第3章32 频率周期测量和频谱分析
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《虚拟仪器设计》
图3-41 Spectral Measurements ．vi参数设置对话框 第17页
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参数设置
（1）根据频域分析目的选择不同的谱分析种类(Spectral Measurement)。
（2）幅度结果的表示Result：线性还是分贝值。
（3）窗函数Window的类型：窗函数选取原则应力求其 频谱的主瓣宽度窄、旁瓣幅度小。
输入
fs
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3.6.1 离散傅里叶变换
1. DFT和FFT基本概念
在计算机中处理的信号是采样后的离散有限长时间序 列x(n)，时域与频域转换使用的算法是离散傅里叶变换 （DFT）和反变换（IDFT），对应的离散频谱为X(K)， 计算公式如下：
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X ( K ) R( K ) j I ( K ) 幅度谱：（ A K ) X (K ) R2 (K ) I 2 (K ) I (K ) 相位谱： ( K ) arctan R( K )
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3.6.2 在LabVIEW中的频谱分析VI
在LabVIEW中实现频谱分析计算的3个层次的VI分别为 Express Ⅵ中的Spectral Measurements. vi。
波形VI中的FFT Spectrum (Mag-Phase). vi和FFT Spectrum (Real-Im). vi。 基本函数VI的Amplitude and Phase Spectrum. Vi。
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高斯白噪声
“高斯白噪声”VI生成一个高斯分布的伪随机波形，使 用的算法是基于中心极限定理的经修正的超长周期(VeryLong-Cycle)随机数发生器算法。伪随机数发生器使用三 种子线性同余算法。如有概率密度函数f(x)，高斯分布的 高斯噪声信号为
伪随机序列的期望均值µ = E{x} = 0 期望标准偏差 s = [E{x – µ }2]1/2 伪随机序列产生约290个采样后才会出现重复。
减小量化误差，提高量化精度的方法：
选用量化位数多的模数转换集成芯片； 在信号进行模数转换之前先经过程控放大器进行放大，这样小 电压经过放大后再进行模数转换，量化误差的值相对原始信号 值就小了。
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（2）混叠误差
如果模拟信号x(t)的频谱是一限带信号，其信号中最高 频率为 ，对时域作采样时的采样频率 如果小于所处 理信号中的最高频率的两倍，就会产生频谱混叠。
c)单通道实部虚部频谱计算
d)多通道实部虚部频谱计算
图3-44 波形VI中频谱分析 VI的端口图 第21页
3.8 虚拟仪器中其他常用 数据处理技术
3.8.1 概率和统计函数
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LabVIEW也提供了大量的概率与统计函数。位置： Functions Palette的Mathematics → Probability&Statistics 面板下，如图3-54所示。
图3-58线性代数函数面板
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图3-59 求解线性方程
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精品课件！
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精品课件！
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上机练习 信号频谱分析
1、设计1个简易数字式频谱分析仪分析仿真信号 正弦、方波、三角波、锯齿波等波形的频谱。 （使用LabVIEW提供的频谱分析函数。）
•时域采样，A/D量化，FFT计算。——数字式
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非周期信号的频谱
非周期信号的付氏变换
频谱
F ( j ) f (t )e jt dt
1 其反变换或逆变换为： f (t ) 2
F ( j )e jt d
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FFT分析仪原理
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（4）栅栏效应
在进行FFT的过程中，最后需对信号的频谱进行采样。 经过采样所显示出来的频谱仅在各采样点上，而不在此 类点上的频谱都显示不出来，即使在其他点上有重要的 峰值也会被忽略，这就是栅栏效应。这一效应对于周期 信号尤为严重，因为周期信号频谱是离散的。
栅栏效应解决措施
其中波形VI中的频谱分析Ⅵ还特别给出了FFT Spectrum (Real-Im). VI以计算信号的实部频谱和虚部频谱。
第15页
《虚拟仪器设计》
1. Express Ⅵ中的频谱测量VI Express Ⅵ中的Spectral Measurements.vi可以对 单个信号进行频谱分析和功率谱分析(包含功率密 度谱分析)。其到达途径为Functions → Signal Analysis。 由于Spectral Measurements.vi是一个比较综合的 Vl，其需要设置的参数基本上囊括了后面将要讲 到的频谱分析和功率谱分析VI中的所有参数.
