第7章椭球面上的测量计算
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高斯投影及换带计算
午线为对称轴。投影后有长
度变形。 （3） 赤道线投影后为直线，
但有长度变形。
中央子午线
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15 15
x
（4） 除赤道外的其余纬线，投
影后为凸向赤道的曲线，并以赤 平行圈 道为对称轴。
（5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。
赤道
O
y
（6） 所有长度变形的线段，其 子午线
m AB EA
AB
EA
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55
2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
（1）等角投影
•
又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应
两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比
都相等，但在不同地点长度比是不同的。
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高斯投影带划分 17 17
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重 合，减少了换带计算。
工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
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18 18
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
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33
6.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
20 20
大地测量学第六章高斯投影及其计算
应用大地测量学
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
第7章 椭球面上的测量计算
第七章 椭球面上的测量计算
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
工程测量填空题库及参考答案
填空题库及参考答案第1章绪论1-1 测量工作的基准线是铅垂线。
1-2 测量工作的基准面是水准面。
1-3测量计算的基准面是参考椭球面。
1-4水准面是处处与铅垂线垂直的连续封闭曲面。
1-5通过平均海水面的水准面称为大地水准面。
1-6地球的平均曲率半径为6371km。
1-7在高斯平面直角坐标系中，中央子午线的投影为坐标x轴。
1-8地面某点的经度为131°58′，该点所在统一6°带的中央子午线经度是129°。
1-9为了使高斯平面直角坐标系的y坐标恒大于零，将x轴自中央子午线西移500km。
1-10天文经纬度的基准是大地水准面，大地经纬度的基准是参考椭球面。
1-11我国境内某点的高斯横坐标Y=22365759.13m，则该点坐标为高斯投影统一 6°带坐标，带号为 22 ，中央子午线经度为 129°，横坐标的实际值为-134240.87m，该点位于其投影带的中央子午线以西。
1-12地面点至大地水准面的垂直距离为该点的绝对高程，而至某假定水准面的垂直距离为它的相对高程。
第2章水准测量2-1高程测量按采用的仪器和方法分为水准测量、三角高程测量和气压高程测量3种。
2-2水准仪主要由基座、水准器、望远镜组成。
2-3水准仪的圆水准器轴应与竖轴平行。
2-4水准仪的操作步骤为粗平、照准标尺、精平、读数。
2-5水准仪上圆水准器的作用是使竖轴铅垂，管水准器的作用是使望远镜视准轴水平。
2-6望远镜产生视差的原因是物像没有准确成在十字丝分划板上。
2-7水准测量中，转点TP的作用是传递高程。
2-8某站水准测量时，由A点向B点进行测量，测得AB两点之间的高差为0.506m，且B点水准尺的读数为2.376m，则A点水准尺的读数为 2.882 m。
2-9三等水准测量采用“后—前—前—后”的观测顺序可以削弱仪器下沉的影响。
2-10、水准测量测站检核可以采用变动仪器高或双面尺法测量两次高差。
(第7章)椭球面上的基本计算
第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式(1＋ e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。
第7章土地面积测算
根据实测的数值计算面积的方法称解析法面积测算。 包括几何图形法和坐标法，这是城镇普遍采取的面积 测算方法。 所谓几何图形法，是根据实地测量有关的边、角元 素进行面积计算的方法。将规则图形分割成简单的矩 形、梯形或三角形等简单的几何图形分别计算面积并 相加得到所需面积的数据。计算面积的边长量至厘米。 不具备采用坐标法面积计算的小城镇可采用此法。
一、几何要素法
所谓几何要素法是指将多边形划分成若干简单的几 何图形，如三角形、梯形、四边形、矩形等，在实地 或图上测量边长和角度，以计算出各简单几何图形的 面积，再计算出多边形总面积的方法。
1、 三角形 其中，p=(a+b+c)/2。
1
1
P
2 chc
bc sin 2
A
p( p a)( p b)(p c)
由于量测误差、图纸伸缩的不均匀变形等原 因，致使测算出来各地块面积之和 Pi 与控制 面积不等，若在限差内可以平差配赋，即
k
