高中数学必修一：3.2.1《几类不同增长的函数模型》课件(新人教版A)
想一想： 1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之
外,还得考虑什么?
我来说
回报的累积值
2.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数 想一想： 描述这些数量关系?
我来说
设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数 y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用函数 y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数
107374182.4
8 9 … 30
40 40 … 40
80 90 … 300
51.2 102.4 …
214748364.8
我想问 我来说 我想问
根据所列的表格中提供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有什 么认识? 方案一每天的回报不变;方案二、三每天的 回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回 报越来越大,比方案二要大得多。 作出三个方案的图象看看?
一般地,对于指数函数 y a (a 1) n 和幂函数 y x (n 0) 通过探索可以发现,在区间(0,+∞)上,无论n比a大 x n 多少,尽管在x的一定变化范围内, a 会小于 x , x n 但由于 a 的增长快于 x 的增长,因此,总存在一 x0 ,当 x x0 时,就会有 a x x n 个 同样地,对于对数函数 y log a x(a 1) 和幂函数 n y x (n 0) ,在区间(0,+∞)上,随着x的增大, log a x 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x 轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内, log a x n n 可能会大于 x ,但由于log a x 的增长慢于 x 的增长,因此,总存在一个 x0 ,当 x x0 时,就会 n 有 log a x x
解决实际问题的步骤： 实际问题
读 懂 问 题 抽 象 概 括
实际问题的解
还 原 说 明
数学问题 演 算 推 理 数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有 三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求 呢？
我想问
本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么? 本例涉及了一次函数、对数函数、指数函 数三类函数模型,实质是比较三个函数的增 长情况。
我来说
我再问 我来说
怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公 司的要求呢? 要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5 万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析, 才能做出正确选择。
解:借助计算机作出三个函数的图象如下:
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当 x∈(20,1000)时,y>5,因此该模型不符合要求。 x 对于模型 y 1.002 ,由函数图象,并利用计算器,可 x0 满足 1.002 x0 5 , 知在区间(805,806)内有一个点 由于它在[10,1000]上递增,因此当 x x0 时,y>5,因 此该模型也不符合要求。 对于模型 y log 7 x 1 ,它在区间[10,1000]上递 增,而且当x=1000时, y log 7 1000 1 4.55 5 , 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。 再计算按模型 y log 7 x 1 奖励时,奖金是否不 超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有
方案二
y/元
方案三
增加量/元
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
3 4 5 6
7
40 40 40 40
40
30 40 50 60
70
10 10 10 10 10 10 10 10 … 10
0.4 0.8
1.6 3.2 6.4 12.8
25.6
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 …
x
在区间(0,+∞)上,尽管 y a (a 1) y log a x(a 1) , n 和 y x (n 0) 都是增函数,但它们的增长速 度不同,而且不在同一个"档次"上,随着x的增 x 大, y a (a 1) 的增长速度越来越快,会超过 n 并远远大于的 y x (n 0) 增长速度,而 y log a x(a 1) 的增长速度则越来越慢.因此, 总会存在一个 x0 ,当 x x0 时,就有
生活中,数学无处不在,用好数学,将会给我 们带来很大的方便。今天我们就来看一个 利用数学为我们服务的例子。
互动交流,探求新知 例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？
x
log a x x a .
n x
随堂练习:P101练习
实际 问题
读懂问题 基础
将问题 抽象化 过程
数学 模型 关键
解决 问题 目的
几种常见函数的增长情况： 常数函数 没有增长 一次函数 直线上升 指数函数 指数爆炸
作业:P107习题3.2 T1、2
y log 7 x 1 0.25 成立。 x x
令 f ( x) log 7 x 1 0.25 x ,x∈[10,1000], 利用计算机作出函数f(x)的图象
由图可知它是减函数, 因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0 即 log 7 x 0.25 x.
所以,当x∈[10,1000]时,
图112-1
我想问
从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天 的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能 把前11天回报的累积值算出来吗?
