10.3 复数的三角形式及其运算 课件(2)-人教B版高中数学必修第四册(共32张PPT)
10.3 复数的三角形式及其运算 教学设计(2)-人教B版高中数学必修第四册
10.3 复数的三角形式及其运算本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十章《复数》，10.3复数的三角形式及其运算，本节课要学的内容包括复数的三角表示、复数乘法与除法运算的三角表示，理解复数的几何意义，了解复数代数表示与三角表示之间的关系，并掌握复数乘除法的三角表示及其几何意义。
通过问题探究的形式，让学生发现问题，分析和解决问题，从而发展学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养。
1.教学重点：复数的代数表示与三角表示之间的关系；2.教学难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义的运用；多媒体练习1.写出复数z ＝1+√3i 的三角形式.解：方法1：因为|z |＝221(3)+＝2，cos θ＝12，sin θ＝32，所以可取θ＝arg z ＝3π，从而z ＝1+√3i 的三角形式为 z ＝2(cos sin )33i ππ+. 方法2：归纳总结注:(1)为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可. (2)因为 0＝0（cos θ+isin θ），其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了. 例1.把下列复数的代数形式改写成三角形式 （1）1i - （2）2i （3）1- 解：（1）由题意可知：222221111(1)[]1(1)1(1)i i -=+--+-+-22772()2(cos sin )2244i i ππ=-=+ （2）因为2i 在复平面内所对应的点在y 轴的正半轴上，所以可知：r 1（cos θ1+isin θ1）×r 2（cos θ2+isin θ2）＝r 1r 2［cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）］. 注：z 1的模乘以z 2的模等于z 1z 2的模（简记：模相乘），z 1的辐角与z 2的辐角之和是z 1z 2的辐角 （简记：辐角相加）例如.266cos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×22cos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝26262cos isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝ 2 2 2cos isin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 设12,z z 对应的向量分别为12,OZ OZ u u u u r u u u u r ，将1OZ u u u u r绕原点旋转2θ，再将1OZ u u u u r的模变为原来的2r 倍，如果所得向量为,OZ uuu r 则OZ uuu r 对应的复数为12z z ，如图所示.当20θ>时，按逆时针方向旋转角2θ，当20θ<时，按顺时针方向旋转角2||θ因为cossin22i i ππ+=，所以一个复数与i 相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转2π，如图所示.上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.特别地，如果n N ∈，则：[(cos sin )][cos()sin()]n n r i r n n i θθθθ+=+证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示平面直角坐标系，确定复平面， 由平行线的内错角相等可知，α，β，γ分别等于复数3i +，2i +，1i +的辐角主值，因此αβγ++应该是(3)(2)(1)i i i +++的一个辐角，又因为(3)(2)(1)(55)(1)10i i i i i i +++=++=，而arg(10)2i π=，所以存在整数k ，使得22k παβγπ++=+，注意到α，β，γ都是锐角，于是0k =，从而2παβγ++=跟踪训练1. 计算下列各式：（1）（cos 36°+isin 36°）-5；（2）42cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解：（1）（cos 36°+isin 36°）-5＝＝＝-1.（2）＝＝＝＝＝−132 +332i. 2.设复数13z i =+，复数2z 满足2||2z =，已知212z z 的对应点在虚51(3636)cos isin ︒+︒1180180cos isin ︒+︒42cos isin 33ππ-⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦412cos isin 33ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4144233cos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 0isin 04 4 16cos isin 33ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1 4 4 cos isin 1633ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦本课以复数三角形式及复数乘除法三角形式及其几何意义的探究，让学生经历发现与尝试，分析概括和归纳总结的过程，从而发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。
10.3复数的三角形式及其运算课件高中数学人教B版
2
个复数三角形式相除的法则为:模相除,辐角相减.
2.复数除法运算的几何意义
两个复数 z1,z2 相除时,先分别画出与 z1,z2 对应的向量1 , 2 ,然后把向量
1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0,就要把1 绕点 O 按逆时针方
1
向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的 (r2>1,应缩短;0<r2<1,应伸长;r2=1,模
所以
7π
arg(1-i)= 4 .
于是 1-i=
7π
7π
2(cos +isin ).
4
4
=
2
.
2
变式训练2将下列复数化为三角形式:
π
π
(1)-cos5 +isin5 ;
(2)sin θ+icos θ.
π
π
解(1)-cos5 +isin5 =cos
(2)sin θ+icos θ=cos
π
2
π
π- 5
4
3( 3-i)
=
B.1+
3
i
3
D.1+
2
i
2
=
1
2
3
(
3
cos
-1
π
3
=
1
-1
,arg
2
+ isin
π
3
,即
3
3+i)=1+ i.故选
3
B.
=
π
,则
3
1
1
1
4
z=( B )
= +
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.2.1 复数的加法与减法
(5)两个共轭复数的和一定是实数,差不一定是纯虚数.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
复数的加法、减法运算
【例1】 计算下列各式的值.
