2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-1 平面向量基本定理
基础巩固
一、选择题
1．向量的夹角θ的范围是()
A．0°≤θ<180°B．0°≤θ≤180°
C．0°<θ<180°D．0°<θ≤180°
[答案] B
2．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()
A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2－2e1D．e2和e1＋e2
[答案] B
[解析]因为B中－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，
所以为平行向量，不能作为一组基底．
3．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()
A．e1、e2一定平行
B．e1、e2的模相等
C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
[答案] D
[解析]由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C才正确．
4．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →
与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④ [答案] B
[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →
，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
5．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内
B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对
C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0
D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在
[答案] C
[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2
共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．
6．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( )
A.π6
B.56π
C.π3
D.23π
[答案] D
[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，
∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π
6，所以可推知a 与b 的夹角为2π
3.故选D.
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表示向量AM →
＝______________.
[答案] b ＋1
2a
[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋1
2a . 8．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.
[答案] －2
[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)． 又∵e 1、e 2不共线．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题
9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →.
[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，
∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.
10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →
的中点，
且DC
AB ＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →
.
[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DC
AB ＝k ， ∴DC →＝kAB →
＝k e 2，
又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 ∴BC →＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1 ＝e 1＋(k －1)e 2.
而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0
∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1
k＋1＝
2e2。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-4 平面向量共线的坐标表示
基 础 巩 固一、选择题1．下列向量与a ＝(1,3)共线的是( ) A ．(1,2) B ．(－1,3) C ．(1，－3) D ．(2,6)[答案] D2．已知向量a ＝(－3,3)，b ＝(3，x )，若a 与b 共线，则x 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．1 D ．－1 [答案] A[解析] 因为a 与b 共线，则－3x －3×3＝0，解得x ＝－3. 3．若O (0,0)，B (－1,3)，且OA →＝3OB →，则点A 的坐标为( ) A ．(3,9) B ．(－3,9) C ．(－3,3) D ．(3，－3) [答案] B[解析] 设A (x ，y )，∵OA →＝3OB →，∴(x ，y )＝3(－1,3)．∴x ＝－3，y ＝9.4．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( ) A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线 D ．a ＋b 与c 共线 [答案] C[解析] a －c ＝(4,2)与b ＝(5,7)中坐标4×7≠2×5，故不共线． b ＋c ＝(7,11)与a ＝(6,6)中坐标6×7≠11×6，故不共线．b－c＝(3,3)与a＝(6,6)中坐标3×6＝3×6，故共线．a＋b＝(11,13)与c＝(2,4)中坐标2×13≠11×4.故不共线．∴成立的只有C.5．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝() A．－5 B．5C．－1 D．1[答案] A6．若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9[答案] D二、填空题7．(2013北京东城区模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为________．[答案]1 2[解析]a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a＋λb)∥c，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝1 2.8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋u b与a＋b共线，则λ与u的关系为________．[答案]λ＝u[解析]∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋u b＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值．[解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标．[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8. 当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.。
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
∵A→B与A→D不共线，
λ－μ＝0， ∴1－μ－12λ＝0
，∴μλ＝＝2323，.
∴B→E＝μB→D＝23B→D.
