第六章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质

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二重积分及其应用于平面区域的面积计算

二重积分及其应用于平面区域的面积计算二重积分是微积分中的重要概念，它是对平面区域上一个函数的积分。

在本文中，我将详细介绍二重积分的概念、性质和应用于平面区域面积计算的方法。

一、二重积分的概念和性质二重积分用于计算平面上某个函数在一个有界区域上的积分。

假设有一个平面区域D，它可以被一个闭区间[a, b]和一个连续函数g(x)所确定，那么函数f(x, y)在D上的二重积分可以表示为：∬_D▒f(x,y)dσ = ∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒f(x,y)dydx其中dσ表示平面区域D的面积元素，f(x, y)是被积函数，g(x)和h(x)是确定区域D上y的范围的两个函数。

二重积分具有以下性质：1. 线性性：对于函数f(x, y)和g(x, y)，以及常数c，有∬_D▒(cf(x,y)+g(x,y))dσ = c∬_D▒f(x,y)dσ+∬_D▒g(x,y)dσ。

2. 切割性：如果区域D可以被切割成有限个子区域Di，那么∬_D▒f(x,y)dσ = ∑▒∬_D_i▒f(x,y)dσ，其中∬_D_i▒表示对子区域Di的二重积分。

二、应用于平面区域面积计算的方法二重积分可以应用于计算平面区域的面积。

将平面区域D分为无穷小的面积元素dσ，利用二重积分的定义可以得到平面区域D的面积S为：S = ∬_D▒dσ = ∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒dydx其中函数f(x, y)可以简化为1，因为在这种情况下，二重积分的计算只需求区域D的面积。

在实际应用中，计算平面区域的面积可以采用两种不同的方法：直角坐标系和极坐标系。

1. 直角坐标系方法在直角坐标系下，平面区域的面积计算可以通过确定区域上下边界的函数和左右边界的值来进行。

首先，通过确定左右边界的x值范围[a, b]，以及上下边界的y值范围[g(x), h(x)]，可以得到平面区域D的边界方程。

然后，应用二重积分的定义，计算∫_a^b▒∫_g(x)^h(x)▒dydx即可得到平面区域D的面积。

第六章多元函数微积分

→ → →
30
用坐标表示的向量的运算
→
设向量 a = ax , ay , az , b = bx , by , bz 则 a± b = ax ± bx , ay ± by , az ± bz
→ →Biblioteka {}→{
}
{
}
λ a = {λax , λay , λaz }
→
31
示
→ →
例
→ → → →
设向量a = {3,−5,6}, b = {2,−1,4} ，计算 a+ 2 b, 3 a− 4 b
例
14
简单的二次曲面
如果空间曲面Σ上的任一点的坐标（ x、y、z ）都满足方程
F(x、y、z) = 0 ，而满足 F(x、y、z) = 0 的（ x、y、z ）值均在
曲面Σ上，则称 F(x、y、z) = 0 为曲面Σ的方程．
若方程是二次的，所表示的曲面为二次曲面二次曲面
15
简单的二次曲面
球面
空间中与一定点的距离为定长的点的轨迹称为球面，定点称为球心，定长称为半径．
三角形法则
27
向量的几何运算
减法运算
由于a − b = a + (−b) ，将向 a 和 b 的起点移到同一点Ｏ，则以 b 的终点为起点，以 a 的终点为终点的向量是a − b
三角形法则
28
向量的几何运算
数乘向量
设a 是一个非零向量，λ 是一个非零实数，则a 与λ 的乘积仍是向量，称为数乘向量，记作λa
B( x2 , y2 , z2 ) ，
AB = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
| AB |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1)2

