高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4
→ 平移，使点B与点A重合， 以a，c为基底时，将BD
再由三角形法则和平行四边形法则即可得到.
1
2
3
4
5
解析
答案
5.已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的 → → → → → 中点，设AD＝a，AB＝b，试用 a、b 为基底表示DC，BC，EF.
1
2
答案
思考3
若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，
那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
答案 由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2. ∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2
解答
当堂训练
1.下列关于基底的说法正确的是 ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也 是唯一确定的. A.① B.② C.①③ √ D.②③
解析
零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②
2 3 4 5
解析
答案
3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2， －12 15，y＝_____. 则x＝－ ____ 解析 ∵向量e1，e2不共线，
2x－3y＝6， x＝－15， ∴ 解得 3x－4y＝3， y＝－12.
1
2
3
4
5
解析
答案
→ → → 4.如图所示，在正方形 ABCD 中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则当以 a，b → → a ＋ b 2 a ＋c 为基底时，AC可表示为_____，当以 a，c 为基底时，AC可表示为______.
解析 由平行四边形法则可知，
→ → → AC＝AB＋AD＝a＋b.
错，①③正确.
1 2 3 4 5
解析
答案
→ → → → → 2.如图已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用 a，b 表示AD，则AD等于 3 A.a＋4b
→
√
1 3 B.4a＋4b 1 1 C.4a＋4b 3 1 D.4a＋4b
解析
1
3 → → → → 3→ → 3 → → 1→ 3→ 1 AD＝AB＋BD＝AB＋4BC＝AB＋4(AC－AB)＝4AB＋4AC＝4a＋4b.
答案
梳理
(1)平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一 ____ 向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . (2)基底 平面内 不共线 的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
题型探究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型一
对基底概念的理解
3
4
5
解答
规律与方法
1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不
唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量
的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿 两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问 题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使 问题得以解决.
思考1
如果 e1 ， e2 是两个不共线的确定向量，那么与 e1 ， e2 在同一平面
内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ 答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
答案
思考2
如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.
第二章
§3
从速度的倍数到数乘向量
3.2
平面向量基本定理
学习目标
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点
平面向量基本定理
解答
反思与感悟
将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量
的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一 种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
→ → 如图所示，在△AOB 中，OA＝a，OB＝b，M，N 分别是边 OA， → 1 → 1 → → OB 上的点，且OM＝3a，ON＝2b，设AN与BM相交于点 P，用基底 a，b 表 → 示OP. 跟踪训练 2
1 B.2e1－e2，e1－ e2 2 D.e1＋e2，e1－e2
向量的基底的是 A.e1－e2，e2－e1 C.2e2－3e1，6e1－4e2 解析 e2－e1为共线向量； 选项B中，2e1－e2＝2(e1－ 1 e2)，为共线向量； 2 选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量. 根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.
解析 答案
选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，
类型二
平面向量基本定理的应用
→＝a， 例2 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若AB →. → ＝b，试以a，b为基底表示 →， DE BF AD
解答
引申探究
→ → → → 若本例中其他条件不变，设DE＝a，BF＝b，试以 a，b 为基底表示AB，AD.
＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②
解析
答案
反思与感悟
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线 .此外，
一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底 唯一线性表示出来.
跟踪训练1
若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面
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高中数学 第二章 平面向量课件 北师大版必修4(1)
例题解析
巩固练习
课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC
A
C
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
B O A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) 则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
知识结构
知识要点
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 : a 、 AB 等 表 坐标表示 : (x，y) 示
若 A(x1,y1),
则 AB =
B(x2,y2)
(x2 － x1 , y2 － y1)
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
向量的模（长度） 1. 设 a = ( x , y ), 则 a
知识结构
知识要点
例题解析
巩固练习
课外作业
例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM 分析
（2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论 AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解： （1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
x y
2
2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别
必修4-2.3.2 平面向量基本定理
C
分别是AC，BC的中点，
D
E
DE DC CE
1 AC 1 CB
2
2
A
B
1 ( AC CB) 1 AB
2
2
所以 DE // AB且等于AB的一半 .
12
1. 如图，已知向量e1与e2不共线，求作向量2e1-3e2 .
e2 e1
2e1 - 3e2 3e2
2e1
13
2. 如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD
E G
答 物体受到的滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行
向上；所受斜面支持力大小为50 3N，方向与斜面垂直向上.
10
例5 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC 的中点，AB a，AD b，用a，b表示BF和DE.
