3-8 曲率
大物课后习题 答案
1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为x =3t +5, y =21t 2+3t -4.式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．解：（1） j t t i t r)4321()53(2-+++=m (4) 1s m )3(3d d -⋅++==j t i tr v则 j i v734+= 1s m -⋅(6) 2s m 1d d -⋅==j tv a这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以0v (m ·1-s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．图1-4解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l +=将上式对时间t 求导，得ts stl ld d 2d d 2= 题1-4图根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ ts v v tl v d d ,d d 0-==-=船绳即 θcos d d d d 00v v sl tl s l ts v ==-=-=船或 sv s h slv v 02/1220)(+==船将船v 再对t 求导，即得船的加速度32022222002)(d d d d d d sv h sv sls v slv s v v st s l tl s tv a =+-=+-=-==船船1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ， v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t tv a 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得12234c t t v ++=由题知，0=t ,00=v ,∴01=c 故 2234t t v += 又因为 2234d d t t tx v +==分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 521232++=t t x所以s 10=t 时m70551021102sm 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2021bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ． 解：（1） bt v ts v -==0d dRbt v Rva b t v a n 202)(d d -==-==τ则 240222)(Rbt v b aa a n-+=+=τ加速度与半径的夹角为20)(arctanbt v Rb a a n--==τϕ(2)由题意应有2402)(Rbt v b b a -+==即 0)(,)(4024022=-⇒-+=bt v Rbt v b b∴当bv t 0=时，b a =1-10 以初速度0v ＝201s m -⋅抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．题1-10图(1)在最高点，o0160cos v v v x == 21sm 10-⋅==g a n又∵ 1211ρv a n =∴m1010)60cos 20(22111=︒⨯==n a v ρ(2)在落地点，2002==v v 1sm -⋅,而 o60cos 2⨯=g a n ∴ m 8060cos 10)20(22222=︒⨯==n a v ρ2-3 283166-⋅===sm m f a x x2167-⋅-==s m mf a y y(1)⎰⎰--⋅-=⨯-=+=⋅-=⨯+-=+=2101200872167452832sm dt a v v s m dt a v v y y y x x x于是质点在2s 时的速度18745-⋅--=sm ji v(2) mji j i jt a i t a t v r y x 874134)167(21)4832122(21)21(220--=⨯-+⨯⨯+⨯-=++= 2-4 (1)∵dtdv mkv a =-=分离变量，得m kdt v dv -=即⎰⎰-=vv tmkdt v dv 0mkt ev v -=ln ln∴ tmk e v v -=0(2)⎰⎰---===tttmk mk ekmv dt ev vdtx 000)1((3)质点停止运动时速度为零，即t →∞， 故有⎰∞-=='000kmv dt ev x tmk(4)当t=km 时，其速度为ev ev ev v km m k 0100===-⋅-即速度减至v 0的e1.2-7由题知，小球落地时间为0.5s ．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v 1=gt=0.5g ，小球上跳速度的大小亦为v 2=0.5g ．设向上为y 轴正向，则动量的增量 Δp=mv 2-mv 1 方向竖直向上，大小 ｜Δp ｜=mv 2-(-mv 1)=mg碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒． 2-12 (1)由题知，F 合为恒力，∴ A 合=F ·r=(7i-6j)·(-3i+4j+16k)=-21-24=-45 J (2)w tA N 756.045==∆=(3)由动能定理，ΔE k =A=-45 J2-15 弹簧A 、B 及重物C 受力如题2-15图所示平衡时，有题2-15图 F A =F B =Mg 又 F A =k 1Δx 1 F B =k 2Δx 2所以静止时两弹簧伸长量之比为 1221k k x x =∆∆弹性势能之比为12222211121212k k x k x k E E p p=∆∆=2-20 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有222120212121mv mv mv +=即 222120v v v += ①3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和S '中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s ．求： (1) S '相对于S 的运动速度．(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．解: 甲测得0,s 4==x t ∆∆,乙测得s 5=t ∆，坐标差为12x x x '-'='∆′ (1)∴ t cv tx cv t t ∆-∆=∆+∆='∆22)(11)(λγ54122='∆∆=-t t cv解出 c c t t c v 53)54(1)(122=-='∆∆-=8108.1⨯= 1s m -⋅(2) ()0,45,=∆=∆'∆=∆-∆='∆x tt t v x x γγ∴ m 1093453458⨯-=-=⨯⨯-=-='c c t v x ∆γ∆负号表示012<'-'x x ． 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解: 2220153,1513βββ-=-=-=='则l l∴ c c v 542591=-=3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s ，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c 离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?解: 以脉冲星为S '系，0='∆x ，固有周期0τ='∆t .