高考解析几何复习专题
专题05 平面解析几何(选择题、填空题)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(原卷版)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。
高三数学总复习专题10 解析几何(答案及解析)
高三数学总复习专题10 解析几何方法点拨1．圆锥曲线中的最值 （1）椭圆中的最值12,F F 为椭圆()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有： ①[],∈OP b a ； ②[]1,∈-+PF a c a c ；③2212,⎡⎤⋅∈⎣⎦PF PF b a ；④1212∠≤∠F PF F BF ． （2）双曲线中的最值12,F F 为双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有：①≥OP a ；②1≥-PF c a ． （3）抛物线中的最值点P 为抛物线()220=>y px p 上的任一点，F 为焦点，则有： ①2≥pPF ；②(),A m n 为一定点，则+PA PF 有最小值． 2．定点、定值问题（1）由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：()00-=-y y k x x ，则直线必过定点()00,x y ；若得到了直线方程的斜截式：=+y kx m ，则直线必过定点()0,m ． （2）解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值． 3．圆锥曲线中范围、最值的求解策略（1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出临界位置后数形结合求解． （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．（3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4．定点问题的l 过定点问题的解法：设动直线方程(斜率存在)为=+y kx t 由题设条件将t 用k 表示为=t mk ，得()=+y k x m ，故动直线过定点(),0-m ．（2）动曲线C 过定点问题的解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．（3）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 5．求解定值问题的两大途径（1）首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．（2）先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 6．解决探索创新问题的策略存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论．（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．经典试题汇编一、选择题．1．（陕西省渭南市临渭区2021届高三一模）若直线:3=-l y kx 与直线2360+-=x y 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．ππ,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭2．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）过圆2216+=x y 上的动点作圆22:4+=C x y 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A ．πB ．32πC ．2πD ．3π3．（山西省大同市天镇县实验中学2021-2022学年高三一模）圆222440+-+-=x y x y 与直线2140()---=∈R tx y t t 的位置关系为（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能4．（吉林省长春市2022届高三一模）已知圆22:(2)(3)2-+-=C x y ，直线l 过点(3,4)A 且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为,M N ，则MN =（ ）A ．B ．6C ．D ．85．（河南省联考2021-2022学年高三一模）若点()2,1--P 为圆229+=x y 的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ）A ．250++=x yB ．250+-=x yC ．250-+=x yD ．250--=x y6．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）若A ，B 是O ：224+=x y 上两个动点，且2⋅=-OA OB ，A ，B 到直线l 40+-=y 的距离分别为1d ，2d ，则12+d d 的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）过双曲线2214-=y x 的左焦点1F 作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若4=PQ ，2F 是双曲线的右焦点，则2△PF Q 的周长是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．128．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知抛物线24=x y 的焦点为F ，过F的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，70,2⎛⎫⎪⎝-⎭P ．若⊥PB AB ，则=AF （ ）A ．32B ．2C ．52D ．39．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）已知抛物2:2C y px =（0>p ）的焦点为F ，点T 在C 上，且52=FT ，若点M 的坐标为()0,1，且⊥MF MT ，则C 的方程为（ ） A ．22=y x 或28=y x B ．2=y x 或28=y x C ．22=y x 或24=y xD ．2=y x 或24=y x10．（河南省联考2021-2022学年高三一模）点F 为抛物线22=y px ()0>p 的焦点，l 为其准线，过F 的一条直线与抛物线交于A ，B 两点，与l 交于点C ．已知点B 在线段CF 上，若BF ，AF ，BC 按照某种排序可以组成一个等差数列，则AFBF的值为（ ） A ．32或3B ．2或4C ．32或4D ．2或311．（贵州省遵义市2021届高三一模）双曲线221927-=x y 上一点P 到右焦点2F 距离为6，1F 为左焦点，则12∠F PF 的角平分线与x 轴交点坐标为（ ）A ．()1,0-B ．()0,0C ．()1,0D ．()2,012．（吉林省长春市2022届高三一模）已知P 是抛物线24=y x 上的一动点，F 是抛物线的焦点，点(3,1)A ，则||||+PA PF 的最小值为（ ）A ．3B ．C ．4D ．13．