解 因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，且
北师版必修4第二章 平面向量
3.2 平面向量基本定理
2015.01
1
1．知识与技能 了解平面向量基本定理及其几何意义．
2．过程与方法 通过共线向量和平面向量基本定理，感受和认识不 同维度中向量的表示． 3．情感、态度与价值观 进一步体会数学和实际生活的联系．
2
重点：平面向量基本定理及其应用． 难点：平面向量基本定理证明．
7
平面向量基本定理
如图，在平面内任取一点O，作OA e1，OB e2， OC a . 过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线
OA于点M，交直线OB于N，则有且只有一对实数1， 2，使得OM 1e1，ON 2e2 .
因为OC OM ON ，所以 a 1e1 2e2 .
MC
a
e1
(1) 试用a，b表示AD；
高中数学北师大版必修四《2.3.2平面向量基本定理1》课件
：两个向量可作为一组基底的条件是什么？为什么？ 提示 两个不共线的向量可以作为一组基底．(1)当两个向量 e1， e2 共线时，λ1e1＋λ2e2 表示与 e1，e2 共线的向量，与 e1，e2 不共 线的向量表示不出来，不能用 e1，e2 表示平面内任一向量． (2)当两个向量 e1，e2 不共线时，对于平面内任一向量 a，平移 后，可以使 a，e1，e2 起点重合，①当 a 与 e1(或 e2)共线时，a ＝λ1e1＋0e2(或 a＝0e1＋λ2e2)，即 a 可以由 e1、e2 线性表示．② 当 a 与 e1，e2 不共线时，总可以作出以 a 为对角线，e1，e2 的 所在直线为邻边的平行四边形，a 可以由 e1，e2 线性表示出来．所 以两个向量可以作为一组基底的条件是不共线．
题型一 平面向量基本定理的理解 【例 1】 如果 e1，e2 是平面 α 内所有向量的一组基底，λ，μ 是 实数，判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)若 λ，μ 满足 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0； (2)对于平面 α 内任意一个向量 a，使得 a＝λe1＋μe2 成立的实数 λ，μ 有无数对； (3)线性组合 λe1＋μe2 可以表示平面 α 内的所有向量； (4)当 λ，μ 取不同的值时，向量 λe1＋μe2 可能表示同一向量． [思路探索] 基底的概念 → 基底的特征 → 平面向量基本定理
解 (1)正确，若 λ≠0，则 e1＝－μλe2，从而向量 e1，e2 共线， 这与 e1，e2 不共线相矛盾，同理可说明 μ＝0. (2)不正确，由平面向量基本定理可知 λ，μ 唯一确定． (3)正确，平面 α 内的任一向量 a 可表示成 λe1＋μ e2 有形式，反 之也成立． (4)不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当 λe1 和 μe2 确定后，其和向量 λe1＋μe2 便唯一确定．
高中数学第二章平面向量32平面向量基本定理课件北师大版必修4
[类题通法] 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立 其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结 论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的 向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组， 解方程或方程组即得．
[针对训练] 1．[变设问]在典例条件下，若―CM→＝a，―C→N ＝b，试用 a，b 表
[针对训练]
如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分 别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，BA＝
a，BC ＝b.试以 a，b 为基底表示 EF ，DF ，CD. 解：∵AD∥BC，且 AD＝13BC， ∴ AD＝13BC ＝13b. ∵E 为 AD 的中点， ∴ AE ＝ ED＝12 AD＝16b.
复习课件
高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第二章平面向量32平面向量基本定理课件北师大 版必修4
3．2 平面向量基本定理
一、预习教材·问题导入 1．什么叫平面向量的基底？基底是唯一的吗？ 2．平面向量的基本定理内容是什么？
二、归纳总结·核心必记
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可能作为基底
(× )
(2)如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线向量，则 λe1＋μe2(λ，μ∈
R)可以表示平面 α 内的所有向量
(√ )
(3)若实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0
得λ2＋λ＋2μμ＝ ＝22， ， 解得λμ＝＝2323，. ∴―A→P ＝23―AM→，―B→P ＝23―B→N ， ∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.
【高中课件】高中数学北师大版必修4第2章3.2平面向量基本定理课件ppt.ppt
解得e1＝13a－23b， e2＝13a＋13b.