地球为S 系，则有运动时t t '∆=∆γ1，这里1t ∆不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，ct v 1∆∴ t cv t c t v t t ∆+'∆=∆+∆=∆γγ11′)1(cv t +'=∆γ6.01)8.0(112=-=c c γ则 γλτ)8.01(5.0)1(0c c cv t t +++∆='∆=s 1666.08.13.06.01)8.01(5.0==+=3-16 静止在S 系中的观测者测得一光子沿与x 轴成︒60角的方向飞行．另一观测者静止于S ′系，S ′系的x '轴与x 轴一致，并以0.6c 的速度沿x 方向运动．试问S ′系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S 系中光子运动速度的分量为c c v x 500.060cos ο==c c v y 866.060sin ο==由速度变换公式，光子在S '系中的速度分量为c ccc c c v cu u v v xx x143.05.06.016.05.0122-=⨯--=--='c ccc c v cu v cu v xyy 990.05.06.01866.06.011122222=⨯-⨯-=--='光子运动方向与x '轴的夹角θ'满足692.0tan -=''='xy v v θθ'在第二象限为ο2.98='θ在S '系中，光子的运动速度为c v v v y x='+'='22 正是光速不变． 3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功?解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得)111()1(222020202--=-=-==cv c m c m cm mcE E k k γ∆)11.011()103(101.922831--⨯⨯⨯=-161012.4-⨯=J=eV 1057.23⨯(2) )()(2021202212c m c m c m c m E E E k k k---=-='∆)1111(221222202122cv cv c m cm c m ---=-=))8.0119.011(103101.92216231---⨯⨯⨯=-J 1014.514-⨯=eV 1021.35⨯=4-2 劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有111x k F x k F -=-=串222x k F -=又有 21x x x +=2211k F k F k F x +==串所以串联弹簧的等效倔强系数为2121k k k k k +=串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121k k k k k +=的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222k k k k m k m T +===ππωπ串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21F F F ==，即21x x x ==，设并联弹簧的倔强系数为并k ，则有2211x k x k x k +=并故 21k k k +=并 同上理，其振动周期为212k k m T +='π4-5 一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：(1)A x -=0；(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2A x =处向负向运动； (4)过2A x -=处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ⎩⎨⎧-==000sin cos φωφA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππφ+==t TA x)232cos(232πππφ+==t T A x)32cos(33πππφ+==t TA x)452cos(454πππφ+==t TA x4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为g 0.1的物体时，伸长为cm 9.4．用这个弹簧和一个质量为g 0.8的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开cm 0.1后 ，给予向上的初速度10scm 0.5-⋅=v ，求振动周期和振动表达式．解：由题知 12311mN 2.0109.48.9100.1---⋅=⨯⨯⨯==x g m k而0=t 时，-12020s m 100.5m,100.1⋅⨯=⨯-=--v x ( 设向上为正)又 s 26.12,51082.03===⨯==-ωπωT mk 即m102)5100.5()100.1()(22222220---⨯=⨯+⨯=+=∴ωv x A45,15100.1100.5tan 022000πφωφ==⨯⨯⨯=-=--即x v∴ m )455cos(1022π+⨯=-t x4-8 图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．题4-8图解：由题4-8图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a由题4-8图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x01=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=cm )373cos(5cm )33cos(521ππt x t x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=cm)343cos(5cm )33cos(521ππt x t x 解： (1)∵ ,233712πππφφφ=-=-=∆∴合振幅 cm 1021=+=A A A (2)∵ ,334πππφ=-=∆∴合振幅 0=A4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=m)652cos(3.0m )62cos(4.021ππt x t x 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
高等数学第三章 第7节 曲率
3 2 2
6 (4 sin2 t 9 cos2 t )
3 2
(4 5 cos2 t )
3 2
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
18
练习题
一、填空题： 1 、曲率处处为零的曲线为________ ；曲率处处相等 的曲线为__________. 2 、抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________. 3 、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________. 二、求曲线 y ln(sec x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率及曲率半 径. x a cos3 t t t 0 处的曲率 . 三、求曲线 在 3 y a sin t y2 x 四、证明曲线 y a cosh 在任何一点处曲率半径为 . a a
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
6
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R 1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
抛物线在顶点处的曲率 最大.