P Pi P0 i 1
k
K P / Pi i 1
Vi KPi
Pi Pi Vi
式中：△P为面积闭合差，Pi 为某地块量测面积， P0为控制面积，K为单位面积改正数，Vi为某地 块面积的改正数，Pi为某地块平差后的面积。 平差后的面积应满足检核条件：
土地面积测算是地籍测量中一项很重要的必 不可少的工作内容。它为调整土地利用结构， 合理分配土地，收取土地费（税），制定国民 经济计划、农业区划及土地利用规划等提供数 据基础。
土地面积测算包括行政管辖区、宗地、土地 利用分类等面积的测算。概括起来，土地面积 测算方法有两种，即解析法面积测算（简称解 析法）与图解法面积测算（简称图解法）。
四、求积仪
求积仪是一种以地图为对象测算土地面积的仪器， 最早使用的是机械求积仪，近几年来研制出多种数字
第7章地球椭球与椭球计算理论
的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。由赤道面起
算，向北为正，叫北纬（0 -90°），向南为负，叫南纬
（0°-90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大
地高。大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在 椭球面上，表示点的位置除,外，还要附加另一参数——大 地高，它同正常高及正高有如下关系
y
N
H
cos
B
sin
L
z N 1 e2 H sin B
L arc tan y
x
B
arc tan z
Ne 2
s in
B
x2 y2
H z N 1 e2
sin B
式中：e——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 e2 a2 b2 / a2
e 2 2 2 2
W 1 e2 V b V a
V 1 e2 W a W b
W 2 1 e2 sin 2 B (1 e2 )V 2
V 2 1 2 (1 e2 )W 2
6356755.288157528（m）
6399596.6519880105（m）
1／298.257 0.006 694 384 999 588 0.006 739 501 819 473
6356752.3142（m）
6399593.6258（m）
1/298.257 223 563 0.006 694 379 901 3 0.006 739 496 742 27
[知识点及学习要求]
算，向北为正，叫北纬（0 -90°），向南为负，叫南纬
（0°-90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大
地高。大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。如果点不在 椭球面上，表示点的位置除,外，还要附加另一参数——大 地高，它同正常高及正高有如下关系
y
N
H
cos
B
sin
L
z N 1 e2 H sin B
L arc tan y
x
B
arc tan z
Ne 2
s in
B
x2 y2
H z N 1 e2
sin B
式中：e——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 e2 a2 b2 / a2
e 2 2 2 2
W 1 e2 V b V a
V 1 e2 W a W b
W 2 1 e2 sin 2 B (1 e2 )V 2
V 2 1 2 (1 e2 )W 2
6356755.288157528（m）
6399596.6519880105（m）
1／298.257 0.006 694 384 999 588 0.006 739 501 819 473
6356752.3142（m）
6399593.6258（m）
1/298.257 223 563 0.006 694 379 901 3 0.006 739 496 742 27
[知识点及学习要求]
大学高数第七章7-5曲面方程
x z （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
( hyperboloid )
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-1 -0.5 0
1
0.5 1
0
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
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z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix).
观察柱面的形 成过程:
播 放
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柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
x
y x
抛物柱面
( Cylinder of the second order parabolic )
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
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与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
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一、地球椭球的基本几何参数 • 地球椭球：在控制测量中用来代表地球的椭球，它是地球的数学
