2017届浙江省金丽衢十二校高三第二次联考理科数学试卷及答案
(word完整版)2017年浙江高考理科数学试题及解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共50 分）1. (2017 年浙江)已知集合P={x|-1 v x v 1} , Q={0 v x v 2}，那么P U Q=( )A • ( 1, 2)B . ( 0, 1) C.(-1 , 0) D . ( 1 , 2)1.A 【解析】利用数轴，取P, Q所有元素，得P U Q= (-1 , 2).2. （2017年浙江）椭圆X9+y4=1的离心率是（C.cm)，则该几何体的体积（单位：cm3）3. （2017年浙江）某几何体的三视图如图所示（单位:2.B 【解析】e= 3 = 3 .故选B .3. A 【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所1 nX 211 n以，几何体的体积为V=3X3 X （~Y~+2^2 X1）=2+1.故选A.x >04. （2017年浙江）若x, y满足约束条件x+y-3>Q则z=x+2y的取值范围是（）x-2y WQA. [0, 6]B. [0, 4]C. [6, +s)D. [4, +〜4. D 【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值,5. (2017年浙江)若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，贝U M -m()A .与a有关，且与b有关 B .与a有关，但与b无关C .与a无关，且与b无关 D .与a无关，但与b有关a a25 . B 【解析】因为最值 f (0)=b , f (1)=1+a+b , f (-2)=b-4中取，所以最值之差一定与b无关.故选B.6. (2017年浙江)已知等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,贝U d>0堤S4 + S6>2S5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D •既不充分也不必要条件6. C 【解析】由S4 + S6-2S5=10a1+21d-2 (5a1+10d) =d，可知当d>0 时，有S4+S6-2S5〉0,即S4 + S6>2S5,反之，若S4 + S6>2S5,则d>0，所以d>0”是S4 + S6>2S5”的充要条件，选C.7. (2017年浙江)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是18. (2017 年浙江)已知随机变量 &满足 P ( &=1) =p i , P ( &=0) =1 -i , i=1 , 2.若 0<p i <p 2<2, 则( ) A . E( g ) v E(^), D(3) v D(切 B . E( 3)v E(切，D(匕)> D (切 C . E(g ) > E( g ), D(g ) v D(②D . E(g ) > E( g ), D( g ) > D(②8. A 【解析】•/ E( g)=p 1, E(②=p 2, ••• E(8) v E(②,•/ D( 8)=p 1(1-p”，D(②=p 2(1-p 2),二 D( 8)- D( g 2)=( p 1-p 2)(1-p 1-p 2)v 0•故选 A .9. （2017年浙江）如图，已知正四面体 D -\BC （所有棱长均相等的三棱锥）， P , Q , R 分别 为 AB , BC , CA 上的点，AP=PB , B Q =CR =2，分别记二面角 D -PR-Q , D -PQ -R, D -QR-PQC RA R（第 9题图）（第 7题图）的平面角为a,伏Y 则（ ）A . y< a< 3B . a< 3 C.a< 3< Y D . 3< Y a9. B 【解析】设O为三角形ABC中心，贝U O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此a< Y 3故选B.10. (2017年浙江)如图，已知平面四边形ABCD , AB丄BC, AB = BC= AD = 2, CD = 3, AC 与BD 交于点O，记I1 = OA O B , I2=OB OC , I3=OC OD，则( )10. C 【解析】 因为/ AOB= / COD > 90 ° OA < OC , OB < OD ，所以 OB OC > 0 >OA OB > OC OD •故选 C.非选择题部分（共100分）11. （2017年浙江）我国古代数学家刘徽创立的 割圆术”可以估算圆周率 n 理论上能把 n 的 值计算到任意精度. 祖冲之继承并发展了 割圆术”，将n 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年. 割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6, S 6= ______ .11.【解析】将正六边形分割为 6个等边三角形，则 Se=6 X （2x1 X1伽60 ―普.A . I i v |2V |3 C . I 3V I i < I 2B . I i < I 3< I 2 D . I 2< I 1< I 3（第10题图）12. （2017 年浙江）已知a, b€ R, （a+bi）2=3+4i （i 是虚数单位）则a2+b2= __________ ,ab= __________ .a2-b2=3, a2=4,12.5 2 【解析】由题意可得a2-b2+2abi=3+4i，贝U ab=2, 解得b2=1,则a2+b2=5, ab=2.13. （2017 年浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1X4+a2X3+a3X2+a4X+a5,,则a4=_____ ,13. 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr 3x r Cm 2 22-m= Cr 3 Cm 2 22-m x r+m, 分别取r=0, m=1 和r=1, m=0 可得a4=4+12=16，取r=m，可得a5=1 X22=4.14. （2017年浙江）已知△ ABC , AB=AC=4, BC=2 .点D 为AB 延长线上一点， BD=2，连结工惟时间（小时）15. （2017年浙江）已知向量a , b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 _________ ，最大值是15. 4, 2丘【解析】设向量 a , b 的夹角为 0,由余弦定理有 a-b|^/12+22-2X 1 X 2X cos 0=75-4COS ,0|a+b|= . 12+22-2 X X2X cos （ n B ）="/5+4cos 0 U|a+b|+|a-b|= 5+4cos +9, 5-4cos 0 令 y= ,5+4cos + ,5-4cos 0 则 y 2=10+2 25-16cos 2 9 € [16,20],据此可得（|a+b|+|a-b|）max = . 20 =2 .5,（|a+b|+|a-b|）min = .16=4,即 |a+b|+|a-b|的最小值是 4,最大值是 2 . 5.16. （2017年浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人服务队，要求服务队中至少有 1名女生，共有 ______ 种不同的选法.（用数字作答） 16. 660 【解析】由题意可得，从8名学生中选出队长 1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为 C4 8XC1 4X C1 3 （种）方法，其中 服务队中没有女生”的选法有 C4 6XC1 4XC1 3 （种）方法，则满足题意的选法有 C4 8XC1 4X C1 3- C4 6 X C1 4XC1 3=660（种）CD ，则△ BDC 的面积是 ,cos / BDC =,15 14. 2 …cos.10 4 【解析】取BC 中点E ,由题意，AE 丄BC , △ ABE 中, .154BE 1cos / ABE= AB =4,1/ DBC=- 4,sin / DBC=1 S A BCD =2 X/151XBDXBC X sin / DBC=〒.T / ABC=2 / BDC , ■ cos / ABC=cos 2 / BDC=2cos 2/ BDC-1=4, 解得cos / BDC=〒 或cos / BDC=- （舍去）•综上 可得，△ BCD 面积为飞， cos / BDC= 4 •417. (2017年浙江)已知a R ，函数f (x ) =|x+：-a|+a 在区间［1 , 4］上的最大值是5,贝U a 的取 值范围是 ____________ . 9 4 4 417. ( a, Z]【解析】x € [1,4],x+ 4€ [4,5],分类讨论：①当 a 》5时,f (x ) =a-x--+a=2a-x--,'2x x x9 4 4函数的最大值2a-4=5，二a=2，舍去；②当aW4时，f (x ) =x+--a+a=x+4W5,此时命题成立； 2x x9 9 9得a=2或 a v 2•综上可得，实数 a 的取值范围是(心，云］.18. (2017 年浙江)已知函数 f (x ) =sin 2x_cos 2x - ,3sin x cos x (x € R ) (1 )求 f (2^ 的值. (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.18. 解：(1)由 sin 罕三3, cos 罕-*, f (争=(屮)2- (-2 2-2 3 得 f (=2 .(2 )由 cos 2x=cos 2x-sin 2x 与 sin 2x=2sin xcos x , 得 f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin(2x+ n )6 所以f(x)的最小正周期是 n 由正弦函数的性质得n +2k 2詐2^ n k € Z ,解得 6+k nW 3n +2k n k € Z ,所以，f (x )的单调递增区间是[f +k n 32n +2k n] k € Z .19. (2017年浙江)如图，已知四棱锥 P-\BCD , △ PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形, BC // AD , CD 丄 AD , PC=AD=2DC=2CB , E 为 PD 的中点.③当4 v a v 5时,[f(x)] max =max{|4-a|+a,|5-a|+a}，则|4-a|+a >-05+a , |4-a|+a=5或 |4-a|+a v |5-a|+a ,|4-a|+a=5(第19题图)(1) 证明：CE//平面PAB;(2) 求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.19•解：(1)如图，设FA中点为F，连接EF , FB .因为E, F分别为FD , FA中点，1所以EF // AD 且EF=2AD ,1又因为BC // AD , BC= 2AD ,所以EF // BC 且EF=BC ,即四边形BCEF为平行四边形，所以CE // BF ,连接PN交EF于点Q,连接MQ. 因为E, F, N分别是PD, PA, AD的中点，所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中，MQ // CE.由厶PAD为等腰直角三角形得PN丄AD.在 Rt △ MQH 中, 1 QH=4 MQ= 2, 所以 sin / QMH=¥, 8 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是 20. (2017 年浙江)已知函数 f(x)= (x - 2x-1 )e -x (x (1) 求 f(x)的导函数;1(2)求f(x)在区间［?, +s)上的取值范围.__ 120.解：(1)因为(x — 2x-1 ) ' =-1 , ( e -x ) ' =-x , \2x-1所以 f (X ) = (1^^) e-x - (X -) e -x =(1~x)^H 1-2}^(x>2). (2)由f(x)=(1-x)( 2x-1-2)e-x =0,2x-1 V 2x-1 5解得x=1或1 1 1所以f (x )在区间［-,+s 上的取值范围是［0, -e'~］.由DC 丄AD , N 是AD 的中点得 BN 丄AD . 所以AD 丄平面 PBN , 由BC//AD 得BC 丄平面PBN , 那么平面PBC 丄平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH . MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以/ QMH 是直线 CE 与平面PBC 所成的角. 设 CD=1 . PC=2 , CD=1 , PD= 2得 CE= 2, _ 1 PN=BN=1 , PB= 3得 QH=j , 在厶PCD 中, 在厶PBN 中, 因为又 f (x ) =2 (葫-1) 2e "x >0113 9 1 21. (2017年浙江)如图，已知抛物线x2=y，点A (三，4)，B(2, 4)，抛物线上的点卩以呦三3V X v 2)•过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1) 求直线AP斜率的取值范围;(2) 求|PA| |PQ|的最大值.21.解：(1)设直线AP的斜率为k,x2-11x+T，1 3因为-2 V X V 3，所以直线AP斜率的取值范围是(-1, 1).1 1kx-y+2k+4=0，(2)联立直线AP与BQ的方程9 3x+kyqk-^O,解得点Q的横坐标是乂。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(答题卷)两部分，满分150分，考试时间120分。