（多选）（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知双曲线2222:1-=x y C a b（0>a ，0>b ）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若=a b ，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12△PF F 的内切圆圆心的横坐标=x aD ．若M 为直线2=a x c（=c 0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 14．（江西省赣州市2021届高三3月一模）已知M 、N 是双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b上关于原点对称的两点，P 是C 上异于M 、N 的动点，设直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ．若直线12=y x 与曲线C 没有公共点，当双曲线C 的离心率取得最大值时，且123≤≤k ，则2k 的取值范围是（ ） A ．11,128⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,812⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦15．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的一条渐近线方程为=y ，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．316．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知平行于x 轴的一条直线与双曲线()222210,0-=>>x y a b a b 相交于P ，Q 两点，4=PQ a ，π3∠=PQO （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）A B C D17．（甘肃省嘉谷关市第一中学2020-2021学年高三一模）已知双曲线22221(0,0)-=>>y x a b a b与抛物线2=x 共焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若三角形OMF 的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）AB ．16C D ．4或4318．（四川省乐山市高中2022届一模）已知双曲线()222210,0-=>>x y a b a b，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若ABF 的面积为22a ，则双曲线的离心率为（ ）AB C D ．219．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的左顶点为A ，右焦点(),0F c ，若直线=x c 与该双曲线交于B 、C 两点，ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（ ）A ．2BCD ．320．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知F 是椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b x y 相切于点Q ，且2=PQ QF ，则椭圆C 的离心率等于（ ）A B ．23C ．2D ．1221．（广西柳州市2022届高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221-=x y a b()0,0>>a b 的左，右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支在第一象限交于A 点，直线2AF 与双曲线C 的右支交于B 点，点2F 恰好为线段AB 的三等分点(靠近点A )，则双曲线C 的离心率等于（ ）A B C ．3D ．12+ 二、填空题．22．（贵州省遵义市2021届高三一模）直线1=-+y kx k 与圆224+=x y 交于,A B 两点，则AB 最小值为________．23．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）若抛物线22=y px 上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________．24．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知12,F F 为双曲线22:1169-=x y C 的两个焦点，,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12=PQ F F ，则四边形12PF QF 的面积为________．25．（四川省达州市2021-2022学年高三一模）设直线()y kx k =∈R 交椭圆221164+=x y 于A ，B 两点，将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折与x 轴上方半平面成直二面角，则AB 的取值范围是___________．26．（四川省成都市2021-2022学年高三一模）已知斜率为13-且不经过坐标原点O的直线与椭圆22+197x y =相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为________． 三、解答题．27．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三一模）已知两圆221:(2)54C x y -+=，222:(2)6C x y ++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值．28．（四川省成都市2020-2021学年高三一模）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的离心率为2，且直线1+=x ya b与圆222+=x y 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ﹐B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆C 相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上．记AOM ，△BOP的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围． 29．（陕西省汉中市2022届高三一模）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，左､右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上，且满足2122,3π=∠=PF F PF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点(1,0)且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得∠=∠MQO NQO ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．