1椭球面上的测量计算解析
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
椭球面的几何特征与测量计算课件
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式椭球面坐标是地球表面上的一种坐标系统, 它将地球视为一个近似椭球体, 提供了一种测量和计算地球上点的方法。
在实际的测量和定位任务中, 经常需要将椭球面坐标转换为其他坐标系统, 或者反过来。
这就需要使用一些转换方法和公式。
一、椭球面坐标系统椭球面坐标系统是大地测量学中常用的一种坐标系统。
它使用经度、纬度和高程来描述地球上的点。
其中，经度表示点在东西方向上的位置，纬度表示点在南北方向上的位置，而高程表示点相对于基准面的高度。
在椭球面坐标系统中，常用的参考椭球体包括WGS84、CGCS2000等。
二、椭球面坐标与地心坐标的转换将椭球面坐标转换为地心坐标是大地测量中常见的任务。
地心坐标是以地球质心为原点的坐标系统，它与椭球体的长短轴、扁率等参数有关。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括勒让德多项式展开法、球面三角法等。
三、椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换将椭球面坐标转换为笛卡尔坐标是另一个常见的任务。
笛卡尔坐标是三维坐标系，它使用直角坐标系来表示地球上的点。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括克里金插值法、最小二乘法等。
四、大地测量中的应用椭球面坐标与大地测量的转换方法和公式在实际测量和定位任务中发挥着重要的作用。
它们被广泛应用于地理信息系统、导航定位、地质勘探等领域。
例如，在导航定位中，利用椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换，可以实现卫星导航系统的精确定位。
在地质勘探中，利用椭球面坐标与地心坐标的转换，可以确定地下矿藏的位置和分布。
总结：椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式是地球科学中的重要内容。
通过了解和掌握这些方法和公式，我们可以更好地进行地球测量和定位任务。
椭球面坐标系统提供了一种描述地球表面上点的方式，而转换方法和公式则是实现不同坐标系统之间转换的关键。
在实际应用中，我们需要根据具体任务的要求选择适当的转换方法和公式，以保证测量和定位的精度和准确性。
5-椭球面的几何特征与测量计算解析
2
0
1
MN
2
M NtgA
M1 N co2sAdA
设 t M tgA N
则
dt
M N
1 cos2
dA A
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
此时积分限要作相应变更：当A=0时，t=0；A
2
时，t 。
照此换元后，经积分得到下式，
R2
MN
dt
2
0 1t2
MNarctg 0 t
第三节 椭球面上弧长计算 大地测量学基础
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
1、计算B=0到B的子午圈弧长X
由M=dX/dB得X：
B
dX
B
MdB
0
0
将
代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。
大地测量学基础
第三节 椭球面上弧长计算
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
11 (11)(2 s A ic n2 o A )s 11
RR A 90 MN
MN
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
1 n
R ni1
RAi
(n)
R 2 10 2 R A d A 2 10 2 N c o s 2A M N M s in 2A d A
R2
dyta9 n0 (B)coBt dx
yx(1e2)tanB
x
a
coBs
1e2sinB2
N a c WV
VW1e2 WV1e2bVaV,ca2 ac b
W1e2si2nB V1e'2co2B s12
7.4椭球面上的弧长计算
§7.4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算，往往要用到子午线弧长及平行圈弧长，现推导其计算公式。
7.4.1子午线弧长计算公式我们知道，子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。
而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B 子午线弧长的计算公式。
取子午线上某微分弧dx P P =',令P 点纬度为B,P /点纬度为B dB +,P 点的子午圈曲率半径为M,于是有dx MdB = (7-62)要计算从赤道开始到任意纬度B 的子午线弧长,必须求出下列积分值: ⎰⎰⎰---=-==B B B dB B e e a dB W e a MdB X 0232220032)sin 1()1()1( (7-63) 将积分因子按二项式定理展开为级数形式+++=--B e B e B e 44222322sin 815sin 231)sin 1( 为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于: sin cos sin cos cos 241212238122184B B B B B =-=-+ 于是有:++-+-+=--)4cos 64152cos 16156445()2cos 4343(1)sin 