参考公式：1.如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；2.如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；3.如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C ()k n k k n P P --1； 4.球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径； 5.球的体积公式V=,R 334π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.tan660°等于A.-33 B.-3 C.3 D.33 2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z 1·z 2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y=1-x 的反函数的图象大致是5.设P ，Q 是两个非空集合，定义P ○×Q=()}{,Q b ,P a b ,a ∈∈若P={0，1，2}Q={1，2，3，4}，则P ○×Q 中的元素的个数是A.4个B.7个C.12D.16个 6.从2006名学生选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别为A.40110033, B.40110003, C.10032510033, D.10032510003, 7.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+≤+1 x xb1 x 1x20 x a x)-(12log 在家义域内连续，则a ,b 的值分别是A.a =1,b =2B.a =2,b =1C.a =0,b =1D.a =1,b =08.正方形ABCD 边长为4，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角B ′C ′-EF-AD(如图)，M 为矩形AEFD 内一点如果∠MB ′E=∠MB ′C ′，MB ′和平面B ′C ′FE 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 A.3B.2C.2D.19.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，则至少有两个杯盖的编号和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种10.坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f (x )表示，若f (k )=8,则k 等于A.21 B.31C.23 D.22s 二、填空题：(t 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案在题中的横线上x)11.二项式621⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中常数项为_______(用数字作答).12.将棱和为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为_______.13.已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆离心率为_______.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数在(0，21)上单调递减，且f (x -1)=f (-x )。
浙江省金丽衢十二校高三数学二模试卷 理(含解析)
2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）A．B．C．D．2．命题“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sina≤a B．∃a∈[0，+∞），sina≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sina≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sina＞a3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π4．若直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M 到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p5．已知φ是实数，f（x）=cosx•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段7．已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．8．已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M={﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln（x﹣l）），则A= ，B= ，A∩（∁R B）= ．10．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f （）=﹣2，则φ=，A= ，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为．11．设a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，则a= ，g（f（2））= ．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．13．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为．14．已知非零平面向量，，满足•=•=3，|﹣|=||=2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．15．设f（x）=4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．已知椭圆L： =1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C 为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）A．B．C．D．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为： =．故选：B．2．命题“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sina≤a B．∃a∈[0，+∞），sina≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sina≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sina＞a【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃a∈[0，+∞），sina＞a”的否定形式是∀a∈[0，+∞），sina≤a，故选：A．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=．故选：D．4．若直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M 到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p【考点】抛物线的简单性质．【分析】l：x=﹣，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H，要求M到y轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求M到抛物线的准线的最小距离d，然后用d﹣，即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x=﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH=（AC+BD），由抛物线的定义可知AC=AF，BD=BF（F为抛物线的焦点）MH=（AE+BF）≥AB=p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为p，∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为p﹣=p，故选：B．5．已知φ是实数，f（x）=cosx•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】将f（x）转换为f（x）=cos（2x+）+，根据三角函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=（1+cos2x）﹣sin2x=cos（2x+）+，故“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段【考点】轨迹方程．【分析】过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM=，当△ADC沿着AC翻折到AD l C时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E的中位线，则，而翻折过程中，DE=D1E，∴OM=OM1，∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是以O为圆心，以为半径的一段圆弧．故选：C．7．已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，∵k BF=﹣，∴﹣=﹣1，∴b2﹣ac=0，∴c2﹣a2﹣ac=0，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：D．8．已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M={﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列【考点】等比关系的确定．【分析】由等差数列得x2=，假设各结论成立，将x2=代入结论推导结果看是否与条件一致进行判断．【解答】解：∵x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，∴x2=，且x1，x2，x3两两不相等．（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x1），f（x2），f（x3）不可能成等差数列，故A错误；（2）若f（x1），f（x2），f（x3）成等比数列，则x1αx3α=（）2α，∴x1x3=（）2，整理得（x1﹣x3）2=0，∴x1=x3．与x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B 错误．（3）当α=2时，假设f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列，则x12+x32﹣λ=2（）2，∴λ=x12+x32﹣=＞0．