD B C BD B C ==⋅==设异面直线BD 1和B 1C 所成角为θ，则cos 22=θ三、课堂练习：设231(,,)a a a a = ，231(,,)b b b b = ，且a b ≠ ，记||a b m -=，求a b -与x 轴正方向的夹角的余弦值解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =，设所求夹角为α，∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -⋅=---⋅=-∴1111()()cos ||||a b c a b x a bmx m a b c α-⋅--===-⋅ ，即为所求2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿解： (2,4,0),(1,3,0),BABC =--=-cos ,2||||BA BC BA BC BA BC ⋅∴===-∴∠ABC ＝45°3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量,AB AC为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直，且|a |＝3，求向量a的坐标分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠==∴∠BAC ＝60°，||||sin60S AB AC ∴==⑵设a ＝(x,y,z)，则230,a AB x y z ⊥⇒--+=222320,||3a AC x y z a x y z ⊥⇒-+==++=解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).四、小结 ：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数 五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。
中等职业教育规划教材数学1-3册目录(人民教育出版社)
目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
直角坐标系中的向量运算
直角坐标系中的向量运算直角坐标系中的向量具有非常重要的地位，在物理学、力学、几何学等领域中得到了广泛应用。
通过向量运算，可以描述和求解各种复杂的几何关系和物理问题。
本文将介绍直角坐标系中的向量基本概念、向量加法、向量减法、数量积和向量积，并探讨其相应的计算方法和几何意义。
1. 向量的基本概念在直角坐标系中，向量可以用有序数对或坐标表示。
例如，一个向量a可以表示为a = (a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量a在x、y和z轴上的分量，也称作向量的坐标或分量。
2. 向量加法向量的加法满足交换律和结合律。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的和向量c = a + b的分量满足c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，c₃ = a₃ + b₃。
直观上，向量加法表示将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
3. 向量减法向量的减法可通过向量加法来实现。
对于两个向量a和b，它们的差向量c = a - b可以表示为c = a + (-b)，即向量a加上向量-b的结果。
向量-b即为向量b的每个分量取相反数得到的向量。
差向量的分量计算规则与向量加法相同。
4. 数量积（点积）数量积，也称点积（Dot Product），是两个向量的数量乘积再相加的结果。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的数量积a·b（或a*b）定义为a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
数量积可以用来求解向量的模、夹角和判断两个向量是否垂直。
5. 向量积（叉积）向量积，也称叉积（Cross Product），是两个向量的向量乘积。
对于两个向量a = (a₁, a₂, a₃)和b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积a×b定义为一个新的向量c = (c₁, c₂, c₃)，其中c₁ = a₂b₃ - a₃b₂，c₂ =a₃b₁ - a₁b₃，c₃ = a₁b₂ - a₂b₁。
高中全程复习方略配套课件：77空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理
(2)若b0为b的单位向量，称_a_·__b_0_=_|_a_|_c_o_s_〈__a_,_b_〉为向量a在向量 b上的投影. 向量的坐标等于它在_坐__标__轴__正__方__向__上的投影. (3)空间向量基本定理 如果向量e1,e2,e3是空间三个_不__共__面__的向量，a是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3，使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3. 空间中不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个_____.
xy11
λx 2 λy2 ,
λ
R
_z_1___λz_2______;
(8)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_⇔_x_1_x_2+_y_1_y_2_+_z_1z_2_=_0_.
【即时应用】 (1)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3)，则 A B 与 C A 的夹角θ的大小是________． (2)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则｜b-a｜的最小值为 _________. (3)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2)，若a∥b，则 λμ=_________． (4)已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直， 则k=_________.
空间两点间的距离 【方法点睛】 1.求空间两点间距离的步骤 (1)建立坐标系，写出相关点的坐标； (2)利用公式求出两点间的距离. 2.两点间距离公式的应用 (1)求两点间的距离或线段的长度； (2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值； (3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性.
