2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
§2.3.2 平面与平面垂直的判定 导学案
《§2.3.2 平面与平面垂直的判定》导学案编写：赵刚审稿人：高一数学组编写时间：2013年8月18日班级组别组名姓名【学习目标】:1. 能说出二面角的有关概念，会作二面角的平面角，2. 能说出面面垂直的定义，能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.【学习重、难点】学习重点:：能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；能求简单二面角平面角的大小；学习难点：会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小，初步学会用定理证明垂直关系；【学法指导及要求】:1、认真研读教材P67---P69页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题本上，多复习记忆。
【知识链接】1、⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________.2、⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_____________.【学习过程】探究1：二面角的有关概念问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?1、二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：如右图二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法探究2：二面角的大小怎么确定呢？二面角的平面角：如图，叫做二面角的平面角。
直二面角：叫直二面角.反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角? 它们的平面角的大小有什么关系？⑵二面角的大小范围是多少？⑶二面角的平面角必须满足哪几个条件？（4）二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究3：两个平面垂直的定义，画法问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？定义; 两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：探究4：两个平面垂直的判定问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？平面与平面垂直的判定定理：符号语言： 证明:典型例题例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC.例2 如图，在正方体中，求面A D CB ''与面ABCD 所成二面角的大小（取锐角）. .例3. 如图在空间四边形SABC 中，ASC ∠=90°，60ASB BSC ∠==°，SA SB SC ==， ⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.【归纳小结】【达标训练】1. 以下四个命题，正确的是（ ）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A 、,//,//m n m n αβ⊥ B 、,,m n m n αβα⊥=⊂C 、//,,m n n m βα⊥⊂D 、//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）. A.相交不垂直 B.相交成60°角 C.互相垂直 D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______. .【学习反思】【课后作业】.1. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=2. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）3. 二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)。
高中数学人教版必修2导学案设计：2.3.2面面垂直判定(无答案)
高二数学必修2 2.3.2平面与平面垂直的判定学案【学习目标】:理解二面角的概念,掌握平面与平面垂直的判定【重难点】重点：能用面面垂直的判定定理证明面面垂直及求二面角的大小.难点: 求二面角的大小【知识】1、二面角(1)半平面的定义: 平面内的一条直线把这个平面分成________部分, 其中的每一部分都叫做半平面.(2)二面角的定义: 从一条直线出发的两个_________所组成的_________叫做二面角。
其中的直线叫做二面角的_____, 这两个半平面叫做二面角的_______.(3)二面角的记法: 棱为AB, 面分别为α, β的二面角记作二面角也可以用点记如二面角(4)二面角的平面角:在二面角的棱l上任取一点O, 以点O为垂足, 在半平面α和β内分别作__________于棱l的射线OA和OB, 则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 范围为2、面面垂直1、定义：平面角是_____的二面角叫做直二面角. 就说两个平面互相垂直2、判定定理①文字语言: 一个平面过另一个平面的__________, 则这两个平面垂直.②符号语言:【学法指导】垂直的转化（线面垂直→面面垂直）【学习内容】课本69页例3课本69页探究变式：如图2，P 是△ABC 所在平面外一点，AP、AB、AC两两垂直．求证：平面PAC⊥平面PAB.例2：如图4，已知PA ⊥平面ABCD，ABCD 为矩形，PA＝AD，M、N 分别是AB、PC 的中点，求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.【学习小结】面面垂直的判定【达标检测】1.过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A. 0个B. 1个C. 无数个D. 1个或无数个2. 在三棱锥P－ABC中, 已知PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则在三棱锥P－ABC 的四个面中, 互相垂直的面有______对.3三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．1)求证：B1C∥平面AC1M；(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.【学习反思】垂直的转化作业：试卷。
人教版数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》教学教案设计
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
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定义两平面垂直
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面面垂直的判定