故C正确；（4）假设λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列，则λx1αx3α=（）2α，∴λ=，∵=≥1，当且仅当x1=x3取等号．∴当α＞0时，λ＞1，当α＜0时，λ＜1．故D错误．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln（x﹣l）），则A= {0，1，2，5} ，B= {x|x＞1} ，A∩（∁R B）= {0，1} ．【考点】对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算．【分析】根据x∈N，∈N，确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由x∈N，∈N，得到x=0，1，2，5，即A={0，1，2，5}，由B中y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B={x|x＞1}，∁R B={x|x≤1}，则A∩（∁R B）={0，1}，故答案为：{0，1，2，5}；{x|x＞1}；{0，1}10．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f （）=﹣2，则φ=，A= 2，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为[﹣，] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，则tanφ==﹣1，∴φ=．再根据f（）=Asin（π+）=﹣Asin=﹣A=﹣2，∴A=2．∴f（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．结合x∈[﹣，]，可得减区间为[﹣，]，故答案为：；2；[﹣，]．11．设a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，则a= 2 ，g（f（2））=2﹣．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数是奇函数f（0）=0求出a，然后求解函数值．【解答】解：a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，可知f（0）=0，可得a﹣2=0，解得a=2．则函数f（x）=，g（f（2））=g（2）=2﹣．故答案为：2，2﹣．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CB1与C1M所成角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，∴BM⊥AC，BM==1，以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（﹣，0，0），B1（0，1，2），C1（﹣，0，2），M（0，0，0），=（），=（﹣，0，2），设异面直线CB1与C1M所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．故答案为：．13．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为2﹣1 ．【考点】不等式的证明．【分析】作出曲线（x﹣1）（y﹣1）=﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y=0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y=0平行的直线距离的倍，求出函数的导数，求出切线的斜率，求得切点，代入即可得到所求最小值．【解答】解：实数x，y满足x+y﹣xy≥2，即为（x﹣1）（y﹣1）≤﹣1，作出曲线（x﹣1）（y﹣1）=﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y=0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y=0平行的直线距离的倍．设切点为（m，n），由y=1﹣的导数为y′=，即有切线的斜率为=，解得m=1+（负的舍去），切点为（1+，1﹣），则|x﹣2y|的最小值为|1+﹣2（1﹣）|=2﹣1．故答案为：2﹣1．14．已知非零平面向量，，满足•=•=3，|﹣|=||=2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件容易求出向量在方向上的投影为，并且根据条件可得到，从而可设，可设，由便可得出x=，从而，这便可得到，配方便可求出的最小值．【解答】解：向量在向量方向上的投影为：；由得，；∴；∵；∴设，设，则；∴；∴；∴；∴；∴的最小值为．故答案为：．15．设f（x）=4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b= ．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次不等式恒成立问题转化一元二次函数的最值进行求解即可．【解答】解：f（x）=4x+1+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，设t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，则函数等价y=4t2+a•t+b，t∈[1，2]，若于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，即于∀t∈[1，2]，|4t2+a•t+b|≤都成立，即﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，设g（t）=4t2+a•t+b，要使∀a∈R，不等式恒成立，则函数g（t）的对称轴t=，即﹣=，即a=﹣12，此时g（t）=4t2﹣12t+b，则抛物线开口向上，要使﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，则函数g（t）max，且g（t）min≥﹣，当t=1或2时，g（t）max=g（1）=4﹣12+b=b﹣8≤，即b≤，当t=时，g（t）min=g（）=b﹣9≥﹣，即b≥，即b=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．可得2sinAcosB﹣2cosAsinB=asinA ﹣bsinB，a≠b．利用正弦定理及其余弦定理即可得出．（II）由于tanC==2，且sin2C+cos2C=1，解得sinC，cosC；由于S△ABC=sinC=×=1，可解得ab；由余弦定理可得：cosC==即可得出a+b的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵2sin（A﹣B）=asinA﹣bsinB，a≠b．∴2sinAcosB﹣2cosAsinB=asinA﹣bsinB，a≠b．利用正弦定理可得：2acosB﹣2bcosA=a2﹣b2，a≠b．由余弦定理可得：﹣2b×=a2﹣b2，化为：c=2．（II）∵tanC==2，且sin2C+cos2C=1，解得sinC=，cosC=．∴S△ABC=sinC=×=1，解得ab=．由余弦定理可得：cosC===，∴a2+b2=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=6+2，解得a+b==1．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE=F，MD∩CP=N，连结FN，取AP中点Q，连结QM，推导出QM∥CP，FN∥BM，由此能证明BM∥平面ECP1．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣EC﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE=F，MD∩CP=N，连结FN，∵矩形BCDE，∴F为BD中点，∵EB⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC，如图，在直角△ACD中，取AP中点Q，连结QM，∵M是AC的中点，∴QM∥CP，又由AP=2PD，∴QP=PD，∴DN=MN，∴FN∥BM，又∵FN⊂平面ECP，而BN⊄平面ECP，∴BM∥平面ECP1．解：（Ⅱ）如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），P（），设平面ACE的法向量=（x，y，z），∵=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，2），∴，取z=1，得=（2，2，1），设平面PCE的法向量=（a，b，c），∵=（﹣），=（﹣），∴，取c=1，得=（﹣2，2，1），∴cos＜＞==，∴二面角A﹣EC﹣P的余弦值为．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．【考点】抽象函数及其应用；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）若ab＞0，求函数f[f（x）]的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质建立方程关系进行求解即可；（Ⅱ）由xy=l得y=，代回不等式，将不等式进行转化，利用换元法结合基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+b，∴f[f（x）]=a3x4+2a2bx2+ab2+b，设t=x2，当ab＞0，且二次函数y=a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t=﹣＜0，当a＜0时，不满足条件．∴a＞0，b＞0，当t=0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b=2，从而ab=0，得0＜b＜2，即b的取值范围是（0，2）；（Ⅱ）∵xy=l，∴y=，则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（）≥f（x）f（），即a（x2+）+2b≥ab（x2+）+a2+b2，令t=x2+，则t≥2，则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，需要a（1﹣b）≥0，此时y=a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，即（a+b）2﹣2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，则实数a，b满足的条件为．19．已知椭圆L： =1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C 为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）（i）由对称性可得直线BC过定点，定点在x轴上，设直线l的方程为x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线BC的方程，可令y=0，求得x，化简整理，代入韦达定理，可得定点M；（ii）记△OBC的面积为S，则S=|OM|•|y2+y1|，代入韦达定理和定点坐标，讨论m的范围，结合对号函数的性质，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）（i）证明：由对称性可得直线BC过定点，定点在x轴上，设直线l的方程为x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得（2+t2）y2+2tmy+m2﹣2=0，即有△=4t2m2﹣4（2+t2）（m2﹣2）＞0，即为8（t2﹣m2+2）＞0，y1+y2=﹣，y1y2=，设BC：y+y1=（x﹣x1），令y=0，可得x===+m=+m=，则直线BC过定点M（，0）；（ii）记△OBC的面积为S，则S=|OM|•|y2+y1|=•||=，由△＞0可得|t|＞（m＞），①若＞＞，即m＞2时，S max=；②若＜m≤2时，S≤=，即有S max=．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）易知a n＞0且{a n}是递增数列，从而可得=2+＜3，从而可得a n+1＜3a n＜32a n﹣1＜…＜3n a n=2•3n，从而证明S n≤2（1+3+…+3n﹣1）=3n﹣l，再证明另一部分即可；（Ⅱ）由a2=2c+＜2解得c＜，且=c+＜1，从而可得a n＞，化简可得a n＞，再由a n＜c n﹣1（2﹣t）+t可得＜t，从而解得c＞；再检验即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：易知a n＞0，∵a n+1=ca n+，且c=2，∴{a n}是递增数列，故=2+＜3，故a n+1＜3a n＜32a n﹣1＜…＜3n a n=2•3n，故S n≤2（1+3+…+3n﹣1）=3n﹣l，同理可得，S n≥2+22+23…+2n=2n+1﹣2，故当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）成立；（Ⅱ）由a1=2，a2=2c+＜2解得，c＜；若数列{a n}是单调递减数列，则=c+＜1，故a n＞，记t=，①，又a n+1﹣t=（a n﹣t）（c﹣），故c﹣＞0；即a n＞，②，由（Ⅰ）a n＞0及从c，t＞0可知，a n+1﹣t＜c（a n﹣t）＜…＜c n（2﹣t），故a n＜c n﹣1（2﹣t）+t，③，由②③两式可得，对任意的自然数n，＜c n﹣1（2﹣t）+t恒成立，故＜t，即＜t2=，故c＞；当＜c＜时，a n+1﹣a n=（a n﹣a n﹣1）（c﹣），∵a n+1=ca n+≥2，∴a n+1a n＞4c＞，故对对任意的自然数n，a n+1﹣a n＜0恒成立；综上所述，实数c的取值范围为＜c＜．。