2、被测信号叠加噪声后，再进行测量和分析误 差。
3、（选作）对均匀噪声进行统计分析，求均值、 标准偏差、中值，显示噪声波形和柱状图。
第36页
——―整周期截取”。而对于非周期信号，如果希望减 小栅栏效应的影响，尽可能多地观察到谱线，则需要提 高频谱的分辨率。频谱的分辨率等于处理信号的时间长 度的倒数，即△f=1/T= fs/N。
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以上4种误差比较，
量化误差是无论如何都无法完全避免的，只能尽量减小；
混叠误差在选取合适的采样频率及预先进行抗混滤波后是完全 可以避免的；
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2．FFT存在的误差及其解决办法
用DFT进行测试信号频域特性分析存在主要误差 有量化误差、混叠、泄漏和栅栏效应等，误差产 生原因：
量化误差 混叠误差 泄漏或截断误差
栅栏效应
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（1）量化误差
模拟信号幅值是连续变化的，而数字信号的幅值是跳 跃式的，模拟信号在数字化过程中采样点的幅值若落在 两相邻量化值之间，就要舍入到相近的一个量化值上， 这样就造成了量化误差。 量化误差的最大值为数字编码最后位所代表值的1/2。
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3.8.2 曲线拟合
曲线拟合可以从大量的离散数据中抽象出各个物理量之间 的内部规律。LabVIEW包含了大量的曲线拟合函数，其中 不仅包括二维曲线拟合，还包括三维曲面拟合。
曲线拟合函数面板位于Functions Palette的Mathematics→ Curve Fitting面板下。如图3-56所示。
图3-43 a) FFT分析．vi的前面板
第19页
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图3-43 b) FFT分析．vi的后面板
• 选择的信号为三角波，频率为1kHz，采样频率为 40kHz，采样点数为40点，正好1个周期，计算出的 频谱频率范围为0～20kHz，频率间隔为1kHz （40kHz/40点），频谱表示了从1kHz～20KHz的基 第20页 波分量和高次谐波分量。
《虚拟仪器设计》
时域电信号都是由一个或多个不同频率、不同幅 度和不同相位的正弦波组成。
信号的频谱
频谱就是表示信号所包含的正弦分量幅度和相位 随频率的变化关系。
Amplitude Amplitude
f3
Frequency
f0 = f1 + f2 + f3
f2
Ampliuency
f3 f2 f1
Time
Time
第1页
《虚拟仪器设计》
例：方波信号
f (t ) 4A 1 1 1 (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
第2页
《虚拟仪器设计》
怎样测量频谱？
用适当的滤波器，可以把波形分解成若干正 弦波；——模拟式
减小混叠误差：
第10页
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（3）泄漏或截断误差
计算机可处理的长度总是有限的，而信号的长度可以 是无限长的，这样在处理信号时必然就进行了长度上的截 断，截断方法是：将无限长的信号乘以窗函数(Window function)。 信号被截断以后，其频谱等于原信号的频谱和窗函数 频谱的卷积，其频谱会发生畸变，原来集中的能量会被分 散到一个比较宽的频带中去，这种现象称之为泄漏。 • 减小泄漏或截断误差
FFT分析仪原理及组成 输入信号首先经过可变衰减器以提供不同的幅度测量范 围，然后经低通滤波器除去仪器频率范围之外的高频分量。 接下来对信号进行时域波形的采样和量化，转变为数字信息。 最后由微处理器利用FFT计算波形的频谱，并将结果显示出 来。
衰减器 低通 滤波 取样电路 ADC 数字信号 处理器 FFT 显示器
第24页
《虚拟仪器设计》
例：对高斯噪声进行统计分析
第25页 a）前面板
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b）后面板
• 首先通过Gaussian White Noise. vi产生一个2000点的满 足高斯分布的随机数序列，然后通过Create Histogram 和Statistic两个Express VI对该随机序列进行分析。
泄漏和栅栏效应 对于周期信号而言，如果进行了整周期截取是可以完全避免 的； 对非周期信号而言，这两种误差无法完全避免而只能尽量减 小。
第13页
《虚拟仪器设计》
3.FFT处理步骤
可用较小的采样间隔△及较大的采样长度N先试采样并做出FFT， 按做出的FFT再修正△及N。若长度不够采N点数据，可在后加零补 足N点。
第27 页3-56曲线拟合的函数面板 图
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实验三-周期信号的频谱分析-实验报告
信号与系统实验报告实验三周期信号的频谱分析学院专业班级学号指导教师实验报告评分：_______实验三 周期信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。
