高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结

第八节指数式、对数式的运算

❖基础知识

1.指数与指数运算

(1)根式的性质

①(n

a)n＝a(a使

n

a有意义)．

②当n是奇数时，n

a n＝a；

当n是偶数时，n

a n＝|a|＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧a，a≥0，

－a，a<0.

(2)分数指数幂的意义

分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．

①a m

n＝

n

a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

②a -

m

n＝

1

a

m

n

＝

1

n

a m

(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(3)有理数指数幂的运算性质

①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；

②a r

a s＝a

r－s(a>0，r，s∈Q)；

③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．

(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．

(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．

2．对数的概念及运算性质

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.

指数、对数之间的关系

(1)对数的性质

①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M

N ＝log a M －log a N ；

③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．

❖ 常用结论

1．换底公式的变形

(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝

1

log b a

(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n

m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；

(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M

log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．

2．换底公式的推广

log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式

a

log a N

＝N (a >0且a ≠1，N >0)．

考点一 指数幂的化简与求值

[典例] 化简下列各式：

(1)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭

⎫2 14-1

2－(0.01)0.5； (2)56

a 13·

b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷(4a 23·b －3)1

2. [解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫11001

2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝16

15

. (2)原式＝－52a -1

6b －3÷(4a 2

3·b －

3)1

2＝－54a -1

6b －3÷(a 1

3b -3

2)＝－54a -1

2·b -3

2＝－54·1ab 3＝ －5ab 4ab 2

.

[解题技法] 指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． [题组训练]

1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )

A ．(－2)－

2＝4 B ．2a －

3＝12a 3

C ．(－2)0＝－1

D ．(a

-

1

4)4

＝1a

解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －

3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故

C 错误；对于

D ，(a -

1

4)4

＝1a

，故

D 正确．

2．化简4a 23

·b

-

13

÷⎝ ⎛⎭

⎪⎫－23a -13b 2

3的结果为( ) A ．－2a

3b

B ．－8a

b

C ．－6a b

D ．－6ab

解析：选C 原式＝－6a

⎛⎫-- ⎪⎝⎭

2133b

--1233

＝－6ab －

1＝－6a b

.

3．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭

⎫－278-2

3

＋(0.002)-1

2＝________.