2020年高考数学试题分类汇编——直线与圆选择
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。
故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。
不要漏解。
题型三 直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。
2020年高考真题分类汇编专题10直线和圆pdf
10 直线和圆1.（2020•北京卷）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A . 4 B . 5C . 6D . 7【答案】A【解析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.2.（2020•全国1卷）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 210x y ++=【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而24PA MP =-，当直线MP l ⊥时，min 5MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．3.（2020•全国2卷）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--==圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=的距离为255. 故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)2P ，，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 【答案】105【解析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形P AB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d ，则231||=236,||144AB d PC -=+= 所以2221236(1)(36)(1)2PABSd d d d ≤⋅-+=-+ 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去）当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为105， 故答案为：105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 5.（2020•天津卷）已知直线380x y -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式22||2AB r d =-，即可求得r ． 【详解】因为圆心()0,0到直线380x y -+=的距离8413d ==+， 由22||2AB r d =-可得22624r =-，解得=5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 6.（2020•浙江卷）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |＝2，且P 为函数y ＝234x -图像上的点，则|OP |＝（ ） A .222B .4105C .7D .10【答案】D【解析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数234y x =-的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-的图象上，所以，由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+=．故选：D . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7.（2020•浙江卷）设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b ＝______． 【答案】 (1).33 (2). 233-【解析】由直线与圆12,C C 相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即22||11b k =+，22|4|11k b k +=+，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得323,33k b ==-.故答案为：323;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练及解析
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练例2如图，设一直线过点(—1,1),它被两平行直线11: x+2y —1=0, 12： x+ 2y —3=0所截的线段的中点在直线13： x — y —1=0上，求其方程.【题型归纳】 题型一直线方程、两直线的位置关系 例1已知两直线11 ： mx 8y n 0和12：2x my 1 0 .试确定m 、n 的值，使:⑴11与12相交于点P m, 1 ; (2) l i "2 ； (3)11,12,且11在y 轴上的截距为一1.【答案】(1) m 1, n 7. (3) (2) m 4 , n 2 时或 mm 0, n 8 4, n 2时，11 // 12.m 8 n 0 (1)由题息得 ，解得m 1, n 7. 2m n 1 0(2)当m 0时，显然11不平彳T 于12；n /曰 m m 8 2 0 1 8 ( 1) nm 04, n 2时，11 // 12. (3)当且仅当2m 8m 0,即m 0时，11，12.又 即m 0, n 8时，1J12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论 【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或 k 0时，并且对于直线平行和垂直时与人人2和巳82间的关系要熟练记忆。
x+2y-3=O【答案】2x 7y 5 0.【解析】与11、12平行且距离相等的直线方程为设所求直线方程为x 2y 2 xx 2y 2 0. y 10 ,即 1 0 .又直线过A 1,1 ，.一 1 1 2 1 2 0.解11.，所求直线方程为2x 7y 5 0. 3x+2y-1=0【易错点】求错与11、l 2平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到11、12平行且距离相等的直线方程, 交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程x 2y 24x 1 0.（1）求Y 的最大值和最小值； x （2）求y x 的最大值和最小值.【答案】（1）Y 的最大值为 书,最小值为 J 3 . x（2） y x 的最大值为 2 66 ,最小值为 2 J 6.【解析】（1）原方程化为x 2 2 y 23,表示以点2,0为圆心，以J3为半径的圆.设义k,即y kx , x当直线y kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时 2k 0J 3,解得kJ 3 .故上的最大值k 2 1x为，3,最小值为..3 .（2）设y x b,即y x b,当y x b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时20. b石，即b 2 76 .故y x 的最大值为 2 76,最小值为 2 76.-2【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲副题06 直线与圆(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题06 直线与圆【副题考法】本主题考题形式为选择题、填空题，与函数、解析几何结合考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识和方法，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5分.【主题考前回扣】1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：xa＋yb＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2.(2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.3．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)点到直线的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行线间的距离d＝|C2－C1|A2＋B2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法．(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法．【易错点提醒】1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合．5．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C1－C2|A2＋B2，导致错解．