探究椭圆的曲率半径随弧长的变化关系式
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学推导过程详解
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学推导过程详解圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。
而我们这篇文章将详细讲解圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学推导过程。
一、椭圆曲线的曲率半径推导过程椭圆曲线是一个求解“离心率小于1的轨迹”的问题。
其数学表达式为：e = √(1 − e²/e²)，其中e和e分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
要推导椭圆曲线的曲率半径，我们首先需要求解椭圆曲线的参数方程。
设椭圆曲线上一点的坐标为(e, e)，角度为e，长半轴和短半轴分别为e和e，焦点到该点的距离为e。
1. 第一步，建立坐标系并列出参数方程我们先建立一个以椭圆中心为原点的直角坐标系，然后列出椭圆曲线的参数方程：e = eeee(e)e = eeee(e)2. 第二步，求解椭圆曲线上一点到椭圆中心的距离e根据勾股定理，我们可以得到：e² = e² + e²将e和e的参数方程代入上式，得到：e² = e²eee²(e) + e²eee²(e)3. 第三步，求解e关于e的导数，并计算曲率半径对上式两边同时求导数，可得：2ee′ = 2e²eee(e)eee(e) − 2e²eee(e)eee(e)将e′表示为e关于e的导数，即：e′ = e²eee(e)eee(e) − e²eee(e)eee(e) / e最后，曲率半径的计算公式为：e = e² / |e′|4. 第四步，化简曲率半径的式子将e′的表达式代入曲率半径公式中，我们得到：e = e² / (e²eee(e)eee(e) − e²eee(e)eee(e) / e)化简上式，最终得到椭圆曲线的曲率半径公式：e = e²e / (e²eee²(e) + e²eee²(e))二、双曲线的曲率半径与弧长推导过程双曲线是解析几何中的另一个重要内容，其数学表达式为e²/e² − e²/e² = 1。
曲率半径
由此可得曲率中心公式
y
C
o
D (α , β )
y′(1 + y′2 ) α = x− y′′ 1 + y′2 β = y+ y′′
R
T
M ( x, y )
(注意 y − β 与 y′′ 异号 )
x
当点 M (x , y) 沿曲线 y = f (x) 移动时, 相应的曲率中心 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
一、 弧微分
设 y = f (x) 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s (x)
y
Δs M M ′ M M ′ = ⋅ Δx M M ′ Δx
MM′ (Δx) 2 + (Δy ) 2 = ⋅ MM′ Δx MM′ Δy 2 =± 1+ ( ) MM′ Δx Δs ′( x) = lim ′) 2 ∴s = 1+ ( y Δx→0 Δ x
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同. 2. 求双曲线 x y = 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 x x 1 3 o 1 x 3 1) 2 2 2 (1 + 4 (1 + y′ ) 3 x 1 ( x2 + 1 ) 2 = R= =2 ≥ 2 2 2 x y′′ 3
K=
x′′ (1 + x′ )
2
3 2
K=
y′′ (1 + y ′ )
第七节弧微分与曲率
处曲率
计算驻点处的函数值:
最大.
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 ,
在点
在曲线
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆
( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做
曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线;
(2) 凹向一致;
相应的曲率中心
曲率中心公式可看成渐
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
屈线的参数方程(参数为x).
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
显然, 砂轮半径不超过
又
曲率K 的计算公式
二阶可导,
设曲线弧
则由
说明:
(1) 若曲线由参数方程
给出, 则
(2) 若曲线方程为
则
例2. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
处的曲率.
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说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
(3) 曲率相同 .
