几类分块矩阵的行列式
作者简介：周从会（１９６８－），女，江苏连云港人，硕士，讲师
．
第６卷第４期
２００６年８月泰州职业技术学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶｏｌ．６Ｎｏ．４Ａｕｇ．２００６
摘要：利用Ｌａｐｌａｃｅ展开定理的特例—分块三角阵的行列式，研究了几类分块矩阵的行列式
，
得到了三个结果，并利用得到的结果计算一些特殊的行列式，能达到简化计算的目的。
关键词：分块矩阵；应用；行列式
中图分类号：Ｏ１５１．２文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－０１４２（２００６）
０４－００６７－０３
用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵，每个小矩阵称为矩阵的子块。以子块为元的形式上的
矩阵称为分块矩阵，它的重要用处是可以通过子块进行运算。本文将探讨分块矩阵在行列式计算上的应
用，约定字母Ｏ和Ｅ分别表示零矩阵和单位矩阵，Ａ表示方阵Ａ的行列式。
１
、定理
定理１若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，则
ＡＥ
ＢＣ
＝
ＣＡ－Ｂ
定理２若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，则
ＡＣ
ＢＤ
＝
Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ
定理３若矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都为ｎ阶方阵，且矩阵Ａ可逆，且ＡＢ＝ＢＡ，则
ＡＣ
ＢＤ
＝
ＡＤ－ＢＣ
２
、定理的证明
引理１（分块三角阵的行列式）
设分块矩阵
Ｇ＝
ＡＯ
Ｃ!"Ｂ
，其中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ分别是ｋ阶、ｎ阶、ｎ×ｋ型、ｋ×ｎ型矩阵，则Ｇ＝Ａ·
Ｂ
证明见参考文献［１］。
定理１的证明：
根据分块矩阵的乘法易得：
ＡＥＢ!"ＣＯ－ＥＥ!"Ａ＝ＥＯ
ＣＣＡ－!"Ｂ
，
因为矩阵Ａ，Ｂ和Ｃ都为ｎ阶方阵，Ｅ为ｎ阶单位方阵，因此交换行列式Ｏ－ＥＥＡ的第ｉ列与第
ｎ＋ｉ
列（ｉ＝１，２，…，ｎ）得：
Ｏ－ＥＥＡ＝（－１）ｎ－ＥＯ
ＡＥ
，
由引理１得：
Ｏ－ＥＥＡ＝（－１）ｎ－ＥＥ＝１，ＥＯ
ＣＣＡ－Ｂ
＝ＣＡ－ＢＥ＝
ＣＡ－Ｂ
从而有：
ＡＥＢＣ＝ＡＥＢ!"ＣＯ－Ｅ
Ｅ!"Ａ
＝ＣＡ－Ｂ．证毕．
定理２的证明：
几类分块矩阵的行列式
周从会
（连云港职业技术学院基础部，江苏连云港２２２００６）
由矩阵Ａ可逆，因此可有：
ＡＣＢ!"ＤＡ－１ＯＯ!"Ａ＝ＥＣＡ
ＢＡ－１Ｄ!"Ａ
交换行列式ＥＣＡＢＡ－１ＤＡ的第ｉ列与第ｎ＋ｉ列（ｉ＝１，２，…，ｎ）
，
并根据定理１得：
ＥＣＡＢＡ－１ＤＡ＝（－１）ｎＣＡＥ
ＤＡＢＡ
－１
＝（－１）ｎＢＡ－１ＣＡ－ＤＡ＝
Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ
，
因此
ＡＣＢＤ＝ＡＣＢＤＡ－１ＯＯＡ＝ＥＣＡ
ＢＡ－１ＤＡ
＝Ｄ－ＢＡ－１ＣＡ．
证毕
定理３的证明：由矩阵Ａ可逆和ＡＢ＝ＢＡ易得
ＢＡ
－１＝Ａ－１
Ｂ，根据定理２的证明立得定理３
结论。
３
、定理的应用
例１计算行列式
．
３－５１０
－２３０１
４－９－３－７
２－６－３２
．
解由定理１得
原式
＝
－３－７－３!"２３－５－２!"３－４－９２－!"６＝１３
－１５２７
＝７２．
例２证明
０１１ａ
１０１ｂ
１１０ｃ
ａｂｃｄ
＝ａ
２＋ｂ２＋ｃ２
－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ．
证明：左式＝（－１）
２
ａ１１０
ｂ１０１ｃ０１１ｄｃｂａ＝１１ｂ!"ａａ１ｂ!"１－ｃ０
ｄ!"ｃ＝ａ＋ｂ－ｃ２２ａｂ－ｄａ＋ｂ－ｃ
＝（ａ＋ｂ－ｃ）２－２（２ａｂ－ｄ）＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２－２ａｂ－２ｂｃ－２ａｃ＋２ｄ＝右式．
例３计算
２５５１
１３５０
０１５６
１２３４
解：易看出Ａ＝２５１!"３可逆，且
Ａ
－１
＝
３－５
－１!"２
，因此有：
原式
＝
５６３!"４－０１１!"２３－５－１!"２５１５!"０２５１!"３＝５６３!"４－５－１０!"１＝０７
３３
＝－２１
例４计算阶行列式
ａｂ
……
ａｂ
ｂａ
……
ｂａ
ｎ
行
ｎ＋１
行
（ａｂ≠０）
第４期
泰州职业技术学院学报
６８
（上接第６１页）
参考文献
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［４］王育华，王波．无痛人工流产术的临床应用［Ｊ］．中国实用妇科与产科杂志，２００３，１９（１０）：５８９．
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ＴｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｎ１７０ＰａｔｉｅｎｔｓｗｉｔｈＰａｉｎｌｅｓｓＡｂｏｒｔｉｏｎ
ＬＩＵＬａｎ－ｑｉｎ
（ＴｈｅＰｅｏｐｌｅ
’