自考高等数学(一)第六章多元函数微积分

第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。

即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。

空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。

二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。

特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。

2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。

例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。

【答疑编号11060101】解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。

x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。

3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。

这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。

柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。

（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。

6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。

2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。

设D是开集。

如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

开区域连同它的边界一起称为闭区域。

3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。

《微积分》教材目录

《微积分》教材目录第一章函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。

高数大一最全知识点

高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。

掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。

下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。

第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。

2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。

3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。

第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。

2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。

3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。

第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。

2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。

3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。

第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。

2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。

3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。

第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。

2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。

3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。

第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。

2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。

大一高数知识点总结详细

大一高数知识点总结详细高等数学作为大一学生必修的一门重要课程，是培养学生抽象思维和数学分析能力的基础。

下面将对大一高数课程的知识点进行详细总结。

希望这个总结能够帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的内容。

一、数列与数列极限1. 数列的定义和表示2. 数列的极限概念3. 数列的收敛与发散4. 数列极限的性质与运算5. Cauchy准则6. 单调数列的极限二、函数与连续性1. 实函数和复函数的定义2. 基本初等函数的定义和性质3. 函数的极限概念4. 无穷小量与无穷大量5. 函数的连续性与间断点6. 初等函数的连续性三、导数与微分1. 函数的导数概念2. 导函数的计算方法3. 高阶导数与导数的应用4. 隐函数与参数方程的导数5. 函数的微分与微分近似四、定积分与不定积分1. 定积分的概念和性质2. 可积性与计算方法3. 定积分的应用4. 不定积分的概念和性质5. 基本积分表与换元积分法6. 不定积分的应用五、微分方程1. 微分方程的基本概念2. 高阶线性微分方程和常系数齐次线性微分方程3. 高阶常系数非齐次线性微分方程4. 变量可分离方程与一阶线性微分方程5. 微分方程的应用六、多元函数微积分1. 二元函数和二元函数极限2. 多元函数的连续性和偏导数3. 隐函数与参数方程的偏导数4. 多元函数的极值与条件极值5. 多元函数的微分与全微分七、多重积分1. 二重积分的概念和性质2. 可积性与计算方法3. 极坐标系下的二重积分4. 三重积分的概念和性质5. 球坐标系下的三重积分八、曲线与曲面积分1. 曲线积分的概念和性质2. 线段参数表示和第一类曲线积分3. 第二类曲线积分和格林公式4. 曲面积分的概念和性质5. 参数化表示和曲面积分的计算以上是大一高数课程中的主要知识点总结，希望能给同学们提供一个全面的回顾与复习参考。

在学习过程中，要注重理论与实践相结合，多进行练习和应用，才能真正掌握高等数学的思想和方法。

二重积分的概念及几何意义

被积函数的可加性
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径进行划分，将环形区域划分为若干个小扇形区域，然后对每个小扇形区域进行积分，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。

多元函数微积分复习概要

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）：（1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂，称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

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D
D 1
D 2
性质6.7.3 若为D的面积,则 1dd.
D
D
性质6.7.4（不等式性）若在D上 f(x ,y ) g (x ,y ),
则有 f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
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性质6.7.5 设 M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最大值和最小值，为 D 的面积，则
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（4）二重积分的几何意义
当 f( x ,y ) 在有界闭区域 D 上连续时 ,
f(x,y)0时， f(x,y)d表曲顶柱体体积
D
f(x,y)0时， f(x,y)d表曲顶柱体体积的负值
D
f(x,y)符号不定时， f(x,y)d表曲顶柱体体积代数和
6.7 二重积分的概念与性质
一元函数积分学
推广多元函数积分学
重积分曲线积分曲面积分
本节内容:
一、二重积分的概念
☆例6.6.1
二、二重积分的性质
☆例6.6.2 ☆例6.6.3 ☆例6.6.4
三、内容小结 ★ 作业 ★ 习题解答
问题的提出
１．曲顶柱体的体积(volume) 柱体(cylindrical body)体积
内某一点 ( , ) 的函数值 f ( , ) 为高的平顶柱体的体积.
证: 由性质5 可知,
m Df(x i,y ) n 1 D f (x ,y )d m Df(x a ,y )x
由连续函数介值定理, 至少有一点 (,)D使
f(,) 1D f(x,y)d
因此 D f(x,y)df(,)
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例 6.7.2 不作计算，估计 I e( x2 y2 )d 的值，
D
其中 D是圆闭区域： x2 y2 a2 . (0 a)
解在 D 上 0 x 2 y 2 a 2 ,
1e0ex 2 y2ea 2,
由性质 6知
e d (x2y2) ea2,
D
a2 e(x2y2)da2ea2,
zf(x,y)
=底面积× 高特点：平顶. 曲顶柱体体积=？
D
特点：曲顶(curved
vertex surface).
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4)“取极限”
定义 k的直径为 ( k ) m P 1 P 2 P 1 a , 2 P x k
M
y
若 (x,y)非常数 , 仍可用
“大化小, 常代变,近似和, 求极限”
解决.
O
i
x
1)“大化小”
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1 , 2 , , n ,
相应把薄片也分为小块 .
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2)“常代变”
在每个 k中任取一点 (k,k),则第 k 小块的质量 M k ( k ,k ) k ( k 1 , 2 , , n )