全国普通高等学校2017届浙江省高考数学二模试卷(理)有答案解析
2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥03．已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]4．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或5．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A．12 B．24 C．36 D．726．如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（）A．2 B．C．D．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸8．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A．1 B．2 C．3 D．1或39．若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？10．多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A．20 B．40 C．﹣15 D．16011．如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=+bx﹣2a（a∈R），其中b=（2sin•cos）dt，若∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为（以各组区间的中点值代表改组的取值）14．若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且•=0，则线段CD的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上（Ⅰ）若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF（Ⅱ）若AE=，A1F=，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．19．（12分）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633﹣2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．表一：（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）附：相关系数r=，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强参考数据：=28，（y1﹣）2≈123134，（x i﹣）（y1﹣）=68，≈1857．20．（12分）已知抛物线ω：y2=ax（a＞0）上一点，P（t，2）到焦点F的距离为2t（Ⅰ）求抛物线ω的方程（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．21．（12分）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m恒成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值．[选修4-5;不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣t|，t∈R（Ⅰ）若t=1，解不等式f（x）+f（x+1）≤2（Ⅱ）若t=2，a＜0，求证：f（ax）﹣f（2a）≥af（x）2017年全国普通高等学校高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z1=2﹣i，z2=1+i，其中i为虚数单位，设复数z=，若a﹣z为纯虚数，则实数a 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z====，∵a﹣z=a﹣+i为纯虚数，∴a﹣=0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，0），sinx0+x0＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），sinx+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0≥0【考点】21：四种命题．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以命题“∀x∈[0，+∞），sinx+x≥0”的否定是：∃∃x0∈[0，+∞），sinx0+x0＜0；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．已知集合M={x|y=lg（x﹣2），N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】先将集合M化简，然后集合M∩N=N，则N⊂M，得实数a．【解答】解：集合M={x|y=lg（x﹣2）}={x|x＞2}，N={x|x≥a}，若集合M∩N=N，则N⊂M，∴a＞2，即（2，+∞）．故选：A．【点评】本题考查集合的包含关系，考查数形结合的数学思想，属于基础题．4．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出．由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=±，∴，∴e===；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=，∴，∴，∴e===．综上所述，该双曲线的离心率为或．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．5．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相，要求甲不站在两侧，且乙、丙两人站在一起，那么不同的排法种数为（）A．12 B．24 C．36 D．72【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，用捆绑法将2人看成一个整体进行分析；②、将这个整体与丁、戊进行全排列，③、分析甲的站法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、乙、丙两人站在一起，将2人看成一个整体，考虑其顺序有A22种顺序；②、将这个整体与丁、戊进行全排列，有A33种情况；③、甲不站在两侧，则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选，有2种情况，则不同的排法有A22×A33×2=24种；故选：B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意优先分析受到限制的元素．6．如图，正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，若=x+y，则xy=（）A．2 B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=．可得x﹣=1，=1，即可【解答】解：∵y（=x（）+y（）=（x﹣）+（）=．可得x ﹣=1，=1，解得x=，y=，∴xy=故选：D【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．7．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸 【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．【解答】解：如图，AB=10（寸），则AD=5（寸），CD=1（寸）， 设圆O 的半径为x （寸），则OD=（x ﹣1）（寸），在Rt △ADO 中，由勾股定理可得：52+（x ﹣1）2=x 2，解得：x=13（寸）．∴sin ∠AOD=，即∠AOD ≈22.5°，则∠AOB=45°．则弓形的面积S=≈6.33（平方寸）．则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633（立方寸）． 故选：D ．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．8．将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）的图象，若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|min=2，则φ=（）A．1 B．2 C．3 D．1或3【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2，得φ的值【解答】解：将函数f（x）=2sin（πx）的图象向左平移φ（0＜φ＜4）个单位，得到函数y=g（x）=2sin（πx+φπ）的图象，故f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，g（x）的最大值为2，最小值为﹣2．若实数x1，x2满足|f（x1）﹣g（x2）|=4，且|x1﹣x2|=2，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=2．不妨假设f（x1）=2，g（x2）=﹣2，则πx1=2kπ+，πx2+πφ=2nπ﹣，k、n∈Z，即x1=2k+，x2=2n﹣﹣φ，此时，有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ，或|x1﹣x2|min=2=|2k ﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ，∴φ=1 或φ=3，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖，有一定难度，属于中档题．9．若如图的程序框图运行的结构为S=﹣，则判断框①中可以填入的是（）A．i＞4？B．i≥4？C．i＞3？D．i≥3？【考点】EF：程序框图．【分析】模拟运行程序，可得结论．【解答】解：模拟运行程序，可得S=﹣，i=2；S=﹣+2cos=﹣，i=3；S=﹣+3cosπ=，i=4；S=+4cos=﹣，i=5，循环结束，故选A．【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．10．多项式（x2﹣x﹣y）5的展开式中，x7y项的系数为（）A．20 B．40 C．﹣15 D．160【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意知，当其中一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，可得含x7y的项，由此求得结果．【解答】解：多项式（x2﹣x﹣y）5表示5个因式（x2﹣x﹣y）的乘积，当只有一个因式取﹣y，一个因式取﹣x，其余的3个因式都取x2时，才可得到含x7y的项；所以x7y的系数为••=20．故选：A．【点评】本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题，是基础题．11．