分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix11 ⎪1 引 言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：⎛A 11A ⎫ 1n ⎪A m ⨯n = ⎪A m 1 A m n特别地，对于单位矩阵分块：⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.ij依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2.1 矩阵的相关概念2 分块矩阵在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵 的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.a 11 定义 2.1.1[2]n 级行列式a 21a 12 a 22 a 1n a 2n等于所有取自不同行不同列的a n 1 a n 2a nn 个元素的乘积a 1j a 2ja n j的代数和，这一定义又可写成:12na 11 a 21 a 12a 22a 1na 2n =(-1) (j 1j 2 j n )a aa .a n 1 a n 2a n∑j 1j 2 j n1j 1 2j 2n j n[2]定义 2.1.2向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所O I ⎪ ⎪ ⎪1谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得A B = A -1 .BA = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为 A 的逆矩阵，记为定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫对 阶单位矩阵作 分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后⎝ n ⎭对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m为非零阵.2.2 矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质： 定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，ij snij sn则矩阵C = (c i j )= (a i j+ b i j )称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O,对于矩阵 A 、 B ，有:(1) A + O = A(2) A + ( -A ) = 0(3) A - B = A + ( -B )(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )snsnn11 (5)A + B = 定义 2.2.2 [4] B + A矩阵乘法：设A = (a ) ，B = (b ) 是两个不同型矩阵，i k s nk j n m那么矩阵C = A B =(c i j )，称为矩阵 A 与 B 的乘积，其中：smc i j = a i 1b 1j + a i 2b 2j+ a i n b n j= ∑a i k b k jk =1在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质：(1) A ( B + C ) = A B + A C(2) ( B + C )A = B A + C A(3) (A B )D =A (B D )⎛k a 11 k a 1k a 1 ⎫定义 2.2.3 [4] 矩阵数乘： k a 21k ak a 2n ⎪ ⎪A = (a ) 与 数 22 ⎪称为矩阵 ⎪⎪ ij sn k a k a k a ⎝ s 1 s 2 s n ⎭k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1 * A = A ；(2) k(l A ) = (k l )A ;(3) k ( A + B )= kA + kB ;(4) (k + l )A = kA +lA ; (5) k (A + B ) = kA +kB .2.3 分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设 A 、 B 是m ⨯ n 矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：⎛A 11 + B A 1t + B 1t ⎫ ⎪ 加法：A + B = ⎪ . ⎪ A + B A + B ⎪ ⎝ s 1 s 1 st st ⎭乘法：C = A B , 其中：∑ ⎪ 1 C i j = A i 1B 1j + A i 2B 2j+ + A i n B n j⎛k A 11k A 1 ⎫⎪ n= A i k B k j .k =1数乘：k A =⎪ .⎪ k Ak A⎝s 1 s t ⎭总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质：定义 2.3.1 [2] 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵 E 的i 行与 j 行的位置; (2) 用数域 P 中的非零数c 乘 E 的i 行; (3) 把矩阵 E 的 j 行的k 倍加到i 行.