曲率及曲率变化率
参数方程下的曲率公式
参数方程下的曲率公式曲率的定义是物体的曲度，即当物体在特定的参数方程中，其表面自变量的变化程度。
曲率公式是求取曲率的重要工具，它可以帮助我们计算物体表面的曲度，也可以用于曲面的平面展开，以及几何学中的微分几何。
在几何学中，曲率是一个重要的度量，用它可以衡量曲面、曲线在不同空间上的弯曲程度。
它有助于研究曲面、曲线在空间中的特性和轨迹，也可以应用于其他科学研究中。
在参数方程下，可以计算出曲率的一个公式，即曲率公式。
曲率公式可以表示为：κ = R（1 + h^2）^( 3/2)其中，R是曲率半径，h是曲面中自变量的变化率。
曲率公式的求取基础是参数方程，参数方程是由物体表面的参数方程求取的，因此，了解参数方程是非常重要的。
参数方程有三类：抛物面参数方程、凸反平面参数方程和椭圆回形参数方程。
抛物面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2sin2θ + V2cos2θ其中，A，B，C是物体表面的常数参数，U，V是物体表面的自变量，θ是变量θ的参数值。
凸反平面参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + V2cos2θ U2sin2θ它和抛物面参数方程的区别是负号的使用。
椭圆回形参数方程可以表示为：X = A + Ucosθ + VsinθY = B + U2sin2θ + V2cos2θZ = C + U2cos2θ + V2sin2θ它与抛物面参数方程的区别在于自变量的变化率是相反的。
这三类参数方程可以用来求取曲率公式。
我们可以准备三类参数之后，将物体表面的自变量U、V和参数θ代入曲率公式，就可以计算出物体表面的曲率值了。
由于曲率公式可以用来测量物体表面的曲度，因此，在工程中有着广泛的应用。
例如，它可以应用于构件的强度评估，也可以用于测量地形和气象环境的精细变化；它可以用于太阳能电池板的制造，也可以用于油藏的勘察中。
轨检车波形图分析及应用(新)
轨向正负：顺轨检车正向，轨向向左为正，向右为负；
水平正负：顺轨检车正向，左轨高为正，反之为负；
曲率正负：顺轨检车正向，右拐曲线曲率为正，左拐曲线 曲率为负；
车体水平加速度：平行车体地板，垂直于轨道方向，顺轨 检车正向，向左为正；
车体垂向加速度：垂直于车体地板，向上为正；
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2021GJ-4型轨检车提供IIC文件包括 ：一、二、 三、四级超限报告表，区段总结报告、每公里 扣分、曲线报告、TQI等数据。
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轨检车提供一、二、三、四级超限报告表：图中有超限地点、超限类型 、超限峰值、长度、速度（km/h）、线形（直/缓/圆）、级别。 检测标准：一级超限，每处扣1分；二级超限，每处扣5分；三级超限， 每处扣100分；四级超限，每处扣301分。
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轨距变化率：由相隔2.5米的两点实际测量的轨距差除以米 得到（车轴定距）, 轨距变化率直接影响轮轨接触几何，危
机行车安全和舒适性。
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横加变化率：由相隔18米的两点实际测量的横向加 速度差除以18米得到（车辆定距离）。
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曲率变化率：由相隔18米的两点实际测量的曲率差除以18米 得到（车辆定距离）。曲率是以列车走行的单位距离轨道的 方向角的变化表示。
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轨距：两股钢轨轨面下16mm范围内，两股钢轨作 用边之间的最小距离。
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曲率的检测原理 ：
曲率为一定弦长曲线轨道（如30米）对应 的圆心角a，即度/30m、度数大、曲率大 、半径小。反之，度数小、曲率小、半径 大。轨检车通过曲线时、测量轨检车每通 过30米后车体方向角的变化值，计算出轨 检车通过30米后的相应圆心角的变化值， 即曲率。曲率、曲率变化率是检测曲线圆 顺度的波形通道。能正确判断曲线正矢连 续差和曲线的圆顺度。曲率变化率的波形 通道有突变，正矢肯定不好。
20-相关变化率、曲率解读
O
y d dx 2 1 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y d 1 d y 2 d x 1 y d x 1 y2
x
又
ds
2 1 y d x
d y 从而 k 3 2 ds (1 y ) 2
例5
求直线 y a x b 上任意一点处的曲率 . y a , y 0 ,
此外, V 4 t , 故有
2
12 d h 16 2. dt h
h 3 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得
故当水深 h 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 0.204 (m/ 分) . 2 d t 5 25
例3
设一贴靠在铅直的墙上 ,
y y
y x2.