∴e1＋e2＝23a－13b．
课堂典例讲练
对基底的理解
如下图，设点O是▱ABCD两对角线交点，下列 向量组：①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.可 作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② C．①④
B．①③ D．③④
基底
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面 内的一组基底的是( )
A．e1－e2与e2－e1
B．2e1－3e2与e1－32e2
C．－e1－2e2与2e1＋4e2 D．e1－2e2与2e1－e2
[答案] D [解析] 根据基底的定义，只要两向量不共线便可 作为基底，易知选D．
2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则 ()
中小学精编教育课件
第二章 平面向量
第二章 §3 从速度的倍数到数乘向量
3.2 平面向量基本定理
课前自主预习
如右图所示，一盏电灯，可以由 电线CO吊在天花板上，也可以由电线 AO和绳子BO拉住，所以拉力F起到的 效一果样应，与 这拉 应力 如何F1和解F释2共呢同？作用的效果
根据物理知识，力F可以分解为力F1和力F2，即F＝F1＋ F2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则，所以其 他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成．
平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底，
用这个基底的线性运算可以表示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面上的任意向量， 这就是本节要学习的平面向量基本定理．
平面向量基本定理 量，定那理么：对如于果这e一1和平e面2是内同的一任平一面向内量的a两，个存不在共唯线一的一向 对ea2＝叫实λ作1数e1表＋λ1λ，示2e2λ这2使一_平__面__内__所__有__向__量__的．一不组共_线__的__向__量_．e1，
2-3-2 平面向量基本定理 课件(北师大版必修4)
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
课前探究学习 课堂讲练互动
2. 给出下面四个命题： ①若 a∥b，则必存在唯一的实数 λ，使 b＝λa； ②若 λa＝μa，则 λ＝μ(λ，μ∈R,a≠0) ③若 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那么向量 e1＋e2 和 e1－e2 也能作为一组基底； ④若 λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2(λ1，λ2，μ1，μ2∈R)，则 λ1＝μ1，λ2＝μ2. ⑤若 λ，μ 满足 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0； 写 出 其 中 所 有 正 确 命 题 的 序 号 ．
M C
e1
a
e2
A
如图 OC OM ON
O
N
B
Hale Waihona Puke OM a1OA a1 e1ON a2 OB a2 e2
OC a1 e1 a2 e2
即 a a1 e1 +a 2 e2
课前探究学习 课堂讲练互动
A
N
B C
e1
e2
a
O
如图 OC OM ON
M
OM a1OA a1 e1
ON a2 OB a2 e2
OC a1 e1 a2 e2
即 a a1 e1 +a 2 e2
课前探究学习 课堂讲练互动
这就是说平面内任一向量a都可以表示为
课前探究学习
课堂讲练互动
1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 那么对于这一平面内的 任一 向量 a， 存在唯一一对 数 λ1、λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 (2)基底：把 内 所有 . 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面 向量， 实
北师大版高一数学必修4第二章第四节平面向量基本定理说课课件
平面向量的基本定理
5
3、重点和难点
（1）重点 1、对平面向量基本定理的探究； 2、利用平面向量基本定理进行向量的分解。
（2）难点 平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解。
1、教学方法
以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的 模式，展开所要学习的数学主题，突出探索式学习方 式。
2、教学手段
利用多媒体等手段，通过观察、建模、合作与交流 等数学活动，进行探究性学习。
2021/4/18
平面向量的基本定理
19
A
» 例题练习、变式演练
B
D
C
图1
(1)如图1，D 是ABC 中BC边的中点，AB a，
AC b，试用 a 、b 表示 AD 。
（2）如图2，如果点 F 在线段 AD上，且
AF 2 FD，试用 a 、b 表示 AF。
（3）如图3，如果点 E 是线段 BD的中点，
（3）情感、态度与价值观目标
1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生 不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意 识；
2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般 的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研 精神和科学态度；
3、培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩 证思想。
2021/4/18
2021/4/18
平面向量的基本定理
14
» 创设情境、提出问题
问题1 如果 e1 和 e2 是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一
平面内的任一向量，那么 种关系？
a
与
e1
、e2
之间有关系吗？怎样探求这
给出四种不同形式的向量位置，学生分组探讨三者之间关系， 教师利用几何画板演示学生成果，形成定理：
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
高中数学-第二章 平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课件 北师大版必修4
思路分析:(1)可用平面向量基本定理进行证明;(2)可用线性运
算以及重心的定义求证.
1
证明:(1)因为 D 是 BC 边中点,所以 = = ,于是 =
1
1
1
2
1
2
2
2
2
+ = + = + ( − )= + .
所以等式成立.
探究一
探究一
探究二
探究三
一题多解
探究一
探究二
探究三
一题多解
变式训练 3 已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数
m 使得 + =m 成立,则 m= (
)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:∵ + + =0,
∴点 M 是△ABC 的重心.
∴ + =3 .
