线性回归的各种检验共76页
线性回归的显著性检验
线性回归的显着性检验1.回归方程的显着性在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量人,乂2，…，x p之间确有线性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量X「X2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。
因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。
设随机变量丫与多个普通变量x1, x2^ ,x p的线性回归模型为其中；服从正态分布N（0,；「2）对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i,X2，…,X p从整体上对随机变量y是否有明显的影响。
为此提出原假设如果H。
被接受，则表明随机变量y与x「X2，…，X p的线性回归模型就没有意义。
通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。
正态随机变量y i,y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：n n nS r f （y—y）2为总的偏差平方和，S R=為（懈-y）2为回归平方和，S E f （% - ？）2为残i 1i# im差平方和。
因此，平方和分解式可以简写为：回归平方和与残差平方和分别反映了b = 0所引起的差异和随机误差的影响。
构造F检验统计量则利用分解定理得到：在正态假设下，当原假设H o ：b i =0, b2 =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n -p-1）的F分布。
对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。
，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。
实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。
复相关系数R定义为：平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为0空R乞1。
R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。
2.回归系数的显着性若方程通过显着性检验，仅说明b o，b i，b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。
多元线性回归模型的检验
多元线性回归模型的检验多元线性回归模型的检验[1]多元性回归模型与一元线性回归模型一样，在得到参数的最小二乘法的估计值之后，也需要进行必要的检验与评价，以决定模型是否可以应用。
1、拟合程度的测定。
与一元线性回归中可决系数r2相对应，多元线性回归中也有多重可决系数r2，它是在因变量的总变化中，由回归方程解释的变动(回归平方和)所占的比重，R2越大，回归方各对样本数据点拟合的程度越强，所有自变量与因变量的关系越密切。
计算公式为：其中，2.估计标准误差估计标准误差，即因变量y的实际值与回归方程求出的估计值之间的标准误差，估计标准误差越小，回归方程拟合程度越程。
其中，k为多元线性回归方程中的自变量的个数。
3.回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验，即检验整个回归方程的显著性，或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切。
能常采用F检验，F统计量的计算公式为：根据给定的显著水平a,自由度(k,n-k-1)查F分布表，得到相应的临界值Fa，若F > Fa，则回归方程具有显著意义，回归效果显著；F < Fa，则回归方程无显著意义，回归效果不显著。
4.回归系数的显著性检验在一元线性回归中，回归系数显著性检验(t检验)与回归方程的显著性检验(F检验)是等价的，但在多元线性回归中，这个等价不成立。
t检验是分别检验回归模型中各个回归系数是否具有显著性，以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素。
检验时先计算统计量ti；然后根据给定的显著水平a,自由度n-k-1查t分布表，得临界值ta或ta / 2,t > t ? a或ta / 2，则回归系数bi与0有显著关异，反之，则与0无显著差异。
统计量t 的计算公式为：其中，Cij是多元线性回归方程中求解回归系数矩阵的逆矩阵(x'x) ?1的主对角线上的第j个元素。
对二元线性回归而言，可用下列公式计算：其中，5.多重共线性判别若某个回归系数的t检验通不过，可能是这个系数相对应的自变量对因变量的影平不显著所致，此时，应从回归模型中剔除这个自变量，重新建立更为简单的回归模型或更换自变量。
线性回归精确分析讲课文档
(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)
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一元线性回归分析操作
(二) statistics选项 (1)基本统计量输出
– Estimates:默认.显示回归系数相关统计量.
– confidence intervals:每个非标准化的回归系数95%的置信
起的因变量y的平均变动
(二)多元线性回归分析的主要问题
– 回归方程的检验
– 自变量筛选 – 多重共线性问题
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第Hale Waihona Puke 八页，共76页。多元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(1)判定系数R2:
– R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量 y与所有自变量全体之间线性相关程度
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多元线性回归分析中的自变量筛选
(二)自变量向前筛选法(forward): • 即:自变量不断进入回归方程的过程. • 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,
并进行各种检验;
• 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方 程,并进行检验;
– 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程.