例2
向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为 4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上
升的速度?
解 设注水t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是h 米,
1 h 3 容器内水的体积为 V h h . 3 2 12
例1 解
加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?
设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则
(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt
曲率与曲线的变化率的计算
曲率与曲线的变化率的计算曲线是我们生活中常见的一种形态，无论是自然界中的山脉、河流，还是人工制造的道路、管道等，都可以看作是曲线的一种表现形式。
而曲线的性质与特征对于我们理解和应用曲线都有着重要的意义。
本文将着重讨论曲线的曲率与曲线的变化率的计算方法，以帮助读者更好地理解和应用曲线的相关概念。
一、曲线的曲率计算曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以用来衡量曲线在某一点上的弯曲程度。
曲率的计算方法可以通过求曲线的切线与曲线在该点的切线的夹角来实现。
假设我们有一条曲线C，其方程表示为y=f(x)，其中f(x)为函数表达式。
现要计算曲线C在某一点(x0, y0)处的曲率。
1. 首先，我们需要求出曲线C在该点处的切线方程。
切线是曲线在某一点处与曲线相切且与曲线的切点重合的直线。
求曲线C在点(x0, y0)处的切线方程可以通过以下步骤实现：a. 计算曲线C在点(x0, y0)处的斜率k。
斜率可以通过求曲线在该点的导数来得到，即k = f'(x0)。
b. 利用点斜式可以得到切线的方程为：y - y0 = k(x - x0)。
2. 接下来，我们需要求出曲线C在该点处的切线与曲线的切点的夹角θ。
求曲线C在点(x0, y0)处的切线与曲线的切点的夹角可以通过以下步骤实现：a. 计算曲线C在点(x0, y0)处的切线的斜率k1。
b. 计算曲线C在点(x0, y0)处的切线的斜率的导数k2，即k2 = f''(x0)。
c. 曲线C在点(x0, y0)处的切线与曲线的切点的夹角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(k2)。
3. 最后，我们可以通过曲率的定义公式求出曲线C在点(x0, y0)处的曲率。
曲线C在点(x0, y0)处的曲率k可以通过以下公式计算：k = |k2| / (1 +k1^2)^(3/2)。
二、曲线的变化率的计算曲线的变化率描述了曲线在某一点上的变化趋势，可以用来衡量曲线的陡峭程度或者变化速度。
曲率及其曲率半径的计算课件
明确报告收集方式，如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析，并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容，为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业，要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习，以巩固所学内容。作业难度适中 ，题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果，包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果，包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ，如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果，提出 改进措施，如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数（如时间、角度等）为参数，将曲线进行参数化，得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下，通过引入切向量和法向量等概念，可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|，其中t为非弧长参数，θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角，r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例，介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径，并 分析曲率半径随参数变化的规律
。
曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化，例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值
曲率变化率超限扣分原因分析及对策
１ 轨 检 车 检 查 概 况
１ １ 新 型轨检 车 的检查 项 目 ． 随着 铁道 部 近年来先 后 多次在 全 国范围 内大规模
以上海 铁路 局轨 检 车 ２ １ ０ ０年 全 年检 查 线 路 数 据 分析 为 例 ， 年 共计 检 查 线 路 ８ ５ ｍ， 中 ， 良 全 ７２ ７ ｋ 其 优 线路 ８ ３ ｍ， 格线 路 ５１ ８ｋ 失格 线 路 １ｋ ２１ ８ｋ 合 １ ｍ， ｍ；
