最新中央电大工程数学形成性考核册作业1-4参考答案

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工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）A. |A + B|_，C. (A + B)j = A'1 + B~x5. 设A,B 均为〃阶方阵，k>0.且kHl,则下列等式正确的是（D ）.A . |A +B | = |A |+|B |B . \AB \ = ^B \C. \kA\ = k\A\D. \-kA\ = （-k ）n \A\6. 下列结论正确的是（A ）.A. 若A 是正交矩阵，则A"也是正交矩阵B. 若A,B 均为n 阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若A,B 均为兄阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若A,B 均为并阶非零矩阵，则\AB\^0 ri 3]7•矩阵的伴随矩阵为（C ）.2 5_1 -3'■-1 3_ A. -25_ B. 2 -5_'5 -3__-5 3_ C.-2 1D.2-18•方阵A 可逆的充分必要条件是(B ).A. A H O B .|A |^O C. A*H O D . |A^>09. 设A,B,C 均为/:阶可逆矩阵，则｛ACBT X = (D ). A. (BT'A 'C'1B. B r C~l A-1c.D . (B JC A 」10. 设A,B,C 均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(D ).1 •设 % b\5 a 2 a 3a 】 a 2 2d 、_3b\ 2a 2 - 3Z?2q c 20 0 0 10 0 a 02.若—— 1, 则G — (A ).0 2 01 0 0 a11A.-B -1C.——22_1 -11 ■-1 0 3_3•乘积矩中元素C"=24_ _52 1(DD. -6D. 8 则下列运算关系正确的是（ B. (AB)'1 =\BA\'X D. (AB)-1 = A 1 B~lC 2C3A. 4B. -4C.6D. 1 (C ).A. 1B.7C. 10 4.设A,B 均为〃阶可逆矩阵,A. (A + B)2 = A2+2AB + B2B. (A +3)3 = B4 +/答案：A + B =1 8_ 「26 224 + 5B =12 06 6 A + C = 0 4 r7 7' AB =23 122A + 3C = (AB)'C =17 316_ 756 21 151 80-1 2.g 0-1解：AC+BC = (A + B)C=~ 2 0-1 03,c— 31 -1■二■-11 4 43 -21 ——10 0241 ,求 AC+BC. 2_C. “旳一—厂歹才D. (lABC)1 = 2C ,B ,A ,（二）填空题（每小题2分，共20分）2-101. 1 -40 =二0 0-1 1 1-1 x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是二1 -16.设A,3均为3阶矩阵，且|A|=|B| = -3,则|一24国= _______ .7. 设均为3阶矩阵，且制=_1,岡=一3,则卜3（A f B~l ）2\= -31 a&若为正交矩阵，则。