如图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体，底面（四分之一球）的半径R=2，故四分之一球的体积V==，半圆锥的底面面积S==2π，高h=3，故半圆锥的体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．已知函数f（x）=+bx﹣2a（a∈R），其中b=（2sin•cos）dt，若∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【考点】67：定积分．【分析】先利用微积分基本定理求出a，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x+的最大值即可．【解答】解：b=（2sin•cos）dt=sintdt=﹣cost|=﹣（cos﹣cos0）=1，∴f（x）=+x﹣2a，设g（x）=xf（x）=2lnx+a2+x2﹣2ax，∴g′（x）=+2x﹣2a，g′（x）=f′（x）•x+f（x），∵∃x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，∴∃x∈（1，2），使得+2x﹣2a＞0，∴∃x∈（1，2），使得a＜+x，又y=x+在（1，2）上单调递增，∴a＜（+x）max＜+2=，∴a＜，故选：C【点评】本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取100人了解情况，已知70～80分数段抽取了30人，则全体高三年级学生的平均分数为82（以各组区间的中点值代表改组的取值）【考点】B8：频率分布直方图．【分析】先求出70～80分数段与90～100分数段的频率，再求平均分．【解答】解：根据频率分布直方图知，70～80分数段的频率为=0.3，∴90～100分数段的频率为1﹣（0.1+0.3+0.4）=0.2，∴平均分为=0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82，故答案为：82．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题，是基础题．14．若以椭圆=1的右顶点为圆心的圆与直线x+y+2=0相切，则该圆的标准方程是（x ﹣2）2+y2=4．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，即可圆的半径，即可求得圆的标准方程．【解答】解：椭圆=1的右顶点（2，0），则圆心（2，0），设圆心到直线x+y+2=0的距离为d，则d==2，∴该圆的标准方程的方程（x﹣2）2+y2=4，故答案为：（x﹣2）2+y2=4．【点评】求得椭圆的右顶点，利用点到直线的距离公式，属于基础题．15．设x，y满足约束条件，若目标函数z=kx+y的最大值为9，则实数k的值为﹣5或2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=kx+y得y=﹣kx+z，则直线截距最大时，z最大，∵目标函数z=kx+y的最大值为9，∴y+kx=9，即y=﹣kx+9，则目标函数过定点（0，9），当k=0时，y=z，此时直线过点A时，直线的截距最大，由得，即A（2，5），此时最大值z=5不满足条件．当k＞0时，目标函数的斜率为﹣k＜0，平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点A（2，5）时，截距最大，此时z=9=2k+5，得2k=4，k=2，当k＜0时，目标函数的斜率为﹣k＞0，平移直线y=﹣kx+z，则直线经过点C时，截距最大，由得，即C（﹣，）此时z=9=﹣k+，得﹣3k=15，得k=﹣5，满足条件．综上k=﹣5或k=2，故答案为：﹣5或2【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．注意本题要对k进行分类讨论．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=，C=，点D在边AB上，且•=0，则线段CD的最大值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据||=||=得出a2+b2=3+ab，再利用基本不等式得出ab的范围，根据面积公式得出CD关于ab的表达式，从而得出CD的最值．【解答】解：=abcos=，∵||=||=，∴=3，即a2+b2=3+ab，又a2+b2≥2ab，∴3+ab≥2ab，∴ab≤3．∵•=0，∴CD⊥AB，∴S==×CD×c，即ab=CD，∴CD=ab≤，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用与数量积运算，面积公式及基本不等式，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=2﹣3S n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，由已知条件a n=2﹣3S n得到a n﹣1=2﹣3S n﹣1，将这两个式子相减，再结合数列{a n}的前n项和S n的定义易得数列{a n}的通项公式（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的通项公式不难推出：b n=log2a n=1﹣2n，所以利用裂项相消法来求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，∵a n=2﹣3S n…①∴a n﹣1=2﹣3S n﹣1…②①﹣②得：a n﹣a n﹣1=﹣3（S n﹣S n﹣1）=﹣3a n∴4a n=a n﹣1；即=，又a1=2﹣3S1=2﹣3a1；得：a1=，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列∴a n=×（）n﹣1=21﹣2n（n∈N*），即a n=21﹣2n（n∈N*），（Ⅱ）∵a n=21﹣2n（n∈N*），b n=log2a n，∴b n=log2a n=log221﹣2n=1﹣2n，∴==（﹣）．∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣），=（1﹣），=（n∈N*）．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键．18．（12分）（2017•衡水金卷二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧按AA1⊥底面ABC，且四边形AA1B1B是边长为2的正方形，CA=CB，点M为棱AB的中点，点E，F分别在按AA1，A1B1上（Ⅰ）若点F为棱A1B1的中点，证明：平面ABC1⊥平面CMF（Ⅱ）若AE=，A1F=，且CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥AB，AB⊥FM，CM⊥AB，从而AB⊥平面CMF，由此能证明平面ABC1⊥平面CMF．（Ⅱ）记线段A1B1的中点为N，连结MN，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1B1B是边长为2的正方形，∴AA1⊥AB，又在正方形ABB1A1中，F，M分别是线段A1B1，AB的中点，∴FM∥A1A，∴AB⊥FM，在△ABC中，CA=CB，且点M是线段AB的中点，∴CM⊥AB，又CM∩FM=M，∴AB⊥平面CMF，又AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面CMF．解：（Ⅱ）在等腰△CAB中，由CA⊥CB，AB=2，知CA=CB=，且CM=1，记线段A1B1的中点为N，连结MN，由（Ⅰ）知MC、MA、MN两两互相垂直，以M为原点，MC为x轴，MA为y轴，MN为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），E（0，1，），F（0，，2），A（0，1，0），C1（1，0，2），=（﹣1，1，），=（0，﹣，），=（1，﹣1，2），设平面CEF的一个法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（5，4，2），设直线AC1与平面CEF所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）（2017•衡水金卷二模）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》（HJ633﹣2012）规定，空气污染指数划分为六档，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显，如表（1）所示，若表（2）、表（3）分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录．表一：（Ⅰ）根据表（2）、表（3）中的数据，通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值，比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度（结果保留两位有效数字）（Ⅱ）将1月1日至7日分别记为x，x=1，2，3，4，5，6，7，其对应的空气污染指数为y，根据表中提供的数据，用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱，丙说明理由（Ⅲ）小明在北京经营一家洗车店，经小明统计，AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元，AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元，AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元，求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望（结构保留整数部分）附：相关系数r=，r∈[0.30，0.75）时，相关性一般，r∈[0.75，1]时，相关性很强参考数据：=28，（y1﹣）2≈123134，（x i﹣）（y1﹣）=68，≈1857．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出平均数，比较即可；（Ⅱ）求出r，根据r的范围判断即可；（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700分别求出P（X=﹣200），P（X=400），P（X=700），求出E（X）的值即可．【解答】解：（Ⅰ）石家庄市近一周空气污染指数的平均值为：≈293.43，北京市近一周空气污染指数的平均数为：≈262.71，∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染，且石家庄市比北京市的污染更严重；（Ⅱ）r=≈≈≈0.31，∵r∈[0.30，0.75），∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般；（Ⅲ）设洗车店平均每天收入为X元，则X可能的取值为﹣200，400，700，P（X=﹣200）==，P（X=400）==，P（X=700）=，则X的分布列为：故E（X）=﹣200×+400×+700×=≈164（元），故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元．【点评】本题考查了平均数问题，考查相关系数的计算以及数学期望问题，是一道中档题．20．（12分）（2017•衡水金卷二模）已知抛物线ω：y2=ax（a＞0）上一点，P（t，2）到焦点F 的距离为2t（Ⅰ）求抛物线ω的方程（Ⅱ）如图已知点D的坐标为（4，0），过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M，N两点，若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点，求证：直线MQ与x轴交于一定点．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，可得a=4t，将P代入抛物线方程，求得at=4，代入即可求得a的值，求得抛物线ω的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，联立方程组，表示出直线ND的方程，与抛物线ω的准线方程构成方程组，解得Q的坐标，求出直线MQ的斜率，得到直线MQ的方程，求出交点坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可知丨PF丨=t+=2t，则a=4t，由点P（t，2）在抛物线上，则at=4，∴a×=4，则a2=16，由a＞0，则a=4，∴抛物线的方程y2=4x；（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+1，整理得：y2﹣4my﹣4=0，由韦达定理可知：y1•y2=﹣4，依题意，直线ND与x轴不垂直，∴x2=4．