表达模型。 • 参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某
一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。 • 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
W V
1
e
2
W 1 e 2 V b V a
V 1 e2 W a W b
W 2 1 e 2 sin 2 B (1 e 2 )V 2
V 2 1 2 (1 e2 )W 2
a
④第一偏心率：⑤e a2 b2 a
第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
M dS dB
E B
• 进一步推导（过程略），可得：
a(1e2)
M 或M
W3c
V3
(76)0
或M
N V2
• 式中：W 1e2 sin2 B
V 1e2 cos2 B
（常用）
N a, W
ca2 b
• 子午圈曲率半径与纬度的大小有关。其变化规律如表7－2所示：
B
B 0
3、子午面直角坐标系
• 设P点的大地经度为L。在过P点的子午 面上，以子午椭圆中心为原点，建立平 面直角坐标系（注意：该平面直角坐标系的x、 y轴的方向与测量习惯不一致 ）。在该坐标系 中， P点的位置用（L，x，y ）表示。
• 子午面直角坐标系仅用于大地测量公式 推导。
4、大地极坐标系
• M为椭球面上任意一点 。
x＝NcosB
(7-18)
N
比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19)
于是 y ＝ N(1－e2)sinB
(7-20)
又由图可知：y＝PQsinB
(7-21)
所以： PQ＝N(1－e2)
(7-22)
Qn＝N－PQ＝Ne2
(7-23)
• 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
• 在这两个坐标系中，同点的L相同。
• 过点P作子午椭圆的法线，该法线与
x 轴、 y 轴的交点分别为Q、n，与x
轴的夹角为B（ P点纬度）。
• 可以证明（过程略），子午面直角
坐标（x，y）与大地纬度B 有以下
关系式：
aco Bs aco Bs
x
(7 1)6
1e2si2n B W
ya(1 e2)siB n b siB n (7 1)7
同一点上不同方向的法截线的形状及曲率半径也各不相同。 • 下面介绍椭球面上几种主要曲线的曲率半径。
一、子午圈曲率半径
• 在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK）， 相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系) dx、 dy。
• 设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及 Kn即子午圈曲率半径，用M表示。
• 由平面曲线的曲率半径定义公式知：
0 B90 B 90
M
说明
M0 a(1e2)
c (1e2)3
在赤道上最小，小于 赤道半径
a(1e2)Mc 随纬度的增大而增大
M9 0
a c 1e2
在极点上最大, 等于 极点曲率半径c
• M随纬度B的变化情况亦可从下图中看出。
B=90o B
B=0o
二、卯酉圈曲率半径
地坐标（ L ，B ，H ）
• 关系式如下：
L tg1( Y ) X
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• 在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先 归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才 能进行平差计算。
• 等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标。如果不对 地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围 较大时控制网无法拼接。如公路测量等。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 为了进行控制测量计算，必须了解椭球面上曲线的曲率半径。 • 先介绍两个名词。 • 法截面——过椭球面上的一点作垂直于椭球面的法线，包含这条
法线的平面。 • 法截线——法截面与椭球面的交线。法截线又叫法截弧。 • 由一条法线可作无数个法截面，相应有无数条法截线。 • 在圆球面上，各点的法截线形状相同，曲率半径也相同。 • 在椭球面上，不仅各点的法截线形状不同、曲率半径不同，而且
W
V
• 式中，a、b 为椭球长、短半径，W、
V为前述辅助函数：
W 1e2 sin2 B
V 1 e2 cos2 B
x aco Bsaco Bs (7 1)6 1e2si2n B W
ya(1 e2)siB n b siB n (7 1)7
W
V
设Pn = N，由右图可以看出：
第七章 椭球面上的测量计算
（教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系 §7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 §7-3 椭球面上的几种曲率半径 §7-4 椭球面上的弧长计算 §7-5 大地线 §7-6 将地面观测值归算至椭球面 §7-7 大地测量主题解算简介（*） §7-8 椭球面上三角形的解算（增加）
B
XNcoBscoLs
YNcoBssinL
(725)
n
ZN(1e2)sinB
• 当P点不在椭球面上，即H ≠0时，有
XNHcoBscoLs
YNHcoBssinL
Z(N(1e2)H)sinB