定义 2.3.2 [5] 将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵⎛ A B ⎫进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对⎝C D ⎭ 应分块矩阵： ⎛ O E m ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎪⎪⎛C D ⎫ ⎪ ⎝E n O ⎭ ⎝C D ⎭⎝ A B ⎭ ⎛P O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛P A = P B ⎫ O E ⎪C D ⎪ ⎪⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ C D ⎭ ⎛E m O ⎫ ⎛ A B ⎫ ⎛ = A B⎫P E ⎪C D ⎪ ⎪C + P AD + P B⎝ n ⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭2.4 矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法[6] ：(1) 列向量分法，即A =(1,⎛ ⎫ ⎪, n )，其中j 为 A 的列向量.(2) 行向量分法，即A = ⎪ ，其中j 为 A 的行向量.⎪ ⎝ m ⎭=1⎪ (3)分两块，即A = (A 1, A 2 ),其中A 1 ,A 2 分别为A 的各若干列作成.或 A = ⎛B ⎫ ，其中B ，B 分别为 A 的若干行作成. B ⎪1 2 ⎝ 2 ⎭⎛C 1 C 2 ⎫(4) 分四块，即A =C C ⎪ .⎝ 3 4 ⎭我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5 常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下： （1） 单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0 的n 阶方阵. （2） 对角矩阵：对角线之外的元素都为0 的n 阶方阵. （3） 三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0 的n 阶方阵. （4） 对称矩阵：满足矩阵 A 的转置和 A 相等. （5） 若尔丹（Jordan ）块：形如⎛ 0 1 0 0 ⎫ 0 ⎪J ( ,t ) ⎪= ⎪0 0 ⎪ 0 0 0 1 ⎝ ⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：⎛A 1 ⎫⎪ A 2⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎝n ⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3.1 行列式计算的应用3 分块矩阵及其应用定理 3.1.1 [2] 拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式 D 中任意取定了k 个 行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式a ⎪ a 按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例 3.1.1 [7] ：（爪形行列式）计算行列式：a 01 1 1 1 a 10 0 1 0 a 2 0 ,其中a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) .1 0 0 a n解:设Q =A D ,其中A = (a )C B a 1 B =，C = ( 1, 1, , 1)T ，D = ( 1, 1, , 1) .a n因为a i ≠ 0(i = 1, 2, , n ) ，所以 B 是可逆矩阵.-1⎛n 1 ⎫又易知: A - D B C = a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭根据分块矩阵乘法： ⎛ E0 ⎫ ⎛ A D ⎫ --1 ⎪ ⎪= ⎛A D ⎫-1 ⎝ C A E ⎭ ⎝C B ⎭ ⎝ 0 B - C A D ⎭A D -1 -1 ⎛ n 1 ⎫则：= AB - C A D =B A - D BC = a a a a-∑ a ⎪C B⎛n 1 ⎫ 12n 0⎝i =1 i ⎭故：原行列式=a 1a 2 a n a 0 - ∑ ⎪ . ⎝ i =1 i ⎭例 3.1.2 [7] ：(对角行列式)计算行列式：adH 2n= a d.c bcb解：令⎪ a x A =⎛a ⎫⎪ ，B = ⎛b ⎫⎪ ，C = ⎛ c ⎫ ⎛ ，D = d ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ b ⎪ c ⎪ d ⎪ ⎝ ⎭ 为n 阶方阵. 由于a ≠ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0,故 A 为可逆方阵.⎛ b - c a -1d⎫⎪ 又易知：B - C A -1D =⎝ b - c a -1d ⎪ b - -1 ⎪ ca d ⎭故 H 2n= A D = C BAB - C A -1D = a n (b - c a -1d )n= (a b - c d )n .例 3.1.3 [8] ：设 A 、 B 、C 、 D 都是n 阶矩阵，证明当 AC = CA 时， A 可逆时，有A D= A B - C DC B⎛ A D ⎫ ⎛E -A 1D-⎛ A 0 ⎪ ⎫,证明：若 A 可逆，⎪ ⎪ =-1 ⎝C B ⎭ ⎝OE ⎭ ⎝C B - C A D ⎭A D故：=C BAB - C A -1D = A B - A C A-1D = A B - C D .