(1)(3-2i)+(4+3i);
(2)(-1+√3i)+(1-√3i);
(3)(5-4i)+(-3+2i)-(2+i).
= − =(4,-6).
故对应的复数为 4-6i.
本 课 结 束
(2)①一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作 –z ,并规定-z=-(a+bi)=
-a-bi .
②复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2)= (a-c)+(b-d)i .
4.若z1=-5+3i,z2=4-2i,
则z1+z2=
答案:-1+i -9+5i
;z1-z2=
为0,3+2i,-1+6i.求:
(1)对应的Leabharlann 数;(2)对应的复数;(3)点B对应的复数.
分析:借助复数加、减法的几何意义求解.
解:(1)∵ =-,且对应的复数为 3+2i,
∴ 对应的复数为-(3+2i),即-3-2i.
(2)∵ = − ,
∴ 对应的复数为(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.
(3)∵ = + ,
∴ 对应的复数为(3+2i)+(-1+6i)=2+8i.
∴点 B 对应的复数为 2+8i.
反思感悟
人教B版高中数学必修第四册精品课件 复习课 第2课时 复数
意义及复数的运算的几何意义.复数的几何意义体现了用几何图形的方法
研究代数问题的数学思想.
复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减
复数的三 辐角
*
复数的
三角形式
角形式
+
-
+
i(,,,∈R,且 + i ≠ 0)
2
2
2 +
2 +
以轴正半轴为始边、向量所在射线(射线)为终边的一个角
辐角主值:在[0,2π)内的辐角,记作arg
三角表示:任何一个非零复数 = + i(,∈R)都可以表示成(cos + isin)的形式
所以 = 1+2i =
=2-i,
5
所以 z=2+i,
2
2+i (2+i)
3 4
所以 =
= 5 = 5 + 5i.
2-i
5
5
(-1+ 3i)
(-1+ 3i) (1- 3i)
(2)
=
1+ 3i
(1+ 3i)(1- 3i)
-(1- 3i)
= 4
6
2 3
-[(1- 3i) ]
=
4
23 (1+ 3i)
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,该复数为虚数.
2 -5-6 ≠ 0,
(3)当 2
即 k=4 时,该复数为纯虚数.
-3-4 = 0,
2 -3-4 = 0,
(4)当 2
即 k=-1 时,该复数为 0.
-5-6 = 0,
专题二
第十章 10.3 第一课时 复数的三角形式2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型
@《创新设计》
[微思考] 1.复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)中θ一定是辐角主值吗？一个复数的三角形式唯
一吗？ 提示 复数三角形式中的θ不一定是辐角主值，三角形式不唯一. 2.两个复数的模和辐角主值相等是两个复数相等的充要条件吗？ 提示 是.因为一个非零复数的模和辐角主值是唯一确定的，所以两个非零复 数相等当且仅当他们的模和辐角主值相等.
课堂互动
核心素养
解 (1)由r≥0知，z1不是三角形式. (2)z2中cos θ与isin θ之间为减号，不是三角形式. (3)z3中正、余弦位置不对，不是三角形式. (4)z5中角不同，不是三角形式.
@《创新设计》
15
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)，需要的条件：①r≥0.②θ前后一致，可取任意 值.③cos θ在前，sin θ在后.④加号连接，可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连， 此四个条件缺一不可.
18
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 核心素养
@《创新设计》
规律方法 代数形式化为三角形式的步骤为： ①求复数的模r＝|z|；②确定Z(a，b)所在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复数三 角形式. 三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值.
19
课前预习
课堂互动
核心素养
【训练3】 将下列复数化为三角形式(要求辐角为辐角主值).