(730)
3、空间直角坐标与大地坐标的关系
（2）由空间直角坐标（X ，Y ，Z）求大
2、空间直角坐标与子午面直角坐标的 关系
• 从右边2图容易得出：
XxcosL
YxsinL
(724)
Zy
L
3、空间直角坐标与大地坐标的关系
（1）由大地坐标（ L ，B ，H ）求空间
直角坐标（X ，Y ，Z）
L
• 当P点在椭球面上，即H ＝0时， 将
(7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：
• MN 为过M 点的子午线。
• S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线， 将在§7－5介绍）长度。
• A 为大地线在M 点的方位角。
• 以M 为极点，MN 为极轴，S 为极径，A 为极角，便构成大地极坐标系。
• 在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A ） 表示。
二、几种坐标系之间的关系
1、子午面直角坐标与大地坐标的关系
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
地球自然表面 高斯平面 参考椭球面
§7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系
• 2000国家大地坐标系是一个地心坐标系，原点与地球质心重合。
• 2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：
参数
CGS2000椭球
a
6378137m
α 1/298.257222101
二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略）
e2
a2 b2 a2
1 e2 b2 a2
e2 e2 1 e2
一、椭球面常用坐标系
1、大地坐标系
• 过P点的子午面NPS与起始子午面NGS 之间的夹角叫做P点的大地经度L，经 度有东经、西经之分； P点的法线Pn 与赤道面的夹角叫P点的大地纬度B ， 纬度有北纬、南纬之分。
• 若P点不在椭球面上，还需增加第三 参数——大地高H。大地高与正高及 正常高的关系为： H H正Ng(大地水准面差) 距
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
EAE׳为赤道（⊥NS；（
a为长半轴；
b为短半轴；
；（ NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆
。（ 与赤道平行 为平行圈（纬圈，׳QKQ
• 决定椭球形状和大小的五个参数——
①长半轴（长度元素 ：（a
②短半轴（长度元素 ：（b
ab
③扁率（反映椭球体的扁平程度 ：（
是子午椭圆上P点处的法׳卯酉圈EPE • 截弧，而平行圈PHK可看作子午椭圆 。”斜截弧“上P点处的
• 麦尼尔定理：如果过曲面上一点引两条 截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在 该点处两截弧具有公切线，则斜截弧在 该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径 乘以两截弧平面夹角的余弦。
• 由右图可知，两截弧平面夹角为B。
表达模型。 • 参考椭球：具有一定的几何参数，经过定位和定向，用以代表某
一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。 • 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
W V
1
e
2
W 1 e 2 V b V a
V 1 e2 W a W b
W 2 1 e 2 sin 2 B (1 e 2 )V 2
V 2 1 2 (1 e2 )W 2
a
④第一偏心率：⑤e a2 b2 a
第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
M dS dB
E B
• 进一步推导（过程略），可得：
a(1e2)
M 或M
W3c
V3
(76)0
或M
N V2
• 式中：W 1e2 sin2 B
V 1e2 cos2 B
（常用）
N a, W
ca2 b
• 子午圈曲率半径与纬度的大小有关。其变化规律如表7－2所示：
B
B 0
3、子午面直角坐标系
• 设P点的大地经度为L。在过P点的子午 面上，以子午椭圆中心为原点，建立平 面直角坐标系（注意：该平面直角坐标系的x、 y轴的方向与测量习惯不一致 ）。在该坐标系 中， P点的位置用（L，x，y ）表示。
• 子午面直角坐标系仅用于大地测量公式 推导。
4、大地极坐标系
• M为椭球面上任意一点 。
x＝NcosB
(7-18)
N
比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19)
于是 y ＝ N(1－e2)sinB
(7-20)
又由图可知：y＝PQsinB
(7-21)
所以： PQ＝N(1－e2)
(7-22)
Qn＝N－PQ＝Ne2
(7-23)
• 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
• 在这两个坐标系中，同点的L相同。
• 过点P作子午椭圆的法线，该法线与
x 轴、 y 轴的交点分别为Q、n，与x
轴的夹角为B（ P点纬度）。
• 可以证明（过程略），子午面直角
坐标（x，y）与大地纬度B 有以下
关系式：
aco Bs aco Bs
x
(7 1)6
1e2si2n B W
ya(1 e2)siB n b siB n (7 1)7