二、实验容实验前，必须首先阅读本实验原理，读懂所给出的全部例程序。
实验开始时，先在计算机上运行这些例程序，观察所得到的信号的波形图。
并结合例程序应该完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。
实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。
Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n nωπ其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。
抄写程序Q3_1如下： clear,%Clear all variablesclose all,%Close all figure windowsdt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t);N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N;x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; endsubplot(221)plot(t,x1)%Plot x1axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(w0.*t)')subplot(222)plot(t,x2)%Plot x2axis([-2 4 -2 2]);grid on,title('signal cos(3*w0.*t))')subplot(223)plot(t,x3)%Plot x3axis([-2 4 -2 2])grid on,title('signal cos(5*w0.*t))')执行程序Q3_1所得到的图形如下：Q3-2给程序Program3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
信号与系统第三章PPT课件
③ 在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点， 且在间断点上的函数值为有限值。
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
信号与系统 第3章-3
解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁 复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有
第3章 连续信号与系统的频域分析
f 2 (t ) = f (t ) = f " (t )
ω ）为各频率点
上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部
W = ∫ G (ω )dω
0
∞
式中
G (ω ) =
1
π
F ( jω )
2
第3章 连续信号与系统的频域分析 表 3.2 傅里叶变换的性质
第3章 连续信号与系统的频域分析
3.6 周期信号的傅里叶变换
设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分 析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即
f ( −t ) ↔ F ( − jω )
也称为时间倒置定理 倒置定理。 倒置定理
第3章 连续信号与系统的频域分析
若已知f(t) ↔ F(jω )，求f(at - b)的傅立叶变换。
此题可用不同的方法来求解。 解 此题可用不同的方法来求解。
第3章 连续信号与系统的频域分析
(2) 先利用尺度变换性质，有 先利用尺度变换性质，
第3章 连续信号与系统的频域分析 2. 时移性 时移性 若f(t) ←→ F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f ( t − t0 ) ↔ F ( jω ) e
此性质可证明如下
− jω t 0
F [ f (t − t 0 )] = ∫− ∞ f (t − t 0 )e 令τ = t − t 0
信号与系统周期信号的傅立叶级数展开
满足一定条件的周期函数 f ( t ) 可用三角函数集表示为
狄里 赫利
f(t)a 0 a nco sn0 tb nsinn0 t
n 1
0
2 T
条件
a0
1 T
t1T t1
f(t)dt
a n , bn
称为傅立叶系
数
an
t0 T t0
f (t) cos n0tdt
t0 T t0
cos2
n0tdt
信P87号图与4系-2-2统f( t) 4 [ s in0 t 1 3 s in 3 0 t 1 5 s in 5 0 t L 1 n s in n 0 t L ]
f1
(t)
4
sin
0tfLeabharlann 2(t)4
(sin 0t
1 3
sin
30t)
2
0
2 t
2
0
2 t
(a)
f
3
(t)
4
(sin
周期信号
周期信号的特点：
（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间