累计回报表
天数 方案 一 二 三 1
40 10 0.4
2
80 30 1.2
3
120 60 2.84源自160 100 65
200 150 12.4
6
240 210
7
280 280
8
320 360 102
9
360 450 204.4
10
400 550
11
440 660
25.2 50.8
409.2 816.8
我想问
根据以上分析,你认为该作出何种选择?
投资8天以下（不含8天）, 应选择第一种投资方案；投资 8~10天，应选择第二种投资方案； 投资11天（含11天）以上，应选 择第三种投资方案。
学习目标
通过一些实例,来感受一次函数、 二次函数、指数函数、对数函数以及幂函 数的广泛应用;结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模 型意义，理解它们的增长差异性．
复习引入,创设情景
我要问
在我们的生活中,有没有用到函数 的例子?
我来答
有.如:细胞分裂,汽车行驶的路程 与时间的关系,……
y 0.4 2 ( x N *) 进行描述。
3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的 想一想：
x 1
方案呢?
我来说
要对三个方案作出选择,就要对它们的增长 情况进行分析,用计算器计算出三种方案所 得回报的增长情况,列表如下：
x/天 1 2
方案一 40 40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 10 20
log 7 x 1 0.25 x x
说明按模型3奖励,奖金不超过利润的25%。 综上所述,模型 y log 7 x 1确实符合公司的要 求。
练一练
练习:P98 T1
限时4分钟
探究：你能否仿照前面例题使用的方 n 法,探索研究幂函数 y x (n 0) . x 指数函数 y a (a 1) . 对数函数 y log a x(a 1) 在区间(0,+∞)上的增长差异?
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高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1 [1]
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第二十五页，共36页。
探究 2 本金为 N 元，每期利率为 a，则 x 年后的本息和： 按单利计算为：N(1＋ax)，按复利计算为：N(1＋a)x.
第二十六页，共36页。
题型四 对数函数模型 例5 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬， 研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log21O0，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量． (1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多 少？
第三十五页，共36页。
答案 C 解析 注意本题中的几个时间点．
第三十六页，共36页。
第二十页，共36页。
探究 1 有关比率、百分率的问题，可依次考查各年、月、 日等的情况，寻找出指数与年数的规律，即可建立 y＝a(1＋p)x 型的函数，上式可作为公式(一般称为复利公式)使用，它的应用 非常广泛，可以计算货币本利、工业产值、人口数量等，视为增 长率时，p>0，表示递减或折旧率等时，p<0.
第二十四页，共36页。
解析 ①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的 本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)/
②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后 的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由①、②可见，按年利率9%每年复利一次计算的，要比年 利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．
第十四页，共36页。
思考题 2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获 得的利润依次是 P 和 Q(万元)，它们与投入资金 x(万元)的关系有 经验方程式：P＝5x，Q＝35 x.今有 3 万元资金投入经营甲、乙两 种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应 为多少？能获得的最大利润是多少？
探究 2 本金为 N 元，每期利率为 a，则 x 年后的本息和： 按单利计算为：N(1＋ax)，按复利计算为：N(1＋a)x.
第二十六页，共36页。
题型四 对数函数模型 例5 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬， 研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log21O0，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量． (1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多 少？
第三十五页，共36页。
答案 C 解析 注意本题中的几个时间点．
第三十六页，共36页。
第二十页，共36页。
探究 1 有关比率、百分率的问题，可依次考查各年、月、 日等的情况，寻找出指数与年数的规律，即可建立 y＝a(1＋p)x 型的函数，上式可作为公式(一般称为复利公式)使用，它的应用 非常广泛，可以计算货币本利、工业产值、人口数量等，视为增 长率时，p>0，表示递减或折旧率等时，p<0.