【例2】(1)已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|
中职数学基础模块7.3.2向量的直角坐标运算教学设计教案人教版.docx
课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题7.3.2 向量的直角坐标运算课型新授第几1、2课时课时教学目标1.理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3.通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物（三维）之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．教学重点：教学重点平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．与教学难点：难点理解平面向量的坐标表示．教学本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展方法自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．与手段使用教向量的坐标运算不难，但学生对向量坐标表示的意义理解有些难度，所以处理教材材时，把向量坐标的意义做为重点讲解，而具体的坐标运算法则注重师生共同分析得的出，以自主学习为主。
本节可视教学情况分为两节课教学。
构想太原市教研科研中心研制第1 页（总页）课时教学流程教师行为学生行为1．平面内建立了直角坐标系，点A教师提出问题．可以怎么表示?学生回忆解答．yaA(a， b)O x2．平面向量是否也有类似的表示呢?3．平面向量基本定理的内容是什么?1．向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别：学生阅读课本，讨论并回(1) 取基向量 : 取与 x轴和 y 轴的答教师提出的问题：正方向相同的两个单位向量e1，e2作为（ 1）e1，e2与平面向量基基向量．本定理中的 e1，e2有什么区别？(2) 得到实数对：任作一个向量a，（ 2）向量的坐标与有序实由平面向量基本定理，有且只有一对实数对之间是什么关系？数 a1，a2，使得a＝a1e1＋a2e2，我们把 (a1，教师针对学生的回答进行a2)叫做向量a的坐标，记作点评．a＝(a1，a2)，①教师引导学生学习向量的其中 a1叫做a在 x 轴上的坐标， a2叫直角坐标表示．做a 在y轴上的坐标． e1，e2叫做直角坐标平面上的基向量．①式叫做向量的坐标表示．探究：（1）如图，e1，e2是直角坐标平面学生尝试解答．教师针对上的基向量，你能写出0，e1，e2的坐标学生的回答进行点评．吗？ye2O e1x教师提出问题．师生共同解答．第 2 页（总页）设计意图☆补充设计☆为知识迁移做准备．问题是为突出本课重点而设计．通过对比教学可以加深学生的印象．通过问题的详细探究，比直接给出说明更符合学生的特点，容易被学生接受．求特殊向量的坐标，可以加深学生对向量坐标概念的理解，从而提高学生的读图能力．太原市教研科研中心研制课时教学流程e1＝(1，0)， e2＝(0，1)， 0＝(0，0)．（2）向量的坐标与点的坐标之间有试一试：在平面直角坐标何关系？系 xOy 中作向量a＝(1，2)，y→作有向线段 OA ，使得点 A(1，y A(x， y)2) ，并说明向量 a 与有向线段→e2OA表示的向量的关系．O e1x x设点 A 的坐标为 (x， y)，则→＝＋y e＝( x，y)．OA x e12→即点 A 的位置向量 OA 的坐标 (x，y)，→加深对“向量OA 的坐标与点 A 的坐标一一对应”这个结论的理解，在向量坐标与原有的点坐标之间架起桥梁，为应用向量知识解决几何问题奠定基础．也就是点 A 的坐标；反之，点 A 的坐标学生讨论求解．也是点 A 相对于坐标原点的位置向量→OA的坐标．例1 如图，用基向量e1，e2分别表示向量 a，b，c，d，并求出它们的坐标．y32ab1e2－ 3－2－1O e1123x－1c d－2－3通过例 1 可让学生加深对向量的直角坐标表示概念的理解，从而进一步提高学生的读图能力．解由图可知学生阅读课本向量的直角a＝3e1＋2e2＝(3，2 )，坐标运算公式，在理解的基础b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)，上记忆坐标运算公式．c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)，d＝2e1－3e2＝(2，－3)．太原市教研科研中心研制第3 页（总页）课时教学流程2．向量的直角坐标运算(1)如果 a＝(a1，a2)， b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1，a2)＋(b1，b2)＝(a1＋ b1， a2＋ b2)；a－b＝(a1，a2)－(b1，b2)＝(a1－ b1， a2－ b2)；λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)，其中λ是实数．证明a＋ b＝(a1，a2)＋(b1，b2)＝(a1e1＋a2e2)＋ (b1e1＋ b2e2)＝a1e1＋ b1e1＋ a2e2＋b2e2＝(a1＋ b1) e1＋ (a2＋ b2) e2＝(a1＋ b1， a2＋ b2)．请同学仿照上面的证明，自己证明其他两个结论．上述向量的坐标运算公式，也可用语言分别表述为：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积．教师对于第一个性质引领学生仔细推导．教师给出具体的证明步骤．学生可分组讨论证明其他两个公式；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善．师生共同总结向量的直角坐标运算公式及文字叙述．教师简单点拨，学生尝试解答 a＋ b， a－ b，3a＋4b．教师点评，并板书详细的解题过程．在板书证明的过程中，突出解题思路与步骤．通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．例2 已知a＝ (2，1)，b＝ (－ 3，4)，求a＋ b， a－ b，3a＋4b．