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应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定问题导学一、面面垂直的判定活动与探究1在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．迁移与应用1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．二、求二面角的大小活动与探究2四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．迁移与应用1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．2．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．三、线面垂直与面面垂直的综合应用活动与探究3如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )A．一个B．无数个C．一个或无数个D．0个2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．当堂检测1．下列命题中①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③ B．②④ C．③④ D．①②2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )A．α⊥β B．α∥βC．α∩β＝l D．不确定3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．5．在四面体A－BCD中，BD＝2a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个半平面二面角的棱二面角的面α－AB－βP－AB－Qα－l－βP－l －Q2．垂直于l射线OA和OB直二面角预习交流1(1)提示：0°≤θ＜180°(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l．(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．3．直二面角预习交流2提示：90°4．垂线a⊥α，a⊂β，则α⊥β预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF 12AA1．又BE 12AA1，∴GF BE．∴EF∥GB．∵△ABC是等边三角形，∴BG⊥AC．∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．∴EF⊥AA1．∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．迁移与应用1．32．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴PA ⊥BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD ⊥面PCD ；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ．PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．∴二面角A －PD －C 平面角的度数为90°． (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AD ⊥PA ．∴∠BAD 为二面角B －PA －D 的平面角．又由题意∠BAD ＝90°， ∴二面角B －PA －D 平面角的度数为90°． (3)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AC ⊥PA ．∴∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°，即二面角B －PA －C 平面角的度数为45°．迁移与应用 1．∠C 1BC ∠C 1OC 2 2．∠SCA活动与探究3 思路分析：(1)取PC 中点G ，可证AF ∥EG ；(2)证明AF ⊥平面PCD ，则EG ⊥平面PCD ，可得平面PEC ⊥平面PCD ．证明：(1)取PC 的中点G ；连接EG ，FG ．∵F 是PD 的中点，∴FG12CD ．又AE 12CD ， ∴AE FG ．∴四边形AEGF 是平行四边形．∴AF ∥EG ． 又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵CD ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ． ∴CD ⊥AF ，CD ⊥PD ．∴∠PDA 是二面角P －CD －B 的平面角，即∠PDA ＝45°． 又∵PA ⊥AD ，F 是PD 中点，∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．C2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC 与BD的交点，所以F为AC的中点．又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．垂直5．90°。
2.3.2面面垂直的判定导学案
§2.3.2平面与平面垂直的判定1. 掌握平面与平面垂直的判定定理及二面角的定义；2. 掌握平面与平面垂直判定定理的应用，能解决简单的二面角求解问题。
教学重点：平面与平面垂直判定。
教学难点：平面与平面垂直判定和求二面角。
使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接1．直线与平面垂直的判定定理？2. 直线与平面所成的角的定义？范围？求法？探究案（30分钟）二．新知探究实例：（1）修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。
（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。
（3）随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？它们的取值范围分别是?组长评价： 教师评价：问题3：二面角的有关概念及度量（2）二面角的度量--------二面角的平面角 我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？ 应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l ，OB ⊥l ”；（2）∠AOB 的大小与点O 在l 上位置无关；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：],0[πθ∈； （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
问题4：两个平面互相垂直的概念：。
记作：。
怎样画能体现两个平面垂直？问题5：两个平面垂直的判定定理：。
符号语言：。
作用：。
2.3.2平面与平面垂直的判定学案【人教版】高中数学必修
学习目标：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；合作探究：知识点1.二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法二面角的平面角的定义：二面角的平面角的范围：题型一、定义法求二面角例1、如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。
题型二、无棱二面角的求法例2如图，过正方形ABCD 的顶点A 作PA 平面ABCD ，设PA=AB=a,求平面PAB 和平面PCD 所成的二面角的大小。
A CDB QP知识点2、两个平面垂直的定义，画法两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：知识点3、两个平面垂直的判定平面与平面垂直的判定定理：题型三、面面垂直的判定定理例3、如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PA C ⊥平面PBC 。
跟踪练习：如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，D 、E 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，求证：（1）平面PBC ⊥平面PAB 。
（2）AD ⊥平面PBC 。
（3）平面ADE ⊥平面PAC 。
综合应用：若二面角βα--l 的一个半平面α上有一个点A ，点A 到棱l 的距离是它到另一个平面β的距离的2倍，则这个二面角的大小为___________。
