解直角三角形2
解直角三角形(2)
45°
O
B
O
B
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（2）
解直角三角形 常用关系：
知新
B
a
a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式
A
a b sin A ,sin B c c
b
┌ C
b a cos A , cos B c c a b tan A , tan B b a
视线
仰角 水平线
俯角 视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30, PBO 45 PO PO tan 30, tan 45 P OA OB
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
45°
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
图2
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m（根号保留）．
第七章第6课时 解直角三角形(2)
BCD第6课时 解直角三角形（2）班级 姓名 学号 ［学习目标］1、能综合应用直角三角形边角关系的知识解直角三角形，进一步体会三角函数的意义与作用；2、经历研讨直角三角形边角关系以及利用这些关系解直角三角形的过程，发展归纳整理知识的能力和计算能力。
［学习过程］问题1、（1）如图，AB 表示地面上一段斜坡的坡面，BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度，∠A ＝30°，AB=240m ，（1）求sinA 和cosA 的值；（2）求点B 相对于水平地面的高度。
练习：如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD ⊥AB ，CD ＝33m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长。
问题2、小明正在放风筝，风筝线与水平线成30°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度。
（精确到1m ）问题3、如图，求半径为10的圆的内接正五边形的边长（结果精确到0.1）。
（sin36°=0.59, cos 36°=0.81, tan36°=0.73）练习：求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（结果保留根号）．问题4、在△ABC 中，∠B=30°，AB=10，BC=63，求AC 的长。
练习：在△ABC 中，∠A=75°，∠B=45°， BC=3+1，求AC 和AB 的长。
问题5、在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=23，DC=2，∠DAB=30°，∠C BA=60°，求AB 的长。
练习：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=8，面积为A DB 三、课后作业：1．正三角形边长为a ，则其外接圆半径等于 （ ）A ．a 3 B.a 33 C.a 23 D.a 21第七章 锐角三角函数BAAOBH D E CA CBB C2．如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）m 2A ．αsin 1600 B 。
1.4解直角三角形(2)
3.如图3,一灯柱AB被一钢缆CD固定. CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再 在CD上方2m处加固另一根钢缆ED, 那么,钢缆ED的长度为多少? (结果精确到0.01m).源自C图2图3
在直角三角形BCD和直角三角形 BED中，
点拔（10分钟）
h 坡度 i tan l
东
一.坡度（坡比）、坡角 如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）
在直角三角形ACD和直角三角形 BCD中，
7.（2012湖北黄冈）新星小学门口有一直线马路，为方便 学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马 线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端 的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯 刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为 ∠FAE＝15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为 0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、 D、C、B 四点在平行于斑马线的同一直线上.)
当堂训练（15分钟）
2 x 5.（2010 四川南充）如果方程 4 x 3 0 的两个根分
别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为∠A，那 1 2 或 么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 3 4 6.（2011山东）校车安全是近几年社会关注的重大问题， 安全隐患主要是超载和超速.某中学数学活动小组设计 了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路l 旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与 l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、 B，使∠CAD=30°，∠CBD =60° (1)求AB的长（精确到0.1米， 参考数据： 3 1.73 ， 2 1.41 ）； (2)已知本路段对校车限速为 40千米/小时，若测得某辆校车从 A到B用时2秒，这辆校车是否超 速？说明理由.
