关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨
等腰三角形中的分类讨论问题
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想,就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决,而需要选定一个标准,根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想.对于分类讨论问题,初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求,但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见,华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在"等腰三角形〞一节中,主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题.下面举例简要论述这两类问题：一、当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论例1、〔1〕已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长.〔2〕等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长.分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是"腰〞,哪条边是"底〞不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论.解〔1〕因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8时,周长为8+8+10=26；当腰长为10时,周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm或28cm.解〔2〕当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形；当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm.注意：对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形.二、当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明"顶角是底角的4倍〞,还是"底角是顶角的4倍〞因此必须进行分类讨论.解：〔1〕当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x,∴ 4x+4x+x=1800, ∴ x=200, ∴ 4x=800,于是三角形的各个内角的度数为：200,800,800.〔2〕当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为4x,∴ x+x+4x=1800, ∴ x=300, ∴ 4x=1200,于是三角形的各个内角的度数为：300,300,1200.故三角形各个内角的度数为200,800,800或300,300,1200.例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500,求它的各个内角.分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500,有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500.因此需要分类讨论；解：〔1〕当顶角的外角等于1500时,则顶角=1800-1500=300,∴每个底角=〔1800-顶角〕÷2=750；〔2〕当底角的外角等于1500时,则每个底角=1800-1500=300；∴顶角=1800-底角⨯2=1800-300⨯2=1200；故三角形各个内角的度数为300,750,750或1200,300,300.三、当高的位置关系不确定时,必须分类讨论例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250,求这个三角形的各个内角的度数.分析：由于题目中的"另一边〞没有指明是"腰〞还是"底边〞,因此必须进行分类讨论,另外,还要结合图形,分高在三角形内还是在三角形外.解：设AB=AC,BD ⊥AC ；〔1〕高与底边的夹角为250时,高一定在△ABC 的内部,如图1,∵∠DBC=250,∴∠C=900-∠DBC=900-250=650,∴∠ABC=∠C=650,∠A=1800-2×650=500. 〔2〕当高与另一腰的夹角为250时, 图1①如图2,高在△ABC 内部时,当∠ABD=250时,∠A=900-∠ABD=650,∴∠C=∠ABC=〔1800-∠A 〕÷2=57.50；②如图3,高在△ABC 外部时,∠ABD=250A B C D∴∠BAD=900-∠ABD=900-250=650,∴∠BAC=1800-6500∴∠ABC=∠C=〔1800-1150〕÷2=32.50故三角形各内角为：650,650,500或650,650,57.50或1150,32.50,32.50.四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论例5、在三角形ABC 中,AB=AC,AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为400,求底角B 的度数.分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形；图4解：〔1〕如图4,AB∠ADE=400,则∠A=900-∠ADE=500,∵AB=AC, ∴∠B=〔1800-500〕÷2=650.〔2〕如图5,AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向 延长线交于点D,∠ADE=400,则∠DAE=500, 图5∴∠BAC=1300,∵AB=AC,∴∠B=〔1800-1300〕÷2=250,故∠B 的大小为650或250.五、由腰上的中线引起的分类讨论例6、等腰三角形底边为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,求腰长.分析：如图6,由于题目中的"一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm 〞,没有指明是"〔AB+AD 〕-〔BC+CD 还是"〔BC+CD 〕-〔AB+AD 〕〞的"差为3cm 〞,因此必须 分两种情况讨论. 解：如图6, ∵BD 为AC 边上的中线,∴AD=CD,〔1〕当〔AB+AD 〕-〔BC+CD 〕=3时,则AB-BC=3, ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；〔2〕当〔BC+CD 〕-〔AB+AD 〕=3时,则BC-AB=3,∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；但是当AB=2时,三边长为2,2,5；而2+2<5,不合题意,舍去；故腰长为8.六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题例7、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上,且∠ACB=500,0的度数.分析：由于点C 、D 可以在线段AB线段AB 的两侧,因此要分两种情况进行讨论.