同一点上不同方向的法截线的形状及曲率半径也各不相同。 • 下面介绍椭球面上几种主要曲线的曲率半径。
一、子午圈曲率半径
• 在子午椭圆上取微分弧长dS（dS=DK）， 相应地有坐标增量 (子午面直角坐标系) dx、 dy。
• 设微分弧dS的曲率中心为n，则线段Dn及 Kn即子午圈曲率半径，用M表示。
• 由平面曲线的曲率半径定义公式知：
0 B90 B 90
M
说明
M0 a(1e2)
c (1e2)3
在赤道上最小，小于 赤道半径
a(1e2)Mc 随纬度的增大而增大
M9 0
a c 1e2
在极点上最大, 等于 极点曲率半径c
• M随纬度B的变化情况亦可从下图中看出。
B=90o B
B=0o
二、卯酉圈曲率半径
地坐标（ L ，B ，H ）
• 关系式如下：
L tg1( Y ) X
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• 在不规则的地球自然表面上获得的距离、角度等观测数据必须先 归算到规则的椭球面上，再按保角投影方法投影到高斯平面上才 能进行平差计算。
• 等级控制点的坐标都是高斯平面直角坐标系中的坐标。如果不对 地面观测数据进行归算、改化就直接按坐标公式计算，则当范围 较大时控制网无法拼接。如公路测量等。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 为了进行控制测量计算，必须了解椭球面上曲线的曲率半径。 • 先介绍两个名词。 • 法截面——过椭球面上的一点作垂直于椭球面的法线，包含这条
法线的平面。 • 法截线——法截面与椭球面的交线。法截线又叫法截弧。 • 由一条法线可作无数个法截面，相应有无数条法截线。 • 在圆球面上，各点的法截线形状相同，曲率半径也相同。 • 在椭球面上，不仅各点的法截线形状不同、曲率半径不同，而且
W
V
• 式中，a、b 为椭球长、短半径，W、
V为前述辅助函数：
W 1e2 sin2 B
V 1 e2 cos2 B
x aco Bsaco Bs (7 1)6 1e2si2n B W
ya(1 e2)siB n b siB n (7 1)7
W
V
设Pn = N，由右图可以看出：
第七章 椭球面上的测量计算
（教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系 §7-2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 §7-3 椭球面上的几种曲率半径 §7-4 椭球面上的弧长计算 §7-5 大地线 §7-6 将地面观测值归算至椭球面 §7-7 大地测量主题解算简介（*） §7-8 椭球面上三角形的解算（增加）
B
XNcoBscoLs
YNcoBssinL
(725)
n
ZN(1e2)sinB
• 当P点不在椭球面上，即H ≠0时，有
XNHcoBscoLs
YNHcoBssinL
Z(N(1e2)H)sinB
(730)
3、空间直角坐标与大地坐标的关系
（2）由空间直角坐标（X ，Y ，Z）求大
2、空间直角坐标与子午面直角坐标的 关系
• 从右边2图容易得出：
XxcosL
YxsinL
(724)
Zy
L
3、空间直角坐标与大地坐标的关系
（1）由大地坐标（ L ，B ，H ）求空间
直角坐标（X ，Y ，Z）
L
• 当P点在椭球面上，即H ＝0时， 将
(7-18)、(7-20)二式代入(7-24)式即得：
• MN 为过M 点的子午线。
• S 为连结M 点和P点的大地线（最短曲线， 将在§7－5介绍）长度。
• A 为大地线在M 点的方位角。
• 以M 为极点，MN 为极轴，S 为极径，A 为极角，便构成大地极坐标系。
• 在大地极坐标系中，P点的位置用（S,A ） 表示。
二、几种坐标系之间的关系
1、子午面直角坐标与大地坐标的关系
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
地球自然表面 高斯平面 参考椭球面
§7-1 地球椭球的几何参数及其相互关系
• 2000国家大地坐标系是一个地心坐标系，原点与地球质心重合。
• 2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：
参数
CGS2000椭球
a
6378137m
α 1/298.257222101
二、椭球参数间的关系（运用初等数学知识很容易推导，过程略）
e2
a2 b2 a2
1 e2 b2 a2
e2 e2 1 e2
一、椭球面常用坐标系
1、大地坐标系
• 过P点的子午面NPS与起始子午面NGS 之间的夹角叫做P点的大地经度L，经 度有东经、西经之分； P点的法线Pn 与赤道面的夹角叫P点的大地纬度B ， 纬度有北纬、南纬之分。
• 若P点不在椭球面上，还需增加第三 参数——大地高H。大地高与正高及 正常高的关系为： H H正Ng(大地水准面差) 距
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
EAE׳为赤道（⊥NS；（
a为长半轴；
b为短半轴；
；（ NKAS为子午圈（经圈或子午椭圆
。（ 与赤道平行 为平行圈（纬圈，׳QKQ
• 决定椭球形状和大小的五个参数——
①长半轴（长度元素 ：（a
②短半轴（长度元素 ：（b
ab
③扁率（反映椭球体的扁平程度 ：（
是子午椭圆上P点处的法׳卯酉圈EPE • 截弧，而平行圈PHK可看作子午椭圆 。”斜截弧“上P点处的
• 麦尼尔定理：如果过曲面上一点引两条 截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在 该点处两截弧具有公切线，则斜截弧在 该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径 乘以两截弧平面夹角的余弦。
• 由右图可知，两截弧平面夹角为B。