∴E为BD(靠近D)的一个三等分点．
同理可证，C与AB中点的连线和BD的交点也为BD(靠近B)
的一个三等分点．
综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等 分此平行四边形的一条对角线．
B看作向量a，观察向量
→ AD
的方向、长度与a的方向、长度之
间有何关系？向量D→A的方向、长度和向量a的方向、长度之间
有何关系？
容易看出，A→D＝a＋a＋a，且|A→D|＝3|a|，A→D与a同向，所
以
→ AD
＝3a， D→A
＝(－a)＋(－a)＋(－a)，且|
→ DA
|＝3|a|，
→ DA
与a
反向，所以
规律总结：在上述证明过程中，由
→ AB
与
→ AD
不共线及(λ
－μ)
A→D ＝(1－μ－
1 2
λ)
→ AB
，知必有(λ－μ)
→ AD
＝(1－μ－
1 2
λ)
→ AB
＝
0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量
共线的条件解题的方法．
如图，O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
|AB| |AC|
所以点 P 在∠BAC 的角平分线上，
所以点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
探索延拓创新
命题方向 4 共线向量与三点共线问题
设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-1 平面向量的实际背景及基本概念
基 础 巩 固一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量 [答案] C[解析] A 中向量不能比较大小，B 中向量模相等，可能方向不同，D 中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A 、B 、D 都是错误的，C 显然正确．2．A 、B 、C 是⊙O 上三点，向量OB →、OC →、AO →是( ) A ．共线向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等向量[答案] C[解析] A 、B 、C 都在圆上，则OA →、OB →、OC →的模长是相等的，方向可不相同或相反，故只能说模相等．3．(山东潍坊模块达标)若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b .其中正确的是( ) A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤[答案] B[解析] |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 与b 不一定平行，故②不正确.a|a |是a 方向上的单位向量，不一定平行于b ，故⑤不正确．4．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( )A.OC →B.OD →C.OB →D.CO →[答案] D[解析] OA →与CO →方向相同且长度相等，则OA →＝CO →.5．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形 [答案] A[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD . 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD .∴四边形ABCD 是梯形． 6．已知a ∥b ，b ∥c ，则有( ) A ．a ∥c B ．a ＝cC ．a 与c 不共线D ．以上都有可能[答案] D[解析] 由于零向量与任意向量共线，当b ＝0时，则a 与c 均是任意向量，那么a ∥c ，a ＝c ，a 与c 不共线都有可能，故选D.二、填空题7．零向量与单位向量的关系是________(填“共线”、“相等”、“无关”)．[答案] 共线8．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是______________．[答案] |AB →|＝|DC →| 三、解答题9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)DA →，CF →，FC →.10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个；(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[分析] 非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个.。
【成才之路】高一人教A版数学必修4课件： 第2章 平面向量 2.1 [ 高考]
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第二章
2.1
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[ 解析] 图所示．
→ → → (1)向量AB、BC、CD，如
→ → (2) 由题意，易知 AB 与CD 方向相 → → 反，故AB与CD共线， → → 又|AB|＝|CD|， ∴在四边形 ABCD 中， AB CD.∴四边形 ABCD 为平行四边形．
此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，可
求得帆船的速度的大小和方向． 在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量，一类量是只 有大小而没有方向，这类量叫做数量；另一类量是既有大小又 有方向，即本章要学习的向量．
第二章 平面向量
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第二章
2.1
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[ 解析 ]
1，
(1) 作出图形如图，由已知，有 |a| ＝ |c| ＝ |e| ＝ |g| ＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2，而在正方形 ABCD 中，|AB|＝|CD| ＝|BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2. → → → → 又已知两正方形对应边平行， 所以AB＝DC＝a， BC＝AD＝ → → → → → → → → c，BA＝CD＝e，CB＝DA＝g，AC＝b，CA＝f，BD＝d，DB＝ h.