6．在圆的标准方程中，误把r2当成r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件．7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．【副题考向】考向一 直线的方程与两直线的位置关系【解决法宝】1.求直线方程的本质是确定方程中两个独立的系数，其常用方法是： ①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再 由其他条件求出待定系数．2.判定两直线平行与垂直的关系时，如果直线方程中含有字母系数，一定要注意斜率不存 在的情况．3.使用点到直线的距离公式时，要注意将直线方程化成一般式，再利用公式求其距离；使 用两平行线间的距离公式时，两直线必须是一般式且两直线方程中y x ,的系数要对应相等．例1．“3a =-”是“直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【分析】由两直线垂直的充要条件求出a 值，再充要条件的判定方法即可作出判断. 【答案】选A. 考向二 圆的方程【解决法宝】圆的方程的求法：①几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求出圆的基本元素（圆 心、半径）和方程；②代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 注：根据条件，设圆的方程时要尽量减少参数，这样可减少运算量．例2．抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-= C.22(1)1x y -+= D. 22(1)(1)5x y -++=【分析】先求出抛物线于坐标轴的交点，用待定系数法求出圆的方程. 【答案】D考向三 直线与圆的位置关系【解决法宝】1.在解决直线与圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关 图形的几何特征，尽可能地简化运算，判断直线与圆的位置关系的2种方法：(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关 系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔ 相离．2.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线 斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．3．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，222d r l -=(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐 标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解． 例3．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 （ ）A. 1B. -1C.D.【分析】由是正三角形知，圆心O 到直线AB 的距离为r 23，利用点到直线的距离 即可列出关于a 的方程，即可解出a 值.【答案】C考向四 圆与圆的位置关系【解决法宝】两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .例4已知圆1C ： 2220x y kx y +-+=与圆2C ： 2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过 定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ）A. 104⎛⎫⎪⎝⎭， B.104⎛⎤⎥⎝⎦， C. 14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D. 14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 【分析】两圆方程相减即可得出两圆公共弦所在的直线方程，将公共弦所在的直线方程整 理成关于k 的一元一次方程，利用公共弦所在的直线恒过定点，则关于k 的方程的系数都为0，即可得到关于x,y 的方程组，方程组的解即为定点P 坐标，代入直线20mx ny --=，利用基本不等式即可求出mn 的取值范围.【解析】2220x y kx y +-+=与2240x y ky ++-=,相减得公共弦所在直线方程：()240kx k y +--=，即()()240k x y y +-+=，所以由240{y x y +=+=得2,2x y ==-，即()2,2P -，因此2122201,24m n m n m n mn +⎛⎫+-=∴+=≤= ⎪⎝⎭，选D.考向五 圆与其他知识的交汇 【解决法宝】1.将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题 创新．2.求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有： (1)圆外一点与圆上任一点间距离的最值；(2)直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；(3)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题； (4)形如求ax ＋by ，ax ＋bycx ＋dy等的最值，转化为直线与圆的位置关系．例5 以抛物线220y x =的焦点为圆心，且与双曲线221169x y -=的两条渐近线都相切的圆的 方程为( )A. 2220640x y x +-+=B. 2220360x y x +-+=C. 2210160x y x +-+=D. 221090x y x +-+=【分析】由抛物线220y x =即可求出其焦点即为圆心，写出双曲线的渐近线方程，利用点 到直线的距离公式即可求出圆心到渐近线的距离即为圆的半径，即可写出圆的方程.【答案】C 【主题集训】1. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的（ ）． A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直时，2350a a a +==，即0a =，∴ “2a =”是“直线210x ay +-=与直线320ax y +-=垂直”的既不充分也不必要条件，故选D ．2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A.B.C.D.【答案】A3.已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则 实数m 的值为（ ）A. 36+或36-B. 326+或326-C. 9或3-D. 8或2-【答案】A【解析】由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为62,所以36,3622m d m -===±，选A 。
吉林省各地市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编(9)直线与圆
吉林省各地市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编（9）直线与圆一、填空题：14．(东北四校2020届高三第一次高考模拟文科)已知圆C 过点A （1，0）和B （3，0），且圆心在直线y x =上，则圆C的标准方程为 。
5)2()2(22=-+-y x15．(吉林省延吉市2020年2月高三教学质量检测理科)曲线Ｃ：)0,0(||>>-=b a ax b y 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当a=1，b=1时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ．3π20. 解: (Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d ，则22|22|211d -==+L L 2分圆1C 的方程为224x y += L L L L 3分（Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(1)(,0)x y m x y m x =+-，所以00x x y my =⎧⎨=⎩L L L L L L 5分即: 001x x y y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m 代入224x y +=,得222144x y m +=L L L L 7（Ⅲ）32m =时,曲线C 方程为22143x y +=，设直线l 的方程为y x b =-+L L L L L L 8分设直线l 与椭圆22143x y +=交点1122(,),(,)B x y D x y 联立方程223412y x b x y =-+⎧⎨+=⎩得22784120x bx b -+-= L L L L L L 9分。
2020全国高考数学考点题型分类与解析11 直线与圆
2
22
y= 1x+1 22
2x + y + 2 = 0
x = −1 y =0
所以以 MP 为直径的圆的方程为( x −1)( x +1) + y ( y −1) = 0 ，即 x2 + y2 − y −1 = 0 ，
两圆的方程相减可得：2x + y +1 = 0 ，即为直线 AB 的方程． 故选：D.
