归纳与类比.ppt
归纳与类比课件
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是(
A．an＝2n－1
)
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1－1
答案： C
D．an＝2n－1＋1
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
2．下列说法正确的是( A．合情推理就是归纳推理
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
5．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
“________________”，这个类比命题的真假性是________．
解析： 由类比推理可知．
答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
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答案：
f3(x)＝
x 1－22x
fn(x)＝
x － (n∈N＋) 1－2n 1x
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律， 可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构．
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定
答案：
3
6
15
nn－1 2
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
x 【变式训练】 1.已知： f(x)＝ ， f1(x)＝f(x)，n(x)＝fn－1[fn－1(x)](n 设 f 1－x ＞1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为______________，猜想 fn(x)(n∈N＋) 的表达式为________．
第7课+学会归纳与类比推理课件-2024届高考政治一轮复习统编版选择性必修三逻辑与思维+
特 点 异中求同
同中求异
异中求同、 同中求异 (两次求同一次求异 )
变化引起变化
已知部分原因、 剩余的是未知原 因
归纳推理及其方法
【易错纠偏 澄清误区】
1．归纳推理是从一般性前提推出个别性结论的推理。( ) 纠错： 归纳推理是从个别到一般，而演绎推理则是从一般到个别。 2．归纳推理不要求前提必须真实。( ) 纠错： 演绎推理不要求前提必须真实，归纳推理则要求前提必须真实。 3．归纳推理的结论没有超出前提所断定的范围。( )
1．（2023·安徽·预测）重视调查研究，是中国共产党一以贯之的优良传 统。习近平总书记强调“调查研究是谋事之基、成事之道”“要开门问策、 集思广益，把加强顶层设计和坚持问计于民统一起来”“要大兴调查研究之 风……体察实情、解剖麻雀，全面掌握情况，做到心中有数”。这说明( )
①科学思维总是从实际出发，力图如实地反映认识对象
纠错： 演绎推理的结论没有超出前提所断定的范围，归纳推理除了完 全 归 纳 推 理 ， 结 论 都 超 出 了 前 提稿断定定PPT的 范 围 。 4 ． 归 纳 推 理 的 结 论 是 或 然 的 ( 稿新定，P上P)千T，款海模量板素选材择持总续有更一 纠 错 ： 在 不 完 全 归 纳 推 理 中 ，款由适于合你它 没 有 对 前 提 中 的 每 个 对 象 情 况 都 进 行 考 察，就得出一般性结论，这种推理的前提和结论之间的联系是或然的。 在完全归纳推理中，前提考察了一类事物的每一个对象，无一遗漏，前提和 结论之间具有必然性联系，推出的结论是真实可靠的。
第七课
学会归纳与类比推理
选择性必修3 逻辑与思维
含义：个别性或特殊性知识为前提→一般性的结论
学
归纳推理 及其方法
归纳推理与类比推理的PPT
类比推理过程中涉及的主观判断和经验等因素较 多，容易影响推理的客观性和准确性。
05
归纳推理与类比推理的 未来发展
归纳推理的未来发展
人工智能应用