【第4次】2022年国家开放大学工程数学第4次作业及答案

工程数学（本）形成性考核作业4综合练习书面作业（线性代数部分）一、解答题（每小题10分，共80分）1. 设矩阵1213A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，123110B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，已知XA B =，求X ．解：[]121012101032 130101110111A I -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 13211A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11232311110X BA --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦548532-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2. 设矩阵012213114,356211A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，解矩阵方程AX B '= 解：[]012100114010114010,114 010012100012100211001211001037021A I ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦114010012100001321⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1101274010742001321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦100532010742001321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 1532742321A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1532237421532136X A B ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦131********-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3. 解矩阵方程AX X B -=，其中4559A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．解：AX IX B -=()A I X B -=[]3510,5801A I I ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦35101221⎡⎤→⎢⎥---⎣⎦12213510---⎡⎤→⎢⎥⎣⎦12210153---⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦12210153-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦10850153-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦()18553A I --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦()1X A I B -=-8553-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦7442⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦4. 求齐次线性方程组12341234134 30240 450x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-+=⎩的通解.解：113111312114017610450176A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦104501760000-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦134234450760x x x x x x -+=⎧⎨-+=⎩方程组的一般解为1342344576x x x x x x =-⎧⎨=-⎩（其中34,x x 是自由未知量）令341,0x x ==，得14710X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令330,1x x ==，得25601X -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组的通解为1122k X k X +（其中12,k k 为任意常数） 5．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪的通解．解：13125123111253504A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦13120143701437014310--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦13120143700000003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1312310114200010000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦131030101400010000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5101430101400010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13234501430140x x x x x ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，一般解为132345143140x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩（其中3x 为自由未知量）令314x =，得1245,3,0x x x =-==基础解系为153140X -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通解为1X kX =（k 为任意常数） 6. 当λ取何值时，齐次线性方程组123123123204503720x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解. 解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形12112145034372011A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦103011034λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 103011007λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故当7λ=时，方程组有非零解方程组的一般解为13233x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 是自由未知量）令31x =，得方程组的一个基础解系1312X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组的通解为1kX （其中k 为任意常数） 7. 当λ取何值时，非齐次线性方程组123123123124225x x x x x x x x x λ++=⎧⎪-+-=⎨⎪+-=⎩ 有解？在有解的情况下求方程组的通解.解：11111242251A λ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦111103330332λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦111103330005λ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦当5λ=时，方程组有解111103330000A ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦111101110000⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦102001110000⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般解为132321x x x x =-⎧⎨=+⎩（其中3x 是自由未知量）令30x =，得到方程组的一个特解为0010X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦不计最后一列，令31x =，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系1211X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，方程组的通解为01X X kX =+（其中k 为任意常数）8. 求线性方程组12312312312324523438213496x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪++=⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩的通解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵12452314382134196A --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦124507714014142807714--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦1245011200000000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1021011200000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 方程组的一般解为1323212x x x x =--⎧⎨=+⎩（其中3x 是自由未知量）令30x =，得到方程组的一个特解为0120X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦不计最后一列，令31x =，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系1211X -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，方程组的通解为01X X kX =+（其中k 为任意常数）二、证明题（每题10分，共20分） 1. 对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．证明：()()A A A A A A ''''''+=+=+ 故A A '+是对称矩阵2. 设n 阶方阵A 满足2A A I O +-=，试证矩阵A 可逆. 证明：2A A I += A A A I I ⋅+⋅= ()A A I I += 所以矩阵A 可逆。

工程数学形成性考核作业4答案.pdf

ln
L
n ln(
1)
n i 1
ln
xi ,
d ln L d
n 1
n i 1
ln
xi
0，ˆ
n
n ln xi
1
i 1
3．测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位：m）：
108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
测量值可以认为是服从正态分布 N ( , 2 ) 的，求与 2 的估计值．并在⑴ 2 2.5 ；⑵ 2
n
n
（2）当 2 未知时，用 s 2 替代 2 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 2.776
故所求置信区间为：[x s , x s ] [108.3,111.7]
n
n
4．设某产品的性能指标服从正态分布 N ( , 2 ) ，从历史资料已知 4 ，抽查 10 个样品，
求得均值为 17，取显著性水平 0.05 ，问原假设 H0: 20 是否成立．解：| U || x 0 || 17 20 | 3 0.237 ， / n 4 / 10 4 3.162
由 () 1 0.975 ，查表得： 1.96 2
因为 | U |服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
∵ | T | < 2.62
∴ 接受 H0
2
即用新材料做的零件平均长度没有变化。
3
．
4．设x1,2是n 来自正态总体N ( ,
2 ) （
2 已知）的样本值，按给定的显著性水平

电大工程数学形成性考核册答案

电大工程数学形成性考核册答案工程数学作业（一）答案第2章矩阵一）单项选择题（每小题2分，共20分）1.设 $b_1=2$，则 $2a_1-3b_1a_2+2a_3-3b_3=-6$，选 D。

2.若 $a_2=1$，则 $a=\frac{1}{2}$，选 A。

3.乘积矩阵 $\begin{pmatrix}1&-1\\2&4\\-1&3\end{pmatrix}$ 中元素 $c_{23}=10$，选 C。

4.设 $A,B$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，选 B。

5.设 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，$k>0$ 且 $k\neq1$，则 $-kA=(-k)^nA$，选 D。

6.若 $A$ 是正交矩阵，则 $A^{-1}$ 也是正交矩阵，选 A。

7.矩阵 $\begin{pmatrix}1&-2\\5&-3\end{pmatrix}$ 的伴随矩阵为 $\begin{pmatrix}5&-3\\2&-1\end{pmatrix}$，选 C。