范围为(, )
（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 f 0 ( t )，则周期信号 f ( t )
可以写成
f (t) f0(t nT) n
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有
aT
bT
T
f(t)dt f(t)dtf(t)dt
f(t)A0Ancon s0tn
n1
两种形式之间系数有如下关系:
A0 a0
An an2 bn2
n 1, 2, L
或
n
arctg
信号与系统王明泉第三章习题解答
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
第三、四章连续时间信号与系统的频域分析内容总结
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
5)
1ห้องสมุดไป่ตู้
j
3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
8 页
例15、试求信号f(t)=cos(4t+ )的频谱 。 3
解：
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
9 页
例16、一因果LTI系统的输入和输出，由下列微分方程表示：（采用傅里叶变
换计算）。 （1）求系统的单位冲激响应 h( t ) ；
d 2 y( t ) dy( t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析内容总结
2 页
第四章是傅里叶变换在LTI系统分析中的应用。 在第三章信号频域分解、分析基础上，研究不同激励信号 通过系统的响应、信号通过系统无失真条件、理想低通滤波器 模型以及物理可实现条件、希尔伯特变换、抽样定理等主要内 容。
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连续时间信号与系统的频域分析总结
3) (j
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1ห้องสมุดไป่ตู้
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3
1
j 5
2
j
4
y z s(t ) e 3t (t ) e 5t (t ) 2e 4t (t )
X
第
连续时间信号与系统的频域分析总结
10 页
例17、如图所示系统，其乘法器的两个输入端分别为：f (t) sin(2t) , s(t) cos(6t)
系统的频率响应为
8
15y( t ) 2 f ( t )
dt 2
dt
（2）若 f ( t ) e4t( t ) ，求该系统的零状态响应 yzs (t) 。
解： （1）
H ( j)
2
11
j2 8 j 15 j 3 j 5
h(t) e 3t(t) e 5t(t)
（2）
第3章 频谱分析
1 n 1
jn1t
n 1
F jn e
1
jn1t
式(3-9)又可写为
f t
F jn e
1
jn1t
F e
n
jn1t
(3-10)
第 3章
连续时间系统的频域分析
式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式, 其中F(jnω1)为傅立叶系数, 简写为Fn, 又称为频谱函数。 由于 Fn为复数, 所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。 傅立叶系数Fn为
(n=0, 1, 2, 3, …) 4 T /2 bn f t sin n1tdt T 0
an 0
第 3章
连续时间系统的频域分析
(3) 奇谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周 期后与原波形相对于时间轴镜像对称, 即满足
T f t f t 2
bn 0
故
1 2 sinn π/ 4 f t a0 an cos n1t cos n1t 2 n π n 1 n 1
因此
1 a0 2
an
2 sinn π/ 4 nπ
第 3章
连续时间系统的频域分析
即 a0=0.5 a1=0.45 a2≈0.32 a3=0.15
1807年, 傅立叶以他惊人的洞察力大胆断言: 任何周期函数都
可以用收敛的正弦级数表示。 他的关于把信号分解为正弦分 量的思想对后来的自然科学等领域产生了巨大的影响。
周期信号是定义在(－∞, ∞)区间内, 每隔一定时间T按相
同规律重复变化的信号。 图3-1所示是实际的周期性非正弦信号, 它们一般表示为
jn1t
n 1
F jn e
1
jn1t
式(3-9)又可写为
f t
F jn e
1
jn1t
F e
n
jn1t
(3-10)
第 3章
连续时间系统的频域分析
式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式, 其中F(jnω1)为傅立叶系数, 简写为Fn, 又称为频谱函数。 由于 Fn为复数, 所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。 傅立叶系数Fn为