1(444222322B e B e e B e e B e 令常系数:A e e =+++134456424 =B ++42161543e e (7-64)=C +46415e 将其代入(7-63)式中:X a e A B B C B dB B=--+-⎰()(cos cos )12420 积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--= B C B B B A e a X 4sin 42sin 2)1(2ρ (7-65) 7.4.2平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,(7-69)如果平行圈上有两点，其经差12 L L l -=''，可写出平行圈弧长公式：cos ρ''''=l B N S (7-70) 7.4.3子午线弧长和平行圈弧长变化的比较从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B 的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B 的增大而急剧缩短。
椭球面的一般方程公式和体积公式
椭球面的一般方程公式和体积公式椭球面是一种常见的几何体，具有许多重要的应用。
在本文中，我们将介绍椭球面的一般方程公式和体积公式，并探讨一些相关的性质和应用。
一、椭球面的一般方程公式椭球面可以用一个二次方程来表示，其一般方程公式为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² + (z - l)²/c² = 1其中，(h, k, l)是椭球面的中心点坐标，a、b、c分别是椭球面在x 轴、y轴和z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以点(h, k, l)为中心，在x、y、z三个方向上分别以a、b、c为半轴的椭球面。
二、椭球面的体积公式椭球面的体积可以通过以下公式计算：V = 4/3 * π * a * b * c其中，V表示椭球面的体积，π是圆周率，a、b、c分别是椭球面在x轴、y轴和z轴上的半轴长度。
这个公式是基于椭球体积的定义，将椭球面看作是一个在三个方向上都有限制的立体体积。
三、椭球面的性质和应用椭球面具有许多有趣的性质和重要的应用。
以下是一些关于椭球面的性质和应用的简要介绍：1. 几何性质：椭球面是一个既有旋转对称性又有轴对称性的几何体。
它具有一个中心点和三个相互垂直的主轴，这些性质使得椭球面在几何学和物理学中有广泛的应用。
2. 天体力学：椭球面被广泛应用于天体力学中，用于描述行星、卫星和彗星的轨道。
通过测量物体在天空中的位置和运动，可以使用椭球面来计算它们的轨道和运动轨迹。
3. 地球几何学：地球被认为是一个椭球体，因此可以使用椭球面来近似地球的形状。
地球的椭球面模型可以用于测量地理位置、计算地球的体积和表面积，以及进行地图投影等应用。
4. 机械工程：椭球面在机械工程中也有广泛的应用。
例如，在设计轴承和齿轮系统时，可以使用椭球面来描述轴承和齿轮的形状，以实现理想的运动和传动。
5. 数学研究：椭球面是数学研究中的重要对象之一。
通过对椭球面的研究，可以深入理解几何学、代数学和微积分等数学领域的一些基本概念和定理。
椭球面上的测量计算
e2 e’2
0.006693421622 966 0.006738525414 683
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克 拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐 标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是 WGS-84系椭球参数。
大地测量学
主讲：田倩
2008 年 10 月
学科介绍：
根据德国著名大地测量学家F.R. Helmert 的经典定义，它是一门量测和描绘地球表面的科 学。它也包括确定地球重力场和海底地形。也就 是研究和测定地球形状、大小和地球重力场，以 及测定地面点几何位置的学科。是测绘学的一个 分支。
2
大地测量学的任务
a2 c , t tan B, 2 e2 cos 2 B b
W 1 e sin B ,V 1 e cos B
2 2 2 2
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
11
克拉索夫斯基椭球
1975国际椭球 6378140
WGS-84系椭球 6378137
a b
1880年瑞典耶德林提出悬链线状基线尺测量方法，继而法 国制成因瓦基线尺，使丈量距离的精度明显提高。
6
大地测量学的简史
19世纪末和20世纪30年代，先后出现了摆仪和重力仪，使 重力点数量大量增加，为研究地球形状和地球重力场提供 大量重力数据。 1945年苏联的M.C.莫洛坚斯基提出，不需要任何归算，可 以直接利用地面重力测量数据严格求定地面点到参考椭球 面的大地高程，直接确定地球表面形状，这一理论已被许 多国家采用。 20世纪40年代，电磁波测距仪的发明，克服了量距的困难， 使导线测量、三边测量得到重视和发展。 1957年第一颗人造地球卫星发射成功后，产生了卫星大地 测量学，使大地测量学发展到一个新阶段。
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所以
b x cot B 2 a y 2 y x 1 e tan B
…
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系(L，x，y ，H大)与大地坐标系(L、B ， H大)的关系: 法线Pn=N=x/cosB=a/W：
所以y=N(1－e2)sinB 又y=PQsinB 故PQ=N(1－e2) 所以Qn=Ne2