30．（四川省南充市2021-2022学年高三一模）已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b的离心率为2，椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ，2B ，且122=B B ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当1=k 时，求OMN 的面积；（3）求证：直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值．31．（江西省赣州市2021届高三3月一模）设离心率为12的椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b 的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，且满足1260∠=︒F PF ，12△PF F（1）求a ，b 的值；（2）设直线:2(0)=+>l y kx k 与E 交于M ，N 两点，点A 在x轴上，且满足0⋅+⋅=AM MN AN MN ，求点A 横坐标的取值范围．32．（广西柳州市2022届高三一模）已知椭圆C ：22221+=x y a b()0>>a b 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，AOB 的面积为﹐点P 为椭圆C 的下顶点，2=PF ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 上有两点M ，N (异于椭圆顶点且MN 与x 轴不垂直)．当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 33．（湖南省湘潭市2021-2022学年高三一模）已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y=．（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，点P 为()2,1． ①求直线l 在y 轴上的截距的取值范围； ②求证：∠APB 的平分线总垂直于x 轴．34．（四川省乐山市高中2022届一模）如图，从椭圆22221(0)+=>>x y a b a b上一点P 向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ．又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y轴正半轴的交点，且=OP AB k ，13=F A ． （1）求椭圆的方程；（2）直线l 交椭圆于M ､Q 两点，判断是否存在直线l ，使点2F 恰为MQB △的重心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．35．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3=AF ．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12λ=k k 恒成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．36．（湖南省长沙市雅礼中学2021届高三一模）已知椭圆()222210:x y a b a bC +=>>，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．若椭圆的两直径的斜率之积为22-b a，则称这两直径为椭圆的共轭直径．特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径．现已知椭圆22:143x y E +=．（1）已知点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ，31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B 为椭圆E 上两定点，求AB 的共轭直径的端点坐标；（2）过点()作直线l 与椭圆E 交于1A ､1B 两点，直线1A O 与椭圆E 的另一个交点为2A ，直线1B O 与椭圆E 的另一个交点为2B ．当11A OB 的面积最大时，直径12A A 与直径12B B 是否共轭，请说明理由；（3）设CD 和MN 为椭圆E 的一对共轭直径，且线段CM 的中点为T ．已知点P 满足：λ=OP OT ，若点P 在椭圆E 的外部，求λ的取值范围．参考答案一、选择题． 1CACCADDDADDC 13．【答案】ABD【解析】对于A 中，因为=a b ，所以222=a c ，故C的离心率==ce a所以A 正确； 对于B 中，因为()1,0-F c 到渐近线0-=bx ay的距离为==d b ，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12△PF F 的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ， 设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212-=+--=-PF PF PC CF PB BF CF BF1112=-A F A F ()()22=+--==c x c x x a ，解得=x a ，当点P 在双曲线的左支上时，可得=-x a ，所以12△PF F 的内切圆圆心的横坐标=±x a ，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin =∠AF R AMF ，所以当2sin ∠AMF 最大时，R 最小，因为2<a a c，所以2∠AMF 为锐角，故2sin ∠AMF 最大，只需2tan ∠AMF 最大，由对称性，不妨设2,⎛⎫ ⎪⎝⎭a M t c （0>t ），设直线2=a x c 与x 轴的交点为N ，在直角2△NMF 中，可得222tan ==∠-a c NF NM NMF ct ， 在直角△NMA 中，可得2tan =-=∠a a NA A NM NM c t，又由2222tan tan tan tan()1tan tan NMF NMAAMF NMF NMA NMF NMA∠-∠∠=∠-∠=∠⋅+∠222222()1c c a ab c a a a a c ct t a a c t a c c t tc t -==≤+-----⨯-+， 当且仅当()22-=ab c a t c t ，即=t 2tan ∠AMF 取最大值， 由双曲线的对称性可知，当=t 2tan ∠AMF 也取得最大值，所以D 正确，故选ABD ． 14．