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使
设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
故曲率半径公式为
曲率的公式
曲率的公式
曲率分为数学曲率和物理曲率两大类。
数学曲率是指物体在物理坐标系上表示时所采用的曲率，它舍弃了物质特质，只考虑坐标系中的物体形状。
物理曲率描述物质在其他条件相同的情况下，物理空间中物体形状。
数学曲率和物理曲率之间有着密切的联系，例如，在物体空间中拥有相同的曲率的物体（椭圆体或球体），它们的数学曲率也是相等的。
物理曲率的计算公式是把形状和物理特性结合起来表示的：物体的物理曲率R为曲率半径的负值：R=−1／K，其中K为物体的曲率，又称为弧长所占的角度。
弧长所占的角度可以通过下面公式求得：Δφ＝s／R，而s则表示曲线上两点之间的弧长，故可以得出物理曲率公式：R＝−s／Δφ，当Δφ趋近于0时，R趋近于负无穷大，表明表面形状越来越接近直线。
总之，求物理曲率的公式是R＝−s／Δφ，其中K为曲率半径，s为曲线上两点之间的弧长，Δφ表示弧长所占的角度。
物理曲率的计算方法主要考虑物质在空间中的形状和物质特性，它与数学曲率有着千丝万缕的联系。
椭圆曲率公式
椭圆曲率公式1 应用曲率半径的数学公式推导椭圆的曲率半径在高等数学中，二维曲线y=y(x)的曲率半径公式是(1)其中对于图1中标准的正椭圆，其方程为(2)图1 正椭圆及其准线其中a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴，图中c为半焦距，下同。
将式(2)两边对变量x求导，经整理可得(3)将式(3)两边对变量x求导，并将式(3)代入可得(4)将椭圆方程式(2)代入即得(5)于是，将式(3)、式(5)代入式(1)即得该正椭圆的曲率半径：(6)若将椭圆方程式(2)代入式(6)，消去y后又可得(7)这时ρ显示为x的一元函数。
式(7)中的e=c/a是椭圆的偏心率。
参见图1，由准线知识知，椭圆上任一点距离右焦点的距离(8)将式(8)代入式(7)消去x后可得(9)这便是极坐标形式的椭圆曲率半径公式，ρ由极坐标r唯一地确定。
此外，参见图1，由于2a-r=r′，所以式(9)又可改写成(10)这即为椭圆曲率半径的最简公式，它兼具对称性，因此最方便记忆。
式(6)、式(7)、式(9)、式(10)是椭圆曲率半径的四个公式，其中式(6)最为常见，式(7)、式(9)最方便使用，式(10)则最便于记忆。
若令式(7)中的x=±a或式(9)中的r=a±c，则求得图1中椭圆左、右顶点的曲率半径若令式(7)中的x=0或式(9)中的r=a，则求得图1中椭圆上、下顶点的曲率半径2 应用匀速率圆周运动投影的方法求椭圆的曲率半径如图2、图3所示，将图2中斜面上的匀速率圆周运动在水平面内投影，即得一变速率椭圆运动，见图3。
斜面的倾角θ满足cosθ=b/a。
图2 斜面上的匀速率圆周运动图3 水平面内的投影椭圆运动在图2的坐标系O′-x′y′中，运动质点P的位置矢量r′可表示成(11)其中i′、j′分别是两坐标轴正方向上的单位矢量。
质点P的速度矢量和加速度(即法向加速度)矢量a′分别可表示成其中速率是常量，加速度a′的方向与位置矢量r′的方向相反。
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学推导过程阐述
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学推导过程阐述圆锥曲线是指在平面上由一个动点绕着一个定点旋转而成的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在数学、物理和工程学等领域都有重要的应用。
本文将针对圆锥曲线的曲率半径以及曲线弧长进行数学推导，并详细阐述其推导过程。
一、椭圆的曲率半径与曲线弧长的推导1. 椭圆的参数方程与切向量假设椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b代表椭圆的半长轴和半短轴长度，θ为参数。
求导可得椭圆切向量的方程：r'(θ) = (-a*sinθ, b*cosθ)2. 曲率半径的计算根据曲率半径的定义，可以通过以下公式计算：κ = |r'(θ)| / |r''(θ)|其中，r'(θ)为切向量，r''(θ)为切向量的导数。
求导可得切向量的导数：r''(θ) = (-a*cosθ, -b*sinθ)代入公式可得：κ = |r'(θ)| / |r''(θ)|= √(a^2*sin^2θ + b^2*cos^2θ) / √(a^2*cos^2θ + b^2*sin^2θ) = √((a^2-b^2)*sin^2θ + b^2) / a*cosθ3. 曲线弧长的计算曲线弧长的计算公式为：s = ∫(a, b) √(1 + (dy/dx)^2) dx其中，a和b为曲线所在的参数范围。