注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a d c b= a b - c d ，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2 线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1） 标准型：⎧a 11x 1 + a 12x 2+ + ax = b ⎪ 1nn 1⎨ax + ax + + a x = b ; ⎪a 21 x 1+ 22 2 + + 2n n a x = b ⎩ m1 1 m2 2 m n n m （2） 矩阵型：令A = ⎣a i j ⎦m ⨯n，x = (x 1, x 2, , x n )' ，B = (b 1, b 2, b m )' 方程组可以表述为： Ax = B ;（3） 列向量型：令2⎢a ⎥ ⎝O O⎪ ⎪ ⎪ ⎡a 11 ⎤ ⎢21 ⎥⎡a 12 ⎤⎥ 22 ⎡a 1n ⎤ ⎢ ⎥ = ， 1 ⎢ ⎥ 2 = ， ， ⎢ ⎥= ⎢a 2n ⎥ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m 1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣a m n ⎦则方程组又可以表述为：x 11 + x22+ + x nn = B ;（4）行向量型： x ' + x ' + + x' = B ' .1 12 2n n可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例 3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：⎧ x 1 + 2x 2 2x ⎪ + x + 2x 3 - 2x + x 4 = 0 - 2x = 0 ⎨ 1 x -2x - 4x 3 - 3x 4=0 ⎩ 1 2 3 4 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：⎛1 0 -25 ⎫ - 3⎪ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫ ⎛ 1 2 2 1 ⎪⎫4 ⎪ ⎛E C ⎫ A = 2 1 -2 -2 0 -3 -6 -4 0 1 2 ⎪ = 2 ⎪ ⎪1 -1 -4 -3⎪ 0 -3 -6 -4⎪ 3 ⎪ 12 ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 0 0 0 0 ⎪⎪ ⎝ ⎭R ( A ) = 2，基础解系含4 - 2 = 2 个.而方程又满足：相应的可以取：⎛E 2 C ⎫ ⎛1 ⎫ = ⎛ 0⎫⎪ ,⎝O 1 O 2 ⎭ ⎝2 ⎭⎝ 0⎭⎛ 5 ⎫ 2 3 ⎪ ⎛ -C ⎫⎪⎝ E 2 ⎭⎪ = -2 4 ⎪3 ⎪1 0 ⎪ ⎝ 0 1 ⎭-⎪ 0 3 ⎪⎭⎛ 2 ⎫ ⎛ 5 ⎫3 ⎪有通解： = k + k，其中= -2⎪1， =- ⎪ 4 ⎪ . 1 12 21 ⎪2 ⎪ ⎪ ⎝ 0 ⎭⎪ 1 ⎪ ⎝ ⎭例 3.2.2 [9] ：（非齐次线性方程组）求解方程组：⎧⎪ x 1 + 2x 2- 3x 4 + 2x 5 = 1 x - x - 3x + x - 3x = 2 ⎪ ⎨ 1 2 3 4 52x - 3x + 4x - 5x + 2x = 7 ⎪ 9x ⎩ 1= 25 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：r ( A ) = 3，而r ( A ) = 4 , 故r ( A ) ≠ r ( A) . 从而方程组无解. ⎛ Λ45 -b ⎫事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵 ⎝ E变换，都不能把最后一列变成0 ,所以该方程组无解.例 3.2.3：证明： n 阶方阵 A 的秩为n- 1，则r a n k ( A* )=1首先证明此例需要利用的一个引理： 4进行行列0 引理：A = (a i j )n ⨯n ，B = (b i j )n ⨯n ，r( A ) = r ，A B =0 ，则r ( B ) ≤ n - r证明：对矩阵 B 进行列向量的分块，B = (B 1, B 2, B n ) ,A B = 0 则有：A B i= 0 ，B i 是AX = 0 的解. 而A X =0 基础解系有n - r 个解.故：r ( B ) ≤ n - r 再证明本例： 因为r ( A )= n - 1，则 A = 0 ，A 至少有一个n -1级子式不为零,r a n k ( A* ) ≥ 1.而：A * =AE = 0 .利用引理得：r a n k ( A * ) ≤ 1，故r a n k ( A )=*.51 - 9 x +2 6x - 163 x4 + 2x 52 3 4 5⎝⎪ 1 2= ⎪ ⎪ 得证.3.3 求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、 利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例 3.3.1 [6] ：设 A 、 B 是n 阶方阵，若 A + B 与 A - B 可逆，试证明： ⎛ A B ⎫可逆，并求其逆矩阵. B A ⎭ ⎪ 解：令D = ⎛ A B ⎫，由假设知 A + B ≠ 0 , A - B ≠ 0B A ⎪ .那么：D =A B⎝ ⎭A +B B =A + BB= A + B A - B ≠ 0 .B AB + A AA - B即 D 可逆. 再令D -1 ⎛D 1= D 2⎫ , 由D -1 = E ，即：可得：D D ⎝ 3 4 ⎭⎛ A B ⎫ ⎛D D ⎫ ⎛E 0 ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎝B A ⎭ ⎝D 3D 4 ⎭ ⎝ 0E ⎭⎪⎧A D 1 + B D 3 = E B D + A D = 0⎪12⎨A D +B D = 0 B D 2 + A D 4 = E ⎩ 2 4将第一行和第二行相加、相减，得：⎪D + D = ( A + B )-1 ⎨1 3⎩D 1 - D 3= ( A - B )-1 解之得：D = 1 ⎡( A + B )-1 + ( A - B )-1 ,D = 1⎡( A + B )-1 - ( A - B )-11 2 ⎣⎦ 2 2 ⎣⎦类似地：D 2所以： = D 3 ,D 4= D 1 .