黄金分割 黄金比.
趣味数学：黄金分割与黄金比
黄金分割与黄金比人教版小学数学六年级上册第51页的“你知道吗？”谈到了“黄金比”—0.618∶1。
“黄金比”来源于“黄金分割”，所谓黄金分割，是指把一条线段分割成两段，使小段与大段的比恰好等于大段与全长的比。
因为这种分割在许多场合都会意外出现，神秘莫测，异常珍贵，所以，人们就把它称为黄金分割。
如图设线段AB 的全长为1，G 是黄金分割点，AG 的长度为x ，GB 的长度是1－x 。
因为 GB ∶AG ＝AG ∶AB ，所以 (1－x)∶x ＝x ∶1，即x 2＋x －1＝0，于是x ＝215 ＝0.618033988……。
x 的近似值0.618就称为“黄金数”。
显然，一条线段上存在两个黄金分割点，对称于线段的中点。
出乎人们意料的是，黄金分割与斐波那契数列还有着非常密切的关系。
我们知道，斐波那契数列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…如果，如果从第一项起，取相邻两项的比，组成新的数列：1∶1，1∶2，2∶3，3∶5，5∶8，8∶13，13∶21，21∶34，34∶55，55∶89，89∶144，144∶233，…就会得到：1，0.5，0.666…，0.6，0.625，0.615…，0.619…，0.617…，0.618…，0.617…，0.618…，0.618…，…越来越逼近黄金比，所以，2∶3，3∶5，5∶8，…都可以看作黄金比的近似值。
x 1-x A G B据研究，在从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系都接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来，成为最高的审美标准，黄金分割成为世代相传的审美经典法则。
黄金比，在造型艺术、建筑艺术、视听艺术、科学技术、人体美学、人类生存中到处都有她的身影。
例如，人们都觉得五角星非常美丽，我国的国旗上就有五颗五角星，还有不少国家的国旗也用五角星，就是因为，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都符合黄金比。
黄金比例计算方法
黄金比例计算方法
黄金比例，也被称为黄金分割或黄金比例数，是一种在艺术、建筑、数学和自然界中广泛应用的比例关系。
它是指将一条线段分为两部分，使得整条线段与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例。
黄金比例的计算方法非常简单，可以通过以下公式来确定：
(较长部分 + 整条线段) / 较长部分 = 较长部分 / 较短部分
将这个公式进行简化后，我们可以得到以下等式：
(较长部分 / 整条线段) = (整条线段 / 较短部分) = φ（phi）
其中，φ是黄金比例的数值，约等于1.618。
在实际应用中，黄金比例常常被用来创造出视觉上的美感和和谐感。
它可以在设计艺术品、建筑蓝图、摄影构图以及家居布置等方面发挥重要作用。
黄金比例最早可以追溯到古希腊文化。
希腊建筑师和数学家将黄金比例视为一种完美的比例，认为它代表了自然之美和宇宙的秩序。
这一
观念在文艺复兴时期重新被引入，并在建筑和绘画领域中得到广泛运用。
除了艺术和建筑领域，黄金比例在数学和自然界中也有重要的应用。
它可以在数列、螺旋形状、植物生长、动物身体比例等方面找到。
黄金比例的计算方法和应用可以帮助我们在创作和设计过程中追求
更美观、和谐和平衡的效果。
通过运用黄金比例，我们可以创造出引人注目的视觉效果，并给人带来愉悦的感受。
黄金比例中考知识点归纳
黄金比例中考知识点归纳黄金比例，也被称为黄金分割比例或黄金分割率，是一个在数学、艺术、建筑以及自然界中广泛存在的特殊比例。
它大约等于1.618，通常用希腊字母φ（Phi）表示。
黄金比例在中考数学中是一个重要的知识点，以下是对黄金比例的中考知识点归纳：1. 黄金比例的定义：将一条线段分割为两部分，使得整个线段与较长部分的比等于较长部分与较短部分的比，这个比值就是黄金比例。
2. 黄金比例的数学表达：设线段AB被点C分割成两部分AC和BC，若满足AB/AC = AC/BC = (AC + BC)/AB = φ，那么φ就是黄金比例。
3. 黄金比例的数值：黄金比例φ的数值约为1.6180339887...，可以通过公式(1 + √5) / 2来计算。
4. 黄金比例的几何构造：可以通过一个正方形的内切五边形来构造黄金比例，或者通过连续的正方形和等边三角形的叠加来构造。
5. 黄金比例的性质：黄金比例具有自相似性，即一个黄金矩形的长宽比是黄金比例时，其内部的矩形也满足这一比例。
6. 黄金比例在艺术和建筑中的应用：许多著名的艺术作品和建筑都采用了黄金比例，如达芬奇的《蒙娜丽莎》、帕台农神庙等。
7. 黄金比例在自然界中的体现：黄金比例在自然界中也广泛存在，如植物的螺旋排列、动物的体型比例等。
8. 黄金比例的计算方法：在中考数学中，可能会涉及到黄金比例的计算，包括黄金矩形的面积和周长的计算，以及通过黄金比例解决一些几何问题。
9. 黄金比例的证明：在数学证明中，黄金比例可以通过代数和几何方法进行证明，例如利用相似三角形的性质或勾股定理。