2.3.2平面与平面垂直的判定(教案)
“平面与平面垂直的判定”教案一、题目：平面与平面垂直的判定二、课程分析：直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展。
它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
三、学情分析：在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。
同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。
但是，对于我们十一中的学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。
四、教学目标：1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
五、教学重点：平面与平面垂直的判定。
教学难点：如何度量二面角的大小。
六、设计理念：七、教学流程：（一）、前提测评1、二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、平面与平面垂直的判定定理：__________________________________________________ ______________；这个定理说明要证明平面与平面垂直，可通过证明___________________垂直来实现。
（二）、目标展示（略）（三）、导学达标新知探究一：二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法新知探究二：二面角的平面角的定义（怎样来度量二面角？）二面角的平面角：问题1：二面角的平面角必须满足哪几个条件？二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。
人教新课标版数学高一必修2导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定教师版
2.3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3.2平面与平面垂直的判定》课件“新课导入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q，或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.2．判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β三、合作探究问题1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．问题2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．问题3建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．探究点1定义法判定两平面垂直例1如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.解因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，所以AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a，在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a.由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.又AE⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意．探究点2面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.反思与感悟利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．探究点3求二面角的大小例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因CD ⊥面A 1ABB 1，AB 1⊂面A 1ABB 1，所以AB 1⊥CD ，又已知AB 1⊥A 1C ，A 1C ∩CD ＝C ，所以AB 1⊥面A 1CD ，故AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8， 得AA 1＝2 2.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63. 反思与感悟 求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答．四、当堂测试1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B.3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________．答案60°解析如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，∴设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32. ∴∠ADO ＝60°.即二面角A －BC －O 的大小是60°.4.如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：面EFC ⊥面BCD .证明 ∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．求二面角的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．3．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．。
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2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
1、教学目标
依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
●知识与技能
使学生经历面面垂直定义及判定定理相关概念的产生过程，掌握并会初步应用两个平面垂直的判定定理.掌握平面与平面垂直的判定定理及其变
式，能利用它们解决相关的问题。
●方法与过程
通过对面面垂直相关概念及判定定理的探究，培养学生观察、分析、抽象、概括的思维水平,进一步感受转化、类比等思维方法;通过对面面垂直判定定理的应用,进一步培养学生的空间想象、推理论证等水平.
●情感态度与价值观
通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验.
2、教学重点、难点
●重点
两个平面互相垂直的判定定理及其应用.
●难点
两个平面垂直的判定定理的归纳概括及应用。
●重、难点解决的方法策略
本课通过自制模具的演示，为学生提供直观感性的材料，让学生从中自主探索，经历直观感知，操作确认，思辨论证的过程，并借助多媒体的直观演示，有
________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________
复习2：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.。
二、新课导学
※探索新知（一）、平面与平面垂直定义
问题1：（见课件例1）在正方体ABCD-A’B’C’D’中，二面角A’-AB-D的平面角是多少？问题2：请同学们把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书本与桌面的位置有什么关系？
※新知1：面面垂直的定义：
两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图，α垂直β，记作αβ
⊥.