⎛ A B ⎫-11 ⎛( A + B )-1 + ( A - B )-1 ( A + B )-1 - ( A - B )-1 ⎫⎪ = 2 -1 -1 -1-1 ⎪ . ⎝B A ⎭ ⎝( A + B ) - ( A - B )( A + B ) + ( A - B ) ⎭ =⎝⎭ ⎝ - ⎪⎪ ⎪0 例 3.3.2 [6] ：已知分块形矩阵M = ⎛ A B ⎫可逆，其中 B 为p ⨯ p 块， C 为C 0 ⎪ ⎝ ⎭q ⨯ q 块，求证： B 与C 都可逆，并求M-1 . 解：由0 ≠M = (-1)p qBC ，则： B ≠0 , C ≠ 0 ,即证 B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆： ⎛ A B E p0 ⎫ → ⎛ A B E 0 ⎫ → ⎛ 0B E -AC -1 ⎫⎪ ⎪ -1 ⎪ -1⎝C 0 0 Eq ⎭ ⎝E 0 0 C ⎭ ⎝E 0 0 E ⎭→ ⎛ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎫ → ⎛E 0 0 C-1 ⎫E 0 0 C-1⎪ 0 E B -1-B -1A C -1 ⎪ ⎭-1⎛C -1 ⎫故 ：M = B -1-B -1A C-1 ⎪ . ⎝⎭备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:⎛ 1 0 1 ⎫ 例 3.3.3 [10] ：求矩阵A = 2 1 0 ⎪的逆矩阵.⎝ ⎭ 解：构造矩阵：⎛ 10 1 1 00⎫⎪⎛ 1 0 1 1 0 0⎫⎪2 0 0 1 -2 -2 1 0 D = ⎛ A E ⎫= -3 1 0 0 1 2 -5 0 0 1⎪ → 0 2 -2 3 0 1⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎝E O ⎭6⨯6 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0⎪ 1 0 0 0 0 0⎪ 0⎪ 0 1 0 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 1 0⎫⎪ 00 1⎪ →1 0⎪ ⎛ 1 0 1 1 0 0⎫ 0 1 -2 -2 1 0 0 1⎪ → 1 0⎪⎪ ⎪ 0 0⎪ 0 0⎪ 00⎪ 0 0⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭ 0 1 1 0 1 -2 -2 1 0 2 7 -2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 00 2 7 -2 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0- - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 ⎛ 1 0 0 1 0 0⎫⎪0 1 0 2 1 0 ⎛ 10 0 1 0 0⎪⎫ 0 1 0 2 1 0 0 0 17 -2 1⎪0 0 2 7 -2 1⎪1 ⎪→ ⎪ → 10 - 0 0 0⎪ .1 0 -1 0 0 0⎪2⎪ 0 1 2 0 0 0⎪ 00 10 01 0 0 0⎪0 0 1 0 0 0⎪⎝所以;⎭⎪⎝2⎭⎛1 0 1 ⎫ ⎛ 5 1 ⎫- 2 ⎪⎛ 1 0 0⎫ - 2 -1 - 2 ⎪ A -1 = 0 1 1 ⎪ -2 1 0⎪ = 5 -1 1 ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 7 -2 17 1 ⎪ 0 0 2 ⎪ ⎝ ⎭ 2 -1 2 ⎪ 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵， 有时比较简单.3.4 矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵 的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设 A 、 B 均为m ⨯ n 矩阵，则：r ( A + B ) ≤ r(A ) + r ( B ) .（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设 A 是m ⨯ n 矩阵 , B 是n ⨯ s 矩（3）r ⎛A B ⎫阵，则：r ( A B ) ≤≥ r ( A ) + r ( B ) . m i n {r ( A ) , r ( B )}.（4）r ⎝ 0 C ⎭ ⎪ ⎛A ⎫ ⎪⎪ ≥ A i j .A ⎪ ⎝ m ⎭再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式例 3.4.1[11] ：（薛尔弗斯特不等式）设A = (a ) ，B = (b ) ，证明：ij s ⨯nij n ⨯mr a n k ( A B ) ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - n⎪ 证明：由分块矩阵的乘积⎛ E n 0⎪ ⎫ ⎛E B ⎫ ⎪⎛E n -B ⎫⎛E n 0 ⎫ -A E A n0 0 E ⎪ = ⎪0 - ⎝ s ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ 知：m ⎭⎝ A B ⎭ r a n k⎛E n B⎫ = r a n k (E ) + r a n k ( -A B ) = n + r a n k ( A B )A 0 ⎪n.⎝ ⎭但,r a n k⎛E nB ⎫ A 0⎪= r a n k⎛B E n ⎫ ≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) ⎪故：得证.⎝⎭ ⎝ 0 A ⎭.n + r a n k ( A B )≥ r a n k ( A ) + r a n k ( B )备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵： (1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造 ⎛A 0 ⎫⎪;⎝ 0 B ⎭(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造⎛ A E ⎫ ⎪ 或者 ⎛ A 0 ⎫ ⎪.