将椭圆的参数方程代入公式，可得：s = ∫(0, 2π) √(a^2*sin^2θ + b^2*cos^2θ) dθ二、双曲线的曲率半径与曲线弧长的推导1. 双曲线的参数方程与切向量假设双曲线的参数方程为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b代表双曲线的半长轴和半短轴长度，θ为参数。
求导可得双曲线切向量的方程：r'(θ) = (a*sinhθ, b*coshθ)2. 曲率半径的计算根据曲率半径的定义，可以通过以下公式计算：κ = |r'(θ)| / |r''(θ)|其中，r'(θ)为切向量，r''(θ)为切向量的导数。
(完整版)扇形和椭圆的弧长奥数
(完整版)扇形和椭圆的弧长奥数
扇形是圆的一部分，椭圆是一种特殊的椭圆曲线。
在数学中，我们经常需要计算扇形和椭圆的弧长，这对于解决许多实际问题非常有用。
扇形的弧长公式为：
弧长 = 弧度 ×半径
其中，弧度表示扇形所对的角度，是以弧度单位表示的。
我们可以通过将角度转换为弧度，然后乘以半径来计算扇形的弧长。
椭圆的弧长公式稍微复杂一些。
对于椭圆而言，弧长是无法用简单的公式来表示的，我们需要使用数值方法进行近似计算。
一种常用的数值方法是使用梯形法则来进行逼近，即将椭圆弧分成若干小段，然后计算每段的直线长度之和作为弧长的近似值。
对于扇形和椭圆的弧长计算，我们可以使用数学软件或编程语言来进行计算。
常用的数学软件有MATLAB和Mathematica，常用
的编程语言有Python和Java等。
这些工具提供了丰富的数学函数和库，可以方便地进行扇形和椭圆的弧长计算。
总结起来，扇形和椭圆的弧长是数学中常见的问题，计算方法有所不同。
扇形的弧长可以简单地通过角度和半径进行计算，而椭圆的弧长需要使用数值方法进行近似。
我们可以利用数学软件或编程语言来进行扇形和椭圆的弧长计算。
注意：以上为简要介绍，具体的计算公式和方法可能会因具体问题而异，需要根据实际情况进行具体分析和计算。
参考资料：。
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导
圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
曲线的性质和特点在数学中具有重要的地位和应用价值。
在本文中，我们将推导圆锥曲线的曲率半径与曲线弧长之间的数学关系。
一、椭圆的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导椭圆是圆锥曲线中的一种，具有闭合的轨迹形状。
其数学定义为所有到两个焦点距离之和等于常数的点构成的轨迹。
1. 假设椭圆的焦点分别为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b，焦距为2c。
2. 对于椭圆上的一点P(x, y)，我们可以计算其到两个焦点的距离F1P和F2P，即PF1和PF2。
3. 根据椭圆的数学定义，PF1 + PF2 = 2a。
4. 由于椭圆是对称的，我们可以只考虑椭圆的上半部分。
5. 对于椭圆上的一点P(x, y)，我们可以计算椭圆的曲率半径r。
6. 曲率半径r的计算公式为 r = (1 + (dy/dx)^2)^(3/2) / |d^2y / dx^2|，其中dy/dx表示y对x的导数，d^2y / dx^2表示y对x的二阶导数。
7. 在椭圆上，我们可以表示y^2 / b^2 = (1 - x^2 / a^2)。
对这条方程两边求导数可以得到dy/dx。
8. 对dy/dx求导数可以得到d^2y / dx^2。
9. 将dy/dx和d^2y / dx^2的值代入曲率半径r的计算公式中，得到椭圆上每个点的曲率半径。
10. 最后，我们可以通过曲线的弧长L来计算曲率半径与曲线弧长的数学关系。
由于椭圆是闭合的轨迹，我们需要计算从一个焦点出发到达椭圆上某一点所经过的弧长。
11. 根据椭圆的定义，椭圆的弧长L与横坐标x值之间存在一个函数关系。
我们可以将弧长L表示为x的函数。
12. 推导出曲率半径与曲线弧长的数学关系。
二、双曲线的曲率半径与曲线弧长的数学关系推导双曲线是圆锥曲线中的另一种，与椭圆相似但具有不同的轨迹形状。
其数学定义为所有到两个焦点距离之差等于常数的点构成的轨迹。
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椭圆的曲率半径随着弧长的变化关系通过收集了大量的数据后，利用Matlab 软件绘制了椭圆的弧长—曲率半径的图像，发现它们满足Fourier 二次展开式关系。
即)2sin()2cos()sin()cos(22110C w b C w a C w b C w a a R ××+××+×+×+=上式中：以椭圆与Y 轴的交点为起点算起；C 为椭圆的某段弧的弧长；R 为弧长为C 处的椭圆曲率半径；a0、a1、b1、a2、b2、w 均为相关参数。