【答案】A【解析】因为直线12=y x 与双曲线()2222:10,0-=>>x y C a b a b 没有公共点，所以双曲线C 的渐近线的斜率12=≤bk a ，而双曲线C的离心率====c e a 当双曲线C 的离心率取最大值时，b a 取得最大值12，即12=b a ，即2=a b ，则双曲线C 的方程为222214-=x y b b，设()11,M x y 、()11,--N x y 、()00,P x y ，则2211222200221414⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y b b x y b b ， 两式相减得()()()()10101010224+-+-=x x x x y y y y b b ，即1010101014-+⋅=-+y y y y x x x x ， 即1214⋅=k k ， 又123≤≤k ，211,128⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k ，故选A ． 15．【答案】B【解析】双曲线22221-=x y a b 的渐近线方程为=±by x a，因为渐近线方程为=y ，所以=ba故可得====e B ． 16．【答案】D【解析】如图，由题可知，△POQ 是等边三角形，4=PQ a ，()2,∴P a ，将点P 代入双曲线可得22224121-=a a a b ，可得224=b a，∴离心率===c e a D ．17．【答案】C【解析】抛物线2=x 的交点坐标为(F ，又双曲线22221(0,0)-=>>y x a b a b与抛物线2=x 共焦点，∴双曲线的半焦距=c ，三角形OMF 的面积为2，且=OM a ，=MF b ，∴122=⋅ab ，即4=ab ， 有22217+==a b c ，∴1=a 或4=a ，∴双曲线的离心率为=e ，故选C ．18．【答案】B【解析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'AF ，'BF ， 因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点(),0F c ， 所以⊥AF BF ，圆心为()0,0O ，半径为c ， 根据双曲线的对称性可得四边形'AFBF 是矩形，设=AF m ，=BF n ，则222224122⎧⎪-=⎪+=⎨⎪⎪=⎩n m a n m c mn a ，由()2222-=+-n m m n mn ，可得222484-=c a a ，所以223=c a ，所以2223==c e a，所以=e ，故选B ．19．【答案】A【解析】联立22222221=⎧⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩x cxy a b c a b，可得2=±b y a ，则22=b BC a ，易知点B 、C 关于x 轴对称，且F 为线段BC 的中点，则=AB AC ，又因为ABC 为等腰直角三角形，所以2=BC AF ，即()222=+b c a a， 即()222+==-a c a b c a ，所以=-a c a ，可得2=c a ， 因此，该双曲线的离心率为2==ce a，故选A ． 20．【答案】A【解析】圆22239⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b x y 的圆心为,03⎛⎫ ⎪⎝⎭c A ，半径为3=b r ． 设左焦点为1F ，连接1PF ，由于124,33==AF c AF c ， 所以12==AF PQAF QF，所以1//AQ PF ，所以12,2==-PF b PF a b ， 由于⊥AQ PF ，所以1⊥PF PF ， 所以()()()22222224+-==-b a b c a b ，2320,3-==b b a a ，===c e a ，故选A ．21．【答案】C【解析】设2=AF x ，则22=BF x ，由双曲线的定义可得1222=+=+AF AF a a x ，12222=+=+BF BF a a x ， 因为点A 在以12F F 为直径的圆上，所以190∠=F AB ，所以22211+=AF AB BF ，即()()()2222322++=+a x x a x ，解得23=x a ， 在12△AF F 中，1823=+=AF a x a ，223=AF a ，122=F F c ， 由2221212+=AF AF F F 可得()22282233⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a c ，即22179=a c ，所以双曲线离心率为3===e ，故选C ．二、填空题． 22．【答案】【解析】直线1=-+y kx k 过定点过()1,1M ， 因为点()1,1M在圆的内部，且OM == 由圆中弦的性质知当直线与OM 垂直时，弦长最短， 此时结合垂径定理可得AB ==故答案为 23．【答案】28=y x【解析】抛物线的准线方程为2=-p x ，点()02,P y 到其准线的距离为22+p ， 由题意可得242+=p，解得4=p ， 故抛物线的标准方程为28=y x ，故答案为28=y x ． 24．【答案】18【解析】由双曲线的对称性以及12=PQ F F 可知，四边形12PF QF 为矩形，所以1222212284100⎧-==⎪⎨+==⎪⎩PF PF a PF PF c ，解得1218=PF PF ， 所以四边形12PF QF 的面积为1218=PFPF ， 故答案为18．25．【答案】(⎤⎦【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221164=⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y ，可得22(14)160+-=k x ， 可得1212216,014=-+=+x x x x k ，所以221221614==+x x k ， 将椭圆x 轴下方半平面沿着x 轴翻折与x 轴上方半平面成直二面角， 分别作,⊥⊥BC x AD x 于点,C D ，如图所示， 则2222=++AB BC CD AD ，又由222222222211,====BC y k x AD y k x ，2222212*********64()2()414=-=+-=+-=+CD x x x x x x x x x x k， 所以222222221226414=++=+++AB BC CD AD k x k x k 2222232648(417)78(1)141414+⋅++===⋅++++k k k k k ， 因为∈R k ，所以20≥k ，所以2411+≥k ，所以270741<≤+k ，所以2788(1)6414<⋅+≤+k ，即2864<≤AB，所以8<≤AB ，所以AB的取值范围是(⎤⎦，故答案为(⎤⎦．26．【答案】73【解析】设直线AB 的方程为13=-+y x b ，联立2213197⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x b x y ，得221()3197-++=x b x ，即22869630-+-=x bx b ，由223632(963)0b b ∆=-->，得-<<b 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则120328+==x x b x ，0011373388=-+=-⨯+=b by x b b ， 即37(,)88b bM ，则直线OM 的斜率为0073==y k x ，故答案为73．三、解答题．27．【答案】（1）2212420+=x y ；（2．