11
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
地理信息系统算法第三章
a
a、b称为长度元素
扁率反映了椭球体的 扁平程度
椭圆的第一偏心率：
a2 −b2 e′ = b 椭圆的第二偏心率：
e= a2 −b2 a
e和e’反映椭球体的扁平程 和 反映椭球体的扁平程 偏心率越大， 度，偏心率越大，椭球愈 扁
3.4.2 地球椭球体的相关公式
W
W 顾及 a = c 1−e2 和 =V 1−e2，则上式又可写为
c N= V (3-13) (3-
卯酉圈曲率半径
由图看出, 由图看出, (3(3-14) 也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线 的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。 N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律如下表 有关，是纬度B的函数,且随B
3.4.2 地球椭球体的相关公式
2.地球椭球参数间的相互关系 2.地球椭球参数间的相互关系
由前面式子得：
a2 − b2 e2 = a2
a2 − b2 e'2 = b2
b2 2 1− e = 2 a
a2 1+ e = 2 b
2
并得： 推得：
(1− e2 )(1+ e'2 ) = 1
e2 e2 ' = 1+ e 2 '
e2 '
e2 = 1− e2
同理可得： a = b 1+ e'2 L L = a 1− e2 L b
c = a 1+ e'2 L L = c 1− e2 L a
e' = e 1+ e'2 L L = e' 1− e2 L e
proe教程(曲面曲率)
曲面曲率一、新建qumianqulv文件1、打开proe；2、设置工作目录。
文件/设置工作目录，在弹出的对话框中右键单击，选择“新建文件夹”，取名为“3位学号+姓名”，单击“确定”。
3、在选择“新建”；4、在名称中输入“qumianqulv”；5、取消前的勾。
缺省模板可以理解为默认的尺寸单位空间，proe 默认的单位是英寸磅秒（inlbs），而中国用的是公制单位毫米牛秒（mmns）；6、选择“确定”按钮；7、在弹出的“新文件选项”对话框中，选择mmns_part_solid。
表示以mmns为单位的实体零件文件。
8、选择“确定”，新建文件完成。
二、绘制过程1、选择“top”视图；2、选择“”，保持默认的草绘设置，选择“草绘”按钮；3、选择“样条曲线”工具，捕捉参照绘制如图曲线；（标注角度尺寸要依次选择角的两边和顶点）以鼠标中键结束。
4、修改尺寸。
此时所有尺寸为灰色，表示是“弱尺寸”。
双击长度尺寸，修改为25。
双击高度尺寸，修改为70。
曲线的两端均为90度。
修改后，尺寸颜色变为亮色，表示是强尺寸。
5、在“菜单栏”选择“插入”，选择“扫描”-“曲面”，在下拉“菜单管理器”中选择“选取轨迹”按鼠标中建选择默认设置。
6、进入截面绘制阶段，选择工具栏命令绘制如图直线，并将角度修改为88度，高度修改为87、选择工具栏结束截面绘制，按鼠标中键确定。
8、选择工具栏“基准平面”工具，选择top平面，输入平移距离为12，选择确定9、选择工具栏工具，选择DTM1平面，进入草绘绘制，选择命令，绘制如图曲线，尺寸修改方法同上。
10、选择“草绘2”，在菜单栏选择“编辑”，选择“填充”命令。
11，选择工具栏工具，点击工具栏按钮，选择front面，继续选择工具选择平面按钮，按shift键捕捉两个已知面的端点，绘制如图所示平面曲线，点结束。
11、双击所绘曲线，进去编辑命令，左键点击曲线端点，然后长按右键点击黄色线段，在下拉菜单中选择“曲面曲率”，在曲线的另一端点进行同样操作，得到如图所示曲线12，用同样方法绘制如图所示曲线，选择命令，点击front面，在点出窗口中输入36,用同样方法在DTM2上建立曲线，如图所示。
超短半径水平井介绍
径向井眼及主井结构图
柔性造斜钻具钻出井是短半径井，也可能 是超短半径井，但不属于径向井
①柔性钻挺 ④旋转 ②不旋转的柔性壳体
⑥外径 3-3/4”
不旋转
②轴承密封
径向水平钻井的基本工艺过程
1. 通井和磨铣套管(1．5へ3米长)； 2. 扩大井眼（直径约0．6米）； 3. 下入斜向器，井下锚定器定位；
钻出的孔眼形状规则 破岩效率高。
旋转射流破岩过程示意图
凸锥井底流场UV矢量放大图
轴向速度
切向速度
径向速度
旋转射流扩展角随旋流强度的变化规律
（1）、（2）--不同旋流强度的钻头 （3）--旋流强度为零的钻头