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第六页，共76页。
一元线性回归方程的检验
(一)拟和优度检验:
(3)统计量：判定系数
– R2=SSR/SST=1-SSE/SST. – R2体现了回归方程所能解释的因变量变差的比例;1-R2则体现
了因变量总变差中，回归方程所无法解释的比例。
– R2越接近于1，则说明回归平方和占了因变量总变差平方和的绝大
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15、机会是不守纪律的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
线性回归的各种检验
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
第三章--回归模型的检验
对于中国居民人均消费支出的例子：
一元模型：F=285.92
二元模型：F=2057.3 给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界 值：
一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52 显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
99.4
96.9
2758.9
1637.2
157.0
117.7
1999 4615.9 1932.1
98.7
95.7
2723.0
1566.8
169.5
123.3
2000 4998.0 1958.3
100.8
97.6
2744.8
1529.2
182.1
128.1
2001 5309.0 2014.0
100.7
2、关于拟合优度检验与方程显著性检
验关系的讨论
由
R2 1 RSS
TSS
与
F
ESS / k
RSS / n k
1
可推出： R2
kF
n k 1 kF
或
F
R2 / k
1 R2 / n k 1
三、变量的显著性检验（t检验）
方程的总体线性关系显著每个解释变量对被 解释变量的影响都是显著的
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验， 以决定是否作为解释变量被保留在模型中。
问题：
由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合 好坏无关，R2需调整。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）
线性回归的各种检验
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回归分析的任务就是揭示出呈因果关系 的相关变量间的联系形式，建立它们之 间的回归方程，利用所建立的回归方程， 由自变量（原因）来预测、控制依变量 （结果）。
以上计算也可在回归计算表中进行。
回归方程计算表1（一级数据）
序号k
Xk
Yk
Xk2
XkYk
Yk2
1
1.0 15.0 1.00 15.0 225.00
2
3.0 18.0 9.00 54.0 324.00
3
4.0 19.0 16.00 76.0 361.00
4
5.5 21.0 30.25 115.5 441.00
第六章 直线回归与相关
客观事物在发展过程中是相互联系、相 互影响，常常要研究两个或两个以上变 量间的关系。
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1 回归与相关的概念
确定性关系
各种变量间的关系大致可分为两类：
非确定性关系
一类是完全确定性的关系，又称函数关系，可以 用精确的数学表达式来表示，即当变量x的值取 定后，变量y有唯一确定的值与之对应。
2 直线回归
2.1 直线回归方程的建立
2.1.1数学模型
对于两个相关变量，一个变量用x表示，另 一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2， y2），……，（xn，yn）
为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将 每一对观测值在平面直角坐标系中描点，作出散 点图 （见图6-1）。
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函数关系 有精确的数学表达式
§3.3 多元线性回归模型的统计检验
t=
βj βj Sβ
j
=
βj βj e′e cjj n k 1
~ t(nk 1)
2、t检验 、 检验
设计原假设与备择假设： 设计原假设与备择假设： H0：βi=0 H1：βi≠0 给定显著性水平α，可得到临界值tα/2(n-k-1)， 给定显著性水平α 可得到临界值 ) 由样本求出统计量t的数值 的数值， 由样本求出统计量 的数值，通过 |t|> |t|> tα/2(n-k-1) ) 或 |t|≤ |t|≤tα/2(n-k-1) )
RSS = ∑ ei
2
2 总体平方和
Y )2 ESS = ∑(Y
回归平方和 残差平方和
则
TSS = Σ(Yi Y ) 2 = Σ((Yi Yi ) + (Yi Y )) 2 = Σ(Yi Yi ) 2 + 2Σ(Yi Yi )(Yi Y ) + Σ(Yi Y ) 2
由于
n 1 R = 1 (1 R ) n k 1
2 2
*2、赤池信息准则和施瓦茨准则 、
赤池信息准则（ 赤池信息准则（AIC） ）
AIC=-2L/n + 2(k + 1) / n
施瓦茨准则（SC） 施瓦茨准则（ ）
SC=-2L/n + (k + 1) ln n / n
L为对数似然值，n为样本容量，k为解释变量个数。 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量 值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量
β 0 = 120.70 β 1 = 0.2213 β 2 = 0.4515 s β = 36.51
简单线性回归模型的统计检验
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1
1、拟合优度检验
拟合优度检验：对样本回归直线与样本 观测值之间拟合程度的检验。
度量拟合优度的指标：判定系数（可决 系数）R2
问题：采用普通最小二乘估计方法，已 经保证了模型最好地拟合了样本观测值， 为什么还要检验拟合程度？
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2
2、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下 样本回归直线
n
X
2 i
x
2 i
s eˆ ( ˆ 2 )
ˆ
x
2 i
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12
（2）在小样本情况下，若用无偏估计 ^ 2 代替 2 去 估计标准误差，则进行标准变化的统计量不再服从正
态分布，而是服从自由度为n-2的t分布
一 般 情 况 下 ， 对 ˆ 1 与 ˆ 2 变 换 后 服 从 自 由 度 为 n - 2 的 t 分 布 ：
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t分布
P (t)
P(t 2tsˆe 1 ˆ( ˆ 1)1t 2)195%
拒绝域
2
t (n 2)
接受域 0
2
拒绝域
t (n 2)
t
假如0.05,t 2.1009 P ( 2 .1 0 0 9 t* 2 .1 0 0 9 ) 9 5 %
2
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16
举例：一元线性模型中，i (i=1，2）的置信区间: 在变量的显著性检验中已经知道：
x
2 i
^
^
1 Y2 X
^^
因为 1 , 2 是关于Y 的线性函数，而Y是关于随机扰动项 ui的线 ^^
性函数，所以 1 , 2 也是ui的线性函数，且服从正态分布
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61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰归的各种检验
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