【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C，半径1=r 圆2C 的圆心()22,0-C，半径2=r设圆M 的半径为r ，则有11=-MC r r ，22=+MC r r ，因此，1212124+=+=>=MC MC r r C C ，于是得点M 的轨迹是以12,C C为焦点，长轴长2=a 此时，焦距24=c ，短半轴长b 有22220=-=b a c ，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2212420+=x y ．（2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)=+≠x my m ，1122(,),(,)P x y Q x y ，由22356120=+⎧⎨+=⎩x my x y ，消去x 得22(56)30750++-=m x my ， 则1226350+=-+m y y m ，1227556=-+y y m ， 点P 关于x 轴的对称点11(,)-R x y ，1211|2|||2=⋅⋅-PQRSy x x ，111232=⋅⋅-APRS y x ，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21-x x 与13-x 同号， 于是得()()()1211121133=-=---=⋅---AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x121212275|||75|||3|||||||6565|||==⋅-==⋅==++≤m y x y my my y m m m ， 当且仅当65||||=m m ，即=m 时取“=”，因此，当=m 时，max ()=AQR S，所以ARQ 面积的最大值4． 28．【答案】（1）22163+=x y；（2）⎣⎦．【解析】（1）∵椭圆的离心率为2，∴2=c a （c 为半焦距）， ∵直线1+=xy ab与圆222+=x y=，又∵222+=c b a ，∴26=a ，23=b ，∴椭圆C 的方程为22163+=x y ．（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12==AOM BOP OMS S S S OP△△． （ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由⊥OA OB 及椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为=y x ，得22=Ax ．则22=Mx ，26=P x，∴123==OM S S OP ； （ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线():0=+≠l y kx m m ，()11,A x y ，()22,B x y ，由22163=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mx y ，消去y ，得()222214260++-=＋k x kmx m ， ∴()()()2222221682138630k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22630-+>k m ．∴122421+=-+kmx x k ，21222621-=+m x x k ．∵点O 在以AB 为直径的圆上，∴0⋅=OA OB ，即12120+=x x y y ， ∴()()221212121210+=++++=x x y y k x x km x x m ，∴()22222264102121-⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭m km k km m k k ． 化简，得2222=＋m k ，经检验满足0∆>成立， ∴线段AB 的中点222,2121⎛⎫-⎪++⎝⎭km m M k k ， 当0=k 时，22=m，此时123==S S ； 当0≠k 时，射线OM 所在的直线方程为12=-y x k， 由2212163⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x k x y ，消去y ，得2221221=+P k x k ，22321=+P y k ， ∴==M P OM y OP y ∴12==S S12,33⎛∈ ⎝⎭S S ， 综上，12S S的取值范围为⎣⎦．29．【答案】（1）22143+=x y ；（2）存在，()4,0．【解析】（1）在12△PF F 中，1122,2=-=cPF a a ，所以，由余弦定理()224(22)4222=-+--c a a，解得2,==a b ，所以，椭圆方程为22143+=x y ．（2）假设存在点(),0Q m 满足条件，设直线l 的方程为()10=+≠x ty t ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立()22221,34690143=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩x ty t y ty x y ， 121212221269,,3434--+==+=+++--MQ NQy y t y y y y k K t t x m x m， 又因为∠=∠MQO NQO ，所以0+=MQ NQ K K ，即1212=--y y x m m x ， 即()()1211-=-y m x y m x ，将11221,1=+=+x ty x ty 代入化简得()()121212-+=m y y ty y ， 即()2261183434---=++t m tt t ，计算得4=m ，所以存在()4,0点使得∠=∠MQO NQO ．30．【答案】（1）2212+=x y ；（2）面积不存在；（3）证明见解析．【解析】（1）因为122=B B ，所以22=b ，即1=b ，因为离心率为2，所以2=c a ，设=c m，则=a ，0>m ， 又222=-c a b ，即2222=-m m b ，解得1=m 或1-（舍去），所以=a 1=b ，1=c ，所以椭圆的标准方程为2212+=x y ．（2）由22122⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y x ，得()222220++-=x x ，23860++=x x ，284360∆=-⨯⨯<，所以直线与椭圆无交点，故OMN 的面积不存在．（3）由题意知，直线l 的方程为2=+y kx ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22212=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y ，整理得()2221860+++=k x kx ，则()()22122122846120821621Δk k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩，因为直线和椭圆有两个交点，所以()()22824210k k ∆=-+>，则232>k ，设(),T m n ，因为1B ，T ，M 在同一条直线上，则111111313+++===+y kx n k m x x x ， 因为2B ，T ，N 在同一条直线上，则222221111-+-===+y kx n k m x x x ， 由于()21212283311213440621⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+k x x n n k k k m m x x k ，所以12=n ， 则交点T 恒在一条直线12=y 上，故交点T 的纵坐标为定值12．