4---2椭球面上几种曲率半径
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第四讲 椭球面上几种曲率半径讲解材料
构成直角三角形
QK Ne 2
OK
Ne 2 sin B
OQ
Ne 2 cos
B
P
W
O
B
E
Q
K
S
P点的法线
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合
X ’
（两次转轴)
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
Z
X
’
”
P
90°+B Y
Y’
B
Z ”
O
”
K
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
X
x coAs siA n 0x
YRZ(A)ysiA n coAs 0y
Z
z 0 0 1z
X ”
x
PA
yY”
zZ
B”
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
椭球大地测量学
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一系大地测量教研室
第四讲 椭球面上几种曲率半径
第7章 椭球面上的测量计算
第七章 椭球面上的测量计算
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
子午圈的曲率半径
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cosB
xra NhomakorabeacosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
r N cosB
xra NhomakorabeacosB W
N
a W
N
c V
B B=0o 0o<B<90o B=90o
N
N0=a a<N<c N90=c
说明
卯酉圈即赤道 N↗ B↗
卯酉圈 子午圈
3.主曲率半径的计算 主曲率半径：
子午圈曲率半径M
卯酉圈曲率半径N
级数展开
4.任意法截线的曲率半径
尤拉公式： 1 cos2 A sin2 A
M
RA M
N
RA
N
c os2
MN AM
s in 2
A
1
N 2 cos2
A
N V 2 12 M
A
A
P
N
N
1 e'2 cos2 B cos2 A
说明：
⑴ 法截线的方位角以子午圈的北方向为基准
本节主要内容
• 椭球面上的几种曲率半径
1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径
法截面：过椭球面上任意一点可作一条 垂直于椭球面的法线，包含这条法线 的平面叫法截面。
法截线（弧）：法截面与椭球面的交线 叫法截线。
法截线（弧）上各点处的曲率半径如休 计算？
作业与思考
1. 法截线和法截面定义。 2. M的计算公式。 3. 已知B=36°42´35.2354″，L＝
117°51´43.7653″。 （1）计算M、N、R、c、d的值。 （2）M、N的1秒变化值。 （3）大地方位角为A＝45处法截弧的曲率
大地测量学知识点
一、水准面与大地水准面1、水准面我们把重力位相等的面称为重力等位面，也就是我们通常所说的水准面。
水准面有无数个。
1）水准面具有复杂的形状。
2）水准面相互既不能相交也不能相切。
3）每个水准面都对应着唯一的位能W=C=常数，在这个面上移动单位质量不做功，亦即所做的功等于0，即dW=-gsds，可见水准面是均衡面。
4）在水准面上，所有点的重力均与水准面正交。
于是水准面又可定义为所有点都与铅垂线正交的面。
故设想与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面大地水准面作为测量外业的基准面，而与其相垂直的铅垂线则是外业的基准线。
似大地水准面与大地水准面在海洋上完全重合，而在大陆上也几乎重合，在山区只有2-4m 的差异我们选择参考椭球面作为测量内业计算的基准面，而与其相垂直的法线则是内业计算的基准线。
1．参心坐标系建立一个参心大地坐标系，必须解决以下问题：(1)确定椭球的形状和大小；(2)确定椭球中心的位置，简称定位；(3)确定椭球中心为原点的空间直角坐标系坐标轴的方向，简称定向；(4)确定大地原点。
我国几种常用参心坐标系：BJZ54、GDZ802．地心坐标系地心坐标系分为地心空间大地直角坐标系和地心大地坐标系等。
地心空间大地直角坐标系又可分为地心空间大地平面直角坐标系和空间大地舜时直角坐标系。
1）建立地心坐标系的意义：2）建立地心坐标系的最理想方法是采用空间大地测量的方法。
3）地心坐标系的表述形式(判断)1）WGS一84大地坐标系WGS-84坐标系统的全称是World Geodical System-84（世界大地坐标系-84），它是一个地心地固坐标系统。
WGS-84坐标系统由美国国防部制图局建立，于1987年取代了当时GPS所采用的坐标系统―WGS-72坐标系统而成为GPS的所使用的坐标系统。
WGS一84坐标系的几何定义是：坐标系的原点是地球的质心，Z轴指向BIHl984．0定义的协议地球极(CTP)方向，X轴指向BIHl984．0的零度子午面和CTP赤道的交点，y轴和Z、X轴构成右手坐标系。
椭球基本知识