解直角三角形的应用2
B
（一）
30°
45°
A
D
C
已知：BC=2，求线段CD,AD的长。 已知：AD=1，求线段BC的长。
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
例1、学校操场上有一根旗杆，上面有一
A A
D
300
60
0
B
8
600 4m
B
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察 旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) NhomakorabeaA
B
D
40
C
课本85页 第3题
苏科版九上 解直角三角形应用(2) 练习2
九年级数学家庭作业（06-09-26） 姓名⒈精亚·新天地为方便顾客购物，准备在一至二楼之间安装电梯，如图所示，楼顶与地面平行。
要使身高2米以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在B 处不碰到头部。
请你帮该集团设计，则电梯与一楼地面的夹角α最小为 度。
⒉课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪（离 地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，则旗杆EG 的高度为 .⒊一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求。
试求出改造后坡面的坡度是多少？⒋如图，山脚下有一棵树AB ，小强从点B 沿山坡向上走50m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高（精确到0.1m ）BC PD A10°15°⒌如图，我校九（4）班的一个学习小组进行测量孤山高度的实践活动。
部分同学在山脚点A 测得山腰上一点D 的仰角为30°，并测得AD 的长度为180米；另一部分同学在山顶点B 测得山脚点A 的俯角为45°，山腰点D 的俯角为60°。
请你帮助他们计算出小山的高度BC （计算过程和结果都不取近似值）。
⒍如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区。
取MN 上的另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°。
已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
⒎如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝1: 0.5，坝高CF 为2米，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。
河南省濮阳市南乐县张果屯乡中学数学 第28章 解直角三角形课件2 (新人教版九年级下)
160 3 120 3.8小时内卸完 40
2.如图所示，挂着“庆祝国庆”条幅的氢气球升在广场 上空，已知气球的半径为2m，在地面A点测得气球中心O的 仰角为60°，测得气球的视角 ∠BAC=2°(B、C是⊙O上的点, 且OB⊥AB,OC⊥AC)，则气球 B 中心O离地面的高度OD为( C ) o (sin 1°=0.0175， 3 1.732 结果精确到1m) C A.94m B.95m C.99m D.105m
解直角三角形的依据
三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系
边角之间的关系 sinA＝ a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
c
cosA＝ b c b cotA＝ a
Ａ
c
a
a tanA＝ b
b
Ｃ
运用解直角三角形知识解决与生活、生产有关 的问题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域. 在测量时,须掌握仰角和俯角;方向角的概念.
在Rt⊿BCD中，CD=BD· tan∠CBD
=X· tan600= 3x 在Rt⊿ACD中，AD=CD· cot∠DAC A =
0= · cot45 3x
450 600
B
D
∵AD-BD=AB=20,即：3x x 20 x 10 10 3 ∴气球离地面的高度为： (30 10 3 )m
3 20 3 3 3
∴BC=AC· tanA=20· tan300=20× 而: CE=AF=1.5
20 3 1 .5 （ m） 3
∴ 旗杆高BE=
（二）你行吗? 【例1】天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C 的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°，已知 AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面 C 的高度?(结果保留根号） 解：作CD⊥AB，垂足为D。设BD=x
25.3解直角三角形2-仰角与俯角
1 图25.3.3图25.3.425.3解直角三角形2----仰角与俯角课时学习目标1．通过自学掌握仰角与俯角概念, 能利用解直角三角形解决有关仰角与俯角实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
课前预习导学1、如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做___________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做___________．2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α＝30°，求飞机A 到控制点B 的距离．（精确到1米）已知:sin20°＝ , cos20°＝ ， tg20°＝课堂学习研讨例1 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22米的D 处，用高1．5米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝30°，求电线杆AB 的高．（精确到0．1米）例2 两座建筑AB 与CD ，其地面距离AC 为50米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝30°，测得其底部C 的俯角α＝45°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）2 （第4题）课堂达标检测1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则sinB 的值为 。
2. 若30α= ∠，则α∠的余角是 °，cos α= ．3.小明在地面一点A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52 , 则小明从楼楼顶点C 处看地面点A 的俯角为 °.4.如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）1.两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）2.如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）课堂小结：这节课我的收获是 。