∴直线ND的方程可表示为，y=（x﹣4）①∵抛物线ω的准线方程为，x=﹣1②由①，②联立方程组可求得Q的坐标为（﹣1，﹣）∴Q的坐标可化为（﹣1，），∴k MQ=，∴直线MQ的方程为y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，可得x=x1﹣=，∴直线MQ与x轴交于定点（，0）．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2017•衡水金卷二模）设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，0＜a≤2，f′（x）≥0，f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1﹣2a=0，∴a=；a＞2，令f′（x）=0，则x1=，x2=，2＜a＜，x1=＜1，x2=∈（1，2），∴函数在（1，x1）内单调递减，在（x1，2）内单调递增，∴f（x）min=f（x1）＜f（1）=1﹣2a＜0．a≥，x1=，x2=≥2，∴函数在（1，2）内单调递减，∴f（x）min=f（2）=2ln2+4﹣4a=0．∴a=ln2+1＜（舍去）综上所述，a=；（Ⅱ）x1，x2是f′（x）=在（0，+∞）内的两个零点，是方程x2﹣ax+1=0的两个正根，∴x1+x2=a＞0，x1x2=1，△＞0，∴a＞2，∴x1＞1∴f（x1）﹣f（x2）=（2lnx1+x12﹣2ax1）﹣（2lnx2+x22﹣2ax2）=﹣x12+2lnx12，令x12=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，∴g′（t）=﹣＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，∴m≤0．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•衡水金卷二模）已知平面直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方2程为ρcos（θ+）=2（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C1与曲线C2的参数方程（Ⅱ）若点A，B分别在曲线C1与曲线C2上，求|AB|的最小值，即求出A到曲线C2距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为（x+1）2+（y﹣1）2=1，参数方程为（α为参数）；曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，参数方程为（t为参数）；（Ⅱ）设A（﹣1+cosα，1+sinα），A到曲线C2的距离d==，∴sin（α﹣45°）=﹣1时，|AB|的最小值为3﹣1．【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5;不等式选讲]23．（2017•衡水金卷二模）已知函数f（x）=|x﹣t|，t∈R（Ⅰ）若t=1，解不等式f（x）+f（x+1）≤2（Ⅱ）若t=2，a＜0，求证：f（ax）﹣f（2a）≥af（x）【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）由题意可得|x﹣1|+|x|≤2，对x讨论，去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（II）由题意可证f（ax）﹣af（x）≥f（2a），运用绝对值不等式的性质，求得左边的最小值，即可得证．【解答】（I）解：由题意，得f（x）+f（x+1）=|x﹣1|+|x|，因此只须解不等式|x﹣1|+|x|≤2，当x≤0时，原不等式等价于﹣2x+1≤2，即﹣≤x≤0；当0＜x≤1时，原不等式等价于1≤2，即0＜x≤1；当x＞1时，原不等式等价于2x﹣1≤2，即1＜x≤．综上，原不等式的解集为{x|﹣≤x≤}．（II）证明：由题意得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a）．所以f（ax）﹣f（2a）≥af（x）成立．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2017年3月2017届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(原卷版)
2017年第二次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）．1．已知集合2{|20}A x x x =∈--<R ，{|21,}B x x t t A =∈=+∈Z ，则AB =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{0}2．若复数z 满足()()(3i)12i 2i z -=++，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量,a b 满足()1,2=--b ，()4,7-=a b ，则()()2+⋅-=a b a b （ ）A ．11B ．11-C ．3-D ．74．过抛物线24y x =的焦点F 作与对称轴垂直的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，则以AB 为直径的圆 的标准方程为（ ）A ．()2214x y ++= B ．()2214x y -+= C ．()2214x y ++= D ．()2214x y +-=5．如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积 比为（ ）A 331-B 3313-C 33D 331 6．已知点D 为ABC △外一点，222BC AB AD CD ===，120ADC ∠=︒，则B =（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A．98?n<B．99?n<C．100?n<D．100?n≤8．如图，正方形的边长为8，大圆半径为3，两个小圆的直径均为1，现向正方形内随机掷一飞镖，则飞镖落在黑色区域内的概率为（）A．19π256B．17π256C．9π128D．9π649．已知函数()()sinf x xωϕ=+（0,||2Aϕπ><）的图象如图所示，则tanϕ=（）A．3B．1C．3D．3-开始否0,1S n==()lg1lgS S n n=++-1n n=+是输出S结束10．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，则该四棱锥的内切球的 表面积为（ ）A．8(3-π B．6(3-π C．4(3-π D．2(3-π11．已知,A F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点和右焦点，线段OF 的垂直平分线与双曲线在第一象限的交点为P ，过F 作与x 轴垂直的直线与双曲线在第一象限交于Q ，若PAF △的面积与QOA △的面积相等，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．已知函数()f x =()(3)4g x k x =-+的图象上存在两对关于x 轴对称的点，则实数k 的 取值范围是（ ）A ．5[ln 2,2]4+B ．5[2ln 2,ln 2]4-+ C ．5[ln 2,2ln 2]4+- D ．72(,]243第II 卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．()n bax x-（0ab ≠，且,a b 为常数）的展开式中，x 的系数为3210a b ，则n =___________．14．若函数3e 2()e 1x xt t f x x --=+-是奇函数，则常数t 等于___________． 15．不等式组10,10,x y x y y m+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩(1)m >所表示的平面区域的面积为S ，则不等式31S a m +≥-恒成立时，实数a的取值范围是___________．16．已知a 为正整数，tan 1lg ,tan lg a a αβ=+=，且4αβπ=+，则当函数()()sin [0,]f x a θθθ=∈π取得最大值时，θ=___________．三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，且()21122n n na n a n n +=+++，设nna b n=． （Ⅰ）求证：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12(4)32(4)n nn b n a nc n +⎧≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）人最宝贵的是生命，然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己，在交通运输业 发展迅猛的今天，由于不懂得交通法规，以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐， 那些在交通复杂多变的地方而引发的交通事故也是接连不断．为了警示市民，某市对近三年内某多发事故 路口在每天6:00~22:00时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研，数据按事发时间分成8 组：[)[)[)[)6,8,8,10,,18,20,20,22（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m 的值，并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段[)6,8与[)18,20的次数；（Ⅱ）在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析，再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究．记这3次交通事故中发生时间在[)6,8与[)18,20的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为3的正方形，且1tan 6DCD ∠= 113AA DD AB AE AG DF===．（Ⅰ）求证：平面EFG ∥平面1BD C ； （Ⅱ）求二面角1E BD D --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：221(04)4x y t t+=<<的左焦点为F ，设,M N 是椭圆E 的两个短 轴端点，A 是椭圆E 的长轴左端点．（Ⅰ）当1t =时，设点(,2)(0)P m m -≠，直线PN 交椭圆E 于Q ，且直线,MP MQ 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值；（Ⅱ）当3t =时，若经过F 的直线l 与椭圆E 交于D C ,两点，O 为坐标原点，求OAD △与OAC △的面积之差的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()2()1e ()xf x mx x m =--∈R ．（Ⅰ）当12m ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当()0,x ∈+∞，且10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求证：()()322210f x mx x m x '++--<．请考生在第22,23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1212x a y a αα⎧=--⎪⎨=+-⎪⎩（α为参数，2a <）．（Ⅰ）当2a =-时，若曲线C 上存在,A B 两点关于点(0,2)M 成中心对称，求直线AB 的参数方程； （Ⅱ）在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为sin()204ρθπ+=的直线l 与曲线C 相交于,C D 两点，若||4CD =，求实数a 的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|1|||x m x ++≥()m ∈R 对任意实数x ∈R 恒成立． （Ⅰ）求实数m 的最小值t ；（Ⅱ）若,,a b c ∈R ＋，且满足abc t =，求证：+≤++．。