线路 优 良率 为 ９ ． ３ ； ４ １ ％ 共查 出Ⅳ 级超 限 １ 、 处 Ⅲ级 超 限４ ９处 、 Ⅱ级超 限 ７ ６ 处 ， 均每 公 里 Ⅱ级超 限数 ６４ ７ 平
的提 速 ， 国铁 路 正在 向高速 重载 方 向发 展 ， 道质 量 全 轨 的动态监 控作 用更 加 明显 ， 采用 激 光 摄 像技 术 为 主 要
务 养护人 员来 说 ， 曲率变 化率 最为抽 象 ， 往在 拿到 轨 往
收 稿 日期 ：０ １０ －４； 回 日期 ：０ １ １．６ ２ １－６ １ 修 ２ １ —１ １ 作 者 简 介 ： 俊辉 （ ９０ ） 男 ， 陈 １ ８ 一 ， 山西 襄 汾 人 ， 程 师 。 工
２１ ０ ２年第 ２期
从轨 检车 各项 超 限扣 分 分 布 来看 ， 曲率 变 化 率 超 限扣 分往 往较 多 ， 别是 Ⅱ级 超 限数量较 多 。因此 ， 特 减
少 曲率变 化率 超 限 ， 特别是 Ⅱ级 超 限数 量 ， 于工 务设 对 备养 护单 位提 高轨 道 动 态 检查 成 绩 尤 为重 要 。但 是 ， 曲率变化 率超 限不 同于轨距 、 平 、 水 高低 、 向、 轨 三角坑 等 在现场 可 以直接 和 轨检 报 告 相 吻合 的超 限 ， 于工 对
GJ-5型轨检车原理及应用
GJ-5轨检车原理及应用GJ-5型轨检车原理及应用一、轨道动态检查技术的发展变化轨道动态检查相比静态检查，更准确，也更能反映线路真实情况，更能评价列车运行安全性指标，因此轨检车一直是检查轨道病害、指导线路养护维修、保障行车安全的重要手段。
我国轨道动态检查技术随着计算机技术和检测技术的发展得到迅速的发展，从二十世纪50年代的GJ-1型轨检车发展到目前的GJ-5型轨检车，检测精度和可靠性大大提高。
1、GJ-1型轨检车采用弦测法，机械传动，可以将轨距、水平、三角坑、摇晃（用单摆测量）项目的幅值绘在图纸上，人工判读超限并计算扣分。
2、GJ-2型轨检车仍采用弦测法，但改为电传动，检测项目比GJ-1型增加了高低，也是需要人工判读超限和计算扣分。
我局1988-1993年使用该型车。
3、GJ-3型轨检车于80年代初期研制成功，是我国轨检车技术的一次大飞越，采用先进的传感器技术、计算机技术和惯性基准原理，可以检测高低、水平、三角坑、车体垂直和水平振动加速度等项目，计算机采集各检测项目数据后，判断超限等级并计算扣分。
我局GJ-3型轨检车（SY997737）于1994年初开始运用，是全路GJ-3型运用时间最长的，也是用得比较好的。
a、1999年我局轨检车技术人员研发的Ⅲ型轨检车实用软件成果是工务部门汇总分析轨检车检查数据、指导养护维修线路的工具，它使轨检车的工作效率和工作质量得到了大大的提高，该成果达到了国领先水平，于2000年通过了局级鉴定，并于2002年获得路局科技进步三等奖。
b、为了均衡地提高线路养护维修的质量，我局轨检车技术人员研发了轨道质量指数（TQI）应用软件，并于2003年局工务维修会议上向各工务段推广应用，便于向各工务段掌握线路的动态质量，科学指导线路养护维修，真正做到状态修，收到了很好的效果。
c、2004年我局轨检车技术人员研发GPS（全球定位系统）自动校正里程系统，该系统能自动校正轨检车里程，消除轨检车测量的里程累计误差，便于各段准确定位检查病害处所，查找和整治线路病害，保证行车安全和提高线路保养质量。
动检车轨检车波形图读图说明
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202X
动检车（轨检车）波形图读图说明及其应用
动检车（轨检车）波形资料作为重要的轨控资料长期以来一直没有受到一线干部职工的重视，因此波形资料没有得到充分利用。为了让广大干部职工充分了解波形资料的基本知识，掌握基本的读图技能，特进行此次培训。
培训的目的有三个： 一是要充分认识波形资料的重要性； 二是掌握基本的读图方法和读图技能； 三是要了解如何使用波形资料指导生产。
定义：可以简单地定义为垂直方向上速度的变化和所用时间的比值。
相对水平加速度而言，垂直加速度要简单的多，再这里不做详细解释。
引起垂向加速度的原因也很多，高低、水平、三角坑、钢轨病害等都是出现垂加的原因。
*
垂加波形图例
*
第三部分：现场复核病害方法
1
以上把波形图的基本知识都介绍过了，主要是给我们更好地读图做准备的。 下面就介绍读图的三种常用方法：
2
水平加速度由轮轨相互作用决定，轨道不平顺对其有严重影响。
3
水平加速度无论是二级偏差还是三级偏差，水加偏差扣分在动检车和轨检车中所占的比例都非常高（动检约占30％，轨检车约占20％），是重点，这一点在后面的实例中还要详细说明。
*
水平加速度波形图
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10、水加变化率
定义：是以18米基长车体水平加速度测量值的差值与车体通过基长所用时间的比值。
先来介绍一下波形图上特征点是什么样的：
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各种地面标志
*
还有一个重要特征点就是曲线，包括ZH、HY、YH、HZ点的位置也是现场的实际位置。
02
以上四种地面标志，道岔、道口、桥梁都是现场实际位置，公里标是每隔1公里系统自动打上去的，所以就不一定准确。
铁路_工务业务基础知识