ｓＨｏｓｐｉｔａｌｏｆＴａｉｚｈｏｕ，ＴａｉｚｈｏｕＪｉａｎｇｓｕ２２５３００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔｓ：Ｐｕｒｐｏｓｅ：Ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｒｅｓｕｌｔｂｙｏｂｓｅｒｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋｏｒｉｎｖｅｉｎ．Ｍｅｔｈｏｄ：
Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔａｋｅｓ３４０ｐａｔｉｅｎｔｓａｓｔｈｅｓｕｂｊｅｃｔｓ．Ｔｈｅｙａｒｅｄｉｖｉｄｅｄｉｎｔｏｔｗｏｇｒｏｕｐｓｒａｎｄｏｍｌｙ：ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅ
ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｇｒｏｕｐ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒａｒｅｏｐｅｒａｔｅｄｗｉｔｈｐａｉｎｌｅｓｓａｂｏｒｔｉｏｎｂｙｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎａｎｄｔｈｅｌａｔｔｅｒｗｉｔｈｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅ
ｎｅｃｋ．Ｒｅｓｕｌｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｉｓｏｂｖｉｏｕｓｂｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｔｗｏｇｒｏｕｐｓ＇ｒｅｓｕｌｔｓｏｎｒｅｌｉｅｖｉｎｇｐａｉｎ．Ｔｈｅｆｏｒｍｅｒｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｔｈｅｌａｔｔｅｒ．
Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ：ｔｈｅｐａｔｉｅｎｔｓｆｅｅｌｎｏｐａｉｎｄｕｒｉｎｇｔｈｅｏｐｅｒａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅａｉｄｏｆａｎａｅｓｔｈｅｔｉｃ，ｗｈｉｃｈｇｅｔｒｉｄｏｆｔｈｅｉｒｆｅａｒｆｏｒｔｈｅｏｐｅｒａ－
ｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｕｎｅｒｉｎｅｎｅｃｋ；ｎａｒｃｏｔｉｃｓｉｎｖｅｉｎ
（责任编辑崔洁）
周从会：几类分块矩阵的行列式第４期
解记
Ａ＝
ａ…ａ，Ｂ＝ｂ
…
ｂ
．由ａｂ≠０易得Ａ可逆，且与Ｂ可交换，根据定理３
得
原式
＝
Ａ
２－Ｂ２
＝ａ２－ｂ２…ａ２－ｂ２＝（ａ２－ｂ
２）ｎ
从以上各例可以看出利用上面给出的三个定理计算一些特殊的行列式可简化计算过程。
参考文献：
［１］同济大学数学教研室．工程数学线性代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．
ＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆＳｏｍｅＢｌｏｃｋＭａｔｒｉｃｅｓ
ＺＨＯＵＣｏｎｇ－ｈｕｉ
（ＢａｓｉｃＳｃｉｅｎｃｅｓＤｅｐｔ．，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＬｉａｎｙｕｎｇａｎｇＪｉａｎｇｓｕ２２２００６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅａｕｔｈｏｒｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｓｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｏｆｓｏｍｅｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓｂｙｕｓｉｎｇｓｐｅｃｉａｌｃａｓｅｏｆＬａｐｌａｃｅｄｅｖｅｌｏｐ－
ｍｅｎｔｔｈｅｏｒｅｍ：Ｔｈｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｏｆｂｌｏｃｋｔｒｉａｎｇｌｅｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｔｈｒｅｅｔｈｅｏｒｅｍｓｈａｖｅｂｅｅｎｇｉｖｅｎａｎｄａｐｐｌｉｅｄｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｓｏｍｅｓｐｅ－
ｃｉａｌｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓｓｏａｓｔｏｓｉｍｐｌｉｆｙｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｃｋｍａｔｒｉｃｅｓ；ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ
（责任编辑刘红）
６９
分块对称矩阵行列式
分块对称矩阵行列式
分块对称矩阵行列式是一种特殊的矩阵，它由多个分块组成，其中每个分块都是对称矩阵。
这种矩阵的行列式可以通过递归的方法求解。
首先，我们将矩阵分成两个子矩阵，每个子矩阵都是对称矩阵。
然后，我们可以使用矩阵行列式的性质将矩阵行列式表示为两个子矩阵行列式的乘积。