2017届高三第二次模拟考试 数学理 (含答案)word版
2017年高考考前适应性训练数学（理工农医类）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数ii ++113的虚部是A.i -B.1-C.iD.12.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=143422y x x A ，{}2x y y B ==，则B A ⋂=A.[]2,2-B.[]2,0C.0.4D.0.83.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0.2）内取值的概率为0.8，则ξ在()1,0内取值的概率为 A.0.1B.0.2C.0.4D.0.84. 已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ,，则下列命题中正确的是 ①若,//αa 则b a ⊥；②若b a ⊥，则a//α；③若β⊥b ，则βα// ； ④若βα⊥，则b//β. A. ①③B.②④C.①④D.②③5.已知点P 在圆522=+y x 上，点Q （0，—1），则线段PQ 的中点的轨迹方程是 A.022=-+x y xB.0122=-++y y x C.0222=--+y y xD.022=+-+y x y x6.已知a x x p ≥-+-910:的解集为R ，aq 1:＜1，则⌝p 是q 的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A 班和文史类专业的B 班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表： 附：参考公式及数据： （1）卡方统计量()()()()()22122111222112112211222112n n n n n n n n n n n n n x ++++-=(其中)22211211n n n n n +++=；（2）独立性检验的临界值表：则下列说法正确的是A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关8.函数()(()⎩⎨⎧≤++-=0142ln 2x x x x x x x f 的零点个数为A.0B.1C.2D.39.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为 A.π416+ B.π412+ C.π816+ D.π812+10.已知函数()x f 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，()()[]()1212x x x f x f --＜0恒成立，设()()3,2,21f c f b f a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，则a 、b 、c 的大小关系为 A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c11.已知双曲线154:22=-y x C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且212F F PF =，则21PF ⋅等于A.24B.48C.50D.5612.对于定义域为D 的函数()x f ，若存在区间[](a D b a M ⊆=,＜)b ，使得(){}M M x x f y y =∈=,，则称区间M 为函数()x f 的“等值区间”.给出下列四个函数：①();2xx f =②();3x x f =③();sin x x f =④().1log 2+=x x f则存在“等值区间”的函数的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个＞)0第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑字签字笔答在答题纸的相应位置上。
2017年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷
2017年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6）D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．984．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2]B．C．D．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A．B．3 C．D．58．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln（x﹣l）），则A=，B=，A∩（∁R B）=．10．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）=﹣2，则φ=，A=，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为．11．设a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，则a=，g（f（2））=．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC 的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．13．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为．14．已知非零平面向量，，满足•=•=3，|﹣|=||=2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．15．设f（x）=4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b=．三、解答题（共5小题，满分74分）16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．（Ⅰ）证明：AC⊥BP；（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l 的方程．20．已知数列{a n}满足0＜a n＜1，且a n+1+=2a n+（n∈N*）．（1）证明：a n+1＜a n；（2）若a1=，设数列{a n}的前n项和为S n，证明：﹣＜S n＜﹣2．2017年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，设全集U={x|1＜x＜10}，集合A={x|2＜x＜6}，B={x|5＜x＜7}，则（∁U A）⊗B=（）A．[6，7）B．（1，2]∪（5，6）∪[7，10）C．（1，6） D．（1，2]∪（5，6]∪（7，10）【分析】可进行补集、交集的运算求出∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}，从而便可根据A⊗B的定义进行⊗的运算即可．【解答】解：∵∁U A={x|1＜x≤2，或6≤x＜10}，B={x|5＜x＜7}，∴（∁U A）∩B={x|6≤x＜7}；∴（∁U A）⊗B={x|x∈∁U A或x∈B且x∉（∁U A）∩B}={x|1＜x≤2，或5＜x＜6，或7≤x＜10}=（1，2]∪（5，6）∪[7，10）．故选：B．【点评】考查描述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合A⊗B的定义．2．下列说法正确的是（）A．“a2＞9”是“a＞3”的充分不必要条件B．“∃x0∈R，使得”的否定是“”C．若A∧B是假命题，则A∨B是假命题D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．B．根据含有量词的命题的否定进行判断．C．根据复合命题真假关系进行判断．D．根据否命题的定义进行判断．【解答】解：A．由a2＞9得a＞3或a＜﹣3，则“a2＞9”是“a＞3”的必要不充分条件，故A 错误，B．“∃x0∈R，使得”的否定是“∀x∈R，sinx+＜2”，故B 错误，C．若A∧B是假命题，则A，B至少有一个为假命题，当A假，B真时，满足A∧B是假命题，但A∨B是真命题，故C错误，D．“若a＜0，则x2+ax+a＜0有解”的否命题为“若a≥0，则x2+ax+a＜0无解”，正确，故D 正确故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．3．已知数列{a n}满足a1=1，若n为奇数时，a n+1=2a n+1；若n为偶数时，a n+1=a n+n．则该数列的前7项和为（）A．103 B．102 C．100 D．98【分析】由递推公式化简可得a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，…，从而求和．【解答】解：由题意，a1=1，a2=2a1+1=3，a3=a2+2=5，a4=2a3+1=11，a5=a4+4=15，a6=2a5+1=31，a7=a6+6=37；故和为1+3+5+11+15+31+37=103，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式的应用及前n项和的求法．4．设三条不同的直线分别为m，n，l，两个不同的平面分别为α，β．则下列说法正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥βD．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．若m∥n，n⊂α，则m∥α或n⊂α，故A错误，B．若m，n为异面直线，且m⊂α，n⊂β，则α∥β不成立，故B错误，C．若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β或n∥β或n⊂β，故C错误，D．若m∥α，m∥β，α∩β=l，则m∥l成立，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为．若，则函数f（x）在上的值域为（）A．[﹣1，2] B．C．D．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出f（x）在闭区间上的值域问题．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，∴函数的周期是π，ω=2，由f（﹣）=0，，得：，解得A=，φ=，∴f（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[0，π]，显然x=时，f（x）最大，x=π时，f（x）最小，则函数f（x）在上的值域为[﹣，]，故选：B．【点评】本题考查了求三角函数的表达式问题，考查三角函数的值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．6．已知平面向量，满足，，．则对于任意的实数m，的最小值为（）A．2 B．1 C．D．【分析】根据进行数量积的运算可得到，而配方即可求得，从而便可得出的最小值．【解答】解：根据条件：=4m2+2m（2﹣4m）+（2﹣4m）2=12m2﹣12m+4=；∴；∴的最小值为1．故选B．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，掌握本题要求的最小值，而求的范围的方法，不等式的性质，以及配方求二次函数最值的方法．7．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若左焦点F1关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e的值为（）A．B．3 C．D．5【分析】设左焦点F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且n=，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2．若点M在△ABC所在平面上运动，且使得△AC1M的面积为1，则动点M的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【分析】确定M到AC1的距离为，利用AC1与平面ABC所成角为45°，可得动点M的轨迹．【解答】解：由题意，AC1=2，∵△AC1M的面积为1，∴M到AC1的距离为，∴M在以AC1为旋转轴，半径为的圆柱上，∵AC1与平面ABC所成角为45°∴动点M的轨迹为椭圆．