10. 黄金比例的拓展：黄金比例还可以拓展到黄金三角形、黄金螺旋等概念，这些在中考中可能作为拓展知识点出现。
结束语：黄金比例不仅是数学中的一个有趣现象，也是连接科学、艺术和自然的桥梁。
掌握黄金比例的相关知识，不仅有助于理解数学中的美，也能提高解决实际问题的能力。
黄金分割
黄金分割（黄金比例）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》数学定义把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。
[1]附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565特殊的数列设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。
[5]黄金三角形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。
黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
黄金比例的定义
黄金比例的定义黄金比例，又称黄金分割或黄金比例，是指一种特殊的比例关系，即整体与部分之间的比例恰好等于部分与部分之间的比例。
这种比例关系在自然界、艺术和建筑中广泛存在，并被认为是一种特别美学上的比例关系。
黄金比例最早可以追溯到古希腊，由古希腊数学家欧几里得所提出。
他将一条线段分割为两部分，使得整条线段与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例。
这个比例关系可以用一个数学常数来表示，即黄金比例常数φ（phi），约等于1.618。
在自然界中，黄金比例的存在非常普遍。
例如，我们常见的一朵花的花瓣数目往往是黄金比例的数目；一只螺旋壳的螺旋数也往往符合黄金比例。
此外，人体的各个部分之间也可以发现黄金比例的存在，比如我们的手指关节和指尖的长度比例，以及面部各个特征的比例等等。
在艺术领域，黄金比例常被用来构图和设计。
许多著名的艺术品和建筑物都采用了黄金比例来达到视觉上的和谐和美感。
例如，著名画家达·芬奇在绘画中广泛运用了黄金比例，使得他的作品呈现出一种自然、宁静的美感。
而建筑师们也常常使用黄金比例来设计建筑物的比例和比例关系，以使建筑物更具美学价值。
除了自然界和艺术领域，黄金比例还在其他领域得到了应用。
在金融投资中，黄金比例也被用来分析价格波动和寻找投资时机。
在音乐中，一些音乐家认为黄金比例也可以应用于音乐的创作和演奏。
在教育领域，黄金比例也被用来指导课程设置和学习方法。
虽然黄金比例在各个领域都有广泛的应用，但并不是所有的事物都一定符合黄金比例。
有时候，我们也可以将黄金比例视为一种理想的比例关系，用来指导我们的创作和设计，但并不是一种必须遵循的规则。
黄金比例是一种特殊的比例关系，它在自然界、艺术和建筑中广泛存在，并被认为是一种美学上的比例关系。
无论是在自然界中的花瓣数目，还是在艺术品和建筑物的设计中，黄金比例都发挥着重要的作用。
通过运用黄金比例，我们可以创造出更加和谐、美感和具有吸引力的作品。
线段黄金分割点公式
线段黄金分割点公式
线段黄金分割点公式，也被称为黄金分割比或黄金分割比例，是一种常用的数学工具，可用于寻找线段中的黄金分割点。
黄金分割，又称为黄金比例，是指将一条线段分割成两段，使整条线段的长度与较长部分的长度之比等于较长部分与较短部分之比。
这个比值约等于1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。
根据线段黄金分割点公式，我们可以计算出黄金分割点在
线段上的位置。
设线段的长度为L，黄金分割点距离线段起点
的距离为x，则根据公式：
L / x = x / (L - x) = 1.618
将上述公式进行简化，我们可以得到二次方程：
x^2 - 1.618xL + L^2 = 0
通过解这个二次方程，我们可以得到黄金分割点在线段上
的位置。
常见的求解方法包括配方法、求根公式或者使用计算机软件进行数值计算。
使用黄金分割点公式可以帮助我们在绘画、摄影、设计等
领域中进行构图的优化。
人眼往往更喜欢黄金比例所呈现的比例关系，因此在布局和设计中使用黄金分割点可以创造出更具吸引力和美感的作品。
值得注意的是，黄金分割点公式只是一种计算工具，并不
意味着黄金分割点一定是最优解。
在实际应用中，我们可以根据需求和审美来灵活运用，以达到最佳的效果。
线段黄金分割点公式是一种能够帮助我们找到黄金分割点
的数学工具。
了解这个公式可以帮助我们在艺术创作和设计中更好地运用黄金分割的美学原理。
黄金分割比例的概念
黄金分割比例的概念黄金分割比例的概念黄金分割比例，也被称为黄金比例、黄金分割点或黄金分割原理，是数学和美学上一个重要的概念。
它由古希腊数学家欧几里得引入，并在建筑、艺术、自然界等领域中得到广泛应用。
黄金分割比例被认为是最具吸引力和和谐的比例之一，因为它在视觉上给人一种平衡和美感的感觉。
黄金分割比例可以用一个简单的数学公式来表示：a/b = (a+b)/a = φ （phi，读作斐波那契数）。
其中，a和b是两个数字，b大于0。