第二十四页，共36页。
解析 ①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的 本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)/
②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后 的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由①、②可见，按年利率9%每年复利一次计算的，要比年 利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．
第十四页，共36页。
思考题 2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获 得的利润依次是 P 和 Q(万元)，它们与投入资金 x(万元)的关系有 经验方程式：P＝5x，Q＝35 x.今有 3 万元资金投入经营甲、乙两 种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应 为多少？能获得的最大利润是多少？
人教版高中数学必修一3.2.1几类不同增长的函数模型ppt课件
地区的庄稼或草地都遭到了极大
损失。绝望之中，人们从巴西引
入了多发黏液瘤病，以对付迅速
繁殖的兔子。整个20世纪中期，
澳大利亚的灭兔行动从未停止过。
“指数爆炸”模型
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供 你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？
借助计算机作出三个函数的图象
三个函数的图象如下
可以看到：在区间 [10,1000]上只有 模型y=log7x+1的 图象始终在y=5的 下方
通过计算确认上述判断
对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，当x=20时， y=5 ，因此x∈(20,1000)时，y>5，因此该模型不符合要求。
三个函数的图象
我们看到，底数为2的 指数函数模型比线性 函数模型增长速度要 快得多.从中你对“指 数爆炸”的含义有什 么新的理解？
除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积 值算出来吗?
累计回报表
天数 方案
一 二 三
1
2
3
4
40
80
120
160
10
30
60
100
0.4 1.2 2.8
第三章 函数的应用
3.2.1
几类不同增长的函 数模型
生态故事：“一群兔子引发的危机”
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生
态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。
数学必修Ⅰ人教新课标A版3-2-1几类不同增长的函数模型课件(33张)
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用 对数函数模型． (3)幂函数模型 y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值越小(n≤1) 时，增长较慢；n 值较大(n>1)时，增长较快.
数学 必修1
第三章 函数的应用
数学 必修1
第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
(3)对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数 y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
数学 必修1
第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用__指__数__函__数__(_底__数__a_>_1_)__表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模 型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆 炸．
学案·新知自解
教案爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，变量 y1， y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画 出它们的图象(图略)可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2. 答案： y2
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲： y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用 ________作为函数模型．
数学 必修1
第三章 函数的应用
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第三章 函数的应用
学案·新知自解
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练案·学业达标
(3)对数函数模型 对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的 速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数 y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
数学 必修1
第三章 函数的应用
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用__指__数__函__数__(_底__数__a_>_1_)__表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模 型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆 炸．
学案·新知自解
教案爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的． 从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，变量 y1， y2，y3，y4 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画 出它们的图象(图略)可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2. 答案： y2
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲： y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用 ________作为函数模型．
新课标高中数学人教A版必修一全册课件3.2.1几类不同增长的函数模型
练习
3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和 y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B )
A. y＝logax(a＞1) C. y＝xc(c＞0)
B. y＝bx(b＞1)
D. 无法确定
第三十一页，编辑于星期日：十三点 十二分。
练习
3. 函数y＝logax(a＞1)、y＝bx(b＞1)和 y＝xc(c＞0)中增长速度最快的是( B )
3.2.1几类不同增长 的函数模型（二）
第一页，编辑于星期日：十三点 十二分。
复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤
第二页，编辑于星期日：十三点 十二分。
复习引入
归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述， 认真审题，理解实际背景. 弄清楚问题的
实际背景和意义，设法用数学语言来描述
第二十四页，编辑于星期日：十三点 十二分。
例1 同一坐标系中，函数
y＝x2＋7和y＝2x的图象 如图.试比较x2＋7与2x的
大小.
y
50
40
y＝x2＋7
30
20
10
y＝2x
O 5 10 x
第二十五页，编辑于星期日：十三点 十二分。
例2 已知函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象 如图，试比较x2与log2(x＋1)的大小.
4
B表示函数 y＝x1.4.
的图象，C表示函 数 y＝lnx 的图象.
3A
2
B
1
C
O
2
4x
第三十六页，编辑于星期日：十三点 十二分。
课堂小结
1. 幂函数、指数函数、对数函数增长 快慢的差异；
第三十七页，编辑于星期日：十三点 十二分。
新人教A版数学必修一 3.2-3.2.1函数模型及其应用《几类不同增长的函数模型》课件
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3， 曲线C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
f(9)＝512，g(9)＝729，f(10)＝1 024，g(10)＝1 000.
∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．
(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，
将点坐标代入，可得aabb＋ 2＋cc＝＝81，8， ab3＋c＝30，
解得a＝1235，b＝65，c＝－42. 则g(x)＝1325·65x－42， 故g(4)＝1325·654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x的关系．
【活学活用1】 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按 规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少 于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服 药一次治疗疾病的有效时间．
(2)由f(t)≥0.25， 解得116≤t≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝41156(小时)．
类型二 对数型的函数增长模型
【例2】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子
的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以用函数v＝5log2
Q 10
表
示，其中单位是m/s，Q表示燕子的耗氧量．
新知导学 1．三种函数模型的性质
性质
函数 y＝ax(a＞1)
y＝logax (a＞1)
必修1课件：3.2.1《几类不同增长的函数模型》课件(新人教A版必修1)
一般地， 一般地，对于指数函数 y=ax (a>1)和幂函数 和幂函数y=xn 和幂函数
-5
18
16
14
f( x) = x2
10 8
12
g ( x) = 2x
6
h(x)=lo g 2 x
4 2
(n>0)，通过探索可以发 ， 现：
O
-2
5
10
15
20
-4
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少， 上 无论 比 大多少 大多少， 在区间 尽管在x的一定范围内 的一定范围内， 会小x 尽管在 的一定范围内，ax会小 n， 但由于a 的增长快于x 的增长， 但由于 x的增长快于 n的增长，因 此总存在一个x 此总存在一个 0，当x>x0时，就会 有ax>xn.
x −1
我们看到， 我们看到，底 为2的指数函 数模型比线性 函数模型增长 速度要快得多。 速度要快得多。
y = 10x
y = 40
4
6
8
10
12
x
图112-1
从每天的回报量来看： 从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 天 方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 天 方案二最多： 天以后， 第9天以后，方案三最多； 天以后 方案三最多；
所以， 所以，当x∈ [10,1000]， ∈ ，
log 7 x +1 < 0.25 x
2010-12-28
对数函数y = log a x(a > 1), 指数函数y = a
n
x
(a > 1)与幂函数y = x (n > 0)在区间(0,+∞) 上都是增函数.
从上节课的两个例子中可以看到， 从上节课的两个例子中可以看到，这三类 函数的增长是有差异的，那么， 函数的增长是有差异的，那么，这种差异 的具体情况到底怎么样呢？ 的具体情况到底怎么样呢？
-5
18
16
14
f( x) = x2
10 8
12
g ( x) = 2x
6
h(x)=lo g 2 x
4 2
(n>0)，通过探索可以发 ， 现：
O
-2
5
10
15
20
-4
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少， 上 无论 比 大多少 大多少， 在区间 尽管在x的一定范围内 的一定范围内， 会小x 尽管在 的一定范围内，ax会小 n， 但由于a 的增长快于x 的增长， 但由于 x的增长快于 n的增长，因 此总存在一个x 此总存在一个 0，当x>x0时，就会 有ax>xn.
x −1
我们看到， 我们看到，底 为2的指数函 数模型比线性 函数模型增长 速度要快得多。 速度要快得多。
y = 10x
y = 40
4
6
8
10
12
x
图112-1
从每天的回报量来看： 从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 天 方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 天 方案二最多： 天以后， 第9天以后，方案三最多； 天以后 方案三最多；
所以， 所以，当x∈ [10,1000]， ∈ ，
log 7 x +1 < 0.25 x
2010-12-28
对数函数y = log a x(a > 1), 指数函数y = a
n
x
(a > 1)与幂函数y = x (n > 0)在区间(0,+∞) 上都是增函数.
从上节课的两个例子中可以看到， 从上节课的两个例子中可以看到，这三类 函数的增长是有差异的，那么， 函数的增长是有差异的，那么，这种差异 的具体情况到底怎么样呢？ 的具体情况到底怎么样呢？
人教版高中数学必修一_3.2.1_几类不同增长的函数模型ppt课件
解得bc＝ ＝10..45.，
则 a＝1－ b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35
比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小 要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选 指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建， 工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上 但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳 而指数函数模型恰好反映了这种趋势．
a＋b＋c＝1， 4a＋2b＋c＝1.2， 9a＋3b＋c＝1.3.
a＝－0.05， 解得b＝0.35，
c＝0.7.