解a＋ b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－ 1， 5)；a－ b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)；3a＋ 4b＝ 3(2， 1)＋4(－ 3， 4)＝(6， 3)＋ (－ 12， 16)＝(－ 6， 19)．教师出示问题．学生阅读图形，讨论并回答教师提出的问题：→（ 1） AB 是哪两个向量的差向量？巩固理解，形成技能．例 3已知 A (x1，y1) ，点 B ( x2，y2) ，→→（ 2） OA 和 OB 坐标分别为第 4 页（总页）太原市教研科研中心研制课 时 教 学 流 程→什么？求 AB 的坐标．教师针对学生的回答进行可以进一步培养解→→→AB ＝ OB － OA点评．学生的读图，识图能＝ (x 2， y 2)－ (x 1， y 1 ) 力，培养学生数形结＝ (x 2－ x 1， y 2－ y 1)．合的思想．师生共同总结文字结论 ．yB (x 2， y 2)ox此结论可用语言表述为：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的相应坐标．练习一学生抢答．教师点拨，学生讨论解答 ．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．教师点评，并板书详细的解题过程．1．已知 a ，b 的坐标，求 a ＋ b ，a －b ：(1) a ＝ (4， 3)， b ＝ (－ 4， 8)；(2) a ＝ (3， 0)， b ＝ (0，4) ．→2．已知 A ，B 两点的坐标， 求AB ，→BA 的坐标：(1) A(－ 3， 4)， B(6， 3)；(2) A(－3， 6)， B(－ 8，－ 7)．例 4 已知 A (－ 2，1)，点 B (1，3)，求线段 AB 中点 M 的坐标．yBMA1在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．O1x太原市教研科研中心研制第 5 页 （总 页）课时教学流程解因为→→→AB ＝ OB－ OA＝(1，3)－(－2，1)＝(3，2)；所以→→→OM ＝ OA＋ AM→1→＝OA ＋2 AB1＝(－2， 1)＋2(3， 2)1＝ (－， 2)．因此 M(－12， 2)．3．用向量的坐标表示向量平行的条件复习：（1）平行向量基本定理：如果向量b≠ 0，则 a//b 的充分必要条件是，存在唯一实数λ，使a＝λb；（2）数乘向量：已知b＝ (b1， b2)，则λb＝(λb1，λb2)．师生共同复习．为知识迁移做准备．教师提出问题．引出探究的问题．师生共同探究用向量的坐标表示向量平行的条件．教师给出具体的探究步骤．问题：在直角坐标系中，向量可以用学生尝试解答．坐标表示，那么，能否用向量的坐标表示两个向量的平行呢？探究：设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果 b ≠ 0，则条件 a＝λb 可用坐标表示为(a1， a2)＝λ(b1，b2)，即a1b1a2b2消去λ，得师生共同解决例5，教师详细板书解题过程，带领学生太原市教研科研中心研制第 6 页（总页）课 时 教 学 流 程仔细分析解题步骤．a 1b 2－a 2b 1＝ 0．一般地，对于任意向量a ＝ (a 1，a 2)，b ＝ (b 1， b 2)，都有a //b a 1b 2－ a 2b 1＝ 0．例 5 判断下列两个向量是否平行：(1) a ＝ (－ 1，3)， b ＝ (5，－ 15)；(2) e ＝ (2， 0)， f ＝ (0，3) ．解 (1) 因为 (－ 1) × ( － 15) － 3 × 5＝ 0，所以向量 a 和向量 b 平行；(2) 因为 2× 3－0× 0＝ 6≠ 0，所以向量 e 和 f 不平行．例 6 已知点 A( －2，－ 1)，B(0，4)，→向量 a ＝ (1， y)，并且 AB ∥ a ，求 a 的纵坐标 y ．解 由已知条件得→AB ＝ (0， 4)－ (－ 2，－ 1)＝ (2， 5)，→因为 AB ∥ a ，所以1× 5－ 2× y ＝ 0．解得 y ＝52．例 7 已知点 A( －2，－ 3)，B(0，1)，C(2， 5)，求证： A ， B ，C 三点共线．证明 由已知条件得→AB ＝ (0， 1)－ (－ 2，－ 3)＝ (2， 4)，→AC ＝ (2， 5)－ (－ 2，－ 3)＝ (4， 8)．→因为 2× 8－ 4× 4＝ 0，所以 AB ∥→AC ，又线段 AB 和 AC 有公共点 A ，所以教师点拨，学生讨论解答．师生合作共同完成．通过例 5 可让学生加深对向量平行的条件的理解．通过例 6 进一步加深学生对向量的坐标表示向量平行的条件的理解．通过学生讨论、教师点拨，帮助学生顺利证明 A ，B ， C 三点共线．再次巩固用向量的坐标表示向量平行的思路和步骤．A ，B ，C 三点共线．第 7 页 （总 页）太原市教研科研中心研制课时教学流程练习二1．已知a＝ (－3，－ 4)，b＝ (2， y) ，并且 a ∥ b，求y．2．已知点 A(－ 1，－ 3)，B(0，－ 1)，C(1， 1)，求证： A， B，C 三点共线．学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．太原市教研科研中心研制第8 页（总页）课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计1．向量的直角坐标a＝a1e1＋a2e2＝(a1，a2)．例题与练习：2．向量的直角坐标运算：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；（2）数乘向量积的坐标等于数乘上向量相应坐标的积；（3）一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标．3．若a＝ (a1， a2)，b＝ (b1， b2)，则a∥ b a1b2－ a2b1＝0．作业设计教材P49练习A组第 1 题 (1) (3) ，第 2 题(1)(3) ；教材P51练习A组第3题．教学后记太原市教研科研中心研制第9 页（总页）。
高中数学教学课件《空间向量的直角坐标运算》
x, y, z 2, 2, 0 x, y, z 2, 0, 2
- x y 0， 解方程组 -x z 0.