当a与b的比例等于a与a+b 的比例时，这个比例就是黄金分割比例。
黄金分割比例的近似值为1.6180339887...，是一个无理数。
黄金分割比例在建筑中的应用最早可以追溯到古希腊时代。
古希腊建筑师塞拉诺设计了被称为帕特农神庙的神殿，它被认为是黄金分割比例在建筑中的典范。
帕特农神庙的前端柱子和后端柱子的比例，以及底部立柱和周围结构的比例，都符合黄金分割比例。
除了建筑，黄金分割比例在艺术中也被广泛运用。
许多画家和雕塑家使用黄金分割比例来设计他们的作品。
达·芬奇的《蒙娜丽莎》和米开朗基罗的《大卫》都采用了黄金分割比例来构图和布局。
黄金分割比例还在自然界中得到广泛应用。
在植物的叶子排列、果穗的形态以及花瓣的数量上，黄金分割比例经常出现。
著名的斐波那契数列中的每个数都是前两个数的和，而这个数列中相邻两个数的比例趋近于黄金分割比例。
对于艺术家和设计师来说，黄金分割比例是一个重要的指导原则。
通过运用黄金分割比例，他们可以创造出更加和谐、美观和吸引人的作品。
在一幅画作或一座建筑中，黄金分割比例可以帮助我们确定主要元素的位置和大小，使作品更具吸引力和视觉平衡。
除了在艺术和设计中的应用，黄金分割比例还被广泛运用于市场营销领域。
许多公司使用黄金分割比例来设计其标志和广告，以吸引消费者的注意力。
市场研究也表明，黄金分割比例的广告往往更受欢迎，更能够引起观众的情感共鸣。
尽管黄金分割比例在数学、美学和设计领域中有着广泛的应用，但它也受到一些批评。
什么叫黄金比：
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一 部分与这部分之比。其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一， 取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十 分美丽，因此称为黄金分割。 黄金分割比约等于 0.618 : 1 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的 肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金 分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两 张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成 1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物 通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无 论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法 国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。人们还发现，一些 名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。艺术 家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔 和甜美。
黄金比的记录：
欧洲 2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出 黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一 部分（较长的一部分）对于全部之比，等于另一部分（较短的一部分） 对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算菲波那契数列1 ，1，2，3，5，8，13，21，34……后二数之比2/3，3/5，5/8，8/13， 13/21，21/34……近似值的。 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人 的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为 “各种算法中最可宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或 “三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 亚洲记载 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但 它是我国的古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的 比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，并不是直接从古 希腊传入的。
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大自然中的黄金分割
1*
大自然中，树叶的叶脉，鹦鹉螺纹都具有黄金分割，这些是大自 然作为造物主的杰作。
其螺旋结构看起
来有一种特殊的
黄
美感，这是为什