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程，考查圆柱与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A={x∈N|∈N}，B={x|y=ln（x﹣l）），则A={0，1，2，5} ，B={x|x＞1} ，A∩（∁R B）={0，1} ．【考点】对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算．【分析】根据x∈N，∈N，确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由x∈N，∈N，得到x=0，1，2，5，即A={0，1，2，5}，由B中y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B={x|x＞1}，∁R B={x|x≤1}，则A∩（∁R B）={0，1}，故答案为：{0，1，2，5}；{x|x＞1}；{0，1}10．设函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）=﹣2，则φ=，A=2，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为[﹣，]．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=Asin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，则tanφ==﹣1，∴φ=．再根据f（）=Asin（π+）=﹣Asin=﹣A=﹣2，∴A=2．∴f（x）=2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．结合x∈[﹣，]，可得减区间为[﹣，]，故答案为：；2；[﹣，]．11．设a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，则a=2，g（f（2））=2﹣．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数是奇函数f（0）=0求出a，然后求解函数值．【解答】解：a＞0且a≠l，函数f（x）=为奇函数，可知f（0）=0，可得a﹣2=0，解得a=2．则函数f（x）=，g（f（2））=g（2）=2﹣．故答案为：2，2﹣．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CB1与C1M所成角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2，M是AC的中点，∴BM⊥AC，BM==1，以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（﹣，0，0），B1（0，1，2），C1（﹣，0，2），M（0，0，0），=（），=（﹣，0，2），设异面直线CB1与C1M所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．故答案为：．13．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为2﹣1．【考点】不等式的证明．【分析】作出曲线（x﹣1）（y﹣1）=﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y=0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y=0平行的直线距离的倍，求出函数的导数，求出切线的斜率，求得切点，代入即可得到所求最小值．【解答】解：实数x，y满足x+y﹣xy≥2，即为（x﹣1）（y﹣1）≤﹣1，作出曲线（x﹣1）（y﹣1）=﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y=0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y=0平行的直线距离的倍．设切点为（m，n），由y=1﹣的导数为y′=，即有切线的斜率为=，解得m=1+（负的舍去），切点为（1+，1﹣），则|x﹣2y|的最小值为|1+﹣2（1﹣）|=2﹣1．故答案为：2﹣1．14．已知非零平面向量，，满足•=•=3，|﹣|=||=2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件容易求出向量在方向上的投影为，并且根据条件可得到，从而可设，可设，由便可得出x=，从而，这便可得到，配方便可求出的最小值．【解答】解：向量在向量方向上的投影为：；由得，；∴；∵；∴设，设，则；∴；∴；∴；∴；∴的最小值为．故答案为：．15．设f（x）=4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b=．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次不等式恒成立问题转化一元二次函数的最值进行求解即可．【解答】解：f（x）=4x+1+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，设t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，则函数等价y=4t2+a•t+b，t∈[1，2]，若于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，即于∀t∈[1，2]，|4t2+a•t+b|≤都成立，即﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，设g（t）=4t2+a•t+b，要使∀a∈R，不等式恒成立，则函数g（t）的对称轴t=，即﹣=，即a=﹣12，此时g（t）=4t2﹣12t+b，则抛物线开口向上，要使﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，则函数g（t）max，且g（t）min≥﹣，当t=1或2时，g（t）max=g（1）=4﹣12+b=b﹣8≤，即b≤，当t=时，g（t）min=g（）=b﹣9≥﹣，即b≥，即b=，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分74分）16．△ABC，满足bcosC+bsinC﹣a﹣c=0（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角B的值；（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为，建立关于c的方程，利用三角形的面积公式求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知条件得：…∴…即．∵sinC＞0得，∴…又，∴，∴…（II）由已知得：+=2，平方得：2+2+2•=42，…即c2+a2+2cacos=84，又a=2，∴c2+2c﹣80=0解得：c=8或c=﹣2（舍去）…∴S△ABC=﹣=4．…17．四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．（Ⅰ）证明：AC⊥BP；（Ⅱ）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD，而由条件AC⊥BD，这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，进而便可证出AC⊥BP；（Ⅱ）可设AC与BD交于点O，这样由条件便可分别以OD，OA为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点O，D，A，P四点的坐标，进而得出向量的坐标，可设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量，这样根据便可得出法向量的坐标，同理便可得出法向量的坐标，从而便可求出的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD；∴AC⊥PD；又AC⊥BD，BD∩PD=D；∴AC⊥平面PBD，BP⊂平面PBD；∴AC⊥BP；（Ⅱ）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OD，OA为x，y轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则：O（0，0，0），D（，0，0），A（0，1，0），P（，0，1）；∴，，；设平面ACP的法向量，平面ADP的法向量；由得，，取x1=1，则；同理，由得，；∴；∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为．18．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥x对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出a=时，讨论当x≥1时，当0＜x＜1时，去掉绝对值，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；（Ⅱ）由f（x）≥x可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，讨论当0＜x＜1时，当x≥1时，运用参数分离和函数的单调性可得最值，进而得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=，当x≥1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣﹣＜0；当0＜x＜1时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=+＞0；所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，单调递减区间是[1，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥x得a（x+）﹣|x﹣|≥x，x＞0，可得a（x2+1）﹣|x2﹣1|≥x2，①当0＜x＜1时，a（x2+1）+（x2﹣1）≥x2，即有a≥，由=﹣∈（，1）可得a≥1；②当x≥1时，a（x2+1）﹣（x2﹣1）≥x2，可得a≥由=﹣∈[，）可得a≥．综上所述，a的取值范围是[，+∞）．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，以及a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得直线PQ的方程，令y=0，可得T的横坐标，化简可得T（1，0），由S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|，运用韦达定理，由换元法化简整理运用基本不等式可得最大值，以及此时直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，可得c=1，b==．即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），联立得（4+3m2）y2+24my+36=0，则△=（24m）2﹣144（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4．又y1+y2=﹣，y1y2=，直线PQ的方程为y=（x﹣x1）﹣y1则x T====+4=1，则T（1，0），故|ST|=3所以S△PQT=S△SQT﹣S△SPT=|y1﹣y2|=•=，令t=＞0，则S△PQT==≤=，当且仅当t2=即m2=即m=±时取到“=”，故所求直线l的方程为x=±y+4．20．已知数列{a n}满足0＜a n＜1，且a n+1+=2a n+（n∈N*）．（1）证明：a n+1＜a n；（2）若a1=，设数列{a n}的前n项和为S n，证明：﹣＜S n＜﹣2．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得，结合0＜a n＜1，得到a n+1﹣a n=＜0，即a n+1＜a n；（2）由已知数列递推式得，利用累加法得到S n==a n+1+．把已知递推式两边平方可得，利用放缩法得到，即2n，进一步得到，然后利用不等式的可加性证得﹣＜S n＜﹣2．【解答】证明：（1）由a n+1+=2a n+，得，即，∴，则，又0＜a n＜1，∴，即a n+1＜a n；（2）由a n+1+=2a n+，得．∴S n=a1+a2+…+a n=+…+=．又∵a n+1+=2a n+，∴，∴．由0＜a n+1＜a n，可知，即，∴2n，∴，，∵．∴．∴﹣＜S n＜﹣2．第21页（共21页）。