解：〔1〕如图7,当C 、D 两点在线段AB 的同侧时,∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上,∴CA=CB,△CAB 是等腰三角形,又CE ⊥AB, 图7∴CE 是∠ACB 的角平分线,∴∠ACE=∠BCE,而∠ACB=500,∴∠ACE=250,同理可得∠ADE=400,∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=400-250=150.〔2〕如图8,当C 、D 两点在线段AB 的两侧时,同〔1〕∠ADE=400,于是∠CAD=1800-〔∠ADE+∠ACE 〕 =1800-〔400+250〕=1800-650=1150故∠CAD 的度数为150或1150.例8、如图9,已知△ABC 中,BC>AB>AC,∠ACB=400,如果D 、E 是直线AB 上的两点,且AD=AC,BE=BC, 求∠DCE 的度数. 图9分析：因为在不等边△ABC 中,D 、E 是直线AB 上的两点,所以点D 、E 可以在点A 的同侧,也可以在点A 的两侧,因此需要分类讨论.解：〔1〕当点D 、E 在点A 的同侧,且都在BA 的延长线上时,如图10,图 2-∠BAC ÷2=〔180-∠ABC-∠BAC 〕÷2=∠ACB ÷2=400÷2=200.〔2〕当点D 、E 在点A 的同侧,且点D 在D ’的位置,E 在E ’的为时,如图11,与〔1〕类似地也可以求得E C D ''∠＝∠ACB ÷2=200. 〔3〕当点D 、E 在点A 的两侧,且E 点在E ’的位置时,如图12,图12 图13∵BE ’=BC,∴()221800÷∠=÷'∠-='∠ABC E CB C E B ,∵AD=AC, ∴∠ADC=〔1800-∠DAC 〕÷2=∠BAC ÷2,又∵()ADC C E B E DC ∠+'∠-='∠0180,∴()21800÷∠+∠-='∠BAC ABC E DC =1800-〔1800-∠ACB 〕÷2 =900+∠ACB ÷2=900+400÷2=1100.〔4〕当点D 、E 在点A 的两侧,且点D 在D ’的位置时,如图13, ∵AD ’=AC,∴()()，2180218000÷∠-=÷'∠-='∠BAC AC D C D A ∵BE=BC,∴∠BEC=〔1800-∠ABC 〕÷2,∴()()C D A BEC C D E EC D CE D '∠+∠-='∠+'∠-='∠00180180,=1800-〔〔1800-∠ABC 〕÷2+〔1800-∠BAC 〕÷2〕=〔∠BAC+∠ABC 〕÷2=〔1800-∠ACB 〕÷2=〔1800-400〕÷2=700,故∠DCE 的度数为200或1100或700.。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
注意：此文档仅为示例文档，实际写作时请根据需求进行修改和扩展，结合数学知识以及示例文档提供的内容，形成一篇丰富详尽的文档。
分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究
分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究【摘要】本文探讨了分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究。
在我们介绍了研究背景和研究目的。
在我们首先介绍了初中等腰三角形的性质，然后详细探讨了分类讨论思想在这类问题中的作用和具体应用，并通过实际案例加以分析。
我们讨论了分类讨论思想的优势和局限性。
在我们总结了分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用，并提出了未来的研究方向。
通过本文的研究，我们可以更加深入地理解分类讨论思想在解决等腰三角形问题中的重要性，同时也为未来的研究提供了一定的参考方向。
【关键词】初中等腰三角形、分类讨论思想、性质、作用、具体应用、实际案例、优势、局限性、结论、研究方向。
1. 引言1.1 研究背景在初中数学教学中，等腰三角形是一个重要的几何形状，学生在学习过程中常常会遇到与等腰三角形相关的各种问题。
在解决这些问题时，分类讨论思想被广泛运用，并显示出良好的效果。
研究表明，分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用可以有效地帮助学生理清问题的结构，找到解决问题的关键点。
通过将问题进行分类和讨论，学生可以更好地把握问题的本质，准确地找到解决问题的方法。
目前对于分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的具体应用还存在一些不足之处，比如在教学实践中，学生可能会遇到分类不清晰、讨论不透彻的情况。
有必要对分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用进行深入研究，以便更好地指导数学教学实践，并提高学生解决问题的能力。
1.2 研究目的研究目的旨在深入探究分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用，通过对等腰三角形性质的介绍和分类讨论思想的具体应用进行分析，揭示分类讨论思想在解决等腰三角形问题时的优势和局限性。
通过举例分析实际案例，抽丝剥茧地解析分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用方法，准确把握等腰三角形的性质和特点。
就此，本研究旨在为初中生更好地理解和应用分类讨论思想提供指导，同时为教师在教学中有效运用这一思维方法提供参考。
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
分类讨论思想在解等腰三角形问题应用等腰三角形是一种特殊的三角形，它的两腰相等，两底角相等。
正是由于其特殊性，在解有关等腰三角形的问题时，必须全面思考，分情况讨论，以防漏解。
有关等腰三角形的题目，很多情况下会有两解甚至更多解，因此能充分体现出分类讨论思想的应用。
一、当腰和底边不能确定时例1.（1）如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，那么这个等腰三角形的周长是。
（2）如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，那么这个等腰三角形的周长是。
(3) 已知一个等腰三角形的周长为13，其中一边长为4，那么它的底边长为。
二、有腰上的中线引起的讨论例2.（1）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15cm和18cm 两部分，求它的腰长和底边长。
(2) 已知一个等腰三角形的周长是15cm，一腰上的中线将它分成的两个三角形的周长的差为3cm，则它的腰长和底边长分别是。
三、当底角和顶角不能确定时例3.（1）已知等腰三角形的一个外角是100°，那么这个等腰三角形的顶角的度数是。
（2）已知等腰三角形的一个外角是80°，那么这个等腰三角形的底角的度数是。
四、当高的位置不确定时由于锐角三角形的高都在三角形内部，钝角三角形中钝角的两条边上的高都在三角形外部，直角三角形的两直角边上的高分别是另一条直角边，因此，当已知等腰三角形一腰上的高的情况时，应分锐角三角形、钝角三角形和直角三角形等情况讨论。
例4.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么它的底角为。
五、由腰的垂直平分线引起的讨论例5.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线所成的锐角为50°，则∠B= 。
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论模块一等腰三角形的分类讨论例1（1）等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是。