⎝ 0 B ⎭ ⎝E B ⎭具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例 3.4.2 [6] ：（Frobenius 不等式）设 A 、 B 、C 是任意3 个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：r ( A B C ) ≥ r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B )证明：设 B 是n ⨯ m 矩阵，r ( B ) = r那么存在n 阶可逆阵 P ， m 阶可逆阵Q ，使B = ⎛Er0⎫ P ⎪ Q .⎝ 0 0⎭把 P 、Q 适当分块：P = (M , S ),Q =⎛N ⎫, 由上式有： T ⎝ ⎭故：r ( A B C )= r ( A M N C ) B = (M , S )⎛E r0⎫ ⎛N ⎫ = M N .⎪ ⎪ ⎝ 0 0⎭ ⎝T ⎭≥ r ( A M ) + r ( N C ) - r0 ≥ r ( A M N ) + r ( M N C ) - r ( B )得证.= r ( A B ) + r ( B C ) - r ( B ) .3.5 矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例 3.5.1[11] ：设 A 为m ⨯ k 矩阵， B 为k ⨯ n 矩阵，则证明：r a n k ( A )+r ank( B ) - k≤ r ank( AB) ≤ m i n {r a n k ( A ) , r a n k ( B )}证明：先证明右边的不等式，由：(A 0)(E k0 B ) = ( A A B ) ;E n可得：⎛E k A E 0⎪ ⎫ ⎛B ⎪⎫ = ⎛ B A B ⎫⎪ ,⎝m ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭r a n k ( A ) =r ank( A 0) = r a n k ( A A B ) ≥ r a n k ( A B ) ;r a n k ( B ) = r a n k ⎛ B ⎫ = r a n k ⎛ B ⎫≥ r a n k ( A B ) .⎪ ⎪⎝ 0 ⎭ ⎝AB ⎭ 再证左边的不等式.注意到下列事实：⎛E m -A ⎫ ⎛ A 0 ⎫ ⎛E ⎪k -B ⎫ = ⎛ 0 -A B ⎫⎪ 0 E ⎪E B 0E⎪ E 0 ⎝k ⎭ ⎝ k 则：⎭ ⎝ n ⎭⎝ k ⎭0 ⎫⎛ 0r a n k ⎛ A ⎪ = r a n k-A B ⎫ ⎪于是：⎝E kB ⎭ ⎝E k0 ⎭⎛ A 0 ⎫r a n k ( A ) + r ank ( B ) ≤r ank ⎪ = r a n k ( -A B ) + r a n k (E k )= r a n k ( A B ) + k⎝E kB ⎭ 从而: r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - k ≤ r a n k ( A B ) .这里也是用到构造矩阵的方法.例 3.5.2 [6] ：设n 阶矩阵 A 、 B 可交换，证明：r a n k ( A + B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B )→ → , ⎝ ⎭ 解：利用分块初等变换，有：⎛A O ⎫ ⎛A B ⎫ ⎛A + B B ⎫⎪ ⎪⎪ ⎝O B ⎭ ⎝O B ⎭ ⎝ B B ⎭ 因为 AB = BA ，所以：⎛ E O ⎫ ⎛A + B B ⎫ = ⎛A + B B ⎫ .B -A - ⎪ B ⎪ O- ⎪B B A B ⎝ 于是，有：⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭r a n k ( A ) + r a n k ( B )= r a n k⎛A + B B ⎫≥ r a n k ⎛A + B B ⎫B ⎪⎝ B ⎭ ⎝ ⎪O-A B ⎭即：r a n k ( A + B )得证.≥ r a n k ( A + B ) + r a n k ( A B ) .≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) - r a n k ( A B ) .例 3.5.3：设 A 是n 阶方阵，且r ( A ) = r ( A 2 ,证明：对任意自然数k ,有r ( A k ) = r ( A )⎛A 2O ⎫证：构造分块矩阵 O A 2 ⎪，由 Frobenius 不等式： 2 2 2 ⎛A O ⎫ ⎛A 2 -A 3 ⎫ ⎛O -A 3 ⎫ 3 r ( A )+r( A ) ≤ r ⎪ = r A A 2 A O ⎪ = r A O ⎪ = r ( A ) + r ( A ) . 由：r ( A ) = r ( A 2 ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，r ( A3 ) = r ( A 2 * A )≤ r ( A2 ) .故： r(A 2 ) = r ( A 3 .由此可推得：r ( A3) = r ( A 4) , r ( A4) = r ( A5 ) , .故：对任意自然数k , 有：r ( A k ) = r ( A ) .3.6 综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例 3.6.1 [6] ：（特征多项式的降阶定理）设 A 是m ⨯n 矩阵， B 是n ⨯ m 矩阵. 证明: AB 的特征多项式f A B ( ) 与 BA 的特征多项式f B A( ) 有如下的关系：nm1 2 s证：先要把上式改写为：n f () =m f () .A BB AnE -m A B =mEE 1 Bn - B A .