D
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例 6.7.3 估计I
d
的值，
D x2 y2 2xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区域面积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的最小值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
nLeabharlann l i0 m k1f(k,k)k平面薄片的质量:
n
Ml i0m k 1(k,k)k
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二重积分的定义
定义6.7.1设f(x,y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域 k( k 1 ,2 , ,n ),
任取一点 (k,k) k,若存在一个常数 I , 使
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
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例 6.7.4 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解三角形斜边方程 xy2
1
在 D 内有 1 x y 2 e ,
3)“近似和”
y
n
n
M Mk (k,k)k
k1
k1
4)“取极限”
令 1 m k n a ( x k)
n
Ml i0m k 1(k,k)k
O
x
(k,k) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同曲顶柱体体积:
D
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例6.7.1 利用二重积分的几何意义求
1x2 y2d 的值，其中 D 是区域 x2 y2 1
D
解由二重积分的几何意义有：由于被积函数
z 1x2y2 0 所以
1x2 y2d在数值上等于以曲面 z 1x2 y2
D
为顶，以 D为底的曲顶柱体的体积，它实际上是一个半径为1的上半球体的体积，所以
n
D
f
(x,
y)d
lim
0i1
f(i
,i)i
(d dxdy)
2.二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）
3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
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§6.7 部分习题答案 1.
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3.
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3.
（3）
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积.
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二、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质6.7.１设、为常数，则
[f(x,y)g(x,y)]d
D
f(x ,y )d g (x ,y )d .
D
D
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性质6.7.2（对积分区域具有可加性）(D D 1D 2)
f(x ,y ) d f(x ,y ) d f(x ,y ) d .
m f(x,y)dM
D
（二重积分估值不等式）
性质6.7.6 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续, 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f(x,y)df(,)
D
（二重积分中值定理）
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二重积分中值定理的几何意义：在闭区域 D上以曲面
f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积总可以等于以区域 D
D 1x2y2d1 2V 球 1 24 32 3
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（补充）二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 f (x,y)在有界闭区域 D上连续, 则 f (x,y)在D上可积.
定理2. 若有界函数 f (x,y)在有界闭区域 D 上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 则f(x,y)在D上可
D
式及 (xi,点 yi)的取法 ; 无关
(2) 二重积分f(x,y)d是一个数值 ,只与积分区
D
域D和被积函数有关 ,而与积分变量用字母表示无关 ,
即
f(x,y)d f(u ,v)d
D
D
（3）面积元素 ddxdy
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在直角坐标系下用平行
于坐标轴的直线网来划分区 y
域D，这时 k xk yk,
则面积元素(areal element) 为
O
ddxdy
D
x
故二重积分可写为
f(x,y)d f(x,y)d xd y
D
D
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引例1中曲顶柱体体积:
VDf(x,y)dD f(x,y)dxdy
引例2中平面薄板的质量:
MD (x,y)dD (x,y)dxdy
D
故 ln x ( y ) 1 ,
o 12x
于是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2d .
D
D
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作业
P236 3.（1）（3） 4.（2） 5.
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内容小结
1. 二重积分的定义
n
Il i0m k1f(k,k)k 记作 Df(x,y)d
则称 f(x,y)可积 , 称 I为 f(x,y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
Df(x,y)d x, y称为积分变量
积分域
被积函数面积元素
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对定义的几点说明：
(1) 二重积 f(x,分 y)d与积分 D的区分域割
令 m a ( x k) 1 k n
zf(x,y)
n
Vl i0 m k1f(k,k)k
f(k,k)
(k ,k ) k
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引例6.7.2 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 其面密
度为 (x,y) C,计算该薄片的质量 M .
若 (x,y)(常)数 ,设D 的面积为 , 则