（2）等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是。
（3）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求此等腰三角形的腰长。
练习（1）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，求这个等腰三角形顶角的度数。
（2）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为。
例2（1）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，求该三角形的底角的度数。
（2）（2016—2017武昌区八上期中第16题）已知△ABC是等腰三角形，由点A作BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数为。
练习例3如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°.将△ABC 绕B 点逆时针旋转α（0<α≤60°）角度后得到△A ’BC ’，A ’C ’与AC 交于点F ，与AB 交于点E ，连BF 。
当△BEF 为等腰三角时，α= 。
A模块二 两圆一中垂知识导航已知线段AB ，在平面上找一点C ，使△ABC 为等腰三角形。
图1 图2 图3AABB① 如图1，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足AC=AB 。
② 如图2，以B 为圆心，BA 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足BC=BA 。
③ 如图3，作AB 的垂直平分线，此垂直平分线上的所有点C 均满足CA=CB 。
“两圆一中垂”上的所有点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的C 点有无数个。
因此，题目会对C 点再加上另外一个限定条件----例如还限定C 点在坐标轴上或格点，这样，C 点的个数就只有几个了。
例4（2014—2016江岸区八上期末）如图：在4×4的网格中存在线段AB ，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系。
在现有的网格中（包括网格的边界）存在一点P,点P 的横纵坐标都为整数，连接PA 、PB 后得到△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点P 有 个。
与等腰三角形有关的分类讨论问题
与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.一：与角有关的分类讨论例1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________分析：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.二：与边有关的分类讨论例2、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________.分析：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.三：与高有关的分类讨论例3、一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°，则此等腰三角形的顶角是________度.分析：因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角，应分情况讨论.解：（1）当顶角为锐角时，（如图1）则顶角为90°－35°＝55°.（2）当顶角为直角时，不符合题意（如图2），应舍去.（3）当顶角为钝角时（如图3），顶角为180°－（90°－35°）＝125°故此等腰三角形的顶角为55°或125°.小结：此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论，特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解，请同学们注意体会.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，例4、美化环境，计划在某小区内用2请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.分析：例5、在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （－2，2）， 试在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形， 求符合条件的点P 的坐标 练习：1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，这个等腰三角形的顶角的度数_____度. 归纳：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外.2、如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直 线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ， 使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标 是3、练习如图，在网格图中找格点M ，使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴.baxAOA （－2，2）yxoPQPQPOCBA4、变式这样的点M 共有_________个5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，点D 是边BC 上一点，△EAD 是等腰直角三角形，∠EAD =90°，ED 与AC 相交于点F ， 联结CE . （1）说明∠B ＝∠ACE 的理由；（2）若△CFE 是等腰三角形，请求出∠BAD 的度数.6、已知如图点O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°， 将点O 绕点A 按顺时针方向旋转60°到点P ，联结OP 、CP （1）求证：△AOP 是等边三角形（2）若△COP 是等腰三角形，求 ∠BOC 的度数。
专题14图形中的等腰三角形分类讨论（解析版）
专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论（解析版）专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理；2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明；3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形；5.培养学⽣进⾏独⽴思考，提⾼独⽴解决问题的能⼒。
【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质，可以在⿊板上举例让学⽣画图；2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型；3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点，为后⾯的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