(4) 加速度
[答案] A
[解析] 两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本 身的意义作出判断， (2)(3)(4) 既有大小也有方向，是向量， (1)(5)(6)(7)(8)只有大小没有方向，不是向量．
第二章 2.1
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2014高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
基 础 巩 固一、选择题1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( ) A ．45° B ．90° C ．180° D ．不确定[答案] B2．向量OA →＝(x ，y )，(O 为原点)的终点A 位于第二象限，则有( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 [答案] C[解析] ∵OA →＝(x ，y )，∴A (x ，y )． 又点A 在第二象限，∴x <0，y >0. 3．如图所示，向量MN →的坐标是( )A ．(1,1)B ．(－1，－2)C ．(2,3)D ．(－2，－3)[答案] D[解析] 由图知，M (1,1)，N (－1，－2)， 则MN →＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．4．已知平面向量a ＝(0,1)，b ＝(－1,2)，则向量2a －13b 等于( ) A ．(－13，43) B ．(13，－43) C ．(－13，－43) D ．(13，43)[答案] D[解析] 2a －13b ＝2(0,1)－13(－1,2)＝(0,2)－(－13，23)＝(13，43)． 5．(2013·广东佛山)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴a ＋b 平行于y 轴．6．(2013·湛江模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) [答案] B[解析] AC →＝2AQ →＝2(PQ →－P A →)＝2(－3,2)＝(－6,4) BC →＝3PC →＝3(P A →＋AC →)＝3(－2,7)＝(－6,21)． 二、填空题7．若O (0,0)、A (1,2)且OA ′→＝2OA →，则A ′的坐标为______． [答案] (2,4)[解析] A ′(x ，y )，OA ′→＝(x ，y )，OA →＝(1,2)，∴(x ，y )＝2(1,2)＝(2,4)．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.[答案] (－3，－5)[解析] ∵BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．三、解答题9．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，O 为原点，求x ，y 的值．[解析] ∵a ＝OA →＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2， ∴x ＝－1，y ＝－2.10．已知点A (－1,2)，B (2,8)，及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．[解析] 设点C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)， (－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)，即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4).。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
坐标为(2k－1,7)，且 p∥A→B，则 k 的值为( )
A．－190
9 B.10
C．－1190
19 D.10
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴 人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴 地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现 刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难 道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功 ≠成功．
第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
第二章 2.4 2.4.1
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[解析] 由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为 60°，得 m·n＝12. ∵|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7. |b|＝ 2n－3m2＝ 4n2－12m·n＋9m2＝ 7. 所以 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2＝－72， 设 a、b 的夹角为 θ，得 cosθ＝－772＝－12. 所以 a、b 的夹角为 120°.
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：3-2-1 三角恒等变换
最新整理能 力 提 升一、选择题1．函数y ＝2sin2x cos2x 是( ) A ．周期为π2的奇函数 B ．周期为π2的偶函数 C ．周期为π4的奇函数 D ．周期为π4的偶函数[答案] A[解析] y ＝22sin4x ，T ＝2π4＝π2.又f (－x )＝22sin(－4x )＝－22sin4x ＝－f (x )，它是奇函数． 2．若f (tan x )＝sin2x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] f (－1)＝f [tan(－π4＋k π)]＝sin2(－π4＋k π)＝sin(－π2＋2k π)＝－1.3.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12[答案] B[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α. 4．已知钝角α满足cos α＝－13，则sin α2等于( )最新整理A.13B.23C.63D.16[答案] C[解析] ∵α为钝角，∴sin α2>0. ∴sin α2＝1－cos α2＝1＋132＝63.5．若cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12，故选C.6．(2012·全国高考山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74 D.34[答案] D[解析] 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2可得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，sin θ＝1－cos2θ2＝34，答案应选D. 另解：由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2及sin2θ＝378可得 sin θ＋cos θ＝1＋sin2θ＝1＋378＝16＋6716＝9＋67＋716＝74＋34，而当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时sin θ>cos θ，结合选项即可得sin θ＝34，cos θ＝174.答案应选D. 二、填空题7．已知tan α2＝13，则cos α＝________. [答案] 45 [解析] ∵tan α2＝±1－cos α1＋cos α，∴tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.