椭球面上的几种曲率半径
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第四讲 椭球面上几种曲率半径讲解材料
构成直角三角形
QK Ne 2
OK
Ne 2 sin B
OQ
Ne 2 cos
B
P
W
O
B
E
Q
K
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x coAs siA n 0x
YRZ(A)ysiA n coAs 0y
Z
z 0 0 1z
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
子午圈的曲率半径
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cosB
xra NhomakorabeacosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
r N cosB
xra NhomakorabeacosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
地球椭球曲率半径
M，N，R的关系
N RM
N90 R90 M 90 c
谢谢观看
cos 2
A
1 e2
cos 2
B cos2
A
椭球的主曲率半径 子午圈曲率半径M 卯酉圈曲率半径Ｎ
第四部分
平均曲率半径
平均曲率半径
平均曲率半径
• 工程应用中，根据测量精度要求，一定范围内，把椭球面当成球面； • 椭球面某点P的所有方向 RA 的平均值作为球体的半径Ｒ；
R MN
或 R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
N a W
N c V
第三部分
任意法截弧曲率半径
任意法截弧曲率半径
任意法截弧的曲率半径
• （1）子午法截弧是南北方向，方位角为0°或180° • （2）卯酉法截弧是东西方向，方位角为90°或270° • （3）方位角为Ａ的任意法截弧的曲率半径
1 cos2 A sin 2 A
RA
M
N
N
N
RA
1 2
子午圈曲率半径
2、子午圈曲率半径特点
a(1 e2 ) M
W3
M c V3
N M
V2
B
M
说明
B 0
M 0 a(1 e2 )
c (1 e2 )3
在赤道上，小于赤道半径
0 B 90 B 90
a(1 e2 ) M c
M90
a c 1 e2
随纬度的增大而增大 极点上, 等于极点曲率半径
第二部分
法截线曲率半径都曲率半径（M）
• 子午椭圆的一部分上取一微分弧长 DK ds • 点n是微分弧 dS 的曲率中心 • 于是线段 Dn 及 Kn 便是子午圈曲率半径 M
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
椭球基本知识
大地线旳性质 ➢ 大地线是曲面上两点旳最短线 ➢ 大地线是无数法截线弧素旳连线
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
01 第1章 地球椭球体的基本公式
2 2 2 e
2 e
P1
7
第一偏心率和第二偏心率之间的关系：
e 12
2 e2 = 2 1 + e2
P be E A
O
ae
e
2 2
e = 1 − e12
2 1
E1
P1
8
世界各国常用的地球椭球体数据
椭球名称
埃弗斯特(Everest) 白塞尔(Bessel) 克拉克(Clarke Ⅰ) 克拉克(Clarke Ⅱ) 海福特(Hayford) 克拉索夫斯基(Krassovsky) 1967年大地坐标系 1975年大地坐标系 1980年大地坐标系 WGS84
由（1-2）、（1-3）式可得：
dy b2 x 即 =− 2 dx a y
(1-3)
b2 x = ctgϕ 2 a y
由偏心率公式，可以进一步得到：
(1-4)
a 2 − b2 = e2 a2
即b 2 = a 2 (1 − e 2 )
(1-5)
18
（1-4）式可以化为：
1 y a2 y tgϕ = 2 = b x 1 − e2 x
10
1954年北京坐标系
采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系。
1980西安坐标系
采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地 坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。
2000国家大地坐标系
采用地心坐标系。
11
§1.2 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标
点
两极 (pole)
SP
6
地球椭球体的形状和大小
扁 率(Flattening or Compression)
fe =
2 e
P1
7
第一偏心率和第二偏心率之间的关系：
e 12
2 e2 = 2 1 + e2
P be E A
O
ae
e
2 2
e = 1 − e12
2 1
E1
P1
8
世界各国常用的地球椭球体数据
椭球名称