破碎坑直径随泵压的关系 • 泵压相同，旋转射流比普通射流的钻孔直径高多倍。
（1）、（2）--不同旋流强度的钻头 （3）--旋流强度为零的钻头
5) 高压密封的工作寿命可以达到15.5小时以上； 未出现压力降低和或排量增加等现象，创造 了高压密封寿命记录。 6) 进行6次钻进，钻出了5个水平分支井眼，创 造了单井水平分支井眼数量最多记录。其中 长度超过10米的有3个分支，总长度达41.93m。 也是目前国内一口井中水平分支井眼总长度 的最好记录。
井口进液和光杆送进高压密封
光杆送钻接单根技术
原理：多级，替换
•水力破岩钻头
具体要求：
形成一个较大截面积的规则井眼；
以较小的射流压力和排量高速破岩；
具有足够长的使用寿命。
导向元件 钻杆
旋转射流
喷头 喷嘴
回流 井底圆锥
多喷嘴
锥形射流喷嘴
旋转射流喷嘴
旋转射流喷嘴特点：
大面积钻孔
破碎坑深度随泵压的关系
（1) 门限压力降低40％以上；（2)破岩深度大; （3) 破岩体积高几十到上百倍。
《物理光学》§3-8用牛顿环测量透镜的曲率半径
分振幅干涉的基本内容回顾
由于两相干光束会聚角为2 由于两相干光束会聚角为2α， α楔形板的楔角。 λ 则，等厚条纹的间距为 则，等厚条纹的间距为 e = 2nα 由 Δ=2nhcosθ2(+λ/2)=m λ可知 =2nhcosθ (+λ 随着θ 随着θ2的增大，条纹将会发生弯曲，其规 律是朝向楔棱方向凸出。 薄膜的干涉与此原理相同，也是等厚条纹。 薄膜的干涉与此原理相同，也是等厚条纹。
D2 N= ∆C 4λ
§3－9 平面干涉仪
§3－9 平面干涉仪
是利用两个表面（一个是标准平面，一个是被检 平面）之间的楔形空气层产生的等厚干涉条纹检 L G G 验平面零件的仪器。 M 一、 原理： S 如图：
1 2
O ①标准平板G1； ①标准平板G1； 通常有很小的楔角，目的是使上表面和下表面的 反射光束分开一定角度，使上表面反射光束移出 视场之外。 ②被检测平板和标准平板之间的楔角和方向可以 通过它所在的调节盘进行调节，因而条纹间距和 方向可以随之变化。
分振幅干涉的基本内容回顾
一、平行平板——等倾条纹 平行平板——等倾条纹 由于光程差Δ=2nhcosθ (+λ 由于光程差Δ=2nhcosθ2(+λ/2)=m λ 故：若nh是均匀的，则条纹 故：若nh是均匀的，则条纹是θ2的函数； 即， θ2相同，则Δ相同、 m相同； 相同，则Δ 此时在观察屏上将形成环形条纹； 条纹是入射光对平行平板倾角相同的点的 条纹是入射光对平行平板倾角相同的点的 轨迹，且其定域面在无穷远处，须用望远 系统或在透镜焦平面上来观察其干涉图。
分振幅干涉的基本内容回顾
两类分振幅干涉装置产生的定域干涉图 （条纹）分别对应于： 平行平板——等倾条纹 平行平板——等倾条纹 楔形平板——等厚条纹 楔形平板——等厚条纹 其共同特点在于： 其共同特点在于： 光程相差Δ=2nhcosθ (+λ/2)的两束相干 光程相差Δ=2nhcosθ2(+λ/2)的两束相干 光分别由同一入射光在平板的上下两表面 产生。 其不同点在于： 其不同点在于：
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
无缝线路轨道稳定计算
轨道工程
• 由上述基本假定可知，轨道横向变形位移函数yf 可以通过位移参数f来表示。设轨道的总势能为Π ， 并表示为位移参数f的函数Π (f)。根据势能驻值 原理，轨道结构体系的力学平衡方程为：
( f ) 0 f
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轨道工程
• 轨道结构的总势能Π由三部分能量组成：
( f ) A1 A2 A3 0 f f f f
0
0
+
=
+
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轨道工程
安全温升法
其主要出发点是：当钢轨温升幅值小于 △TS 时，无论轨道的原始弯曲以及外力作 用所引起的横向变形积累扩展到何等程度， 其轴向温度压力不会超过B点，线路也不会 发生胀轨跑道。
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轨道工程
极限状态法
其主要出发点是：轨道横向位移超过2mm 时，将易于形成轨道横向变形积累，增大 钢轨弯曲矢度，逐渐降低无缝线路的稳定 性，最后导致无缝线路胀轨跑道。
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轨道工程