用构造法，设 ≠ 0 ，令： H =n.A E m⎛1 ⎫ ⎛E 1 B ⎫对 ⎛E n 0⎪ ⎫ E n B ⎪= n ⎪ ⎝ -A E⎪⎪ 1 ⎪ 两边取行列式得： n ⎭ A E⎝ m ⎭ 0 E - ⎝A B ⎪⎭ H = E -1 A B = 1 m E - A B .⎛E 1 B ⎫ ⎛E nm 0 ⎫⎛ 1( ) m1 B ⎫ 再对 n ⎪ -A E ⎪ E - B A ⎪ 两边取行列式得： ⎪ ⎪ = n⎪⎝ A E m ⎭⎝ n ⎭ ⎝ H = E -0 1B A = E m ⎭ 1 n E - B A .故： 1nE n- B A =1Em mn- A B() nmE n - B A = nE m - A B .上述等式是假设了 ≠ 0 ，但是两边均为的n + m 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）≠ ，从而一定是恒等式，即证.这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用. 例 3.6.2 [6] ：设 A 为m ⨯ n 矩阵， B 为n ⨯ m 矩阵，证明： AB 与 BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m E - B A = n E - A B .设 E m- A B = m -s (- ) ( - ) ( - ) ,其中12 m ≠么有：0 ，即 AB 有s 个非零特征值：1, 2, , s , 由上面两式,那nE - B A = ( - 1) ( - ) 2 (- )n- s s即证 BA 也只有s 个非零特征值：1, 2, , s .m∑ 例 3.6.3 [6] ：设 A 、 B 分别是m ⨯n 和n ⨯ m 矩阵，证明：t r A B = t r B A .解：由上例知，若E - A B = m -s ( - a ) ( - a )m1s其中a 1a 2 a s ≠ 0. 则 AB 的全部特征值为1 = a 1, , s= a s , s +1= = m = 0 ,且：E - B A = n -s ( - a ) ( - a ) .n1s即 BA 的全部特征值为:1 = a 1,2 = a2, ,s +1= = n = 0 .从而 t r A B =sa ii=1=t r B A .可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1] 上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982. [2] 北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. ft 西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154. [6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7] 王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8] 张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. ft东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所,2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用
0
由拉普拉斯展开定理得 : | C | = | AB | ・ | E | = | AB | 又由性质 1 并应用于列的情况 , 有 :
AB A E AB - AB A E
0
=
0 - EB
=
0
- B
A E
1 +2 + …+ n + ( n +1) + …+2 n = ( - 1) ・ | A|・ | - B|
= 53
2 1 0
解 设 | P | =
A B 3 1 , 其中 , A = ,B = C D 2 4 由计算知 | A | = 10 ≠0 , 且 AC = CA
,C =
,D =
所以 | P | = | AD - CB | =
3 2
1 4
・
2 1
3 4
-
0 1
・
1 3
=
6 5
[1 ] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 . 高等代
则 | A | =| D | Es 0 0 证明 由 0
0
Es
A1 C1
A2 B2 C2
A3 B3 = C3
0 ・ B1
Es
0
其中 Es 是 s 阶单位矩阵 , 对上式两边同时取行列式得 :
| A | =| D |
性质 2 设方阵 A 是由如下分块矩阵组成
A1 A = B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3
A C A C B D A C B D A = | AD - CB |
证明 根据性质 1 , 因为 A - 1 存在 , 并注意到 AC = CA , 用 ( - CA - 1 乘矩阵 的第一行后加到第二行中去得 :
矩阵分块法求行列式
矩阵分块法求行列式引言在线性代数中，行列式是一种非常重要的概念，它可以用来刻画矩阵的性质和描述线性方程组的解的情况。
矩阵分块法是一种常用的求解行列式的方法之一，它将矩阵按照一定规则进行分块，从而简化计算过程和分析问题。
矩阵的分块表示矩阵的分块表示是指将一个大矩阵按照行或列进行分割，形成数个子矩阵，并按照一定规则排列组合起来表示原矩阵。
根据分块的方法不同，可以分为水平分块和垂直分块两种。
水平分块水平分块是指将矩阵按照行进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
假设有矩阵A，可以表示为以下形式：A=[A11A12 A21A22]其中，A11、A12、A21、A22都是子矩阵。
矩阵的分块表示可以简化为：A=[A11A12][A21A22]垂直分块垂直分块是指将矩阵按照列进行分割，并将分割后的子矩阵按照一定顺序排列。
与水平分块类似，矩阵A的垂直分块表示为：A=[A11A21][A12A22]矩阵的行列式性质在矩阵的分块表示基础上，可以推导出矩阵的行列式性质，进一步简化行列式的计算过程。