a b o Q n B x y y P 90+B T x
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
y
空间直角坐标系(X，Y，Z)与子午面直角坐标系(L，x，y ， H大)的关系: Z
P y o x x
X
G O Y
P Z X Y
X=xcosL Y=xsinL Z=y (点P位于椭球面上)
X=(x+H大cosB)cosL Y=(x+H大cosB)sinL Z=y+H大sinB (点P不位于椭球面上)
椭球面上的测量计算
一、地球椭球的基本几何参数及其相互关系
N Q 圈
椭球中心O
子 Q 平 K 行 午 O E 短半轴b a 子午圈(或经圈， 赤 A 或子午椭圆)，如NKAS b 圈 平行圈(或纬圈)，如QKQ
旋转轴NS 长半轴a
E 道
赤道
S
一、地球椭球的基本几何参数及其相互关系
子午面直角坐标系(L，x，y ，H大)与大地坐标系(L、B ， H大)的关系: dy 切线TP的斜率： tan 90 B cot B
dx 2 2 x y 又由 得 1 2 2 a b 2 dy b x 2 dx a y
2
y P b a o Q n B x y 90+B T x
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
空间直角坐标系(X，Y，Z)与大地坐标系(L、B ，H大)的 关系: Z
X
G O Y
P Z X Y
X=(x+H大cosB)cosL x=NcosB X=(N+H大)cosBcosL Y=(x+H大cosB)sinL + y=PQsinB Y=(N+H大)cosBsinL Z={N(1－e2)+H大}sinB Z=y+H大sinB
空间直角坐标系 (X，Y，Z)
Z
y P
G O Y
P Z
y o x x
X Y
X
子午面直角坐标系 (L，x，y ，H大)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
地心纬度坐标系 (L，，，H大)
P
u P
o
o
归化纬度坐标系 (L，u，H大)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
大地极坐标系 (A，S)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
空间直角坐标系(X，Y，Z)与大地坐标系(L、B ，H大)的 关系: Z
G O Y
P Z X
Y
X
L=arctanY/X 迭代算式：tan B
Z Ne sin B
2
H大=Z/sinB－N(1－e2)
X Y
2
2
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
大地纬度B、归化纬度u、地心纬度之间的关系:
W 1 e sin B
2 2
V 1 e cos B
2 2
一、地球椭球的基本几何参数及其相互关系
关系式：
2 2 1 e 1 e 1 ；
e e 2 1 e
2 2
2
e e 2 1 e
2
2
a b 1 e2 ； c a 1 e2 ；e e 1 e2 ； V W 1 e2
tan B 1 e tan u 1 e tan
2 2
tan u 1 e tan B 1 e tan
2 2
tan 1 e tan B 1 e tan u
2
2 2 2
V 1
1 e W
2
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
大地坐标系（L ， B ，H大） ：法线 参考椭球面 大地经度L 东经 西经
大地纬度B
北纬 南纬
大地方位角A 大地高H大
H大= H常+(高程异常)
H大= H正+N(大地水准面差距)
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
5个基本几何参数(或称元素) 椭圆长半轴a
N 子 Q 平 K 行 午 O E a 赤 A b 圈 S Q 圈 E 道
椭圆短半轴b
a b 椭圆的扁率 a
椭圆的第一偏心率
a b e a
2
2
椭圆的第二偏心率
a b e b
2
一、地球椭球的基本几何参数及其相互关系
克拉索夫斯基椭球体 a=6 378 245.000 000 000 0(m) b=6 356 863.018 773 047 3(m) 用于BJZ54(新)、BJZ54(旧) 1975年国际椭球体 a=6 378 140.000 000 000 0(m) b=6 356 755.288 157 528 7(m) 用于GDZ80 WGS-84椭球体 a=6 378 137.000 000 000 0(m) b=6 356 752.314 2(m)
N 子 Q 平 K 行 午 O E a 赤 A b 圈 S Q 圈
E 道
一、地球椭球的基本几何参数及其相互关系
引入符号：
a c b
2
N 子 Q 平 K 行 午 O E a 赤 A b 圈 S Q 圈 E 道
子午线在极点处曲率半径
t tan B 2 2 2 e cos B
2个辅助函数：
N
P
A
S
M
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
子午面直角坐标系(L，x，y ，H大)与大地坐标系(L、B ， y H大)的关系:
a cos B
2
P y o x x
a cos B x 2 2 W 1 e sin B
y a 1 e sin B
2 2
b sin B V
二、椭球面上的常用坐标系及其相互关系
2 2 ； e e 1 e W V 1 e a c 1 e ； b a 1 e ； 2
b ； V W 1 e2 a W W V 1 e V b a
2
e 2 2
2 2
2 2 2
W 1 e sin B 1 e V