接着，我们再将每个子矩阵分成两个子矩阵，并继续递归地求解每个子矩阵的行列式。
最终，我们会得到每个子矩阵的行列式，然后将它们乘起来就可以得到整个分块对称矩阵的行列式。
这种方法可以在较快的时间内求解较大规模的矩阵行列式，因为每个子矩阵都是对称矩阵，所以其行列式可以快速计算。
- 1 -。
副对角线分块矩阵的行列式
副对角线分块矩阵的行列式以副对角线分块矩阵的行列式为标题，我们来探讨一下这个有趣的数学概念。
副对角线分块矩阵是指将一个矩阵沿着副对角线进行分割，然后将分割后的块组合成一个新的矩阵。
我们将从理论和实际应用两个方面来讨论这个问题。
我们来看一下副对角线分块矩阵的行列式。
行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵的特征和性质。
对于副对角线分块矩阵来说，行列式的计算方法与普通矩阵类似，只需要将每个块的行列式相乘即可。
这个特性使得我们可以更方便地计算大型矩阵的行列式，提高计算效率。
接下来，我们来看一下副对角线分块矩阵的实际应用。
副对角线分块矩阵在科学计算、工程领域和经济学等多个领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，副对角线分块矩阵可以用来表示图像的变换矩阵，从而实现图像的旋转、缩放和平移等操作。
在物理学中，副对角线分块矩阵可以用来描述量子力学中的粒子的自旋和轨道运动等性质。
副对角线分块矩阵还可以用来解决一些实际问题。
例如，在网络流量分析中，可以使用副对角线分块矩阵来描述网络节点之间的连接关系，从而分析网络的拓扑结构和数据流动情况。
在金融领域中，副对角线分块矩阵可以用来构建风险模型，评估投资组合的风险和收益，并进行资产配置和风险控制。
除了理论和应用方面，副对角线分块矩阵还有一些有趣的性质。
例如，副对角线分块矩阵的转置等于每个块的转置的反序排列。
这个性质可以用来简化矩阵运算和证明一些数学定理。
此外，副对角线分块矩阵还可以用来实现一些矩阵的变换，例如矩阵的乘法和求逆等运算。
总结起来，副对角线分块矩阵是一个有趣且实用的数学概念。
它不仅可以用来计算矩阵的行列式，还可以应用于各个领域的实际问题中。
副对角线分块矩阵的理论和应用都非常广泛，对于提高计算效率和解决实际问题有着重要的意义。
希望通过本文的介绍，读者可以对副对角线分块矩阵有一个更深入的理解，并能够将其应用于实际工作和学习中。
分块矩阵公式总结
分块矩阵公式总结对于行数和列数较高的矩阵，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。
将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例如将矩阵分成子块的分法很多，下面举出三种分块形式：分法（i）可记为其中即为的子块，而形式上成为以这些子块为元的分块矩阵。
证明公式时出现的矩阵正是分块矩阵，在那里是把四个矩阵拼成一个大矩阵，这与把大矩阵分成多个小矩阵是同一个概念的两个方面。
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（i）设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有其中与的行数相同、列数相同，那么（ii）设为数，那么（iii）设为矩阵，为矩阵，分块成其中的列数分别等于的行数，那么其中分块矩阵的乘法也不是很好理解的，看着和矩阵乘法很相似，但是初始做题时，还是有很多顾虑的。
要解决这些顾虑其实不难，我们可以举例说明一下。
和书上的例子一样，不过我们把过程拆开，并且多分析一下。
例设求首先按书上所说的，先把给分成4块我们把的列分成了的形式，这时候的应该怎么分块呢，我们只需要将的行分成的形式（这是因为这样可以使分块后的分块矩阵的列数也等于被乘分块矩阵的行数，从而符合矩阵的乘法），列分成多少段是无所谓的，即列的分法共有种可能。
我们找第1，3，5，8种来计算一下：第1种：则计算出结果得第3种：计算出结果得第5种：计算出结果得第8种：计算出结果得其实上面的过程也没有什么新鲜的东西，随着对分块矩阵越来越熟悉，很多都已经不是问题，只是简单总结出来：的列怎么分决定了的行怎么分；的行的分块决定了结果得行的分块，的列的分块决定了结果列的分块。
（iv）分块矩阵的转置和分块矩阵的乘法其实都是一样的，它们的运算都是整块分块矩阵的运算，其实和普通的矩阵的操作是一样的。
数学不在于第一眼是否能够想象出来，是否能看明白，很多问题光靠脑子是不够的，还得真正的拿起笔来，一步步的算，找规律。
分块对角阵的行列式
分块对角阵的行列式
分块对角阵的行列式是一种特殊的矩阵行列式，其矩阵的主对角线上每个元素都是一个小的矩阵，也就是说，这种矩阵可以被分解成几个小矩阵的直和形式。
对于这种矩阵，我们可以使用分块矩阵行列式的方式来求解其行列式。
分块对角阵的行列式可以通过将矩阵分块为较小的矩阵，然后通过计算每个小矩阵的行列式再结合一些代数运算来计算得到。
具体来说，我们可以使用以下步骤来计算分块对角阵的行列式：
1. 将待求行列式的矩阵分成若干个小矩阵，这些小矩阵按照主对角线的位置来进行分块。
2. 对于每个小矩阵，计算它的行列式。
3. 使用代数运算，例如加、减、乘等，将每个小矩阵的行列式合并成一个整体。
4. 最终得到的整体即为分块对角阵的行列式。
需要注意的是，在计算分块对角阵的行列式时，如果某个小矩阵的行列式为 0，那么在合并行列式的过程中，这个小矩阵的贡献应该被忽略。
分块对角阵的行列式在实际应用中具有广泛的应用，例如在线性代数、矩阵论和微积分等领域中都有着重要的应用。