随着人工智能技术的不断发展，归纳推理在自然语言处理、机器学习等领域的应用将更加广泛，有望实现更高效、准 确的推理过程。
跨领域应用
归纳推理不仅在逻辑学和哲学领域有应用，未来还可能拓展到其他领域，如医学、生物学等，为解决复杂问题提供新 的思路和方法。
区别
01
归纳推理是从个别到一般的推理，即从具体事例出发，概括出一般性结论；而 类比推理则是从一般到一般的属性也可能相同。
02
归纳推理的结论范围比前提更广泛，即结论是前提的一个超集；而类比推理的 结论并不一定包含前提的范围，即前提和结论之间不一定有包含关系。
教育与培训应用
类比推理在教育和培训领域具有重要价值，未来将进一步 探索其在培养创新思维、解决问题能力等方面的应用，为 教育和培训提供新的方法和工具。
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根据某一类事物的部分成员的特 征，推出该类事物的一般性结论。
基于对事物内在机制的认识，通 过因果关系推导出一般性结论的 推理方法。
归纳推理的应用
科学研究
在科学研究中，归纳推理是常用 的推理方法之一，通过对大量实 验和观察数据的分析，得出科学 规律和理论。
法律审判
在法律审判中，法官根据证据和 事实进行归纳推理，推断出被告 人的罪行和责任。
归纳推理的逻辑不严密
归纳推理的逻辑基础是假设总体具有与样本 相似的特征，但这一假设并不总是成立，因 此归纳推理的逻辑并不严密。
类比推理的局限性
7.2 类比推理及其方法 课件(共20张PPT)
2.提高类比推理可靠程度要求
（1）类比的根据越多越好。
前提中确认对象的相同或 相似属性越多，意味着它 们所属的类别可能越相近 ，结论的可靠性越高。
示例 人们在研究新药时，往往在
狗、兔子、老鼠等动物身上做实 验，因为这些动物比其它动物与 人类有更多的相同或相似属性。 如果用低等动物做实验，则因其 与人类的相同属性较少，难以得 到可靠的结论。
③在两个对象间多运用比喻
④在前提中要抓住两个对象的本质属性
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
类比推理的含义
1.特点和含义：
客观依据：事物属性之间的内在联系 【注意】
类比推理是从一般到一般或从特殊到特殊，不是从一般推出
个别（演绎推理），或是从个别推出一般（归纳推理）
类比推理的含义
示例评析
化肥中所含的主要养分是钙、镁、氮、磷、钾，这些养 分是植物生长所需要的，而且，化肥呈粉末或液体状态时， 植物更容易吸收。
石煤渣中也含有较多的钙、镁、氮、磷、钾，把石煤渣 磨成粉末，植物也容易吸收。
所以，我们可以把石煤渣磨成粉末作为植物生长的肥料。
A对象具有属性a、b、c、d
逻辑形式： B对象具有属性a、b、c、
所以，B（可能）也具有属性d
类比推理的含义
①瓦特根据蒸汽中的壶盖发明了蒸汽机。类比
②较之于其他高校思想政治理论课，《形势与政策》的 理论知识系统性和稳固性较弱，而教学内容的更新速度
“归纳”与“类比”
解：观察下列等式： 左边是：从1开始的依次的自然数的那么 多个奇数的和， 右边是：依次的自然数的平方.
有1 3 5 2n 1 n2
n项
2 2 1 1
2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 7 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 92
2
2
n 1 n 2 即， 1 2 3 n 2
6 2011 陕西 文 观察下列等式 11 23 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49
那么N点的坐标一定是 m, n ，设点P的坐标为 x, y ，则k PM 与k PN 的值 存在的情况下 可以表示出来，求两者的积，整理、化简即可 得结论. x2 y 2 解： 1 类似的性质：若M , N 是双曲线 2 2 1上关于原点对称的 a b 两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM , PN的斜率存在，
步骤 P30中间虚框阴影部分：
1.找出两类事物之间的相似性或一致性； 2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题 猜想 .