等腰三⾓形的性质：等腰三⾓形常见题型分类：函数背景下的等腰三⾓形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类；4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。
【备注】：1.以下每题教法建议，请⽼师根据学⽣实际情况参考；2.在讲解时：不宜采⽤灌输的⽅法，应采⽤启发、诱导的策略，并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题，并采⽤讲练结合；注意边讲解边让学⽣计算，加强师⽣之间的互动性，让学⽣参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬，边讲边让学⽣书写，每个问题后⾯有答案提⽰；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类⽐式引导等等；6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试，之后再结合学⽣做的情况讲评；7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。
1.（2019青浦⼆模）如图1，已知扇形MON的半径为，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂⾜为点D，C为线段OD上⼀点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三⾓形时，求x的值.整体分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进⽽判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进⽽得出，进⽽得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，∴AC=AM．（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．∵DE∥AB，∴，∴AE=EM．∵OM=，∴AE=．∵DE∥AB，∴，∴．（）（3）（i）当OA=OC时．∵．在Rt△ODM中，．∵．解得，或（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三⾓形时，x的值为．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三⾓形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三⾓形的性质，建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键．图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略：1.先寻找题⽬中的条件：相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等；2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三⾓形讨论中，分三步⾛：分类、画图、计算；4.等腰讨论中，当不能直接利⽤边长相等求解时，⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题⽬条件，注意快速、正确画图，⽤好数形结合思想；7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
动点等腰三角形的分类讨论
动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形，动点等腰三角形则是指在等腰三角形中，其中一个顶点在动态变化的情况下，讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。
一、动点在底边上的情况：当动点在底边上时，等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的中点上：当动点在底边的中点上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且底角为直角。
2. 动点在底边的延长线上：当动点在底边的延长线上时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为直角。
3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上，且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长相等，且顶角为锐角。
二、动点在底边外的情况：当动点在底边外时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
此时，根据动点的位置不同，可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交：当动点在底边的延长线上但不与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为锐角。
2. 动点在底边的延长线上且与底边相交：当动点在底边的延长线上且与底边相交时，等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下，等腰三角形的两个等边边长不相等，且顶角为钝角。
动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。
不同情况下，等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。
通过对动点等腰三角形的分类讨论，可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。
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关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨东华初级中学陈志平所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。
对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。
下面举例简要论述这两类问题：一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。
（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。
分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。
解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形；当腰长为8时，周长为8+8+10=26；当腰长为10时，周长为10+10+8=28；故这个三角形的周长为26cm或28cm。
解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形；当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。
注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。
二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数；分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。