31．【答案】（1）2=a，=b （2）6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】（1）设椭圆短轴的端点为B ，则21sin 2∠=OBF ，所以26π∠=OBF ，123π∠=F BF ，所以点P 即为点B，所以12122=⋅⋅==△PF F S c b bc ，又12=c a ，222=-a b c ，所以2=a，=b（2）设(,0)A m ，()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点()00,H x y ，由2223412=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，得()22431640+++=k x kx ， 所以()()222(16)164348410k k k ∆=-+=->， 又0>k ，所以12>k ，所以1221643+=-+kx x k ， 所以12028243+==-+x x k x k ，0026243=+=+y kx k ，即2286,4343⎛⎫- ⎪++⎝⎭k H k k ， 因为()20⋅+⋅=+⋅=⋅=AM MN AN MN AM AN MN AH MN ， 所以⊥AH MN ，所以226143843+=---+k k k mk ，得2223434=-=-++k m k k k ， 因为12>k，所以34+≥k k，当且仅当=k =”号，所以⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭m ， 故点A的横坐标的取值范围是6⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭． 32．【答案】（1）22184+=x y ；（2）12-，理由见解析．【解析】（1）由题意可得：在2OPF Rt 中，22222+=OP OF PF ，即)222+=b c ，所以=b c ，椭圆C ：22221+=x y a b 中，令=x c 可得2422221⎛⎫=-= ⎪⎝⎭c b y b a a，所以2=±b y a ，可得22=b AB a，所以22122=⋅⋅==AOBb bc Sc a a所以2=b c ，因为=b c ，222=+a b c，所以34====b b ， 可得24=b ，所以2==c b ，2228=+=a b c ，所以椭圆C 的标准方程为22184+=x y ．（2）设直线MN 的方程为=+y kx t ，()11,M x y ，()22,N x y ，由22184=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx tx y ，可得()222214280+++-=k x ktx t ， ()()222216421280k t k t ∆=-+->，即2284<+t k ，122412-+=+ktx x k，21222812-=+t x x k ， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t()()22222222222228124812121212-+-=-+=++++k t k t k t t k k k k k，12=-=MN x==， 点()0,0O 到直线=+y kx t的距离=d所以OMN的面积为1122⋅==MN d222284212+-+≤=+t k t k， 当且仅当22284=-+t k t 即2224-=t k 时等号成立，2222222122222128128241122828282-+--+⋅==⨯===-+---OM ONy y t k k t k t t k k x x k t t t ， 所以当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积是12-．33．【答案】（1）E是以()，)为焦点，长轴长为22163+=x y ；（2）①(3,-；②证明见解析． 【解析】（1）圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为的椭圆，其标准方程为22163+=x y ．（2）①设直线l ：=+y x m ，()11,A x y ，()22,B x y ，由22163⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y x m ，消去y ，得2234260++-=x mx m ， 由题意，有()()22122124432604032603m m mx x m x x ∆⎧=-⨯->⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪-=>⎪⎩，解得3-<<m ， 所以直线l 在y轴上的截距的取值范围为(3,-．②因为点P 在椭圆上，若直线l 过点P ，即点A （或点B ）与P 重合，则l 与E 的另一个交点为25,33⎛⎫--⎪⎝⎭，不合题意，所以点A （或点B ）与P 不重合； 若AP 或BP 的斜率不存在，则直线l 过点()2,1-，此时，l 与E 只有一个交点， 所以AP 与BP 的斜率都存在，设直线AP 的斜率为1k ，直线BP 的斜率为2k ， 因为A ，B 在轴的右侧，结合图象，可知，要证∠APB 的平分线总垂直于x 轴，只要证120=+k k ， 因为11112-=-y k x ，22212-=-y k x ，也即证()()()()122112120--+--=y x y x ，而()()()()()()()()1221122112121212--+--=+--++--y x y x x m x x m x()()()2121241242344344033-⎛⎫=+-+-+=+---+= ⎪⎝⎭m m x x m x x m m m 成立， 故∠APB 的平分线总垂直于x 轴．34．【答案】（1）22143+=x y ；（2）存在，:80--=l y ．【解析】（1）由题可知，(,0)A a ，(0,)B b ，2,⎛⎫- ⎪⎝⎭b P c a ，因为=OP AB k，则200--=---b b a c a，解得=b ，故有2223+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩a cb bc a ，解得2=a，=b椭圆方程为22143+=x y ．（2）法一：假设存在，易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为=+y kx m ，()11,M x y ，()22,Q x y ，联立22143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mx y ，得()2223484120+++-=k x kmx m ， 则122212283441234⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩km x x k m x x k ， 因为2F 为MQB △的重心，则121201303++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩x x y y，解得12123+=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y y则122128334⎧+=-=⎪+⎨⎪+++=⎩km x x k kx m kx m，化简得228334634⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩km k m k，解得⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k m ，所以直线:80--=l y ．