行列式的性质1：行列式的分块设矩阵A能够按照水平分块的方法表示，即A=[A11A12A21A22]，则有：|A|=|A11|⋅|A22−A21A12−1A11|其中，A12−1表示A12的逆矩阵。
行列式的性质2：上（下）三角矩阵的行列式若矩阵A是上（下）三角矩阵，则A的行列式是其对角元素的乘积。
行列式的性质3：特殊矩阵的行列式对于一些特殊的矩阵，可以直接利用其定义特点求出行列式的值。
•对角矩阵：对角矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积。
•置换矩阵：置换矩阵的行列式等于1或-1，具体取决于该置换矩阵是奇数个偶置换还是偶数个置换。
•元素全为0的矩阵：行列式为0。
•元素全为1的矩阵：行列式为0。
（推论：如果矩阵的某一行（列）的元素全为0，则行列式为0。
）矩阵分块法求行列式的步骤根据矩阵的分块表示和行列式的性质，可以得出矩阵分块法求行列式的步骤。
分块矩阵求行列式
分块矩阵求行列式
1、分块矩阵：分块矩阵是我们在学习高等数学中的一个重要内容。
它的计算理念就是对矩阵进行一定的分块，从而降低难度，方便我们去计算。
分块矩阵也是我们处理阶数比较高的矩阵常用方法之一，也是数学在多领域的研究工具。
2、行列式：行列式是我们高等数学中一个基本的数学工具。
行列式是可以看作是有向面积或者是体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说是在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性的变换对体积所造成的一个影响。
3、分块矩阵行列式计算：分块矩阵行列式计算主要是根据转换去计算的。
我们对矩阵进行一个适当的分块，是可以使高阶矩阵的运算可以转换为一个低阶矩阵的计算。
在计算的同时也会使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
分块矩阵的行列式计算
分块矩阵的行列式计算嘿，大家好，今天咱们来聊聊一个看似复杂，其实挺有意思的话题——分块矩阵的行列式计算。
听起来有点吓人，是吧？其实只要你稍微用点心，多试几道题，就能慢慢找到感觉。
好比学骑自行车，起初总是东倒西歪，过一段时间就能稳稳地骑上去。
行列式它就像一个魔法盒子，里面藏着很多奥秘，打开之后哗啦啦都是惊喜。
想象一下，一个矩阵就像成千上万的小方块拼在一起，真的是琳琅满目。
分块矩阵就是把这些小方块又分成了几组，分得那叫一个细致。
你看，就像一块蛋糕，切成了几片，每一片都有自己的味道，哇，听起来是不是就让人已流口水了？每块都有自己的特点，行列式的计算也可以分开来，没有必要一股脑地喧闹，所以咱们可以轻轻松松地把它们一个个捋清楚。
在计算行列式的时候，咱们有个神奇的工具，那就是所谓的“行列式的性质”。
听起来有点炫酷，其实就是一些小法则，简单实用。
比如，如果你把一个矩阵分成四个部分，一块一块地来处理，你就能发现每块的行列式都是相互关联的，就像看一部电视剧，得先了解主角是谁、情节怎么发展，才能看懂全剧。
举个简单的例子，一个大矩阵被分成四个小块，你可以分别计算每一块的行列式，然后把它们结合起来，结果就像拼图一样，瞬间就完整了。
有的朋友可能会问，行列式有什么用呢？别小看这个小家伙，它可是在数学和工程领域里扮演着超级英雄的角色。
无论是解决线性方程组，还是找特征值，它都能派上用场。
就像拿鱼竿钓鱼，等鱼儿上钩了，才知道这杆子是不是靠谱。
行列式就能帮你判断矩阵的可逆性，是否能用来解方程。
不过，咱们有个小提醒，行列式的计算可不能马虎。
就像下围棋，一步走错就可能满盘皆输。
尤其分块的时候，要格外小心，仔细检查每个小块，看看有没有漏掉。
就像船开得太快，难免会遇上暗礁，一不小心就会翻船。
没错，细节决定成败。
最有趣的部分来了！大家知道吗，计算行列式的时候，也可以用一些巧妙的方法来简化问题。
有些时候，你不需要大费周章地算出整个行列式，采取一些简单的变换就能让它变得简单得多。
分块矩阵
引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。
类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵，也称作划分矩阵或分割矩阵，指的是一种结构十分特殊的
矩阵，其每一行和每一列都被划分成不同的若干个子矩阵，每个子矩阵中
含有的元素数是相等的。
分块矩阵的出现，为许多复杂的数值计算以及矩
阵的计算提供了一种有效的方法。
分块矩阵的计算方法能够进一步简化复杂运算的计算步骤，它是一种
非常有效的计算技术，可以极大地提高计算速度。
行列式是一种数学结构，可以定义一种矩阵的性质。
行列式的运算除
了基本的乘法、加法以外，还涉及到分块矩阵的计算。
行列式的计算可以
通过分块矩阵的计算得以简化。
分块矩阵的应用分为两种，一种是计算行列式，另一种是基于分块矩
阵的矩阵乘法，我们将这两种分别介绍。
一、计算行列式
计算一个矩阵的行列式是一件很复杂的运算，如果矩阵的阶数n很大，那么就会耗费大量的计算时间。
而引入分块矩阵可以减少这种耗时的负担。
通常情况下，一个n阶矩阵可以分割成多个小的m阶矩阵，而当m较
小时，计算行列式也会比计算n阶矩阵要简单，时间也会更快。
这样，就
可以利用分块矩阵的特性进行行列式的计算，大大缩短计算时间。
分块矩阵行列式计算的若干方法(本科毕业原创论文)
分块矩阵行列式计算的若干方法摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。
我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。
为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。
矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。
运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。
本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。
借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。
例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱=BC DA 方法，即（1）当矩阵A 或B 可逆时；（2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。
关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位矩阵Several Measures Of Block Matrix In ComputingDeterminantZhouxu(Hunan Normal University Mathematics and Applied Mathematics Grade 2004)Abstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, isalso a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is very important in proving and applying the linear e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example, this article discussed the methods of computing ︱H ︱=BC DA with using block matrix. That is:(1)A andB are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its valueKey words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ；determinants ； computation ；unit matrix1．引言1.1矩阵分块的意义在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。
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矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1[]2 设A 是n m ⨯矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 212222111211，就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ⨯矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010301012102102301A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211A A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21030122A ．1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ij ij B A 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222122222B B E E A O O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111．分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21， 则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P OO E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE QO E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ；(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B AD C B AE P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A =．证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO BA 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A =．类似地行列式的形式为CB OA 时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO BA换成OC BA 又会有怎样的结论，它的值等于BC 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=．证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此C B OC B A s )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C BE r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E DCB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E C OBC A E C B A ss -=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明 根据分块矩阵性质有BA OB B A AA B B B A ABB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明 因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．。