解：（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x ，则底角为4x ，∴ 4x+4x+x=1800， ∴ x=200， ∴ 4x=800，于是三角形的各个内角的度数为：200，800，800。
（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x ，则顶角为4x ，∴ x+x+4x=1800， ∴ x=300， ∴ 4x=1200，于是三角形的各个内角的度数为：300，300，1200。
故三角形各个内角的度数为200，800，800或300，300，1200。
例3、已知等腰三角形的一个外角等于1500，求它的各个内角。
分析：已知等腰三角形的一个外角等于1500，有两种情况：与一个底角相邻的外角等于1500；与顶角相邻的外角等于1500。
因此需要分类讨论；解：（1）当顶角的外角等于1500时，则顶角=1800-1500=300，∴每个底角=（1800-顶角）÷2=750；（2）当底角的外角等于1500时，则每个底角=1800-1500=300；∴顶角=1800-底角⨯2=1800-300⨯2=1200；故三角形各个内角的度数为300，750，750或1200，300，300。
三、当高的位置关系不确定时，必须分类讨论例4、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为250，求这个三角形的各个内角的度数。
分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。
解：设AB=AC ，BD ⊥AC ；（1）高与底边的夹角为250时，高一定在△ABC 的内部，如图1，∵∠DBC=250，∴∠C=900-∠DBC=900-250=650，∴ ∠ABC=∠C=650，∠A=1800-2×650=500。
（2）当高与另一腰的夹角为250时， 图1①如图2，高在△ABC 内部时，当∠ABD=250时，∠A=900-∠ABD=650，A B C D∴ ∠C=∠ABC=（1800-∠A ）÷2=57.50；②如图3，高在△ABC 外部时，∠ABD=250， 图2∴∠BAD=900-∠ABD=900-250=650，∴ ∠BAC=1800-6500∴∠ABC=∠C=（1800-1150）÷2=32.50故三角形各内角为：650，650，500或650，650，57.50或1150，32.50，32.50。
四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 例5、在三角形ABC 中，AB=AC ，AB 边上的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B 的度数。
分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线AC 相交有两种情形；如图4，AB 边的垂直平分线与AC 边交于点D ，∠ADE=40∵AB=AC ， ∴∠B=（1800-500）÷2=650。
（2）如图5，AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向 延长线交于点D ，∠ADE=400，则∠DAE=500， 图5∴∠BAC=1300，∵AB=AC ，∴∠B=（1800-1300）÷2=250，故∠B 的大小为650或250。
五、由腰上的中线引起的分类讨论例6、等腰三角形底边为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ，求腰长。
分析：如图6，由于题目中的“一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ”，没有指明是“（AB+AD ）-（BC+CD ）还是“（BC+CD ）-（AB+AD ）”的“差为3cm ”，因此必须 分两种情况讨论。
解：如图6， ∵BD 为AC 边上的中线，∴AD=CD ，（1）当（AB+AD ）-（BC+CD ）=3时，则AB-BC=3， ∵BC=5 ∴AB=BC+3=8；（2）当（BC+CD ）-（AB+AD ）=3时，则BC-AB=3，∵BC=5 ∴AB=BC-3=2；但是当AB=2时，三边长为2，2，5；而2+2<5，不合题意，舍去；故腰长为8。
六、几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题例7、已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠00∠CAD 的度数。
分析：由于点C 、D 可以在线段AB 线段AB 的两侧，因此要分两种情况进行讨论。
解：（1）如图7，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时，∵C、D 两点在线段AB 的垂直平分线上，∴CA=CB ，△CAB 是等腰三角形，又CE ⊥AB ，∴CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE=∠BCE ，而∠ACB=500，∴∠ACE=250，同理可得∠ADE=400，∴∠CAD=∠ADE-∠ACE=400-250=150。
（2）如图8，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同（1）∠ADE=400，于是∠CAD=1800-（∠ADE+∠ACE ） =1800-（400+250）=1800-650=1150。
故∠CAD 的度数为150或1150。
例8、如图9，已知△ABC 中，BC>AB>AC ，∠ACB=400，如果D 、E 是直线AB 上的两点，且AD=AC ，BE=BC ， 求∠DCE 的度数。
图9分析：因为在不等边△ABC 中，D 、E 是直线AB 上的两点，所以点D 、E 可以在点A 的同侧，也可以在点A 的两侧，因此需要分类讨论。
解：（1）当点D 、E 在点A 的同侧，且都在BA 的延长线上时，如图10，图10 图11∵BE=BC ， ∴∠BEC=（1800-∠ABC ）÷2，∵AD=AC ， ∴∠ADC=（1800-∠DAC ）÷2=∠BAC ÷2，∵∠DCE=∠BEC-∠ADC ，∴∠DCE=（1800-∠ABC ）÷2-∠BAC ÷2=（1800-∠ABC-∠BAC ）÷2=∠ACB ÷2=400÷2=200。
（2）当点D 、E 在点A 的同侧，且点D 在D ’的位置，E 在E ’的为时，如图11， 与（1）类似地也可以求得E C D ''∠＝∠ACB ÷2=200。
（3）当点D 、E 在点A 的两侧，且E 点在E ’的位置时，如图12，图12 图13∵BE ’=BC ，∴()221800÷∠=÷'∠-='∠ABC E CB C E B ，∵AD=AC ， ∴∠ADC=（1800-∠DAC ）÷2=∠BAC ÷2，又∵()ADC C E B E DC ∠+'∠-='∠0180，∴()21800÷∠+∠-='∠BAC ABC E DC =1800-（1800-∠ACB ）÷2 =900+∠ACB ÷2=900+400÷2=1100。
（4）当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D ’的位置时，如图13， ∵AD ’=AC ，∴()()，2180218000÷∠-=÷'∠-='∠BAC AC D C D A ∵BE=BC ，∴∠BEC=（1800-∠ABC ）÷2，∴()()C D A BEC C D E EC D CE D '∠+∠-='∠+'∠-='∠00180180，=1800-〔（1800-∠ABC ）÷2+（1800-∠BAC ）÷2〕=（∠BAC+∠ABC ）÷2=（1800-∠ACB ）÷2=（1800-400）÷2=700，故∠DCE 的度数为200或1100或700。