控制测量学_椭球面上的测量计算资料
大地测量学基础[1](7)(控制)
(控制)](https://img.taocdn.com/s3/m/08afe497a1c7aa00b42acb2c.png)
M
a(1 e2 )(1 e2 sin2
3
B) 2
N
a(1
e2
sin 2
1
B) 2
M m0 m2 sin2 B m4 sin4 B m6 sin6 B m8 sin8 B
N n0 n2 sin2 B n4 sin4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
a
b
a
椭圆的第一偏心率: e a2 b2
a
椭圆的第二偏心率: e a2 b2
b
a2 b2
E :椭球的焦距 南京工业大学土木学院
2
为简化书写，常引入以下符号：
c a2 b d b2 a
t tgB
2 e2 cos2 B
此外，还有两个常用的辅助函数：
W 1 e2 sin2 B
坐标系，Z轴与地球平
均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均
北极点;X轴指向平均自转轴与平均格林尼治
天文台所决定的子午面与赤道面的交点Ge,而
Y轴与此平面垂直，南京且工业大指学土向木学东院 为正。
6
3.子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，
以子午圈椭圆中心为 原点，建立x,y平面 直角坐标系。
n8 0.00350
(n10 ) 0.00002
南京工业大学土木学院
33
将1975年国际椭球元素值代入得各系数
m0 6335442.275 n0 6378140.000
m2 63617.835
椭球面的几何特征与测量计算课件
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性
（第7章）椭球面上的基本计算
（第7章）椭球面上的基本计算第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a 短半径：b 2.椭球的参数扁率：α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率：b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式21e b a '-= 21e a b -= )1(2e e e -'= )1(2e e e '-='(1＋e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
(第7章)椭球面上的基本计算
第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式(1＋ e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。
控制测量学_椭球面上的测量计算
r1 sin A2 r2 sin A1
7.6将地面观测的方向值归算到椭球面
控 制 测 量 学
东 华 理 工 学 院
1将地面观测的水平方向归算至椭球面----三差改正 垂线偏差的计算公式 ( sin Am cos Am )ctgZ1 u ( sin Am cos Am )tg1
控 制 测 量 学
东 华 理 工 学 院
第七章 椭球面上的测量计算
控 制 测 量 学
东 华 理 工 学 院
地球椭球的基本几何参数及相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测的方向值归算到椭球 将地面观测的长度归算到椭球面 椭球面上三角形的解算 大地主题解算的高斯平均引数公式
a2 b2 e a
e和e反映椭球体的扁平程 度，偏心率越大，椭球愈 扁
控 制 测 量 学
东 华 理 工 学 院
克拉索夫斯基椭球
1975国际椭球
6378140
WGS-84系椭球
6378137
a
6378245
b
c
6356863.0187730473
6399698.9017827110 1/298.3 0.006693421622966 0.006738525414683
B 0 15 30 45 60 75 90 子午线弧长
B 1
平行圈弧长 1 30.716 30.738 30.795 30.873 30.951 31.007 31.027 l=1 111321m 107552 96488 78848 55801 28902 0 1 1.36m 1792.54 1608.13 1314.14 930.02 481.71 0.00 1 1.923 29.876 26.802 21.902 15.500 8.028 0.000
椭球面上的测量计算
传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的 几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来， 200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求 出了数目繁多，数值各异的椭球参数。由于卫星大地测量的发展， 使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都
W
y a(1 e2 ) sin B a (1 e2 ) sin B b sin B
1 e2 sin2 B W
V
两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。
7.2.2各种坐标系间的关系
空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系
注意到图7-3与图7-4，空间 直角坐标系中的相当于子午 平面直角坐标系中的y，相当 于x，且两者之经度相同，于 是可得：
e e 1 e2 e e 1 e2
V W 1 e2 W V 1 e2
e2 2 2 2
7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系
7.2.1各种坐标系的建立
大地坐标系：P点的子午面NPS与 起始子午面NGS所构成的二面 角叫做P点大地经度，P点的法 线Pn与赤道面的夹角B叫P点的 大地纬度，P点的位置用L、B 表示。
大地控制测量学课件——椭球面上的测量计算
处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：
N a W
N c V
地球椭球与椭球计算理论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
18 /4 8
3. 任意法截弧的曲率半径
子午法截弧是南北方向，其方位角为 0°或180°。卯酉法截弧是东西方向，其方 位角为90°或270°。现在来讨论方位角为Ａ 的任意法截弧的曲率半径 的R计A 算公式。
10
为正，叫北纬（0°～90°）；向南为
负，叫南纬(0°～90°)。从地面点P沿
椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
8 /4 8
地球椭球与椭球计算理论
1
2 3
大地高，它同正常高及正高有如下关系
4
5
6
H H正常 (高程异常)
7 8
H
H正
N
(大地水准面差距
)
9
10
9 /4 8
地球椭球与椭球计算理论
19 /4 8
地球椭球与椭球计算理论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
20 /4 8
其中：
a0
m0
m2 2
3 8
m
4
5 16
m6