STRONG MEDIUM 道 床 横 向 阻 力
WEAK
轨枕横向位移
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轨道工程
轨道框架刚度
• 轨道框架刚度反映轨道框架抵抗横向弯曲 的能力。轨道框架刚度越大，抵抗横向弯 曲变形的能力就越强。轨道框架刚度是两 股钢轨的横向水平刚度及钢轨与轨枕节点 间的阻矩抵抗横向弯曲能力的总和。
A1 －钢轨温度压力所作的 功
A2 －轨道框架抵抗弯曲变 形所作的功
A3 道床横向阻力所作的功
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轨道工程
( f f oe ) 4 2 EI 3 Ql 2 l P 4 2 f f oe 3 ' l R
2
(
工程力学第六章答案 梁的变形-工程力学梁的弯曲答案
第五章梁的变形测试练习1.判断改错题5-1-1梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零.（）5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（）5-1-3悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在A B段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。
（）5-1-4图示均质等直杆（总重量为W），放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用，使A C部分被提起，C B部分仍与刚性平面贴和弯矩均为零。
（）5-1-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。
（）5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（）5-1-7两简支梁的抗刚度E I及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。
（）5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。
()题5-1-3图B题5-1-4图C5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ） 5-1-10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。
（ ）2．填空题5-2-1 挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在 和 。
5-2-2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同，若使二者自由端的挠度相等，则21P P 。
5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。
5-2-4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。
5-2-5 用积分法求图示的外伸梁（B D 为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。
5-2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，题5-1-9图题5-1-10图题5-2-2图连续条件是 。
眼科检查的正常值
眼科检查的正常值眼球前后径24mm,垂直径23mm,水平径23.5mm前内轴长(角膜内面~视网膜内面)22.12mm,容积6.5ml,重量7g突出度12~14mm,两眼相差不超过2mm睑裂平视时高8mm,上睑遮盖角膜1~2mm,长26~30mm 内睑间距30~35mm,平均34mm外睑间距88~92mm,平均90mm睑板中央部宽度上睑6~9mm,下睑5mm睫毛上睑100~150mm根,下睑50~75根。
平视时倾斜度分别110°~130°,100°~120°,寿命3~5个月。