我们还发现，随着椭圆的离心率e 不同，这些参数也会发生相应的变化，同时在进行了大量的数据收集后，发现这些参数的变化与离心率的变化之间存在着一定的联系。
表1：相关参数随着离心率变化表相关参数a0a1b1a2b2w e=0.2264.9240.763.9-6.814-24.130.03174e=0.3180.3157.138.62-4.761-14.660.03082e=0.4139.5114.123.51-4.009-9.1060.02936e=0.46124.696.1817.06-3.629-6.7070.02833e=0.48120.691.0115.15-3.508-5.9940.02797e=0.511786.1213.44-3.367-5.3480.0276e=0.52113.981.4811.87-3.218-4.7510.02724e=0.5411177.0510.42-3.062-4.1960.02687e=0.6104.364.83 6.795-2.548-2.7830.02578e=0.797.6446.8 2.78-1.614-1.170.02404e=0.895.2830.480.07787-0.7663-0.33640.02246e=0.996.2515.050.08842-0.1937-0.039050.02111注：上表中e=b/a，其中a=100。
利用Matlab 绘制a0关于e 的曲线图，通过不断的拟合实验，发现a0关于e 变化规律满足表达式)/()(14322310q e p e p e p e p a ++⨯+⨯+⨯=最佳拟合效果图如下所示：图1：a0关于e 的曲线、拟合图0.20.30.40.50.60.70.80.9100120140160180200220240260a0 vs. e fit 2从拟合的结果来看，比较理想，其中相应的参数结果如下：p1=141.7p2=-179.2p3=109.8p4=25.61q1=-0.04321得出了a0与e 之间的表达式为：)04321.0-/()61.258.1092.179-7.141(230e e e e a +⨯+⨯⨯=利用Matlab 绘制a1与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：)/()(14322311q e p e p e p e p a ++×+×+×=图2：a1关于e 的曲线、拟合图0.20.30.40.50.60.70.80.950100150200250a1 vs. e fit 3其中相关参数的结果为：p1=-49.79p2=-9.115p3=16.88p4=41.77q1=-0.01561最终a1关于离心率e 的表达式为：)01561.0-/()77.4188.16115.9-79.49-(231e e e e a +⨯+⨯⨯=利用Matlab 绘制b1与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：)/()(14322311q e p e p e p e p b ++×+×+×=图3：b1关于e 的曲线、拟合图0.20.30.40.50.60.70.80.90102030405060b1 vs. efit 4其中相关参数的计算结果为：p1=49.19p2=-58.11p3=-12.03p4=22.19q1=0.07946最终b1关于离心率e 的关系表达式为：)07946.0/()19.2203.12-11.58-19.49(231++⨯⨯⨯=e e e e b 利用Matlab 绘制a2与离心率e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：)/()(1542332412q e p e p e p e p e p a ++×+×+×+×=图4：a2关于e 的曲线、拟合图0.20.30.40.50.60.70.80.9-7-6-5-4-3-2-1a2 vs. e fit 5相关参数的计算结果为：p1=-53.045p2=-119.6p3=-86.93p4=24.53p5=-3.984q1=0.04715最终a2关于离心率e 的关系表达式为：)04715.0/()984.3-53.2493.86-6.11945.53-(2342+×+××+×=e e e e e a 利用Matlab 绘制b2与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：)/()(14322312q e p e p e p e p b ++×+×+×=图5：b2关于e 的曲线、拟合图0.20.30.40.50.60.70.80.9-25-20-15-10-5b2 vs. efit 6其中相关参数的计算结果为：p1=-25.13p2=38.91p3=-9.913p4=-4.338q1=0.005789最终b2关于离心率e 