考点24 直线与圆-2017届高三数学(文)黄金考点总动员(解析版)

2017届高三数学33个黄金考点总动员考点24 直线与圆【考点剖析】1.最新考试说明：（1）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．（2）会求两直线的交点坐标．（3）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（4）掌握圆的标准方程和一般方程．（5）能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．（6）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．2.命题方向预测：（1）两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.（3）直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，有时也与圆锥曲线结合出现在综合性较强的解答题中.3.课本结论总结：(1).直线的概念与方程①概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)； ②直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)；③位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；④距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式．(2)．圆的概念与方程①标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)；②直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法；③圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法.(3)确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；③解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 4.名师二级结论：（1）与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.（2）对称①点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．②点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.③直线关于直线的对称：10若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；20若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．（3）计算直线被圆截得的弦长的常用方法①几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．②代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝ 1＋k 2 [ x A ＋x B 2－4x A x B ].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．(4)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(5)过圆上一点只能作圆的一条切线，这条切线垂直过切点的半径；过圆C 外一个P 可作圆的两条切线，在使用直线的斜率为参数这类圆的切线方程时要注意斜率不存在的情况，如果切点是A ，B ，则点A ，B 在以线段CP 为直径的圆D 上，从而圆C ，D 的方程中消掉二次项得到的方程就是切点弦AB 的方程．5.课本经典习题：(1) 新课标A 版必修二第127页，例2 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54,求直线l 的方程.【答案】092=++y x ,或032=+-y x【经典理由】此例很好地融合了直线与圆的有关知识,而直线与圆的位置关系是高考命题的热点．(2) 新课标人教A 版必修二第133页，B 组第2题:已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P 在圆422=+y x 上运动,求222PC PB PA ++的最大值和最小值.【答案】: 最大值为88,最小值为72.【经典理由】在几何中求最值,通常可直接应用几何性质来求,也可转化为函数的最值来求解;此题很好地将圆和最值问题联系在一起,这也是高考命题的热点．6.考点交汇展示：(1)直线、圆与不等式的交汇1.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .【答案】【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==，2||||||52AB PA PB ⨯≤=.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.(2) 直线、圆与向量的交汇直线y x m =+与圆229x y +=交于不同的两点M ，N ON + ，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (-B ．(⎡--⎣C ． [2,2]-D ． [- 【答案】Ｃ(3) 直线、圆与圆锥曲线的交汇【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠,所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.【考点分类】热点1 直线的方程与位置关系【2016高考上海文数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【方法规律】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.【解题技巧】1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.２．设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则：l 1//l 2⇔A 1B 2-B 1A 2＝0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．【易错点睛】（1）直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式的方程，当直线的倾斜角等于90°时，不能应用；使用直线的截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．例如：求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程.【答案】 x －2y －9＝0或2x －5y ＝0.易忽视直线过坐标原点的情况；(2) 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．（3）在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等． 热点2圆的方程和性质过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】C【方法规律】1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．利用待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程 组，从而求出D ，E ，F 的值.【解题技巧】1.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 点与圆的位置关系2. 可知平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C 之间存在着下列关系：(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内． 3. 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系进而求得基本量和圆的方程．具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．【易错点睛】 求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程． 热点３ 直线与圆的位置关系1.【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离【答案】B2.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ += ,求实数t 的取值范围。