大地线旳性质 ➢ 大地线是曲面上两点旳最短线 ➢ 大地线是无数法截线弧素旳连线
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
第四章椭球数学变换
4.2.1 各种坐标系的建立 1、大地坐标系 大地经度B 大地纬度L 大地高H
4
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2019/10/8
2、空间直角坐标系
定义： 1、坐标原点位于总地 球椭球(或参考椭球)质心； 2、Z轴与地球平均自转轴相重合， 亦即指向某一时刻的平均北极点； 3、X轴指向平均自转轴与平均格 林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G； 4、Y轴与此平面垂直，且指向东为正。
第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论
4.1地球椭球基本参数及其互相关系 4.2 椭球面上常用坐标系及其关系 4.3 椭球面上的几种曲率半径 4.4 椭球面上的弧长计算 4.5 大地线 4.6 将地面观测值归算至椭球面 4.7 大地测量主题解算概述 4.8 地图数学投影变换的基本概念 4.9 高斯平面直角坐标系 4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念 4.11 兰勃脱投影概述
X x c o s L , Y x s i n L , Z y
11
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• 空间直角坐标系同大地坐标系
在椭球面上的点：
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
21
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主曲率半径的计算
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N， 是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中 统称为主曲率半径。
Ma(1e2)1 (e2si2n B)2 3 Na(1e2sin2B)12
M m 0 m 2 s2 B i m n 4 s4 B i m n 6 s6 B i m n 8 s8 B in
4
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2、空间直角坐标系
定义： 1、坐标原点位于总地 球椭球(或参考椭球)质心； 2、Z轴与地球平均自转轴相重合， 亦即指向某一时刻的平均北极点； 3、X轴指向平均自转轴与平均格 林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点G； 4、Y轴与此平面垂直，且指向东为正。
第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论
4.1地球椭球基本参数及其互相关系 4.2 椭球面上常用坐标系及其关系 4.3 椭球面上的几种曲率半径 4.4 椭球面上的弧长计算 4.5 大地线 4.6 将地面观测值归算至椭球面 4.7 大地测量主题解算概述 4.8 地图数学投影变换的基本概念 4.9 高斯平面直角坐标系 4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念 4.11 兰勃脱投影概述
X x c o s L , Y x s i n L , Z y
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• 空间直角坐标系同大地坐标系
在椭球面上的点：
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
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主曲率半径的计算
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N， 是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中 统称为主曲率半径。
Ma(1e2)1 (e2si2n B)2 3 Na(1e2sin2B)12
M m 0 m 2 s2 B i m n 4 s4 B i m n 6 s6 B i m n 8 s8 B in
中国地质大学(北京)《测量学》期末考试拓展学习(六)80
地大《测量学》（六）
第六章 小地区控制测量
椭球面上的测量计算
主要介绍：地球椭球的基本几何参数及相互关系，椭球面上的常用坐标系及其相互关系，椭球面上的几种曲率半径，椭球面上的弧长计算，大地线，将地面观测的方向值归算到椭球面，将地面观测的长度归算到椭球面，椭球面上三角形的解算，大地主题解算的高斯平均引数公式
一、地球椭球的基本几何参数及相互关系
（一）、五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率：
a b a
α-=
椭圆的第一偏心率：
e b
'= 椭圆的第二偏心率：
e =