的关系表达式为：)005789.0/()338.4-913.9-91.3813.25-(232+⨯⨯+⨯=e e e e b 利用Matlab 绘制w 与e 之间的图像，拟合取最佳效果得出关系式为：)/()(1432231q e p e p e p e p w ++×+×+×=图6：w 关于e 的曲线、拟合图0.20.30.40.50.60.70.80.90.0210.0220.0230.0240.0250.0260.0270.0280.0290.030.031w vs. e fit 7其中相关参数的计算结果为：p1=0.02689p2=-0.06212p3=0.04939p4=0.01824q1=0.6147最终w 关于离心率e 的关系表达式为：)6147.0/()01824.004939.006212.0-02689.0(23++×+××=e e e e w 同时研究发现，在离心率相同的情况下，不同的轴长，以下关系式的参数也会相应的改变。
)2sin()2cos()sin()cos(22110C w b C w a C w b C w a a R ××+××+×+×+=这种变化与轴长的变化基本呈现着线性的变化关系，相关统计的数据详见表2。
表2：表达式参数随轴长变化数据统计表相关参数a0a1b1a2b2w a=513.2512.06 3.108-0.3708-1.1840.6328a=2023.4317.21 2.709-0.6751-1.0880.1382a=4046.8534.42 5.425-1.346-2.180.06914a=8093.7168.8510.84-2.701-4.3520.03456a=10011786.1213.44-3.367-5.3480.0276a=140164120.518.96-4.726-7.6150.01975a=200234.3172.127.29-6.699-10.940.01364从统计结果来看，a0、a1、b1、a2、b2与轴长a 保持着正比例的关系，而w 则与轴长a 是反比例关系。
综上所得，不同类离心率下，椭圆的曲率半径随弧长的变化关系式为：)2sin()2cos()sin()cos(22110C w b C w a C w b C w a a R ××+××+×+×+=其中：)04321.0-/()61.258.1092.179-7.141(100230e e e e aa +×+×××=)01561.0-/()77.4188.16115.9-79.49-(100231e e e e a a +×+×××=)07946.0/()19.2203.12-11.58-19.49(100231++××××=e e e e ab )04715.0/()984.3-53.2493.86-6.11945.53-(1002342+×+××+××=e e e e e a a )005789.0/()338.4-913.9-91.3813.25-(100232+××+××=e e e e a b )6147.0/()01824.004939.006212.0-02689.0(10023++×+×××=e e e e aw根据以上公式，下面通过几组实例来检验公式计算结果的准确性，a=40b=30的椭圆弧长为9.0545处，实际的曲率半径为：R1=51.5713，公式计算得：R=51.0566，R1-R=0.5147弧长为25.1449处，实际的曲率半径为：R1=41.2433，公式计算得：R=40.5900，R1-R=0.6533弧长为42.3616处，实际的曲率半径为：R1=27.6675，公式计算得：R=26.4581，R1-R=1.2093a=60b=20的椭圆弧长为12.0091处，实际的曲率半径为：R1=170.4858，公式计算得：R=170.6359，R1-R=-0.1501弧长为33.2264处，实际的曲率半径为：R1=112.5206，公式计算得：R=112.8231，R1-R=-0.2985弧长为52.3115处，实际的曲率半径为：R1=38.5206，公式计算得：R=38.3666，R1-R=0.1539a=90b=40的椭圆弧长为21.0389处，实际的曲率半径为：R1=189.3752，公式计算得：R=189.5868，R1-R=-0.2116弧长为51.6664处，实际的曲率半径为：R1=129.5121，公式计算得：R=129.8844，R1-R=-0.3724弧长为90.0081处，实际的曲率半径为：R1=33.4340，公式计算得：R=33.8184，R1-R=-0.3844a=100b=75的椭圆弧长为27.1918处，实际的曲率半径为：R1=127.0057，公式计算得：R=125.7193，R1-R=1.2864弧长为87.5934处，实际的曲率半径为：R1=81.4587，公式计算得：R=80.0590，R1-R=1.3997弧长为116.6456处，实际的曲率半径为：R1=61.4727，公式计算得：R=60.0929，R1-R=1.3798。