工务业务基础知识保密级别：□绝密□机密□秘密■内部公开工电供项目工务业务基础知识文档修订记录目 录1.编写目的...................................................................................................................................... 12.术语与定义 .................................................................................................................................. 1 2.1高低（左高低、右高低） ................................................................................................... 1 2.2轨向（左轨向、右轨向） ................................................................................................... 1 2.3轨距....................................................................................................................................... 2 2.4水平....................................................................................................................................... 2 2.4.1水平差 ........................................................................................................................... 2 2.5三角坑................................................................................................................................... 3 2.6曲率....................................................................................................................................... 3 2.7车体垂直和水平振动加速度 ............................................................................................... 3 2.8轨距变化率 ........................................................................................................................... 3 2.9曲率变化率 ........................................................................................................................... 4 2.10横向加速度变化率 ............................................................................................................. 4 2.11轨道不平顺波长 ................................................................................................................. 43.轨检车.......................................................................................................................................... 5 3.1检测周期 ............................................................................................................................... 5 3.2检测数据应用 ....................................................................................................................... 54.轨道质量状态评定方法 .............................................................................................................. 6 4.1 轨道局部不平顺的评定 ...................................................................................................... 6 4.2 区段轨道不平顺的评定（TQI ） ........................................................................................ 7 4.2.1轨道不平顺质量指数（Track Quality Index) ....................................................... 7 4.2.2 TQI 物理含义 ............................................................................................................... 7 4.2.3 TQI 的计算方法 ........................................................................................................... 7 4.2.4 TQI 及各单项标准差的管理值 ................................................................................... 8 4.2.5 TQI 的管理办法 ........................................................................................................... 8 4.2.6 200m 单元区段200T 值和公里T 值的物理含义 (9)1.编写目的帮助项目组同事快速了解工务基础知识，更好的投入到工电供项目。
连续性定义
判定方法：曲线不断，平滑无尖角；曲面连续，没有楞角。
数学解释：曲线或任意平面与该曲面的交线处处连续，且一阶导数连续。
G2——曲率连续：是指曲面或曲线点点连续，并且其曲率分析结果为连续变化。
"变化率的变化率"似乎听起来比较深奥，实际上可以这样理解，它使曲率的变化率开始缓慢，然后加快，然后再慢慢的结束。这使得G4连续级别能够提供更加平滑的连续效果。
但是这种连续级别将比G3计算起来更复杂，所以几乎不会在小家电一类的产品设计中出现。实际上，就算出现了，我们也未必看得出来。
总结一下这几种连续级别:
G3,G4这两种连续级别通常不使用，因为他们的视觉效果和G2几乎相差无几，而且消耗更多的计算资源。这两种连续级别的优点只有在制作像汽车车体这种大面积、为了得到完美的反光效果而要求表面曲率变分连续，或者两个对象的曲率是连续的。G2连续（也称为曲率连续）将产生横过所以边界的完整的和光滑的反射纹。曲率连续意味着在任何曲面上的任一"点"中沿着边界有相同的曲率半径。外观质量要求高的产品需要曲率做到G2连续，其实曲面做到这一点难度是很大发。在我们一般的产品设计中G1连续就能满足大部分产品开发需要。
G3两的对象光顺连续，三阶微分连续等。
Gn的连续性是独立于表示（参数化）的。
2、 G1意味着切向矢量的方向相同，但模量不同。
G2意味着曲率相同，但二阶导数不同。
如何分析出一个曲面是G1还是G2？
用高斯曲率分析：两个面之间公共线左右如果颜色有分界线就是G1； 如果没有分界线就是G2
用加亮曲线分析：如果加亮曲线条纹在公共线左右断开就是G1；如果没有分界线就是G2。
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一、曲率
曲率定义为一定弦长的曲线轨道（如30M ）对应之园心角θ（度/30米）。
度数大，曲率大，半径小。
反之，度数小，曲率小，半径大。
轨检车通过曲线时（直线亦如此），测量车辆每通过30米后车体方向角的变化值，同时测量车体相对两转向架中心连线转角的变化值，即可计算出轨检车通过30米曲线后的相应圆心角θ变化值。
测量曲率的传感器分布如图4-12。
摇头速率陀螺YAW ，测量车体摇头角速率；位移计DT1测量车体一位端的心盘处与一位转向架构架间的相对位移；位移计DT2、DT3测量车体二位端心盘前后两侧与二位转向架构架之间的相对位移；光电编码器TACH 提供速度距离信息,由于一阶模拟滤波器在处理模拟时间域信号时，其频率特性是固定不变的，但在处理YAW 所表示的空间域频率信号时，其频率特性就是变化的了。
因此，一阶模拟滤波器输出信号经采样，进入计算机还需进行数字滤波处理。
数字滤波的作用，是对一阶模拟滤波器引起的频率特性变化进行校正，使得模拟滤波和数字滤波混合处理后，在设计的通带范围内，空间域幅值特性不受列车运行速度的影响。
曲率测量的信号流程如图4-13。
摇头速率陀螺输出信号经B(s)一阶模拟滤波处理后，进入计算机，再进行数字处理。
)(z C 为一阶数字滤波器。
)(z C 的输出，是单位采样距离对应的车体方向角x c ∆∆/φ。
用安装于一位转向架构架和车体间的位移计DT1测量一位转向架构架与车体间的位移d 1。
用安装于二位转向架构架
和车体间的位移计DT2和DT3，测量二位转向架构架和车体间的位移d 2。
由d 1和d 2计算出单位采样距离相应的车体与两转向架中心连线间相对夹角x ct ∆∆/φ。
通过x c ∆∆/φ和x ct ∆∆/φ的结合计算出两转向架中心连线对应于单位采样距离的方向
角x t ∆∆/φ，对信号x t ∆∆/φ进行低通滤波，滤除不必要的波长成分，最终获得轨道曲率。
二、曲率变化率
曲率变化率
•目前轨检车是由相隔18m 的两点实际测量的曲率差除以18m 计算得到。
•
选择18m 主要考虑车辆定距和滤波。
•
曲率可以通过测量20m 正矢得到，简化近似公式为：•
，C 为曲率(1/m)，δ为20m 正矢(mm)。
•
曲率变化率静态测量时，基长取20m ，则曲率变化率为:•。
即弦长20m 正矢变化为1mm 时，曲率变化率为。
•
这只是简单计算，还要做些数据处理，消除测量误差和不需要的成分。
•曲率变化率主要考虑直线段长波长轨向和曲线段曲线不圆顺，是舒适性控制指标。
δC ＝－⋅⋅5102δ620,10-=C R 610-。