8.方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A\neq0$，选 B。

9.设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $(ACB')^{-1}=B^{-1}C^{-1}A^{-1}$，选 D。

10.设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$，选 A。

二）填空题（每小题2分，共20分）1.$\begin{pmatrix}1&-4\\-1&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&4\\1&5\end{pmatrix}$。

2.若 $-1$ 是关于 $x$ 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数为 $2$。

3.$\begin{pmatrix}1&-1\\2&4\\-1&3\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&2&-1\\-1&4&3\end{pmatrix}$。

电大[工程数学]形成性考核册答案(1~3)

工程数学（1~3）形成性考核册答案电大工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=（D ）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若0001000020011a a=，则a =（A ）．A.12B. －1C. -12D. 1⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A BA B +=+---111B. ()AB BA--=11C. ()A B AB+=+---111D. ()A B AB---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. A B n A B = C. kA k A = D. -=-kA k A n() ⒍下列结论正确的是（ A ）． A. 若A 是正交矩阵，则A-1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则A B ≠0 ⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C ）．A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325 C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321 ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）． A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11 C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2 C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22A B C C B A '=''' （二）填空题（每小题2分，共20分）⒈210140001---= 7 ． ⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． ⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积A C B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2A B 72 ． ⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = 0 ． ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ．（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()A B C '．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12101210321111432102,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中的X ．解： 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式102014360253311--中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．答案：035263420)1(1441=--=+a 4535631021)1(2442=---=+a ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵ 123423121111126---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶ 1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥．解：（1）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-919292929192929291100010001919292031320323110210201122120323190630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-110110001100011A ⒍求矩阵101101111011001012101211321⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-0001110001110110110110101110111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴3)(=A R（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵，且A A I '=，试证A =1或-1．证明： A 是n 阶方阵，且A A I '=∴ 12==='='I A A A A A∴A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵．证明： A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组． A. αα12, B. ααα123,, C. ααα124,, D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ａ．λ是AB 的特征值Ｂ．λ是A+B 的特征值Ｃ．λ是A －B 的特征值Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量 10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1Ｄ．B P PA ='（二）填空题(每小题2分，共16分)⒈当λ= １时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性相关．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是３． ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量ααα123,,是线性相关的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα．⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s的秩相同．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有２个．⒏设线性方程组A X b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则A X b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612109039270018871048231901843101850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-310101001001020001314110046150101244200134241441542111r rr r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x ２．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(1111111011111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］∴ 当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解３．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==5710117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,, 解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关５．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系．解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000073140211450110314731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ，得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ ６．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =，24k x =，这里1k ，2k 为任意常数，得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x ７．试证：任一４维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一４维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设B AX =为含n 个未知量的线性方程组该方程组有解，即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9．设λ是可逆矩阵Ａ的特征值，且0≠λ，试证：λ1是矩阵1-A 的特征值．证明： λ是可逆矩阵Ａ的特征值∴ 存在向量ξ，使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A AA AA AI∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值10．用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型．解：42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++= 222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=，4232x x x y +-=，23x y =，44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=工程数学作业（第三次）(满分100分)第4章随机事件与概率（一）单项选择题⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立．A. ()A B B A +-=B. ()A B B A +-⊂C. ()A B B A -+=D. ()A B B A -+⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． A. AB =∅ B. AB U =C. AB =∅且AB U =D. A 与B 互为对立事件⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯.. 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的． A. 如果A B ,互不相容，则A B ,互不相容 B. 如果A B ⊂，则A B ⊂C. 如果A B ,对立，则A B ,对立D. 如果A B ,相容，则A B ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.3)1(p - B. 31p - C. )1(3p - D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰ B.xf x x ab ()d ⎰ C.f x x ab ()d ⎰D.f x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它 9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （ D ）．A. F a F b ()()-B. F x x a b ()d ⎰C. f a f b ()()-D.f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． A. Y X =+σμ B. Y X =-σμC. Y X =-μσD. Y X =-μσ2（二）填空题⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52．2.已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P A B ()= 0.3 ．3.A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ．4. 已知P AB P A B P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．6. 已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx ． 8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ． 9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的协方差．（三）解答题1.设A B C ,,为三个事件，试用A B C ,,的运算分别表示下列事件： ⑴ A B C ,,中至少有一个发生； ⑵ A B C ,,中只有一个发生； ⑶ A B C ,,中至多有一个发生； ⑷ A B C ,,中至少有两个发生； ⑸ A B C ,,中不多于两个发生； ⑹ A B C ,,中只有C 发生．解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；⑵ 2球中至少有1红球．解:设A =“2球恰好同色”，B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解：设=i A “第i 道工序出正品”（i=1,2）9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布．解：P X P ==)1(P P X P )1()2(-==P P X P 2)1()3(-==…………P P k X P k 1)1()(--==…………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-pp pp pp pk k 12)1()1()1(321 6.设随机变量X 的概率分布为12345601015020301201003.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253．解：87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它试求P X P X (),()≤<<12142．解：412)()21(2122121====≤⎰⎰∞-xxdx dx x f X P16152)()241(1412141241====<<⎰⎰xxdx dx x f X P8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它，求E X D X (),()．解：32322)()(1031==⋅==⎰⎰+∞∞-xxdx x dx x xf X E21422)()(1041222==⋅==⎰⎰+∞∞-xxdx x dx x f x XE181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D 9. 设)6.0,1(~2N X ，计算⑴P X (..)0218<<；⑵P X ()>0．解：8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P10.设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量，已知E X D X (),()112==μσ，设X nX i i n==∑11，求E X D X (),()．解：)]()()([1)(1)1()(21211n n ni i X E X E X E nX XX E nX nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=μμ==n n1 )]()()([1)(1)1()(2122121n n ni i X D X D X D nX XX D nX nD X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=22211σσnn n=⋅=以上内容可能会有错误，欢迎指出。