金
么呢？
分
割
实际上，如果我们按斐波那契数列取边长分 别为1、1、2、3、5、8、13、21的正方形， 然后以各正方形的一个顶点为圆心画出四分 之一的曲线，再连接所有曲线，最后形成的 螺旋线就是如下图所示的黄金螺旋线。
最后的晚餐
1*
黄 金 分 割
最后的晚餐
*
黄 金 分 割
维纳斯
*
断臂的维纳斯的肚脐就
是黄金分割点
黄
金
分
割
维特鲁斯人
*
《维特鲁斯人》，画名是根据古罗
马杰出的建筑家维特鲁威（Vitruvii）
的名字取的，该建筑家在他的著作
黄
《建筑十书》中曾盛赞人体比例和黄
金
分
金分割。
割
“维特鲁威人”是达芬奇以比例最
1*
黄 金 分 割
蒙娜丽莎的微笑
*
作品欣赏：画中人物坐姿优雅，笑容微妙。
画家力图使人物的丰富内心感情和美丽的外形
达到巧妙的结合，对于人像面容中眼角唇边等
表露感情的关键部位，也特别着重掌握精确与
含蓄的辩证关系，达到神韵之境，从而使蒙娜
黄
丽莎的微笑具有一种神秘莫测的千古奇韵，那
金
如梦似的妩媚微笑，被不少美术史家称为“神
关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉 斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁 匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来，被应用在很 多领域。后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”，也有人称其为“金法”。
精准的男性为蓝本，这种“完美比例”
也即是数学上所谓的“黄金分割”。
*
对于这幅画，达芬奇自己阐述：建筑师维特鲁威斯在他
的建筑论文中声言，他测量人体的方法如下：4指为一掌，4
掌为一脚，6掌为一腕尺，4腕尺为一人的身高。4腕尺又为一
跨步，24掌为人体总长。两臂侧伸的长度，与身高等同。从
发际到下巴的距离，为身高的十分之一。自下巴至脑顶，为
大自然中的黄金分割
2*
蝴蝶身长与双翅
展开的长度比近
似黄金分割
黄
金
分
割
顺时针曲线和逆 时针曲线的比例 是接近于黄金分 割比的
蒙娜丽莎的微笑
《蒙娜丽莎》 创作时间：1506年 尺寸：77×53厘米 材质：油画、木板 作者：列奥纳多.达.芬奇（意大利） 作者列奥纳多.达.芬奇（1452-1519年）是15 世纪意大利文艺复兴三杰之一，也是人类文明史 上罕见的全才。他不仅是天才的画家、雕塑家、 建筑师、诗人、哲学家和音乐家，而且是位很有 成就的解剖学家、数学家、物理学家、天文学家、 地理学家和工程师等等。
帕特农神庙
*
黄 金 分 割
Apple
*
黄 金 分 割
apple
*
黄 金 分 割
百事
*
黄 金 分 割
美国国家地理
*
黄 金 分 割
该组织的座右铭（“激励人们去关心地球”）
丰田
*
黄.6188≈Φ(1.618)
金
侧面的高（H）÷底边的1/2＝
分 割
1.6188÷[2x1/2]＝1.6188≈Φ(1.618)
侧面的面积＝1/2x2xH＝1.6188
以正四角锥体的高h为边长的正四方形
面积S，S＝h2＝1.620
即 1^2＋h^2≈Φ^2
泰姬陵
*
黄 金 分 割
漫谈黄金分割
黄金分割
相信大家在初中数学课上就学过这个公式了。 简单来讲就是把一条线段一分为二，较大部分与较 小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为 1∶0.618，即长段为全段的0.618。这个点就是黄 金分割点，而0.618也被公认为最具有审美意义的 比例数字，1∶0.618是最能引起人的美感的比例。 黄金分割数也可以用希腊字母φ（拼音为“phi”， 读作“fee”）表示。
金字塔
*
黄 金 分 割
埃及人建造金字塔也应用了黄金分割，不过这早了毕达哥拉斯 1000多年，可见那时候人们已从生活中发现这个奥秘也在应用，
只是不明确这个规律。（当然关于金字塔是外星人的发射塔又是 一说了。）
金字塔
*
侧面倾斜角α，α＝51.85°；正方形
底面的底边为2个单位，这样，正四角锥
体的高h，h＝1.273；侧面的高H，H＝
分
秘的微笑”。在背景处理上,达.芬奇运用的是
割
“空气透视法”,让后面的山崖、小径、石桥、
树丛与潺潺的流水都推向遥远的深处,仿佛这一
切都被笼罩在薄雾里,以此来突出形象的地位。
作品现藏于法国卢浮宫。
几何透视法产成于数学原理，是把几何透视运用到绘画艺术表现之中，它主要借助于近 大远小的透视现象来表现物体的立体感。
黄
身高的八分之一。胸上到发际，为身高的七分之一。乳头到
金
脑顶，为身高的四分之一。肩宽的最大跨度，是身高的四分
分
之一。臂肘到指根是身高的五分之一，到腋窝夹角是身高的
割
八分之一。手的全长为身高的十分之一。下巴到鼻尖、发际
到眉线的距离均与耳长相同，都是脸长的三分之一。
人体中自然的中心点是肚脐。因为如果人把手脚张开，作仰卧姿势，然后以他的肚 脐为中心用圆规画出一个圆，那么他的手指和脚趾就会与圆周接触。不仅可以在人体中 这样地画出圆形，而且可以在人体中画出方形。即如果由脚底量到头顶，并把这一量度 移到张开的两手，那么就会发现高和宽相等，恰似平面上用直尺确定方形一样。