)
(2)若 e1,e 2 为不共线向量,则 e1+e 2 与 e 1-e2 可构成基底. (
)
(3)若 a 与 b 为不共线向量,且有 x 1a+y 1b=x2a+y2b 成立,则一定
有 x1=x2,且 y 1=y2. (
)
(4)若 =x+y ,且 x+y=1,则有 A,B,C 三点共线. (
则得a-b= =e1-3e2.
答案:A
1
2
3
4
5
3.
如右图,设点 O 是▱ABCD 两对角线交点,下列向量组:① 与 ;②
与 ;③与 ;④ 与 .可作为该平面其他向量基底的是
(
)
A.①②
B.①③
算以及重心的定义求证.
1
证明:(1)因为 D 是 BC 边中点,所以 = = ,于是 =
1
1
1
2
1
2
2
2
2
+ = + = + ( − )= + .
所以等式成立.
探究一
探究一
探究二
探究三
一题多解
探究一
探究二
探究三
一题多解
变式训练 3 已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数
m 使得 + =m 成立,则 m= (
)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:∵ + + =0,
∴点 M 是△ABC 的重心.
∴ + =3 .
)
(2)若 e1,e 2 为不共线向量,则 e1+e 2 与 e 1-e2 可构成基底. (
)
(3)若 a 与 b 为不共线向量,且有 x 1a+y 1b=x2a+y2b 成立,则一定
有 x1=x2,且 y 1=y2. (
)
(4)若 =x+y ,且 x+y=1,则有 A,B,C 三点共线. (
则得a-b= =e1-3e2.
答案:A
1
2
3
4
5
3.
如右图,设点 O 是▱ABCD 两对角线交点,下列向量组:① 与 ;②
与 ;③与 ;④ 与 .可作为该平面其他向量基底的是
(
)
A.①②
B.①③
【高中课件】高中数学北师大版必修4第二章平面向量基本定理2课件ppt.ppt
中小学精编教育课件
平面向量基本定理
教学目的：
1．了解平面向量基本定理的证明． 2. 掌握平面向量基本定理及其应用.
教学重点：
平面向量基本定理的应用.
教学难点：
平面向量基本定理的理解.
二、向量共线定理:
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只 有一个实数 ，使得：
b a
长度： b a
例3 如右图, OA、OB 不共线，
P
AP t AB (t R) ,用OA 、OB 表示OP .
B
分析：求OP ，由图可知
A
O
OP OA AP AP t AB
OA t AB 而 AB OB OA
解： AP t AB OP OA AP
OA t AB
MC 1 AC
A
MB 1 DB
a
2
2
1 (a b) 2
1 (a b) 2
又 MA MC MD MB
C B
MA 1 (a b) 2
们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和 已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系, 从而使问题简化.
OA 2.5e1 OB 3e2 (2)作平行四边形OACB
于是 OC 就是 2.5e1 3e2 .
C
B
A
O
课堂练习：P84 练习1
例2 如右图示，平行四边形ABCD的两条对
角线相交于点M，且 AB a，AD b 用a ，b 表示MA、MB、MC 和 MD.
分析:因为ABCD为平行四边形可知M为AC
既然这两个向量这么特别，我们一般用 e1 ，e2 表示.
平面向量基本定理
教学目的：
1．了解平面向量基本定理的证明． 2. 掌握平面向量基本定理及其应用.
教学重点：
平面向量基本定理的应用.
教学难点：
平面向量基本定理的理解.
二、向量共线定理:
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只 有一个实数 ，使得：
b a
长度： b a
例3 如右图, OA、OB 不共线，
P
AP t AB (t R) ,用OA 、OB 表示OP .
B
分析：求OP ，由图可知
A
O
OP OA AP AP t AB
OA t AB 而 AB OB OA
解： AP t AB OP OA AP
OA t AB
MC 1 AC
A
MB 1 DB
a
2
2
1 (a b) 2
1 (a b) 2
又 MA MC MD MB
C B
MA 1 (a b) 2
们在做有关向量的题型时,要先找清楚未知向量和 已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系, 从而使问题简化.
OA 2.5e1 OB 3e2 (2)作平行四边形OACB
于是 OC 就是 2.5e1 3e2 .
C
B
A
O
课堂练习：P84 练习1
例2 如右图示，平行四边形ABCD的两条对
角线相交于点M，且 AB a，AD b 用a ，b 表示MA、MB、MC 和 MD.
分析:因为ABCD为平行四边形可知M为AC
既然这两个向量这么特别，我们一般用 e1 ，e2 表示.