注：书上“两个表格中的内容” 自看
题型1.类比推理在数列中的应用
11.根据等差数列的性质，利用类比推理写出等比数列的性质 等差数列an , 公差d 则 am a n a p a q 若m n 2 p , 则 am a n 2 a p ak , ak m , ak 2 m 构成公差为md 的等差数列 am an m n d 若m n p q m, n, p , q N *
归纳推理和类比推理
练习1
电视纪录片不只是表现了那些来自遥远的东非的人们对保护野 生动物的虔诚，而且还向我们展示了在一个缺少食品的国 度，大象是一种有害的动物，而且是一种聪明的有害动物。 目前好像还没有办法保护非洲东部的农田免受晚上出来寻 找事物的狼吞虎咽的象群的破坏。显然，这个例子表明： 以下哪项最合逻辑地完成上文的论述？ A．保护野生动物可能会危害人类的安康。 B． 现在应将大象从濒临灭绝的动物名单中除去。 C．电视纪录片除了重复那些被接受的虔诚外不应再纪录 别的事。 D．农民和农业官员在采取任何控制象群的措施前应当与 野生动物保护者密切合作。
II.近三年来，湖州地区日均 耗电量逐年明显增加。
III.今年湖州地区任一用电超 标单位的日均耗电量都高于 全地区的日均耗电量。
A.只有I C.只有III
B.只有II D.只有II和III
练习7
某社会机构公布了一项长期社 会调查的结果，调查显示：在 婚后的１３年里，妇女们平均 增长了１３公斤，男人们平均 增长了２０公斤。这一机构得 出结论：婚姻能使人变胖。
师大附中与学生家长订了协议，如果孩子的 学习成绩的名次没有排在前二十名，双方共 同禁止学生玩滚轴溜冰。
玩滚轴溜冰的同学受到了学校有效的指导， 其中一部分同学才不至于因此荒废学业。
练习4
在一项实验中,实验对象的一半作为实验组,食用 了大量的味精。而作为对照组的另一半没有吃这 种味精。结果,实验组的认知能力比对照组差得多。 这一不利的结果是由于这种味精的一种重要成 分——谷氨酸造成的。
以下哪项如果为真,则最有助于证明味精中某 些成分造成认知能力低下这一结论?( )
大多数味精消费者不像试验中的人那样使用 大量的味精
上述结论中提到的谷氨酸在所有蛋白质中都 有,为了保证营养必须摄入一定量
第十三章 13.1归纳与类比
§13.1归纳与类比知识梳理：1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′. (a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．课前自测：1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C 解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为______．答案1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8. 3．(2013·陕西)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为____________________________________．答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论，设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 答案 T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12， T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列. 应用示例：题型一 归纳推理例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．思维点拨 先正确计算各式的值，再根据自变量之和与函数之和的特征进行归纳．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得： f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.证明：设x 1＋x 2＝1，∵f (x 1)＋f (x 2)＝131x ＋3＋132x ＋3＝(31x ＋3)＋(32x ＋3)(31x ＋3)(32x ＋3)＝31x ＋32x ＋2331x ＋x 2＋3(31x ＋32x )＋3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x )＋2×3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x ＋23)＝33. 思维升华 归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(1)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为________________________________________________________________________．(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有__________________________．答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ＋) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.(2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22. 故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ＋)． 题型二 类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维点拨 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算． 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d n c m . 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案 P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d ＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P d h d＝1.题型三 演绎推理例3 已知函数f (x )＝－a a x ＋a(a >0，且a ≠1)． (1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值． 思维点拨 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图像上的任一点关于对称中心的对称点仍在图像上．小前提是f (x )＝－a a x ＋a(a >0，且a ≠1)的图像关于点(12，－12)对称． (1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a， f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称． (2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数．课堂小结：方法与技巧1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．失误与防范： 1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性． 3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.课后作业：1、预习 ； 2、册子；。
归纳类比与假说课件
完全归纳
对某一范围内所有个体进行考 察，并从中得出一般性结论。
不完全归纳
只对某一范围内部分个体进行 考察，并从中得出一般性结论
。
简单枚举归纳
根据一些相同事例的观察，概 括出它们共同的性质和特征。
科学归纳
基于对事物内在本质和相互关 系的深入了解，进行的归纳推
理。
归纳推理的步骤
收集资料
收集与问题相关的具体 事例和数据。
THANKS
感谢观看
类比推理实例2
在机器学习中，类比人类的认知过程，通过模拟人类的分类 和识别过程来构建分类器或识别算法。
假说演绎法实例
假说演绎法实例1
遗传学中的孟德尔定律是通过假说演 绎法得出的。孟德尔假设遗传因子遵 循分离定律和独立分配定律，然后通 过实验验证这些假设，最终得出这些 定律。
假说演绎法实例2
爱因斯坦的相对论也是通过假说演绎 法得出的。他提出了光速不变的假设 ，并据此推导出了一系列结论，这些 结论后来被实验所证实。
分析资料
对收集到的资料进行分 析，找出它们共同的性
质和特征。
概括结论
根据分析结果，概括出 一般性的结论或规律。
验证结论
通过实践或实验验证概 括出的结论或规律的正
确性。
02 类比推理
类比推理的定义与概念
定义
类比推理是根据两个或多个对象在某 些属性上的相似性，推断出这些对象 在其他属性上也可能存在相似性的推 理方法。
验证结论
对推断出的结论进行验证，确保其合 理性和准确性。
03 假说演绎法
假说演绎法的定义与概念
定义
假说演绎法是一种科学推理方法，它通过提出假设（假说），并对其进行演绎 推理，从而得出结论或预测结果。
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版
＝6.