※探索新知（二）、平面与平面垂直的判定定理
思考1：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
生活中，平面与平面垂直的例子有哪些？
合作交流：学校新砌了一面墙怎样检测所砌的墙是否与地面垂直？由此实际问题如何抽象为数学问题呢
探究活动：
（1）拿起手中书本，让其一边垂直桌面，然后让书本绕这边实行旋转，每旋转大概60度，记录此时书本与桌面的位置关系。
（2）教室的门打开的时候，无论门转到什么位置，门与地面是否保持互相垂直？门的哪部分位置不变，门轴与地面的关系如何
※新知2：面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直。
写出定理的图形语言及符号语言：
思考2：你现在能用所学知识解释用铅垂线检验墙面与地面是否垂直这种方法的理论依据？※探索新知（三）、平面与平面垂直的判定定理的应用
动手做做，尝试练习：
1、从长方体种截取一四棱锥，请例举出线面垂直的，并在此基础上数出有几
对平面互相垂直。
（课后探究）
2、见课件：命题的判定及思考应用。
3、平面与平面垂直的判定定理的变式延伸
已知平面α.β，直线l，考察平面α，β的位置关系。
命题1：如果一个平面平行另一个平面的垂线则这两个平面垂直。
命题2：如果一个平面与另一个平面的平行线垂直，则这两个平面垂直。
命题3：如果一个平面垂直于两个平行面中的一个平面则必垂直于另一个平面。
例2、（课本69P 中的例3）及变式练习探究。
例3：见课件。
练习：在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证(1)OE ⊥平面1ACD .(2)面11ACD BDB 面⊥。
（五）、小结 我们这节课学习了哪些知识内容？体会到了哪些数学思想方法？
（1）你学会了哪些判断平面与平面垂直的方法？
（2）线线垂直、线面垂直、面面垂直怎样互相转化？这体现了一种什么数学思想？ 答：判定面面垂直的两种方法：定义及判定定理。
面面垂直的判定定理不但是判定两个平面互相垂直的依据，从面面垂直的判定定理我们还能够看出面面垂直的问题能够转化为线面垂直的问题，再进一步转化为线线垂直的问题来解决。
（六）、作业布置
基础题：课本 P.73 习题2.3 A 组4.6、7， B 组 第1题 拓展题：课本 P.69 例3
思考：你能证明四面体P-ABC 中其哪些不垂直的面吗？
并求二面角A-BC-P 与二面角A-PB-C 的大小吗？
（七）、课后巩固，拓展思维
1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面 （ ）
()A 有且只有一个 ()B 不是一个便是两个 ()C 有且仅有两个 ()D 一个或无个
2．若平面α⊥平面β，直线n ⊂α，m ⊂β,m n ⊥，则 （ ）
()A n ⊥β ()B n ⊥β且m ⊥α ()C m ⊥α ()D n ⊥β与m ⊥α中至少有一
个成立
3．对于直线,m n 和平面,αβ，α⊥β的一个充分条件是 （ ）
()A m n ⊥，//,//m n αβ ()B ,,m n m n αβα⊥=⊂
()C //,,m n n m βα⊥⊄ ()D ,,m n m n αβ⊥⊥⊥
4．设,,l m n 表示三条直线，,,αβγ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若,l m αα⊥⊥，则//l m ；②若,m n β⊂是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥； ③若,//m m n α⊂，则//n α； ④若,αγβγ⊥⊥，则//αβ．其中真命题是 （ ） ()A ①② ()B ②③ ()C ①③ ()D ③④
5.如图：四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中
点，PA ＝AD ＝a 。
⑴求证：MN ∥平面PAD ；
⑵求证：平面PMC ⊥平面PCD 。
6．在四面体BCD A -中，2,BD a AB AD CB CD AC a ======。
求证：平面ABD ⊥平面BCD 。
2CE AD =且。
求证：平面BDE ⊥平面BCE 。
8、课本69P 的练习。
9．如图正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点，
求证：平面MNF ⊥平面ENF 。
10．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，
PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA AB =， （1）求证：平面PCE ⊥平面PCD
（2）求点D 到平面PCE 的距离
7、如图，已知在ABC ∆中，,//AB AC AD EC = ,EC ABC ⊥平面
D
E A 1D 1C 1M A
B F
C N B 1E C
D A
B P
N C
B
M A D。