22 +12
1/4
共 圆 ， 且 ， 所 以 ， 而 AB ⊥ MP
PM
⋅
AB
= 4S
PAM
= 4 × 1 × PA × 2
AM
= 4 PA
， PA = MP 2 − 4
当直线 MP ⊥ l 时， MP = min
5 ， PA =1，此时 PM ⋅ AB 最小． min
∴ 即 ，由 解得， ． MP : y −1 = 1 ( x −1) y = 1 x + 1
的距离均为
； d1
=
2×1−1− 3 5
=
25
圆心 到直线
的距离均为 d2
=
2×5−5−3 5
=
25 5
圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的距离均为 d = −2 = 2 5 ；所以，圆心到直线 2x − y − 3 = 0 的 55
2/4
距离为 2 5 . 5
故选：B.
4（. 2020•江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P(
可得 r2 − d 2
6=2
r2 − 42 ，解得 r = 5 ．故答案为：5 ．
（ •浙江卷）设直线 ，圆 ， ， 6. 2020
专题3：直线和圆高考真题赏析
专题3：直线和圆高考真题赏析一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A ．5B ．25C ．35D ．453．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）A ．B ．C ．D ．24．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26，B ．[]48，C ．232D ．2232⎡⎣5．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知三点A (1,0)，B (03)，C (23，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B 21C 25D ．43二、填空题6．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若23AB =，则圆C 的面积为________8．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.9．已知圆C ：22(1)(4)10x y -+-=上存在两点A ，B ，P 为直线x ＝5上的一个动点，且满足AP ⊥BP ，则点P 的纵坐标取值范围是_______． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷） 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 11．2020年江苏省高考数学试卷 在平面直角坐标系xOy 中，已知3(0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________． 12．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精）在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ·PB ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________三、双空题13．2020年浙江省高考数学试卷设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．参考答案1．D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l的距离为2d ==>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，1x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 2．B 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y --=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=的距离为25. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．A 【解析】 试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 4．A 【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 5．B 【详解】选B.考点：圆心坐标6．[1,1]- 【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM =212OM ≤，解得2OM M （0x ,1），所以2012OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度. 7．4π 【解析】因为圆心坐标与半径分别为2(0,),2=+C a r a ，所以圆心到直线的距离222a a a d -==22322a a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．8．4 【解析】试题分析：由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，整理得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．9．[2，6] 【解析】 【分析】由题分析可得∠CPA 最大为45°，即sin ∠，解不等式CA CP即得解.【详解】要使AP ⊥BP ，即∠APB 的最大值要大于或等于90°， 显然当PA 切圆C 于点A ，PB 切圆C 于点B 时，∠APB 最大， 此时∠CPA 最大为45°，则sin ∠， 即CA CP≥2， 设点P(5，0y )， 解得2≤0y ≤6． 故答案为：[2，6] 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．22(1) 2.x y -+= 【解析】==≤≤，当且仅当1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=考点：直线与圆位置关系 11．【分析】根据条件得PC AB ⊥,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PA PB PC AB =∴⊥设圆心C 到直线AB 距离为d，则||1AB PC ==所以11)2PABSd ≤⋅+=令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负值舍去） 当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '≤，因此当4d =时，y 取最大值，即PABS取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 12．[- 【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上，结合限制条件x -≤≤P 横坐标的取值范围为[-．点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．13．3 3- 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.。
2020最新题库大全2020年高考数学 试题分项专题09 直线与圆 理