埃弗斯特(Everest) 白塞尔(Bessel) 克拉克(Clarke Ⅰ) 克拉克(Clarke Ⅱ) 海福特(Hayford) 克拉索夫斯基(Krassovsky) 1967年大地坐标系 1975年大地坐标系 1980年大地坐标系 WGS84
由（1-2）、（1-3）式可得：
dy b2 x 即 =− 2 dx a y
(1-3)
b2 x = ctgϕ 2 a y
由偏心率公式，可以进一步得到：
(1-4)
a 2 − b2 = e2 a2
即b 2 = a 2 (1 − e 2 )
(1-5)
18
（1-4）式可以化为：
1 y a2 y tgϕ = 2 = b x 1 − e2 x
10
1954年北京坐标系
采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系。
1980西安坐标系
采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地 坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。
2000国家大地坐标系
采用地心坐标系。
11
§1.2 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标
点
两极 (pole)
SP
6
地球椭球体的形状和大小
扁 率(Flattening or Compression)
fe =
椭圆曲率半径的四种求法
椭圆曲率半径的四种求法
椭圆曲率半径（Elliptic Curvature Radius）是形状参数中重要的一个指标，用来表示计算机显示图形上一定精度的椭圆弧度长度。
椭圆曲率半径是基于椭圆表面距离中心的距离的平均值，它指的是一个椭圆内某点处的曲率半径，即椭圆的曲率半径可用来表示椭圆的形状。
根据椭圆参数方程，椭圆曲率半径可以有以下几种求法。
第一种，基于心形方程求法，其定义为：椭圆曲率半径R = a*b / sqrt((a + b)^2 - c^2)，其中a、b、c分别表示椭圆的长轴、短轴和中心到椭圆上某点距离。
第二种，基于极坐标求法，其定义为：椭圆曲率半径R = (1 + e *cos(2 * theta ) )/(1 + e),其中e表示椭圆的离心率，theta为椭圆上某点的极角。
第三种，基于正弦正切求法，其定义为：椭圆曲率半径R = (a + b ) * (1 + tan^2(theta)) / (a * (1 + tan^2(theta)) + b)，其中a、b为长短轴，θ为椭圆上某点的正切值。
第四种，基于幂级数求法，其定义为：椭圆曲率半径R = [ a^2 * {(1-e^2 + e^4/8)} / {(1-
e^2)^2} + b^2 * {(1-e^2)/4} ] /D,其中a、b分别为长短轴，e为椭圆的离心率，D表示短轴与长轴的比值。
以上是椭圆曲率半径的四种求法。
可以看出，这四种求法的共同初衷都在于对给定的椭圆数据参数，得到椭圆上某点处的曲率半径，进而求得椭圆的形状。
这四种求法各有特点，应用范围也不尽相同，需要根据具体情况和实际应用选择合适的求法，以得到更准确的结果。
中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80
地大《测量学》（六）
第六章 小地区控制测量
椭球面上的测量计算
主要介绍：地球椭球的基本几何参数及相互关系，椭球面上的常用坐标系及其相互关系，椭球面上的几种曲率半径，椭球面上的弧长计算，大地线，将地面观测的方向值归算到椭球面，将地面观测的长度归算到椭球面，椭球面上三角形的解算，大地主题解算的高斯平均引数公式
一、地球椭球的基本几何参数及相互关系
（一）、五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：
a b a
α-=
椭圆的第一偏心率：
e b
'= 椭圆的第二偏心率：
e =
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a 或b ）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
2
222,tan ,cos a c t B e B b
η===' 22221sin ,1cos W e B V e B =-=-'
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980。
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上节回顾
• 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
一、各种坐标系的建立 1. 大地坐标系 2. 空间直角坐标系 3. 子午面直角坐标系 4. 地心纬度坐标系和归化纬度坐标系 5. 大地极坐标系
上节回顾
二、各坐标系间的关系 1、子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 2、空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关
系 3、空间直角坐标系同大地坐标系的关系 4、大地纬度 、归化纬度 、地心纬度 之间