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a 或b ）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
2
222,tan ,cos a c t B e B b
η===' 22221sin ,1cos W e B V e B =-=-'
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980。
地图投影课程报告——椭球体和球体的几个重要半径推导
M =
带入(1)式，得：
M =−
又有
dx 1 ⋅ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL (3) dB sin B
W = 1 − e 2 sin 2 B LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL ( 4) 2 2 V = 1 + e′ cos B
dW − sin BW − cos B dx dB = a dB W2
1 e 2 cos 2 B dx a sin B 2 = − a sin B − =− W − e 2 cos 2 B LLLLLLLL (7) 2 3 dB W W W
又因(4)式，则有：
(
)
dx a sin B =− 1 − e 2 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL (8) 3 dB W
将(26)式带入，得
R=
2
π 2
π
∫ 1+η
0
2
dA LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL (32) cos 2 A
将被积函数变化一下：
dA tan A d( ) 2 d (tan A) cos A V = = LLLLLLLLLLLL (33) 1 + η 2 + tan 2 A V 2 + tan 2 A V [1 + ( tan A ) 2 ] V
表2
B
B = 0° 0° < B < 90° B = 90°
N
说明
M =a=
a<N <c
c 1 + e′ 2
此时卯酉圈变为赤道， N 即为赤道半径 a 此间 N 随纬度的增大而增大
N 90 =
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任意法截弧的曲率半径的变化规律
ＲＡ不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方
位角A有关。
• 当Ａ＝０°时，变为计算子午圈曲率半径的，即Ｒ０＝Ｍ • 当Ａ＝90°时，为卯酉圈曲率半径，即Ｒ９０＝Ｎ
• 主曲率半径M及N分别是ＲＡ的极小值和极大值。
• 当A由0°→90°时，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ • 当A由90°→180°时，ＲＡ值由N→Ｍ，可见ＲＡ值的变
以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲率半径N，是 两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统 称为主曲率半径。
M
a(1
e2
)(1
e2
sin
2
B)
3 2
N
a(1 e2 sin 2
1
B) 2
M m0 m2 sin 2 B m4 sin 4 B m6 sin6 B m8 sin8 B
N
轴的交点就较低
• 同一点的经线切线与纬线切线
垂直，也与法线垂直，三者可
O
构成三维直角坐标系 P
• 平行圈的主法线、副法线及切 线亦可构成三维直角坐标系
S R T
M
B
法截线
N n0 n2 cos2 B n4 cos4 B n6 cos6 B n8 cos8 B
主曲率半径的计算公式系数（续）
m0 a / 1 e2
m2
3 2
e2m0
m4
5 4
e2m2
m6
7 6
e2m4
m8
9 8
e2m6
n0 n2
(X，Y，Z)
（L，Φ，ρ）
X a cosφcos L
1 e2
1 e2 cos2φ
• 大地极坐标系同大地坐标系的关系
(S，A)
(L，B)
大地主题解算
Y a cosφsin L
1 e2
1 e2 cos2φ
Z a sinφ
1 e2
1 e2 cos2φ
上一讲应掌握的内容
（六） B、u、φ之间的关系
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
• 子午平面坐标系与大地坐标系的关系
(L，x，y)
(L，B)
x N cos B y N (1 e2 )sin B
• 空间直角坐标与子午面平面坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，x，y)
X x cos L, Y x sin L, Z y
• 空间直角坐标系与大地坐标系的关系
曲线的曲率是曲线弯曲程度的反映，它是用曲线上 无限邻近两点的切向量的交角对弧长的变化率来度 量的。
曲线上任一点的曲率的倒数称为曲率半径。 曲率越大或曲率半径越小，曲线的弯曲程度越高
二、子午圈（线）曲率半径
• 推导思路：曲线的一阶导数是切线，二阶导数是曲率， 曲率的倒数是曲率半径。
x N cos B