国家开放大学《高等数学基础》形考任务1—4参考答案

国家开放大学《高等数学基础》形考任务1—4参考答案形考任务1（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）1-2.（3f=，xxln(x)(=）)x3g ln2-1.（）。

2-2.（）。

3-1.（）。

3-2.（）。

4-1.（）。

5-1.（）.5-2.（）.6-1.（y轴）6-2.设函数)f(xf--的图形关于（坐标原点）对)xf的定义域为)(x(,(+∞-∞，则函数)称．7-1.（）。

7-2.（）。

8-1.（）。

8-2.（）。

9-1.（）9-2.（1)x）ln(+10-1.（）（二）判断题（每小题5分，共50分）11-1.（×）11-2.（×）12-1.已知函数f（x+1）=x2+2x+9，则f（x）=-x2+8.（×）12-2.（√）13-1.（√）13-2.（√）14-1.（√）14-2.（×）15-1.（×）15-2.（√）16-1.（×）16-2.（×）17-1.（√）17-2.（×）18-1.（√）18-2.（√）19-1.（√）19-2.（×）20-1.（√）20-2.（√）形考任务2（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）。

1-2.（）。

2-1.（）s。

2-2．（）s。

3-1.（e）。

3-2.（4）4-1.（0）。

4-2.（-99!）5-1.（）。

5-2.下列结论中正确的是（）6-1.（）（）6-2.（）7-1.下列结论中（）不正确．7-2. 下列结论中（）不正确．8-1.（）（）8-2.（）9-1.（）。

9-2.（）10-1.（）。

10-2.（）。

（二）判断题（每小题5分，共50分）11-1.（×）11-2.（√）12-1.12-2.（×）13-1.（×）13-2.（√）14-1.（×）14-2.（×）15-1.（√）15-2.（√）16-1.（√）16-2.（×）17-1.（×）17-2.（√）18-1.（×）18-2.（√）19-1.（×）19-2.（√）20-1.（×）20-2.（×）形考任务3（一）单项选择题（每小题5分，共50分）1-1.（）。