(3)2cos74π＋isin74π (4)2cos45π＋isin45π
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课前预习
课堂互动
@《创新设计》 核心素养
@《创新设计》
一、素养落地 1.通过复数的三角形式的理解及与代数形式的互化，培养逻辑推理素养，提升数
10.3复数的三角形式及其运算(第2课时) 教案-高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
10.3复数的三角形式及其运算第二课时教案教学课时：共2课时（第2课时）教学目标：1.能准确记住复数三角形式的乘法、除法运算法则公式，并会用文字语言对公式含义进行说明，知道复数三角形式的乘法、除法运算结果的几何意义，知道复数三角形式的乘法、除法运算的意义．2.结合复数三角形式的乘法与除法法则的推导过程，培养学生的数学运算能力与数学运算、逻辑推理核心素养，进一步体会数形结合思想的应用．3.感受转化思想方法在研究数学问题中的作用，培养学生不畏困难、勇于探索的思想品质．教学重点：复数三角形式乘法、除法运算法则的推导与法则的应用意识．教学难点：复数三角形式乘法、除法运算结果的几何意义的认识，除法运算法则的推导方法．教学过程：一、情境与问题问题1：如何进行复数代数形式的乘法、除法运算？【学生活动】：思考并回忆乘法、除法的运算方法．【设计意图】：学生在前面的学习中，已经能够计算两个复数的代数形式的乘除法．所以可以通过回忆，引入本节的学习内容．二、新知探究问题1：设复数．【学生活动】：将复数写成代数形式，利用复数的乘法运算公式，计算．【设计意图】：学生在前面的学习中，已经能够计算两个复数的代数形式的乘积，所以可以通过把三角形式转成代数形式，计算乘积，自己推导出三角形式的乘积公式．问题2：结合复数三角形式的乘法运算公式，两个复数相乘的几何意义是什么？【学生活动】观察公式，思考并讨论两个复数相乘的几何意义．【设计意图】引导学生结合图形，体会复数乘法的几何意义．使学生进一步感受复数的代数形式、三角形式、几何表示之间的联系．问题3：问题4：如果非零复数z的三角形式为，你能不能写出的三角形式，并求出的值？解：假设每个正方形边长为1，建立坐标系．分别为复数3+i，2+i，1+i的辐角主值，因此是（3+i）（2+i）（1+i）的一个辐角．又因为（3+i）（2+i）（1+i）=10i，而，所以答案：10-3A第7题：10-3B第1题：不成立，因为．10-3C第1题：答案：1，3、应注意的问题：复数有代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．5、作业建议：48页习题10-3A第5题、第7题.49页习题10-3B第1题、第3题、第4题、第5题．49页习题10-3C第1题、第2题.。
人教版高二数学必修第四册《复数的三角形式及其运算》评课稿
人教版高二数学必修第四册《复数的三角形式及其运算》评课稿一、引言《复数的三角形式及其运算》是人教版高二数学必修第四册中的一章，主要介绍了复数的基本概念、三角形式表示以及复数的运算法则。
本评课稿旨在对该章节的教学内容进行全面评价与分析。
二、教学目标本章教学的主要目标是： 1. 理解复数的定义及其三角形式表示； 2. 掌握复数的加法、减法、乘法和除法运算法则；3. 能够用复数解决实际问题。
三、教学重点和难点1.教学重点：–复数的定义及其三角形式表示；–复数的加法、减法、乘法和除法运算法则。
2.教学难点：–复数的三角形式表示的理解和运用；–复数的除法运算法则的掌握和应用。
四、教学内容及分析4.1 复数的定义及表示•复数的定义：复数是由实数和虚数部分构成的数，形如 a + bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
•复数的三角形式表示：复数的三角形式表示为r(cosθ + isinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
这部分内容是理解复数的基础，学生需要理解复数的定义，并能够将复数写成三角形式表示。
教师可以通过具体的数学例子和几何图形来帮助学生理解。
4.2 复数的运算法则4.2.1 复数的加法和减法•加法运算法则：(a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i。
•减法运算法则：(a + bi) - (c + di) = (a - c) +(b - d)i。
加法和减法是复数运算的基本操作，学生需要通过多种实际例子来练习，加深对复数加法和减法的理解。
4.2.2 复数的乘法和除法•乘法运算法则：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
•除法运算法则：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i。
人教B版新教材高中数学必修第四册课件复数的三角形式及其运算
2
2
22－
22i
＝ 22cos74π＋isin74π，
所以 2(cos 75°＋isin 75°)×12－12i
＝ 2cos152π＋isin152π× 22cos74π＋isin74π
＝ 2× 22cos152π＋74π＋isin152π＋47π
＝cos2162π＋isin2162π ＝cosπ6＋isinπ6 ＝ 23因为 3＋i 对应的点在第一象限， 所以 cos θ＝ 23，即 θ＝π6， 所以 3＋i＝2cosπ6＋isinπ6.
(2)r＝ 2＋2＝2，cos θ＝ 22， 又因为 2－ 2i 对应的点位于第四象限， 所以 θ＝74π. 所以 2－ 2i＝2cos74π＋isin74π.
[跟进训练] 3．在复平面内，把与复数343＋34i 对应的向量绕原点 O 按逆时 针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的 2 倍，求与所得向量对应 的复数．(用代数形式表示)
[解] 343＋43i＝32cosπ6＋isinπ6， 由题意得32cosπ6＋isinπ6×2cosπ3＋isinπ3 ＝32×2cosπ6＋π3＋isinπ6＋π3 ＝3cosπ2＋isinπ2 ＝3i， 即与所得向量对应的复数为 3i.
1．复数 1－ 3i 的辐角主值是( )
A．53π
B．32π
C．65π
D．π3
A [因为 1－ 3i＝212－ 23i＝2cos53π＋isin53π，
所以 1－ 3i 的辐角主值为35π.]
2．复数 9(cos π＋isin π)的模是________． [答案] 9
(2)zz12＝rr12ccooss
θ1＋isin θ2＋isin
θ1 θ2
r1 ＝ r2