所以有关系式 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实 量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开 每月下降(图象开口向下，对称轴为 x＝3.5)，不合实际．
因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 模拟比较接近 实际．
规律总结：本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观 的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图 选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大 点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数 的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．
(2)对数函数和幂函数．
∞平 lloo)gg行上aa对xx一，的 _于_样随_增对_，_着长x数尽nx_.的函_管于增数在x大ynx的＝的，增l一olog长定gax，a变x(a增因化＞长此范1得)总围和越存内幂来慢在，函越一数lo慢个gy＝a，xx0可x，图n能(当象n＞会x就＞0大像)x，于是0时在x渐n，区，渐就间但地会(由与0有
高中数学人教A版必修一第三章3.2.1 几类不同增长的函数模型 课件
.
作业
教材Ｐ107 习题3.2 1-4
课外活动:收集一些社会生活中普遍使用的递增的一 次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增 长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用。
18
感悟
实际问题万万千，数学模型来刻画. 选择 增长模型千千万，唯有指数最震撼. 爆炸 数据图形细细看，数形结合是思想. 直观 人生高峰节节攀，无限风光展未来. 拼搏
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
6
40
0
50
10
0
60
10
6.4
3.2
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10 214748364.8 107374182.4
我们看到，底
y
指数爆炸
为2的指数函 数模型比线性
函数模型增长
y3 5 30 55 80
105
130
155
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 .
2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台 计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传 播一次病毒，并感染其他 20 台未感染病毒的计算机.现有 10 台计算机被第 1 轮病毒感染，问被第 5 轮病毒感染的计算机 有多少台？
高中数学人教A版必修一课件：3.2.1 几类不同增长的函数模型
【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮 才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时) 体温的变化情况的是( )
解析:观察图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又
解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,故选D.
3.(函数模型)对于两个变量x,y2x 0 0.9 (B)y=2x (D)y=x2 1 2 2 4.1 C 3 7.9 4 16.2
则x,y间拟合效果最好的曲线方程是(
)
4.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的关系
式为
答案:y=
.
1 2 x (x>0) 2
课堂探究·素养提升
题型一 图象信息迁移问题 【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元) 与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话2分钟,需付电话费 (2)通话5分钟,需付电话费 .
元; 元;
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
【情境导学】
导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x;
(2)y=log2x,y=log3x,y=log4x; (3)y=x2,y=x3,y=x4;
(4)y=2x,y=log2x,y=x2.
想一想
指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的
(2)结合函数图象,比较f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小. 解:(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=
人教A版高中数学必修1第三章3.2.1 几类不同增长的函数模型课件
下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器， 可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 1.002x0 5 ， 由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5， 所以该模型也不符合要求；
位：y 万元）随销售利润 （单位：x 万元)的增加
而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金 不超过利润的25%，现有三个奖励模型：
y 0.25x y log 7 x 1 y 1.002 x
其中哪个模型能符合公司的要求？
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，
y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 y=0.25x
7 6 5 4 3 2
1
y=1.002x
y=5
y=log7x+1
O
200
400 600 800 1000
x
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型
y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线
y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在 y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行 奖励时才符合公司的要求.
三
0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 1638 3276
三种方案的累计回报
天数
回报/元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器， 可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 1.002x0 5 ， 由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5， 所以该模型也不符合要求；
位：y 万元）随销售利润 （单位：x 万元)的增加
而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金 不超过利润的25%，现有三个奖励模型：
y 0.25x y log 7 x 1 y 1.002 x
其中哪个模型能符合公司的要求？
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，
y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 y=0.25x
7 6 5 4 3 2
1
y=1.002x
y=5
y=log7x+1
O
200
400 600 800 1000
x
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型
y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线
y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在 y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行 奖励时才符合公司的要求.
三
0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 1638 3276
三种方案的累计回报
天数
回报/元
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13