法二：设()11,M x y ，()22,Q x y ，因为2F 为MQB △的重心，则120130++⎧=⎪⎪=x x，解得12123+=⎧⎪⎨+=⎪⎩x x y y设MQ 的中点R，则3,2⎛ ⎝⎭R ， 因为M ，Q 在椭圆22143+=x y 上，则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减得34⋅=-MQ OR k k，即=MQ k所以直线:80--=l y ．35．【答案】（1）22143+=x y ，（2）3λ=．【解析】（1）因为离心率为12，所以12==c e a ， 又3=AF ，所以3+=a c ，解得2=a ，1=c ， 又222=-c a b ，所以23=b ，所以椭圆方程为22143+=x y ．（2）由（1）知()1,0F ，()2,0-A ，设直线PN 的方程为1=+x my ，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,--M x y ， 所以1112=-y x k ，2222=+yk x ， 若存在λ，使得12λ=k k 恒成立，所以121222λ=-+y yx x ， 所以()()122122λ+=-y x y x ，两边同乘1y 得()()21221122λ+=-y x y y x ，又因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143+=x y ，所以()()2112113223144-+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭x x x y ，所以()()()()112211322224λ-++=-x x x y y x ，当12≠x 时，则()()12213224λ-++=x x y y ， 所以()21212136124λ--+-=x x x x y y ①； 当12=x 时，M 与A 重合，联立方程221143=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，消元得()2234690++-=m y my ，所以212212934634-⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩y y m m y y m ，所以()212128234+=++=+x x m y y m ，()222121212412134-=+++=+m x x m y y m y y m ，代入①得22221236489124343434λ-+--+-=+++m m m m ， 整理得10836λ-=-，解得3λ=． 36．【答案】（1）2-⎭和2⎛ ⎝⎭；（2）直径12A A 与直径12B B 共轭，理由见解析；（3）λ>λ< 【解析】（1）由题设知32=AB k ，设所求直线方程为=y kx ，则34⋅=-AB k k ，则12=-k ， 故共轭直径所在直线方程为12=-y x ．联立椭圆与12=-y x ，即2212143⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x x y 可得23=x，=x故端点坐标为⎭和⎛ ⎝⎭．（2）由题设知，l 不与x 轴重合，故设l：=x my ()111,A x y ､()122,B x y ，联立方程()22223430143⎧=⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩x my m y x y ，则12234+=+y y m ，122334-=+y y m ，2122121234-=+m x x m ，122223434=-=⋅=++S y mm 63=≤=，当且仅当2313+=m ，即223=m 时取等号， 此时121221222123312124-⋅===-=--A A B By y b k k x x m a，故直径12A A 与直径12B B 共轭． （3）设点()11,C x y ，()22,M x y ，当CD 不与坐标轴重合时，设CD l ：=y kx ，则MN l ：34=-y x k， 联立2222211221212,3434143=⎧⎪⇒==⎨+++=⎪⎩y kx k x y x y k k ， 同理可得22221634=+k x k ，222934=+y k． 由椭圆的对称性，不妨设C 在第一象限，则M 必在第二象限或第四象限，则1=x1=y若M在第二象限，则2=x2=y ，从而 ⎪⎝⎭T ，则⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭P ．又P在椭圆外，则223412⎫⎪⎪+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简可得22λ>，即λ>λ<若M 在第四象限，同理可得22λ>，即λ>λ<当CD 与x 轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取()2,0C，(M ，则λ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭P ． 又P 在椭圆外，则2223341224λλλ+⋅>⇒>，即λ>λ<综上：λ>λ<。
高考解析几何复习专题
交点法探究：
①判别式；②根与系数关系：两根和、两根积（横坐标关系与纵坐标关系转换）； ③数量关系转换（长度、角度、斜率、面积、向量关系或不等关系等转换）； ④位置关系转换（平行或垂直或相交等）
x1 x2 x1x2
y1 y2 y1 y2
问 题
繁 与 简
关于交点法：交点法中的曲线与方程
关联特征转换典型题例关联特征转换非交点法应用题例数学语言转换数形特征转换圆锥曲线概念与基本量关系向量与数量关系转换已知点ab是椭圆的左右顶点f为左焦点点p是椭圆上异于ab的任意一点直线ap与过点b且垂直于x交于点m直线bpmn1求证
高考数学复习专题
解析几何-交点法
（高考全国卷解答题20题探究）
解析几何专题-交点法 1.数学思想：方程（组）思想 2. 问题特征：直线与圆锥曲线-相交弦 3. 途径方法：两式两线两法
焦半
|
PF
|
x0
p 2
, (P(x0,
y0 ) C
:
y2
2 px)
径：
注意：①抛物线方程有四种形式；
②焦半径对应四种不同表示方式
七、圆锥曲线问题类型
问题类型
一、求曲线或轨迹方程问题--方程（组）思想应用 （1）点与曲线-方程思想；（2）向量关系-特征转化； （3）特征量或特征量关系；（4）位置特征关系转化
4、路径选择、计算方法
交点法小练与思考 练习1 若直线
与椭圆
恒有公共点，
求实数 的取值范围
直线与曲线
练习2
已知椭圆
x
2
2
y2 1
1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，若过点 P（0，-2）、F1 的直线交
椭圆于 A,B 两点，求 ABF2 的面积
高考数学冲刺解析几何考点精讲
高考数学冲刺解析几何考点精讲在高考数学中，解析几何一直是一个重点和难点板块。