这个方程组有三个未知数，但只有两个方程，不妨把 未 知 数 x当 作 已 知 ， 求 y, z, 可 得 y x, z x,于 是 n
z
a3 k
O
a1 i
k
a a
j
a2 j
y
i
x
a1 i , a 2 j , a 3 k 分 别 为 向 量 a在 i , j , k 方 向 上 的 分 向 量 ， 有 序 实数组
a1 , a 2 , a 3 叫 做 向 量 a在 此 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 .
a a1 , a 2 , a 3
则 x , y , z 也 就 是 点 P的 坐 标 ， 即 P x , y , z .
设 A x1 , y 1 , z1 , B x 2 , y 2 , z 2 , 则 AB OB - OA
x2
- x1 , y 2 - y1 , z 2 - z1 .
上式可简记作
空间中的任一个向量与 三元有序实数组之间建 立了一一对应关系.
向量的坐标运算法则 设 a a 1 , a 2 , a 3 , b b1 , b 2 , b 3 , 则 容 易 得 到
a b a b
a 1 b1 , a 2 a 1 b1 , a 2
b 2 , a 3 b3 , b 2 , a 3 b3 ,
a a1 , a 2 , a 3 ,
a b a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 .
人教版中职数学教案-第七章--平面向量
[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b ＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。
向量的直角坐标运算(共24张PPT)
【答案】C
)
4.点(5,5)到原点的距离是
(
A.0
B.5
C.2
【答案】D
)
D.5
5.若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
A.m=2,n=1
B.m=2,n=-1
C.m=-2,n=1
D.m=-2,n=-1
(3)若 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2
4.向量长度坐标运算
(1)若 a=(a1,a2),则|a|= +
→
(2)若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则||= ( − ) + ( − )
→
【说明】 ||也叫做 A、B 两点的距离,记为 dA、B,上式也叫两点距离
(0,0)或(10,0)
(1)在直角坐标系中,求作a,b;(2)求3a-4b;(3)若2a+x=b,求x.
m=-2,n=1
D.
→ →
掌握向量的直角坐标运算.
(8,9)或(10,0)
若a=(1,0),b=(1,2),且ma+nb=(3,2),则m,n的值是(
(-2,0)或(8,0)
D.
)
已知点A(2,4),经平移向量a后,坐标变为A'(3,3),则向量a的坐标是
【答案】C
→
8.已知点 A(-2,0),B(1,5)和向量 a=(x,2),且∥a,则 x=(
A.
【答案】B
B.
C.
D.
)
9.若x轴上一点A与点B(3,12)的距离等于13,则点A的坐标是
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7.3.2 向量的直角坐标运算
教学目标
1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．
2. 能够根据平面向量的坐标．
3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．
教学重点
平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点
理解平面向量的坐标表示．
复习
平面向量基本定理的内容是什么?
一：导入
1．平面内建立了直角坐标系，点A可以怎么表示?
2．平面向量是否也有类似的表示呢?
二：知识目标：
1．向量的直角坐标
2．向量的直角坐标运算
三：能力目标
（1）．如图，用基向量e1，e2分别表示向量→
a，
→
b，,→c，
→
d，并求出它们的
坐标．
学情反馈
精讲点拨
平面向量的坐标表示
用向量的坐标表示向量平行的条件
效果检测
1．已知→
a ，→
b 的坐标，求→
a ＋→
b ，→
a －→
b ：
(1) →
a ＝(4，3)，→
b ＝(－4，8)； (2) →
a ＝(3，0)，→
b ＝(0，4)．
2．已知 A ，B 两点的坐标，求 →AB ，→BA 的坐标： (1) A (－3，4)，B (6，3)；
(2) A (－3，6)，B (－8，－7)． ．
3.已知A (－2，1)，点 B (1，3)，求线段AB 中点M
课堂小结
教学反思。