∴1－cos α1＋cos α＝19，解得cos α＝45. 8．函数f (x )＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是________．[答案] 2π[解析] 化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)， ∴T ＝2π1＝2π.9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.[答案] 4[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－cos2x ＝sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝tan 2x －1tan 2x ＋1＝35， 解得tan 2x ＝4. 三、解答题10．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α、 β均为锐角，求cos β2的值． [解析] ∵0<α<π2，sin α＝1213， ∴cos α＝1－sin 2α＝513. 又∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π. 若0<α＋β<π2，∵1213>45，即sin α>sin(α＋β)， ∴α＋β<α不可能．∴π2<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)＝45，∴cos(α＋β)＝－35. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－35×513＋45×1213＝3365. 而0<β<π2，0<β2<π4， ∴cos β2＝1＋cos β2＝76565.11．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos(θ2＋π8)的值．[解析] m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， ∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos(θ2＋π8)<0.由已知|m ＋n |＝825，得|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ) ＝4＋4(cos θcos π4－sin θsin π4) ＝4＋4cos (θ＋π4)＝21＋cos (θ＋π4)＝221＋cos (θ＋π4)2＝－22cos(θ2＋π8)＝825， ∴cos(θ2＋π8)＝－45.12．(2013山东潍坊高一期末)已知cos(π－α)＝232， α∈(－π，0)． (Ⅰ)求sin α.最新整理(Ⅱ)求cos 2(π4－α2)＋sin(3π＋α2)·sin(32π－α2)的值．[解析] (Ⅰ)∵cos(π－α)＝－cos α＝232， ∴cos α＝－232， 又∵α∈(－π，0)， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－13.(Ⅱ)cos 2(π4－α2)＋sin(3π＋α2)·sin(3π2－α2) ＝12[1＋cos(π2－α)]＋(－sin α2)·(－cos α2) ＝12＋12sin α＋sin α2·cos α2 ＝12＋12sin α＋12sin α ＝12＋sin α ＝12＋(－13)＝16.。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
基 础 巩 固一、选择题1．(2a －b )－(2a ＋b )等于( ) A ．a －2b B ．－2b C ．0 D ．b －a[答案] B[解析] (2a －b )－(2a ＋b )＝2a －b －2a －b ＝－2b . 2．已知λ、μ∈R ，下面式子正确的是( ) A ．λa 与a 同向 B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μaD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a | [答案] C[解析] 对A ，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a 是向量而非数0；对D ，若b ＝λa ，则|b |＝|λa |.3．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB →B.13AB → C ．－13AB → D ．2AB → [答案] D[解析] BC →＝AC →－AB →＝3AB →－AB →＝2AB →.4．已知向量a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，λ∈R ，且λ≠0，若a ∥b ，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或e 1＝0[答案] D[解析] 当e 1＝0时，显然有a ∥b ； 当e 1≠0时，b ＝2e 1≠0，又a ∥b ，∴存在实数μ，使a ＝μb ，即e 1＋λe 2＝2μe 1， ∴λe 2＝(2μ－1)e 1，又λ≠0，∴e 1∥e 2.5．已知a 、b 是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为( )(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25； (3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] (1)真命题．因为2>0，所以2a 与a 的方向相同．又|2a |＝2|a |，所以命题①是真命题．(2)真命题．因为5>0，所以5a 与a 方向相同，且|5a |＝5|a |，而－2<0，所以－2a 与a 的方向相反，|－2a |＝2|a |，所以－2a 与5a 的方向相反，且模是5a 的模的25.故(2)是真命题．(3)真命题．依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断．(4)假命题．因为a －b 与b －a 是一对相反向量．所以a －b 与－(b －a )是一对相等向量，故(4)是假命题．正确命题个数为3，答案C 。
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标
3．若点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，A→B＝4e1，B→C＝
6e2，则 3e2－2e1 等于( )
→ A.AO
→ B.CO
→ C.BO
→ D.DO
[答案] C
4．e1、e2 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量
中，不能作为一组基底的是( )
A．e1 和 e1＋e2
B．e1－2e2 和 e2－2e1
若点 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00 ， λ<－1
∴λ<－47 ，∴λ<－1. 即当 λ<－1 时，点 P 在第三象限内．
解法二：O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋A→B＋λA→C ＝O→B＋λA→C＝(5,4)＋λ(5,7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)，∴P(5＋5λ，4＋7λ)， ∵点 P 在第三象限内，∴54＋ ＋57λλ<<00 ，∴λ<－1.
自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相__垂__直____的向量，叫做 平面向量的正交分解．
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
A.A→B＝O→B－O→A C.A→D＝A→B＋B→D
B.B→D＝A→D－A→B D.A→B＝A→C＋C→B
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．所谓的共线(平行)向量是指________，向量共线定理的 内容是________．