(n=0, 1, 2, 3, …) 4 T /2 bn f t sin n1tdt T 0
an 0
第 3章
连续时间系统的频域分析
(3) 奇谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周 期后与原波形相对于时间轴镜像对称, 即满足
T f t f t 2
bn 0
故
1 2 sinn π/ 4 f t a0 an cos n1t cos n1t 2 n π n 1 n 1
因此
1 a0 2
an
2 sinn π/ 4 nπ
第 3章
连续时间系统的频域分析
即 a0=0.5 a1=0.45 a2≈0.32 a3=0.15
1807年, 傅立叶以他惊人的洞察力大胆断言: 任何周期函数都
可以用收敛的正弦级数表示。 他的关于把信号分解为正弦分 量的思想对后来的自然科学等领域产生了巨大的影响。
周期信号是定义在(－∞, ∞)区间内, 每隔一定时间T按相
同规律重复变化的信号。 图3-1所示是实际的周期性非正弦信号, 它们一般表示为
第18讲 系统的频域分析法
5.线性系统无失真传输条件
无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只 是幅度大小与出现时间先后不同，而无波形上 的变化。
5.线性系统无失真传输条件
如果输入信号为
f (t ) 无失真传输系统的输出信号应为
y(t ) Kf (t t0 )
对上式进行傅里叶变换，并根据时移特性，得到
Y ( j) KF ( j)e jt0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
3.3周期信号的频谱
A3 = 0.4
ϕ1 = 10° ϕ 2 = 20° ϕ3 = 45°
ϕ 6 = 30°
A6 = 0.8
其余
& An = 0
3.3 周期信号的频谱
双边 频谱
1 | Fn |= An 2
Fn = F−n
ϕn = −ϕ−n
3.3 周期信号的频谱 3.3.2 周期信号频谱的特点
例： 周期矩形脉冲信号 f(t) E
2π
τ
这段频率范围称为矩形脉冲信号
Bω =
Bf =
2π
1
τ
(rad / s)
τ
( Hz )
信号的频带宽度与信号的持续时间成反比！ 信号的频带宽度与信号的持续时间成反比！
3.3 周期信号的频谱 3.3.2 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，平均功率有界， 周期信号的能量是无限的，平均功率有界，
属于功率信号。 属于功率信号。
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。 的振幅谱和相位谱。 为周期信号， 解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的 为周期信号 傅里叶级数展开式。 傅里叶级数展开式。据
f (t ) = A0 + ∑ An cos(nΩt + ϕ n )
n =1
∞
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期 可知，其基波频率 ，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 ， 、 、 π分别为二、 三、六次谐波频率。 分别为二、 六次谐波频率。 分别为二
τ
－τ 2 o τ 2
T
t (a)
o Ω
4π
τ
ω
f(t) E E 10 o τ T t (b)
Fn
o Ω
ϕ1 = 10° ϕ 2 = 20° ϕ3 = 45°
ϕ 6 = 30°
A6 = 0.8
其余
& An = 0
3.3 周期信号的频谱
双边 频谱
1 | Fn |= An 2
Fn = F−n
ϕn = −ϕ−n
3.3 周期信号的频谱 3.3.2 周期信号频谱的特点
例： 周期矩形脉冲信号 f(t) E
2π
τ
这段频率范围称为矩形脉冲信号
Bω =
Bf =
2π
1
τ
(rad / s)
τ
( Hz )
信号的频带宽度与信号的持续时间成反比！ 信号的频带宽度与信号的持续时间成反比！
3.3 周期信号的频谱 3.3.2 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，平均功率有界， 周期信号的能量是无限的，平均功率有界，
属于功率信号。 属于功率信号。
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。 的振幅谱和相位谱。 为周期信号， 解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的 为周期信号 傅里叶级数展开式。 傅里叶级数展开式。据
f (t ) = A0 + ∑ An cos(nΩt + ϕ n )
n =1
∞
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期 可知，其基波频率 ，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 ， 、 、 π分别为二、 三、六次谐波频率。 分别为二、 六次谐波频率。 分别为二
τ
－τ 2 o τ 2
T
t (a)
o Ω
4π
τ
ω
f(t) E E 10 o τ T t (b)
Fn
o Ω