对于即将参加高考的同学们来说，掌握好这部分知识至关重要。
下面，我们就来对高考数学中解析几何的考点进行一次详细的梳理和讲解。
一、直线与方程直线是解析几何中最基本的图形之一，而直线方程则是描述直线的重要工具。
1、直线的倾斜角和斜率倾斜角的范围是0, π)，斜率则是倾斜角的正切值。
当直线平行于 x轴时，倾斜角为 0，斜率为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为 90°，斜率不存在。
2、直线方程的几种形式（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中（x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中（x₁, y₁)，（x₂, y₂) 是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）在解题时，要根据已知条件灵活选择直线方程的形式，以便简化计算。
二、圆与方程圆是一种常见的几何图形，其方程的形式和性质也是高考的重要考点。
1、圆的标准方程（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 是圆心坐标，r 是圆的半径。
2、圆的一般方程x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），通过配方可以化为标准方程。
3、直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小。
当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。
三、椭圆椭圆是高考中常考的曲线之一。
高三数学解析几何习题集
高三数学解析几何习题集
一、直线与平面
1. 已知直线L1的方程为x + 2y - 3 = 0，点A(2, -1)在该直线上，求直线L1与直线L2：2x - y + 4 = 0的交点坐标。
2. 平面α过点A(1, -2, 3)，且与直线L：x = 2 + 3t，y = -1 - t，z = 3t相交于点P(5, 1, -2)，求平面α的方程。
3. 已知平面α与平面β垂直，平面α通过点A(1, 2, -1)，平面β通过直线L：x = 2 - 4t，y = t，z = 3t，求平面β的方程。
二、曲线的方程
1. 曲线C为椭圆，已知其焦点F1(-3, 0)，F2(3, 0)，且顶点为(0, 2)，求曲线C的方程。
2. 曲线C为双曲线，已知其离心率为2，焦点为F1(3, 0)，F2(-3, 0)，求曲线C的方程。
3. 曲线C为抛物线，已知其焦点为F(2, -1)，过顶点V(0, 0)，求曲线C的方程。
三、空间向量与坐标系
1. 已知向量AB = 2i + j - k，向量AC = i - 2j + 3k，求向量BC的坐标表示。
2. 平行四边形ABCD中，已知向量AB = 2i - 3j + 4k，向量AC = 3i + 4j - k，求向量BD的坐标表示。
3. 在XYZ坐标系中，已知A(2, -1, 3)，B(-1, 2, -3)，C(4, 3, -2)，求三角形ABC的面积。
以上是高三数学解析几何习题集的部分题目，希望能对高三学生的数学学习有所帮助。
请自行努力解答，并核对答案，巩固知识理解和运用能力。
祝你学业进步，取得优异成绩！。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高考解析几何大题
高考解析几何大题高考解析几何大题：1. 说明：本题涉及三角形的面积计算和相似三角形的性质。
要求：给定一个平面内的三角形ABC，点D、E分别位于边AC、BC上，且满足AD：DC = 1：2，BE：EC = 1：3。
已知△BED与△ABC相似，且其面积为8平方厘米，求△ABC的面积。
解析：根据已知条件可知，△ABC与△BED相似，则△ABC与△EDC也相似。
因此，设△ABC和△EDC的对应边长分别为a和3a。
根据相似三角形的性质，有：∴△ABC的面积 : △EDC的面积 = a² : (3a)² = 1 : 9。
已知△EDC的面积为8平方厘米，代入上述比例关系，得到：△ABC的面积 = 9 × 8 = 72（平方厘米）。
2. 说明：本题涉及平行线、相似三角形的性质和比例关系的运用。
要求：平面内给定一组平行线l、m和n，其中l与m的距离为d₁，l与n的距离为d₂，且d₁：d₂ = 5：9。
现有一个等腰直角三角形ABC，BC边上有一点P，该点到距离m的距离为h₁，到距离n的距离为h₂，求证：h₁：h₂ = 25：81。
解析：由于△ABC是等腰直角三角形，所以AD ⊥ BC，其中D为BC的中点。
假设直线l经过B点，与AD交于点E，则E为线段AD的中点。
根据相似三角形的性质，可得△ABE ∽△BCD。
因此，h₁：h₂ = AD：DC = AE：DB = 5：4。
又已知d₁：d₂ = 5：9。
由于△ABE ∽△BCD，所以BE：BC = AE：AD = 5：4。
由此可得：BE：BC = h₁：h₂ = d₁：d₂ × AE：AD = 5：9 × 5：4 = 25：81。
所以，h₁：h₂ = 25：81。
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析
2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。
数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。
为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。
1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。
1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。
类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。
2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。
其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。
2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。
掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。
3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。
3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。
根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。
4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。
通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。
4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。
对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。