理解和掌握分块对角阵的行列式计算方法，对于深入理解这些领域的相关理论和方法都具有非常重要的意义。
- 1 -。
1、二阶、三阶行列式
4、克拉默法则。
Ynu hyq
5
线性代数 二阶、三阶行列式
Ynu hyq
6
线性代数 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式
1、引入
一元一次方程 ax = b 当 a≠0 时， x a 1b 例 解二元线性方程组 2 x1 3 x 2 22 x 2 x 10 2 1 得 于是 二元 （三元）线性方程组
1
线性代数 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31 a n1
a12 a22 a32 an 2
a13 a1n a23 a3 n a33 a3 n an 3 ann
Ynu hyq
2
线性代数 二阶、三阶行列式
1、知道n 阶行列式的定义，熟练掌握行列式 的基本性质及展开定理，掌握计算行列式 的一般方法，熟悉范德蒙行列式，了解行 列式的乘法定理及某些特殊分块矩阵行列 式的计算方法； 2、正确使用克拉默（Cramer）法则解线性方 程组。
Ynu hyq
22
线性代数 二阶、三阶行列式
3、三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 若系数行列式 D a21 a31 b1 a12 a13 a11 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b3 a32 a33 a31
Ynu hyq
3
线性代数 二阶、三阶行列式
本章要点
• 1、n 阶行列式的定义及基本性质，展开 定理，行列式的乘法定理，某些特殊分块 矩阵的行列式，范德蒙行列式； 2、克莱姆（Cramer）法则。
分块行列式推导
分块行列式推导
分块行列式是一种将矩阵进行分块，然后对每个块分别计算行列式的方法。
这种方法可以简化行列式的计算过程，并且对于一些特殊的矩阵，可以更方便地计算行列式。
假设我们有一个n×n 的矩阵 A，我们可以将其分成r×r 的子矩阵 Ai,j，其中 i 表示行索引，j 表示列索引。
这样，我们可以将行列式∣A∣ 分解为多个子矩阵的行列式之积，即：
∣A∣=∣A1,1A2,1⋮Ar,1A1,2A2,2⋮Ar,2⋯⋯⋱⋯A1,n−rA2,n−r⋮Ar,n−r∣
我们可以将这个行列式进一步分解为 r 个r×r 的子行列式∣Ai,j∣ 的乘积。
即：
∣A∣=∣A1,1∣×∣A2,2∣×⋯×∣Ar,n−r∣
其中，每个子行列式∣Ai,j∣ 是一个r×r 的矩阵，可以按照之前的方法分别计算其行列式。
需要注意的是，分块行列式的计算方法并不是适用于所有矩阵的。
对于一些特殊的矩阵（如稀疏矩阵、对称矩阵等），分块行列式的计算可能会更加简便。
同时，分块行列式的计算也需要考虑分块的大小和方式，以避免计算过程过于复杂。
矩阵行列式的分块计算法
一种新的四阶行列式计算方法
一种新的四阶行列式计算方法四阶行列式是指由4行4列的方阵所构成的行列式。
传统计算四阶行列式的方法是应用拉普拉斯展开或对角线法则。
下面我将介绍一种新的四阶行列式计算方法。
这种方法是基于分块矩阵的思想，即将4阶行列式按照其中一种方式分割成较小的块矩阵，并利用这些块矩阵之间的关系来简化计算。
首先，将4阶行列式按照第一行或第一列进行分割，可以得到以下四个块矩阵:A=，a11a12a13a14a21a22a23a2a31a32a33a3a41a42a43a4B=，a21a22a23a24a31a32a33a3a41a42a43a4C=，a11a13a14a21a23a2a31a33a3a41a43a4D=，a11a12a14a21a22a2a31a32a3a41a42a4接下来，我们计算这四个块矩阵的行列式。
块矩阵A的行列式可以直接计算得到。
块矩阵B的行列式可以通过递归计算得到，因为B的形式与原来的行列式形式相同。
块矩阵C的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的4次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列、第二列和第三列，最后求和。
块矩阵D的行列式可以应用拉普拉斯展开，将第一行乘以-1的3次方后与其余的三阶行列式相乘，然后依次交换第一列和第二列，最后求和。
计算得到这四个块矩阵的行列式后，我们可以将它们组合成原来的4阶行列式的结果。
具体做法是，将块矩阵B的行列式乘以a11，块矩阵C的行列式乘以a12，块矩阵D的行列式乘以-a13，最后再加上块矩阵A的行列式乘以a14总而言之，这种新的四阶行列式计算方法利用了分块矩阵的思想，将原来的四阶行列式分割成多个较小的块矩阵，并通过递归和拉普拉斯展开的方法计算出这些块矩阵的行列式，最后再根据块矩阵之间的关系得到原来行列式的结果。
这种方法可以简化计算过程，提高计算效率。
行列式分块运算法则 abb
行列式分块运算法则 abb
行列式分块运算法则（也称为“ABB法则”）是一种重要的计算行列式的方法，它适用于将一个大的行列式分成若干个小的行列式的情况。
具体而言，ABB法则将一个n阶行列式A划分为若干个k阶子行列式的乘积，其中k是A的阶数的一个因子。
划分的方法是将A的行或列按一定规律分为k个部分，分别对每个小矩阵计算其行列式，最后将它们乘起来就得到了A的行列式。
ABB法则的具体步骤如下：
（1）将A的行（或列）分成k个部分，每部分包含n/k行（或列）；