拔除后1周生长1~ 2mm,10周可达正常长度结膜结膜囊深度(睑缘至穹隆部深处)上方20mm,下方10mm 穹隆结膜与角膜距离上下方均为8~10mm,颞侧14mm,鼻侧7mm泪器泪小点直径0.2~0.3mm,距内眦6~6.5mm泪小管直径0.5~0.8mm,垂直部1~2mm,水平部8mm直径可扩张3倍泪囊长10mm,宽3mm鼻泪管全长18mm,下口位于下鼻甲前端之后16mm泪囊窝长17.86mm,宽8.01mm泪腺眶部20mm311mm35mm,重0.75g睑部15mm37mm33mm,重0.2g泪液正常清醒状态下,每分钟分泌0.9~2.2ul每眼泪液量7~12ul比重1.008,PH 7.35,屈光指数1.336渗透压295~309mOms/L,平均305mOms/L眼眶深40~50mm,容积25~28ml视神经孔直径4~6mm,视神经管长4~9mm眼外肌肌腱肌宽度内直肌10.3mm,外直肌9.2mm,上直肌10.8mm,下直肌9.8mm,上斜肌9.4mm,下斜肌9.4mm直肌止点距角膜缘内直肌5.5mm,下直肌6.5mm,外直肌6.9mm,上直肌7.7mm锯齿缘距角膜缘7~8mm赤道部距角膜缘14.5mm黄斑部距下斜肌最短距离(下斜肌止端鼻侧缘内上)2.2mm,距赤道18~22mm角膜横径11.5~12mm,垂直径10.5~11mm厚度中央部0.5~0.55mm,周边部1mm曲率半径前面7.8mm,后面6.8mm屈光力前面+48.83D,后面-5.88D,总屈光力+43D屈光指数1.337内皮细胞数2899±410/mm2角膜缘宽1.5~2mm巩膜厚度眼外肌附着处0.3mm,赤部0.4~0.6mm,视神经周围1.0mm 瞳孔直径 2.5~4mm(双眼差<0.25mm)瞳距男60.9mm,女58.3mm前房中央深度2.5~3mm房水容积0.15~0.3ml,前房0.2ml,后房0.06ml比重1.006,PH 7.5~7.6屈光指数1.3336~1.336生成速率(2~3)ul/min氧分压55mmHg,二氧化碳分压40~60mmHg睫状体宽度约6~7mm晶状体直径9mm,厚度4mm,体积0.2ml曲率半径前面10mm,后面6mm屈光指数1.437屈光力前面+7D,后面+11.66D,总屈光力+19D玻璃体容积4.5ml,屈光指数1.336脉络膜平均厚度约0.25mm,脉络膜上腔间隙10~35um视网膜视盘直径1.531.75mm黄斑直径2mm,中心凹位于视乳头颞侧缘3mm,视盘中心水平线下0.8mm视网膜动脉直径比例动脉∶静脉=2∶3视网膜中央动脉收缩压60~75mmHg,舒张压mmHg视神经全长40mm(眼内段1,眶内段25~30,管内段6~10,颅内段10) 视功能检查视野用直径为3mm的白色视标,检查周边视野正常:颞侧90°,鼻侧60°,上方55°,下方70°用蓝、红、绿色视标检查,周边视野依次递减10°左右立体视觉立体视敏度<60弧秒对比敏感度函数曲线呈倒“U”型,也称为山型或钟型泪液检查泪膜厚度7um,总量7.4ul,更新速度12%~16%min,PH6.5~ 7.6,渗压296~308mOsm/L泪膜破裂时间10~45s;<10s为泪膜不稳定Schirmer试验正常值10~45mm/5min;<10mm/5min为低分泌, <5mm/5min为干眼眼压和青光眼的有关数据平均值10~21mmHg;病理值>21mmHg双眼差异不应大于5mmHg24h波动范围不应大于8mmHg房水流畅系数(C) 正常值0.19~0.65ul/(min2mmHg)病理值<0.12ul/(min2mmHg)房水流量(F) 正常值1.84±0.05ul/min,>4.5ul/min为分泌过高压畅比(P/C) 正常值≤100病理值≥120巩膜硬度(E) 正常值0.0215C/D比值正常<0.3,两眼相差<0.2,>0.6为异常饮水试验饮水前后相差正常值<5mmHg病理值>8mmHg暗室试验试验前后眼压相差正常值<5mmHg病理值>8mmHg暗室加俯卧试验试验前后眼压相差正常值≤5mmHg病理值>8mmHg眼底荧光血管造影臂-脉络膜循环时间平均8.4s臂-视网膜循环时间为7~12s附錄眼科檢查的正常值解剖生理部分眼球前後徑24mm,垂直徑23mm,水準徑23 5mm眼內軸長(角膜內面~視網膜內面)22 12mm,容積6 5ml,重量7g突出度12~14mm,兩眼相差不超過2mm。
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设曲线方程 y f (x) 有二阶导数。
在 x 处切线倾角 ( x) arctan f ' ( x) .
M ( x0 , f ( x0 ))到 M' ( x0 x, f ( x0 x))
的转角为 ( x0 x ) ( x0 ) .
弧长 s | MM '|| MM ' | x 2 y 2
弯曲程度与转角有关
对于右图的两条 但是， 相切于P1 和 P2 的曲线， 它们的转角相同但弯曲 , 程度不同 .