• 在赤道圈上： B=u=φ=0 • 在两极处: B=u=φ=90° • 在其他处:
∣B∣＞∣u∣＞∣φ∣
sin B V sinu
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归 化纬度之间的差异很小， 经过计算，当B=45°时
uφ B
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'
R
b W2
c V2
N V
a W2
1 e2
六、椭球面上几种曲率半径的关系
N RM
N90 R90 M 90 c
为了便于记忆，N、R、M的公式可表示成有规律的形式
W 1 e2 sin2 B V 1 e2 cos2 B
椭球面上几种曲率半径
六、主曲率半径的计算公式
x=a cos u
y N(1 e2 )sin B 或：y b sin u
几何意义 : M dS dB
dS dx sin B
M dx 1 dB sin B
x a cos B a cos B
W
1 e2 sin2 B
dx dB
asin B W3
(1
e2 )
N n0 n2 sin2 B n4 sin4 B n6 sin6 B n8 sin8 B
不同的椭球元素对应不同的系数
主曲率半径的计算公式系数
m0 a(1 e2 )
m2
3 2
e2m0
m4
5 4
e2m2
m6
7 6
e2m4
m8
9 8
e2m6
n0 n2
a
1 2
L
Z [N (1 e2 ) H ]sin B
上一讲应掌握的内容
5、各坐标系间的关系
• 空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系
(X，Y，Z)
(L，u)
X=a cos u cos L
Y a cos u sin L
Z b sin u
• 空间直角坐标系同地心纬度坐标系的关系
M
a(1 e2 ) W3
c M V3
子午线曲率半径（另一种推导）
x N cos B y N (1 e2 )sin B
dx
d2x k
dy
dy 2
3
子午线曲率：k
(1 e2 sin2 B)2 a(1 e2 )
W3 a(1 e2 )
子午线曲率半径：M
a(1 e2 ) W3
e 2 n0
n4
3 4
e 2 n2
n6
5 6
e
2 n4
n8
7 8
e 2 n6
主曲率半径的计算公式（续）
亦可按：
M
c V3
c (1 e2 cos2
3
B) 2
则得：
1
B) 2
V
展开。
M m0 m2 cos2 B m4 cos4 B m6 cos6 B m8 cos8 B
a/ 1
2
1 e2 e2n0
n4
3 4
e2n2
n6
5 6
e2n4
n8
7 8
e2n6
结束 • 谢谢!
经线、纬线、法线的特性
• 经线与纬线互相垂直
• 除赤道、两极上的法线外，法
线不通过椭球中心
Z
• 纬度较高的点，其法线与旋转
第四章 Ⅱ椭球面上几种曲率半径
——子午圈（线）曲率半径 ——卯酉圈（线）曲率半径 ——任意法截弧的曲率半径 ——平均曲率半径
上一讲应掌握的内容
公式写在黑板上
1、旋转椭球五个基本几何参数：长半轴 a；短半轴ｂ；
扁率α；第一偏心率e；第二偏心率e′ ？
2、旋转椭球计算中常引入以下符号： c、t、η、W、V
c a2 , t tan B, b
2 e'2 cos2 B
3、经线、纬线、法线的特性
W 1 e2 sin2 B
V 1 e2 cos2 B 1 2
4、表示旋转椭球面上的点的几种坐标系
• 子午面直角坐标系 (L,x,y)
• 地心纬度坐标系 （L，Φ，ρ） • 归化纬度坐标系 （L，u） • 大地极坐标系 （S，A） • 大地坐标系 （L，B）
卯酉线（圈）曲率半径推导思路
r N cosB
x r a cosB W
N a c WV
Pn N PO' r cosB cosB
卯酉线（圈）曲率半径随纬度变化情况
卯酉圈曲率半径的特点: 卯酉圈曲率半径恰好等于法线 介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心 位在椭球的旋转轴上。
(B )max 11.8'
一、椭球面上法截线有关概念
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作 法截面，法截面与椭球面 的交线叫法截线。有无数个法截面或法截线。
两个特殊的法截线：子午线、卯酉线。 对应有：子午线（圈）曲率半径， 卯酉线（圈）曲率半径
化是以90°为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。
五、平均曲率半径
只要取A自0至90°范围内的RA的平均值即可：
R
1 0
2 0
RAdA
2
2 0
N
cos2
MN AM
sin 2
dA A
2
MN a 1 e2 W2
椭球面上任意一点的平均曲率半径 R 等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几何 平均值。 R MN
(X，Y，Z)
(L，B)
X x cos L N cos B cos L
Y x sin L N cos B sin L
Z y N (1 e2 ) sin B
X (N H ) cos B cos L
Y
( N
H
) cos
B
sin
四、任意法截弧的曲率半径
大地方位角为A的任意法截弧的曲率半径，由
微分几何的尤拉公式得：
kA
1 RA