第12章 第四节
高考数学总复习
(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相
等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比
较恰当的是( )
北
师
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；
大 版
②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面
角相等；
第12章 第四节
高考数学总复习
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条
师
大
版
[答案] A
第12章 第四节
高考数学总复习
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理，它的形式
是“三段论”，由此可知选 A，选项 B、D 是归纳推理，
C 是类比推理．
北
师
大
版
第12章 第四节
高考数学总复习
3．(文)(2012·合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是
()
A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0， 北 师
则 a＝b”
大 版
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋c b＝ac＋bc”
第12章 第四节
高考数学总复习
C
．
“(a
＋
b)c＝Biblioteka ac＋bc”类
比
推
出
“a＋c b
＝
a c
＋
b c
(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
北 师
大
版
[答案] C
[解析] 由类比推理特点知，选C.
高考数学总复习
北 师 大 版
第12章 算法初步、推理与证明、复数
高考数学总复习
第四节
归纳与类比
北 师
大
版
第12章 第四节
高考数学总复习
北 师 大 版
第12章 第四节
高考数学总复习
考纲解读
1．了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进
行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用．
北
师
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模
北 师 大 版
第12章 第四节
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4．(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨
辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规
律，a 所表示的数是( )
北
师
大
版
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A．2
B．4
C．6
D．8
[答案] C
北
[解析]
因为其规律是a为肩上两数之和，故a＝3＋3
师 大
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知识梳理
1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该
事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为 归纳
北
师
推理．
大
版
2．根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具
有类似的其他特征，这种推理过程称为 类比推理．
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3．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；
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[解析] 本题考查归纳推理．
根据已知条件，第四个等式应用 13＋23＋33＋43＋53
北
师
B．某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有
大 版
52 人，由此推得高三所有班的人数都超过 50 人
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C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋an1－1)(n≥2，
北
n∈N＋)，由此归纳出{an}的通项公式
大 版
式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
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考向预测
1．考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应
用．
北
师
2．主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，
大 版
多以中低档题为主．
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北 师 大 版
第12章 第四节
类比推理是两类事物特征之间的推理．
归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
北
师
大
版
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北
基础自测
师
大
版
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1.下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和 北
师
是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180°；
大 版
③李锋某次考试成绩是 100 分，由此推出全班同学的
成绩都是 100 分；
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④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五
边 形 内 角 和 是 540° ， 由 此 得 凸 n 边 形 内 角 和 是 (n －
2)·180°
北
A．①②
B．①③
师 大
版
C．①②④
北
立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面 师
大
体的内切球的半径为 R，四个面的面积分别为 S1，S2，S3， 版 S4，则这个四面体的体积 V＝______________成立．
[答案] 13R(S1＋S2＋S3＋S4)
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[解析] 通过类比，可把四面体分割为四部分．
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(理)对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可 类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的
()
北
师
A．一条中线上的点，但不是中心
大 版
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
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[答案] D [解析] 边的中点对应于面的中心．
D．②④
[答案] C
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[解析] ①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推 理，所以①②④是合情推理．
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2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B
是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
棱的夹角都相等；
④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
北
师
A．①
B．①②
大 版
C．①②③
D．③
[答案] B
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[解析] 类比的原则是“类比前后保持类比的一致 性，”而③④违背了这一原则．
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5．在平面几何中，若三角形内切圆的半径为 r，三 边长分别为 a，b，c，则三角形的面积 S＝12r(a＋b＋c)成
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6．(文)(2010·陕西文，11)观察下列等式：13＋23＝(1 ＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋ 4)2，…，根据上述规律，第四个等式为____________． 北
师 大 版
[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或 152)