35 128
m8
a2
m2 2
m4 2
15 32 m6
7 16
m8
a4
m4 8
3 16
m6
7 32
m8
a6
m6 32
其中 、a b 称为长度元素；扁率 反 映了椭球体的扁平程度。偏心率
和 是e子午椭e圆 的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比， 它们也反
映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
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学
原点，建立x，y平面 直角坐标系。在该坐
标系中，P点的位置
东
用L，x，y表示
华
理
工
学 院
大地极坐标系
控
制
M为椭圆体面上任意一点，
测 量
MN为过M点的子午线， S为连结MP的大地线长， A为大地线在M点的大地
学
方位角。以M为极点、 MN为极轴、S为极径、A
为极角，就构成了大地
东
极坐标系。P点位置用S、
东 华
纬度，P点的位置用 L、B表示
理
工
学 院
空间直角坐标系
控
制
测
以椭球中心O为原点，起 始子午面与赤道面交线
量 学
为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭 球体的旋转轴为Z轴，构
成右手坐标系O-XYZ，
东
在该坐标系中，P点的位
华
置用X、Y、Z表示
理
工
学 院
子午面直角坐标系
控
制
测 量
设P点的大地经度为L， 在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为
院
控 制
空间直角坐标系与子午面直角坐标系 的关系
测
量
X x cosL
学
Y x sin L
Zy
东
华
理
工
学
院
空间直角坐标系与大地坐标系的关系
控
制 测
X (N H ) cosB cosL Y(NH)
cosB
sin
L
Z N (1 e2 ) H sin B
量Y L arctg X
工
学 院
7-1地球椭球的基本几何参数及
控
相互关系
制 1.地球椭球的基本几何参数
测
五个基本几何参数
a、b称为长度元素
量
椭圆的长半轴： a
学
椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：
扁率反映了椭球体的 扁平程度
ab
东
a (椭圆的第一偏心率：
华 理
e a2 b2 b
工
椭圆的第二偏心率：
e和e反映椭球体的扁平程
B B=0（在赤道处）
0〈B〈90 B=90（在极点处）
M
说明
M0 a(1 e2 )
c (1 e'2 )3
M小于赤道a
a(1 e2 ) M c
a
M 90
c 1 e2
M随B的增大而增 大
M等于极点曲率半
径
控 卯酉圈曲率半径
制
a
测
N W
量
学
B
N
说明
东
B=00
N 0 a 卯酉圈变为赤道
控
制
测 量
第七章
椭球面上的测量计算
学
东 华 理 工 学 院
控
➢地球椭球的基本几何参数及相互关系
制
➢椭球面上的常用坐标系及其相互关系
测 量
➢椭球面上的几种曲率半径 ➢椭球面上的弧长计算 ➢大地线
学
➢将地面观测的方向值归算到椭球
东
➢将地面观测的长度归算到椭球面
华
➢椭球面上三角形的解算
理
➢大地主题解算的高斯平均引数公式
学
tgB Z Ne 2 sin B
X 2 Y 2
东或
华
ctgB
X 2 Y 2 Ne 2 c os B Z
理 H Z N (1 e2 )
工
sin B
学 H X 2 Y2 N
院
c os B
7.3椭球面上的几种曲率半径
控
制 • 子午圈曲率半径
测
量 学
东 华 理 工 学 院
a(1 e2 ) M W3
1/298.3
1/298.257
e2 0.006693421622966 0.006694384999588 e’2 0.006738525414683 0.006739501819473
6378137 6356752.3142 6399593.6258 1/298.257223563
0.0066943799013 0.00673949674227
华
A表示。
理
工
学 院
各种坐标系间的关系
控
制 • 子午平面直角坐标系同大地坐标系的关系 测
量
a cos B
a cos B
学
x
1 e2 sin2 B
W
(e)
东 y a(1 e2 ) sin B a (1 e2 ) sin B b sin B
华
1 e2 sin2 B W
V
( f）
理
工 学 （e）、（f）两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。
东 华 理 工 学 院
2.平行圈弧长公式
S N cos B l
3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
子午线弧长
B
B 1
1
1
平行圈弧长
l=1
1
1
0 110576m 1842.94 30.716 111321m 1.36m 1.923
学 院
e a2 b2 a
度，偏心率越大，椭球愈 扁
控 制 测 量 学
东 华 理 工 学 院
克拉索夫斯基椭球
1975国际椭球
WGS-84系椭球
a
6378245
6378140
b 6356863.0187730473 6356755.2881575287
c 6399698.9017827110 6399596.6519880105
测
并得：
(1 e2 )(1 e'2 ) 1
量
学
推得：
e2
e' 2 1 e'2
e' 2
e2 1 e2
东
同理可得：
a b 1 e'2 b a 1 e2
华
理
c a 1 e'2 a c 1 e2
工
e' e 1 e'2 e e' 1 e2
学
院
V W 1 e 2 W V 1 e2
华
理
00<B<900 a＜N＜c N随B的增大而增大
工
B=900 N90=c 卯酉圈变为子午圈，
学
N=c
院
控 任意法截弧的曲率半径
制
测
量
学
东
RA
R(1
1 2 )(1 2
2
cos2
A)
R
R e'2 2
cos B cos2 A
R
华
理 工 学 院
控
平均曲率半径
制 测
b cN a
R W2
V2
V
W2.
控 制
7-2椭球面上的常用坐标系及 其相互关系
测 • 1.常用的四种坐标系
量
➢大地坐标系、
学
➢空间直角坐标系（大地测量中两种基 本坐标系）、
➢子午平面直角坐标系
东
➢大地极坐标系
华
理
工
学 院
控
大地坐标系
制
P点的子午面NPS与
测
起始子午面NGS所
量
构成的二面角叫做P 点大地经度，P点的
学
法线Pn与赤道面的 夹角B叫P点的大地
(1 e2 )
量
学
M、N、R的关系
N>R >M
只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，
东 即：
华
N90 R90 M90 c
理
工
学 院
7.4 椭球面上的弧长计算
控
制
1.子午线弧长计算公式
测
量
学
东
华 理
X
a(1
e2
)
A
B
B sin 2B 2
C 4
sin 4B
工
学
院
控 制 测 量 学
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯 基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是 1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参 数。
2.地球椭球参数间的相互关系
由前面式子得：
控 制
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
a2 b2