2022年青岛版九年级上《解直角三角形的应用2》精品课件
x
、
1
x
2
2a
2. 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个 完全平方式。求k的值。
课时小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值，值的范围为实数 。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac
5、写出方程的解：
解直角三角形的应用（2）
1.进一步掌握解直角三角形的方法。
2.能熟练地应用解直角三角形的知 识解决有关方位角的实际问题。
精讲点拨
例3 住宅的采光是建楼和购房时 人们所关心的问题之一。如图，住 宅小区南、北两栋楼房的高度均为。 已知当地冬至这天中午12时太阳光 线与地面所成的角是35°。
（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的 距离元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
2、写出 a、b、c 的值。
3、求出 b2 4ac 的值。
特别注意:若 b24ac0则方程无解
4、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
5、写出方程的解：
x
、
1
x
2
复习巩固 公式法解方程： （1）x2-7x-18=0
（2） 9x2+6x+1=0
（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影 子是否会影响北楼一楼的采光？
跟踪训练
如图，在海岸边有一港口O，已知小岛A在港口 O北偏东30°的方向，小岛B在小岛A正南方向， OA=60海里，OB=20 海里．计算： (1)小岛B在港口O的什么方向； (2)求两小岛A，B的距离．
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基于以上分析，本节课复习解直角三角形知识主要通过几个典型例题的教学，达到教学目标．
教学用具
执教者
教学内容
共 案
个 案
一、新课引入：
1、什么是解直角三角形？
2、在Rt△ABC中，除直角C外的五个元素间具有什么关系？
请学生回答以上二小题，因为本节课主要是运用以上关系解直角三角形，从而解决一些实际问题．
学生回答后，板书：
(1)三边关系：a2+b2=c2；
(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°；
2、出示例题2．
在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析：
如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用．教学时，在这里教师应着重引
首先请学生分析：过B、C作梯形ABCD的高，将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解．
教师可请一名同学上黑板板书，其他学生笔答此题．教师在巡视中为个别学生解开疑点，查漏补缺．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则BE=23m．
在Rt△ABE中，
∴AB=2BE=46(m)．
∴FD=CF=23(m)．
②，通过①，②两式，可得AB长．
解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．
∵∠ADB=45°，∴AB=BD，
∴BC=CD+BD=20+AB．
在Rt△ABC中，∠C=30°，
通过此题可引导学生总结：有些直角三角形的已知条件中没有一条已知边，但已知二边的关系，结合另一条件，运用方程思想，也可以解决．
二、新课讲解：
1、首先出示，通过一道简单的解直角三角形问题，为以下实际应用奠定基础．
根据下列条件，解直角三角形．
教师分别请两名同学上黑板板演，同时巡视检查其余同学解题过程，对有问题的同学可单独指导．待全体学生完成之后，大家共同检查黑板上两题的解题过程，通过学生互评，达到查漏补缺的目的，使全体学生掌握解直角三角形．如果班级学生对解直角三角形掌握较好，这两个题还可以这样处理：请二名同学板演的同时，把下面同学分为两部分，一部分做①，另一部分做②，然后学生互评．这样可以节约时间．
四、布置作业
板书设计
教学反思
小结与复习(二)
一、新课引入
二、新课讲解
三、课堂小结
四、布置作业
1.4解直角三角形
课题
解直角三角形
教学目标
1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
教学重点
归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
教学难点
利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
(3)边角之间关系
第二大节“解直角三角形”，安排在锐角三角函数之后，通过计算题、证明题、应用题和实习作业等多种形式，对概念进行加深认识，起到巩固作用．
同时，解直角三角形的知识可以广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度．其中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值．解决这类问题需要进行运算，但三角的运算与逻辑思维是密不可分的；为了便于运算，常常先选择公式并进行变换．同时，解直角三角形的应用题和实习作业也有利于培养学生空间想象能力，要求学生通过观察，或结合文字画出图形，总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的三大数学能力和分析问题、解决问题的能力．
3．例题3(出示投影片)
如图6-40，水库的横截面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
坝底宽AD(精确到0.1m)．
坡度问题是解直角三角形的一个重要应用，学生在解坡度问题时常遇到以下问题：
1．对坡度概念不理解导致不会运用题目中的坡度条件；
2．坡度问题计算量较大，学生易出错；
3．常需添加辅助线将图形分割成直角三形和矩形．因此，设计本题要求教师在教学中着重针对以上三点来考查学生的掌握情况．
答：斜坡AB长46m，坡角α等于30°，坝底宽AD约为68.8m．
引导全体同学通过评价黑板上的板演，总结解坡度问题需要注意的问题：
①适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形．
③计算中尽量选择较简便、直接的关系式加以计算．
三、课堂小结：
请学生总结：解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮助思考、防止出错．