中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案

工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=（D ）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若000100002001001a a=，则a =（A ）．A.12 B. －1 C. -12D. 1 ⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（C ）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A BAB +=+---111 B. ()AB BA --=11C. ()A B A B +=+---111 D. ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. AB n A B =C. kA k A =D. -=-kA k A n()⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C ）． A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）．A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11 C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '='''（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈21014001---= 7 ． ⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． ⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ．⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = 0 ．⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ．（三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中的X ．解： 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式1020143602533110--中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．答案：0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥．解：（1）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-91929292919292929110001000191929203132032311002120112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1．证明： A 是n 阶方阵，且AA I '=∴ 12==='='I A A A A A∴A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵．证明： A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）． A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ａ．λ是AB 的特征值Ｂ．λ是A+B 的特征值Ｃ．λ是A －B 的特征值Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分)⒈当λ= １时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性相关．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是３．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量ααα123,,是线性相关的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩相同．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有２个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ 的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210009039270188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100010100100102000131004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x２．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］∴ 当1≠λ且2-≠λ时，3)()(==A R A R ，方程组有唯一解当1=λ时，1)()(==A R A R ，方程组有无穷多解３．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解：向量β能否由向量组321,,ααα线性表出，当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关５．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系．解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ，得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ ６．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =，24k x =，这里1k ，2k 为任意常数，得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x ７．试证：任一４维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一４维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设B AX =为含n 个未知量的线性方程组该方程组有解，即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9．设λ是可逆矩阵Ａ的特征值，且0≠λ，试证：λ1是矩阵1-A 的特征值．证明： λ是可逆矩阵Ａ的特征值∴ 存在向量ξ，使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值 10．用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型．解：42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++=222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=，4232x x x y +-=，23x y =，44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=工程数学作业（第三次）(满分100分)第4章随机事件与概率（一）单项选择题⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立．A. ()A B B A +-=B. ()A B B A +-⊂C. ()A B B A -+=D. ()A B B A -+⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． A. AB =∅ B. AB U =C. AB =∅且AB U =D. A 与B 互为对立事件⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯.. 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的． A. 如果A B ,互不相容，则A B ,互不相容 B. 如果A B ⊂，则A B ⊂ C. 如果A B ,对立，则A B ,对立D. 如果A B ,相容，则A B ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.3)1(p - B. 31p - C. )1(3p - D. )1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰B.xf x x ab()d ⎰C.f x x ab()d ⎰D.f x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a P （ D ）． A. F a F b ()()- B. F x x a b()d ⎰ C. f a f b ()()- D.f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01． A. Y X =+σμ B. Y X =-σμC. Y X =-μσD. Y X =-μσ2（二）填空题⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为52． 2.已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= 0.8 ，P AB ()= 0.3 ． 3.A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+=()A P ．4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()=P -1．5. 若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+=pq q p -+．6. 已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= 0.65 ，P A B ()= 0.3 ．7.设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x x x ．8.若X B ~(,.)2003，则E X ()= 6 ．9.若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ．10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的协方差．（三）解答题1.设A B C ,,为三个事件，试用A B C ,,的运算分别表示下列事件： ⑴ A B C ,,中至少有一个发生； ⑵ A B C ,,中只有一个发生； ⑶ A B C ,,中至多有一个发生； ⑷ A B C ,,中至少有两个发生； ⑸ A B C ,,中不多于两个发生； ⑹ A B C ,,中只有C 发生．解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；⑵ 2球中至少有1红球．解:设A =“2球恰好同色”，B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解：设=i A “第i 道工序出正品”（i=1,2）9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布．解：P X P ==)1(P P X P )1()2(-==P P X P 2)1()3(-==…………P P k X P k 1)1()(--==…………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(321 6.设随机变量X 的概率分布为012345601015020*********.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253．解：87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它试求P X P X (),()≤<<12142．解：412)()21(210221021====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16152)()241(1412141241====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它，求E X D X (),()．解：32322)()(10310==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x xf X E 21422)()(10410222==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E 181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D 9. 设)6.0,1(~2N X ，计算⑴P X (..)0218<<；⑵P X ()>0．解：8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P 0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P 10.设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量，已知E X D X (),()112==μσ，设X n X i i n==∑11，求E X D X (),()．解：)]()()([1)(1)1()(21211n n n i i X E X E X E n X X X E n X nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= μμ==n n1 )]()()([1)(1)1()(2122121n n n i i X D X D X D nX X X D n X n D X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= 22211σσn n n=⋅=工程数学作业（第四次）第6章统计推断（一）单项选择题⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（A ）是统计量．A. x 1B. x 1+μC. x 122σ D. μx 1 ⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（D ）不是μ的无偏估计．A. max{,,}x x x 123B. 1212()x x + C. 212x x - D. x x x 123--（二）填空题1．统计量就是不含未知参数的样本函数．2．参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性．4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量nx U /0σμ-=．5．假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ（u 为临界值）发生的概率．（三）解答题1．设对总体X 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值x 和样本方差s 2．解：6.336101101101=⨯==∑=i i x x878.29.2591)(110121012=⨯=--=∑=i i x x s2．设总体X 的概率密度函数为f x x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ．解：提示教材第214页例3 矩估计：,121)1()(110∑⎰===++=+=n i i x n x dx x x X E θθθθx x --=112ˆθ 最大似然估计：θθθθθ)()1()1();,,,(21121n n i n i n x x x x x x x L +=+==0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==n i i n i i x n d L d x n L θθθθ，1ln ˆ1--=∑=n i ixn θ 3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ225=.；⑵σ2未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间．解： 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ5122=--==∑=i i x x s σ （1）当σ225=.时，由1－α＝0.95，975.021)(=-=Φαλ 查表得：96.1=λ故所求置信区间为：]4.111,6.108[],[=+-n x nx σλσλ（2）当2σ未知时，用2s 替代2σ，查t (4, 0.05 ) ，得 776.2=λ 故所求置信区间为：]7.111,3.108[],[=+-ns x n s x λλ 4．设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立．解：237.0162.343|10/42017||/|||0=⨯=-=-=n x U σμ，由975.021)(=-=Φαλ ，查表得：96.1=λ 因为 237.0||=U > 1.96 ，所以拒绝0H5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=005.）．解：由已知条件可求得：0125.20=x 0671.02=s 1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20||/|||0==-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0即用新材料做的零件平均长度没有变化。