P1
P2
弯曲程度与弧长有关
假定：弯度与转角成正比，与弧长成反比
1
M2
2
M3
弧长相同时，转角大者 弯度大；
M1
P1
P2
转角相同时，弧长小者 弯度大。
按照上述假定， 建立度量弯曲程度的数学模型—— 曲率
| y"|
2 3/ 2
O
x
曲 率
思考题
x a( t sin t ); t (0, 2 ) t为何值时, 曲线 y a(1 cos t ),
的曲率最小？ 求出最小曲率, 写出该点的曲率半径. | y | 1 解 K (t ) ,要使K(t)最小, 3 t 2 2 4a | sin | [1 ( y ) ] 2 t t 等价于 | sin |最大, 故当 | sin | 1,即 t 2 2 1 1 曲率最小, 且 K min , R 4a . K 4a
可得 K
' ( t ) " ( t ) ' ( t ) " ( t )
' ( t ) ' ( t )
2 2
3/ 2
'| (f "( x )( t ) ' ( t|)y"" ( t ) t ) " | | K K 3/ 2 / 23 / 2 2x )2 2 y32 1 ''( ( t ) ' ( t ) ' f 1
K ( R sin t )( R sin t ) ( R cos t )( R cos t )
( R sin t )
2
( R sin t ) )
2
3/ 2
1 R
感觉3： 抛物线在顶点处的弯度最大
K
1 y'
| y"|
2 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
检验3： 设抛物线的方程为 y ax2 bx c
©
x 2 y2 s
lim
x 0
f " ( x0 ) 1 f ' ( x0 )2 1 f ' ( x0 )
2
1 f ' ( x )
0
| f "( x0 ) |
2 3/ 2
, 于是可得, 曲线方程 y f ( x ) 有二阶导数时 在 x 处的曲率
K lim , ( x0 x ) ( x0 ) . x 0 s
x 2 y 2 可以证明：lim 1. x 0 | s | / x 于是 K lim x 0 s / x
lim
x 0
/ x x 2 y2 / x
模型检验 检验K 是否符合人们关于“弯 度”的感觉经验。 感觉1： 直线是不弯曲的，其“弯度”应该处处为零。 检验1： 设直线方程为 y ax b,
显然曲率处处为K 0 . 则 y" 0.
感觉2： 圆上各个点的“弯度”应处处相同。
检验2： 设圆的方程为x R cost , y R sint .
记K , 称为MM' 上的平均曲率 s 当x 0时， ' M . 若极限 K lim M 存在， x 0 s
称之为曲线在点M 处的曲率.
s | MM ' || MM ' | x 2 y 2 . ( x ) arctan f ' ( x ) .
解：砂轮的半径应不超过抛物线上曲率半径的最小值。
| 1.6 | 由曲率公式， 在点 x 处的曲率为 K [1 (1.6 x ) 2 ]3 / 2 其最大值为 K 1.6 ,
则曲率半径的最小值 1 为R 0.625. 1.6
砂轮的直径不超过 .25 1
y
y 0.8 x 2
K
1 y'
§3.8
曲 率
建立度量曲线弯曲程度的数学模型
—— 曲率
如何描述弯曲
1
M2
设弧 M1 M2 与弧 M2 M3 长度相同 .
弧 M2 M3 比弧 M1 M“弯得多” . 2
2
M3
M1
点 M1 与 M2处各自切线间的夹角 1 称为点M1 到 M2的转角.
点 M2 到 M3的转角 2 1 .
| 2a | 则 y' 2ax b , y" 2a. K [1 ( 2ax b ) 2 ]3 / 2
b 当 x 时K 取得最大值 . （抛物线的顶点处） 2a
例. 计算双曲线 xy 1 在点（， 11 ）处的曲率 .
1 1 2 此时有 y , y' 2 , y" 3 . x x x 则 y' (1) 1 , y"(1) 2 .
y' (1 y'2 ) x0 y"
y
x x0
1 y'2 , y0 y"
y f ( x)
x x0
( , )
M ( x0 , y0 )
O
x
抛物线 y 0.8 x 2 , 现在要用 例4. 设工件内表面的截线是 砂轮磨其内表面，问砂 轮的直径多大时才比较 合适？
|2| 1 于是 K . 2 3/ 2 [1 ( 1) ] 2
设 M ( x0 , y0 ) 是曲线 y f ( x ) 上的点，在曲线凹向的 一侧 与该曲线相切于M ，且与曲线曲率相同的 圆称为曲率圆 1 设点 M 处的曲率为K , 则R 称为该点的曲率半径 . K 可以证明曲率圆的圆心 坐标 ( , ) 为:
K
1 f ' ( x)
| f "( x ) |
2 3/ 2
1 y'
| y"|
2 3/ 2
x (t ) 当曲线方程是由参数方 程 , t ( , ) 给出时, y (t )
'(t ) " ( t ) ' ( t ) ' ( t ) " ( t ) 由参数方程的导数 y' , y" ' (t ) '2 ( t )