数列 07-15山东文科数学历年真题

数列（文科专用）2015年山东文科：19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列}1{1+n n a a 的前n 项和为12+n n 。

（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设n a n n a 2)1(b ⋅+=，求数列}{n b 的前n 项和n T . 19（I ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得12113a a =，得到 123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，得到 2315a a =.解得11,2a d ==即得解. （II ）由（I ）知24224,n n nb n n -=⋅=⋅得到 121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 从而23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅利用“错位相减法”求和. 试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =.解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =- （II ）由（I ）知24224,n n nb n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减，得121344 (44)nn n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+= 2014年山东文科：(19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差12a =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .19、（Ⅰ）由题意知：{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a 为1a 与4a 的等比中项4122a a a ⨯=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+， 2=d 解得：21=an n a n 22)1(2=⨯-+=∴（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2)1(+==+n n a b n n n①当n 为偶数时：()()()()()()()()[]()()222222642222624221153431214332212n n nn n n n n n n n T n +=+⨯=++++⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++--+++-++-=+++⨯-⨯+⨯-= ②当n 为奇数时：()()()()()()()()[]()()()()[]()()()212122112211642212126242212153431214332212++-=----+⨯=+--++++⨯=+-⨯-++⨯+⨯+⨯=+-+---+++-++-=+-+⨯-⨯+⨯-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n 综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数，n n n n n n T n ,22212222013年山东文科：20．(2013山东，文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足1212112n n n b b b a a a +++=- ，n ∈N *，求{b n }前n 项和T n . 20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得：11114684,212211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩解a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1n ∈N *. (2)由已知1212112n n n b b b a a a +++=- ，n ∈N *，当n ＝1时，1112b a =； 当n ≥2时，111111222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 所以12n n n b a =，n ∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝212nn -，n ∈N *.又T n ＝23135212222n n -++++ ，231113232122222n n n n n T +--=++++ ，两式相减得 2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=--，所以T n ＝2332n n +-.2012年山东文科： (20) (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .(20)(I)由已知得：111510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得17,7a d ==,所以通项公式为7(1)77n a n n =+-⋅=. (II)由277mn a n =≤，得217m n -≤， 即217m m b -=. ∵211217497m k m k b b ++-==， ∴{}m b 是公比为49的等比数列， ∴7(149)7(491)14948m m m S -==--.2011年山东文科： 20．（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 20．解：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当110a =时，不合题意。

因此1232,6,18,a a a ===所以公式q=3，故123.n n a -=⋅ （II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以21222122(133)[111(1)](ln 2ln3)n n n nS b b b -=+++=++++-+-++--2|[123(1)2]ln3n n -+-++-22132ln 3133ln 3 1.nn n n -=⨯+-=+- 2010年山东文科：(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （18）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . （18）本小题主要考察等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。

解：（Ⅰ）设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ，由于a 3=7，a 5+ a 7=26， 所以 a 1+2d=7，2a 1+10d=26，解得 a 1=3，d=2. 由于 a n = a 1+（n-1）d ，S n =12[n(a 1+ a n ),所以a n =2n-1, S n =n 2+n, （Ⅱ）因为a n =2n-1， 所以 a n 2-1=4n （n+1）， 因此 T n =b 1+ b 2+…+ b n =14(1- 12+ 12- 12+…+1n -11n -) =14(1-11n -) =4(1)nn +所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + 。

2009年山东文科：13.在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a . 20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 20题、解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+, 当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 则234123412222n n n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++-=31211(1)11222212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-2008年山东文科： 20．（本小题满分12分）将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 20．（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-，又12n n S b b b =+++ ， 所以1212()1()n n n n n n S S S S S S ---=--，即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=， 又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+．所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==- ．又1321314b =-⨯，所以2q =． 记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q k k k k --==-=--+-+ ≥．2007年山东文科： 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =， 且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18. 解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴== 又13ln 2n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++ 1()(3ln 23ln 2)3(1)ln 2.222n n b b n n n n +++===。