的关系
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
Q k
E A
N Q'
b
O
a
E'
S
4.3 椭球面上的几种曲率半径 1.子午圈曲率半径
M dS
y
dB
dS dx sin B
M dx 1 x acosB/W dB sin B
M
a(1 e2 ) W3
W 1 e2 sin2 B O
K dS
E dx B n dB
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cosB
x
r
a
cosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
6.M，N，R的关系 N>R>M
在极点处： N90o R90o M 90o c
小结
• 掌握有关概念。 • 掌握(记住)有关计算公式。
回答问题
1. 子午线与子午圈、子午弧 2. 子午圈上，曲率半径变化规律 3. 平行圈曲率半径随纬度变化规律 4. P点纬度为B，哪一条法截弧曲率半径最
大、哪一条法截弧曲率半径最小。
⑵ RA与B有关，与A有关。 当A=0o（或180o）时，RA=M（最小值） 当A=90o（或270o）时，RA=N（最大值） 当A：0o→90o，RA：M→N A：90o→180o，R ：N→M
5.平均曲率半径 平均曲率半径：过椭球面上一点的一切法截弧（从0到 2π），当其数目趋于无穷时，它们的 曲率半径的算术平均值的极限，用R表 示。 计算公式： R MN
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
半径。
D x
M
c V3
c a2 b
M
N V2
N
a W
V 1 e'2 cos2 B
B B=0o 0o<B<90o B=90o
M
M0=a(1-e2) a(1-e2)<M<c
M90=c
说明
M0<a M↗ B↗
M90=c
c：极点处（两极）子午圈的曲率半径。 2.卯酉圈曲率半径 卯酉圈：过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面。其中一
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
• 椭球面上的常用坐标系及其相互关系
一、各种坐标系的建立 1. 大地坐标系 2. 空间直角坐标系 3. 子午面直角坐标系 4. 地心纬度坐标系和归化纬度坐标系 5. 大地极坐标系
上节回顾
二、各坐标系间的关系 1、子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 2、空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关
系 3、空间直角坐标系同大地坐标系的关系 4、大地纬度 、归化纬度 、地心纬度 之间
的关系
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
Q k
E A
N Q'
b
O
a
E'
S
4.3 椭球面上的几种曲率半径 1.子午圈曲率半径
M dS
y
dB
dS dx sin B
M dx 1 x acosB/W dB sin B
M
a(1 e2 ) W3
W 1 e2 sin2 B O
K dS
E dx B n dB
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cosB
x
r
a
cosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
6.M，N，R的关系 N>R>M
在极点处： N90o R90o M 90o c
小结
• 掌握有关概念。 • 掌握(记住)有关计算公式。
回答问题
1. 子午线与子午圈、子午弧 2. 子午圈上，曲率半径变化规律 3. 平行圈曲率半径随纬度变化规律 4. P点纬度为B，哪一条法截弧曲率半径最
大、哪一条法截弧曲率半径最小。
⑵ RA与B有关，与A有关。 当A=0o（或180o）时，RA=M（最小值） 当A=90o（或270o）时，RA=N（最大值） 当A：0o→90o，RA：M→N A：90o→180o，R ：N→M
5.平均曲率半径 平均曲率半径：过椭球面上一点的一切法截弧（从0到 2π），当其数目趋于无穷时，它们的 曲率半径的算术平均值的极限，用R表 示。 计算公式： R MN
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
半径。
D x
M
c V3
c a2 b
M
N V2
N
a W
V 1 e'2 cos2 B
B B=0o 0o<B<90o B=90o
M
M0=a(1-e2) a(1-e2)<M<c
M90=c
说明
M0<a M↗ B↗
M90=c
c：极点处（两极）子午圈的曲率半径。 2.卯酉圈曲率半径 卯酉圈：过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面。其中一
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准