国家开放大学《工程数学》形考一、二、三

•
•
B.错
• 正确答案: B
.
14.
设
，则
判断题 (5 分) 5 分
.
•
A.对
•
．（
）
•
B.错
正确答案: A 15.设 A 是 n 阶方阵，则 A 可逆的充要条件是 r（A）=n．（）判断题 (5 分) 5 分
.
•
A.对
•
•
B.错
• 正确答案: A
.
三、填空题（每小题 5 分，共 25 分）
16.设行列式
• 正确答案: A
. 6.方阵 A 可逆的充分必要条件是（
单选题 (5 分) 5 分
.
）．
•
A.
•
•
B.
•
•
C.
•
•
D.
• 正确答案: B
.
7.二阶矩阵
.
单选题 (5 分) 5 分
.
（）．
•
A.
•
•
B.
•
•
C.
•
•
D.
• 正确答案: D
.
8.向量组
.
单选题 (5 分) 5 分
.
•
A.2
•
•
B.3
. .
1.
.
设线性方程组
.
的两个解
，则下列向量中（）一定是
.
单选题 (5 分) 5 分
.
•
A.
•
•
B.
•
•
C.
•
•
D.
•
的解.
正确答案: B
.
2.
.
设与分别代表非齐次线性方程组

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中央电大工程数学作业（一）答案（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设a a a b b b c c c 1231231232=，则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=（D ）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若000100002001001a a =，则a =（A ）． A. 12 B. －1 C. -12D. 1⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（C ）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. A BAB +=+---111 B. ()AB BA --=11C. ()A B A B +=+---111D. ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. AB n A B = C. kA k A = D. -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C ）． A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）．A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）．A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11 C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ）．A. ()A B A AB B +=++2222B. ()A B B BA B +=+2C. ()221111ABC C B A ----=D. ()22ABC C B A '=''' （二）填空题（每小题2分，共20分）⒈210140001---= 7 ．⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． ⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015第一横排 3 5 第二横排 5 8⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB 72 ．⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B －3 ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = 0 ． ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 ． ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ．（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B -=中的X ．解： 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式1020*********110-- 中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．答案：0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥．解：（1）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-9192929291929292911001000191929203132032311002120112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000000111000111011011011010111000011100011101101111112211100111000111011011111102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1．证明： A 是n 阶方阵，且AA I '=∴ 12==='='I A A A A A ∴A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵．证明： A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）．A. 3B. 2C. 4D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（）成立．Ａ．λ是AB 的特征值Ｂ．λ是A+B 的特征值Ｃ．λ是A －B 的特征值Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分)⒈当λ= １时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性相关．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是３． ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量ααα123,,是线性相关的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα． ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩相同．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有２个． ⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．。