（2）将每个部分看成一个k阶矩阵，计算它们的行列式，得到k个k阶子行列式；
（3）将这k个子行列式乘起来，就得到了A的行列式。
ABB法则的优点在于它可以将一个大的行列式分解成若干个小的行列式，这样计算量就会大幅减少。
此外，ABB法则还可以用来证明一些行列式的性质，例如行列式的秩和矩阵的秩相等等。
总之，ABB法则是一种简便而实用的计算行列式的方法，应用广泛而又方便。
- 1 -。
分块矩阵在行列式计算中的应用
矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势．1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1[]2 设A 是n m ⨯矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rs r r s s A A A A A A A A A A 212222111211，就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ⨯矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21010301012102102301A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211A A A A ， 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21002312A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100121A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21030122A ．1.2 矩阵的运算进行分块矩阵的加、减、乘法与转置运算时，可将子矩阵当做通常矩阵的元素看待． 加法运算 设n m ij a A ⨯=)(和n m ij b B ⨯=)(为同型矩阵（行数和列数分别相等），若用相同的分块方法，即t s ij n m A A ⨯⨯=)(，t s ij B B ⨯=)(，其中ij A 、ij B 是j i n m ⨯矩阵，t j s i .,2,1,,,2,1 ==，且m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则A 与B可直接相加，即=+B A t s ij ij B A ⨯+)(．数乘运算 设分块矩阵t s ij n m A A ⨯⨯=)(，k 为任意数，则分块矩阵与k 的数乘为t s ij kA kA ⨯=)(．乘法运算 一般地说，设sn ik a A )(=，nm kj b B )(=，将矩阵A 、B 分块，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=tr t t r r B B B B B B B B B B 212222111211， 其中每个ij A 是j i n s ⨯小矩阵，每个ij B 是j i m n ⨯小矩阵，于是有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==sr s s r r C C C C C CC C C AB C212222111211， 其中ij C 是j i k m ⨯矩阵，=ij C ∑=ni ij ij B A 1．应该注意，在进行乘法运算求乘积AB 时，对矩阵A 、B 分块要求，矩阵A 的列的分法必须与矩阵B 的行的分法一致．矩阵的乘法不适合交换律，即一般来说，没有BA AB =．分块矩阵是一类特殊的矩阵，它的乘法同样不适合交换律．根据上文所述分块矩阵也是一个矩阵，因此有与一般矩阵的加法、数乘、乘法的运算性质相同．不过，分块矩阵运算时应注意以下几点：(1) 进行加法运算时，对应子块的结构需相同；(2) 进行数乘运算时，必须对每一子块都乘以相同的数； (3) 进行乘法运算时，不能随意交换两个相乘子块的顺序．在具体运算过程中，我们要灵活地分块，目的是使运算更简便．而对于乘法，在矩阵A 与矩阵B 相乘时，对B 的一个分块方式，A 可以有几种分块方式都可与B 相乘，同样对A 的一个分块方式，B 也是如此．但不论怎样分块，始终坚持相乘的两个矩阵前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致，因为只有这样乘积才有意义．例如，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011010100101B ，我们把B 分块为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222122011010100101B B E E ， 其中2E 为二阶单位阵，这时若只考虑乘法的相容性，A 可以分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010001， 我们可以看到第一种分法中有单位块，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222A OO E A ， 对于乘法运算显然更加简便，即=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200010001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010100101⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222122222B B E E A O O E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222212222B A B A E E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=022*********． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=st s s t t A A A A A A A A A A 212222111211是一个分块矩阵，那么它的转置为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111．分块矩阵的转置应遵守如下规则：(1) A 的每一块都看成元素，对A 转置； (2) 对A 的每一块都转置．1.3 特殊的分块矩阵形式如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l A O A O A21的矩阵，其中i A 是i i n n ⨯矩阵),,2,1(l i =，通常称为准对角矩阵．准对角矩阵具有如下性质： (1) 设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21， 则有l A A A A 21=；(2) A 可逆⇔i A 可逆),,2,1(l i =，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111l A A A A ； (3) 对于两个有相同分块的准对角矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l A O A O A21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l B O B O B B21， 如果它们相应的分块是同级的，那么显然有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l l B A O B A O B A AB2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+l l B A O B A OB A B A2211 它们还是准对角矩阵．与普通矩阵的初等变换类似，分块矩阵的初等变换有三种： (1) 互换分块矩阵二个块行（列）的位置；(2) 用一个可逆矩阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行（列）； (3) 将分块矩阵某一块行（列）的k （矩阵）倍加到另一块行（列）． 定义2[]3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵． 现将某个单位矩阵如下进行分块，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O O E ， 对它进行两行（列）对换；矩阵的某行（列）乘以行列可逆阵P ；某一行（列）乘以矩阵Q 加到另一行（列）上，就可得到如下三种分块初等矩阵：(1) 分块初等对换阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O E E O mn ； (2) 分块初等倍乘阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n E O O P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛P OO E m； (3) 分块初等倍加阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE O Q E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n mE QO E ． 与初等矩阵和初等变换的关系一样，用上面这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A ， 只要分块乘法能够进行，其结果就等于对它进行相应的初等变换：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A O E E O n m ； (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A E O O P n ；(3) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛PA D PA C B AD C B AE P O E n m ． 同样，用它们右乘任一矩阵，也有相应的结果．我们通过验证，当用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵，就相当于对该分块矩阵作了一次相应的分块矩阵的初等行（列）变换．分块矩阵的初等行（列）变换具有直观的优点，用分块初等矩阵左乘（右乘）一个分块矩阵能得到矩阵间的等式，从而有利于计算矩阵行列式的值．定义3]2[ 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤．位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式．当n k <时，在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式．引理（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定了k )11(-≤≤n k 个行．由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D ．定理1 设A 是m 阶方阵，B 是n m ⨯阶矩阵，C 是n 阶矩阵，则C A CO B A =．证明 利用拉普拉斯定理，只要将行列式CO BA 按后n 行展开，在其所有的n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为A ，且C 位于整个矩阵的第n m m m +++,,2,1 行，第n m m m +++,,2,1 列，即可得C A CO B A =．类似地行列式的形式为CB OA 时，由行列式的转置值不变，因此仍有C A C A C B OA =''='''．通过上面的定理，我们自然想到，若是将行列式CO BA换成OC BA 又会有怎样的结论，它的值等于BC 吗？定理2 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则B C OC B A n 2)1(-=．证明 将拉普拉斯定理应用于上式的后n 行， 在其所有n 阶子式中，除C 外至少包含一列零向量，因此它们的值为零．而C 的余子式为B ，且C 位于整个矩阵的第n n n n +++,,2,1 行， 第n ,,2,1 列，因此C B OC B A s )1(-=，其中偶数+=+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=2)21()()2)(1(n n n n n n s ，即B C OC B A n 2)1(-=．定理3 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D C B A P 是分块n 阶矩阵，其中A 为r 阶方阵，B 为s r ⨯阶阵，C 为r s ⨯阶阵，D 为s 阶方阵．(1) 若A 可逆，则B CA D A P 1--=； (2) 若D 可逆，则B CD A D P 1--=． 证明 (1) 当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---B CA D O B A D C B A I CA O I 11 两边取行列式可得=P A B CA D 1--．(2) 当0≠D 时，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---D C O C BD A D C B A I O BD I 11 两边取行列式可得P =D B CD A 1--．将定理3中条件特殊化，可得到如下推论．推论1 设A 、B 、C 、D 分别是r ，s r ⨯，r s ⨯，s 矩阵，则有 (1) CB D D C BE r -=； (2)BC A E CB A s-=．证明 (1) 只需在定理3中令r E A =，即有CB D CBD OB E DCB E r r -=-=．(2) 只需在定理3中令s E B =，即有BC A E C OBC A E C B A ss -=-=．推论2 设B 、C 分别是s r ⨯，r s ⨯，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 证明 只需在定理3中令r E A =，s E B =，则有BC E CB E E CBE r s sr -=-=． 定理4[]5,4 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，则 (1) 当0≠A 且CA AC =时，=D C B A CD AB -； (2) 当A 0≠且BA AB =时，=D C B A CB DA -； (3) 当0≠D 且CD DC =时，=D C B A BC AD -； (4) 当0≠D 且BD DB =时，=DCB A BC DA -．证明 由A 、B 、C 、D 均为n 阶方阵，当0≠A 且CA AC =时，利用定理3得=DCB A A B CA D 1--B ACA AD 1--=B CAA AD 1--=CB AD -=，即=DCB A CB AD -，(2)、(3)、(4)类似可得．定理5[]7,6 设A 、B 都是n 阶方阵，则有B A B A ABB A -+=．证明 根据分块矩阵性质有BA OB B A AA B B B A ABB A -+=++=B A B A -+=．定理6[]8 设A 为n 阶可逆方阵，α与β均为n 维列向量，则)1(1βαβα-+=+A A A T T ．证明 因⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10110T TT A AE βαββαα， (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--αβαβαβ1110110A AA A ET T T ， (2) (1)式、(2)式两边各取行列式，又1101=-=-TE E βα，从而有)1(11αβαββα-+=+=-A A A A T T T．。