2020最新题库大全2020年数学（理）高考试题分项专题09 直线与圆 2020年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆 一、选择题:(2020年高考江西卷理科7)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PBPC +=（ ）A ．2B ．4C ．5D ．10(2020年高考浙江卷理科3)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2020年高考天津卷理科8)设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是( )（A ）[13,1+3]- （Ｂ）(,13][1+3,+)-∞∞U（Ｃ）[222,2+22]- （Ｄ）(,222][2+22,+)-∞-∞U(2020年高考重庆卷理科3)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线1y kx =+过圆内内一定点(0,1).(2020年高考陕西卷理科4)已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ） （A ）l 与C 相交 （B ） l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ） 以上三个选项均有可能二、填空题:(2020年高考浙江卷理科16)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．（2020年高考江苏卷12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【考点定位】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.(2020年高考上海卷理科4)若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.三、解答题: (2020年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心， FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分)如图，椭圆()22022:+=1>b>0,a,b x y C a a b为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''ABCD 的面积相等，证明：2212+t t 为定值2020年高考数学选择试题分类汇编——直线与圆一、选择题:1．(2020年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(33)B ．(30)∪(03 c ．[33] D ．(-∞，3-3，+∞)解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则FE BD ⊥,圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：210AC =，又31210EF k -==-，所以直线BD 的方程为112y x =-+，F 到BD 的距离为113255-+-=，由此得，25BD =所以四边形ABCD 的面积为112521010222AC BD =⨯⨯=g 二、填空题:1.(2020年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线2.(2020年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为 解析：61-。
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2020年高考数学试题分类汇编——直线与圆选择
一、选择题
〔2018江西理数〕8.直线3y kx =+与圆()()22
324x y -+-=相交于M,N 两点，假设23MN ≥么k 的取值范畴是 A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，， C. 3333⎡-⎢⎣⎦， D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合
的运用.
解法1：圆心的坐标为〔3.，2〕，且圆与y 轴相切.当|MN |3=时，由点到直线距离公式，解得3[,0]4
-； 解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取+∞，
排除B ，考虑区间不对称，排除C ，利用斜率估值，选A
〔2018安徽文数〕〔4〕过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
〔A 〕x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 〔D 〕x+2y-1=0
4.A
【解析】设直线方程为20x y c -+=，又通过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=.
【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，因此设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也能够用验证法，判定四个选项中方程哪一个过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行.
〔2018重庆文数〕〔8〕假设直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨
=⎩〔[0,2)θπ∈〕有两个不同的公共点，那么实数b 的取值范畴为
〔A 〕(22,1)- 〔B 〕[22,22]
〔C 〕(,22)(22,)-∞++∞ 〔D 〕(22,22)-+
解析：2cos ,sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩化为一般方程22(2)1x y -+=，表示圆， 21,2b
-<解得2222b <<
法2：利用数形结合进行分析得22,22AC b b =-=∴=-
同理分析，可知2222b -<<+
〔2018重庆理数〕(8) 直线y=323x +与圆心为D 的圆33cos ,13sin x y θθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，那么直线AD 与BD 的倾斜角之和为
A. 76π
B. 54π
C. 43
π D. 53π 解析：数形结合
301-=∠α βπ-+=∠ 302
由圆的性质可知21∠=∠
βπα-+=-∴ 3030
故=
+βα43
π
〔2018广东文数〕
〔2018全国卷1理数〕〔11〕圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB
•
的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+
1. 〔2018安徽理数〕9、动点(),A x y 在圆22
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
时刻0t =时，点A 的坐标是13(2，那么当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t 〔单位：秒〕的函数的单调递增区间是
A 、[]0,1
B 、[]1,7
C 、[]7,12
D 、[]0,1和[]7,12
9.D 【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，那么0t =时3π
α=，每秒钟旋转6
π，在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23
ππα∈，动点A 的纵坐标y 关于t 差不多上单调递增的。
【方法技巧】由动点(),A x y 在圆22
1x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，专门容易看出，当t 在[0,12]变化时，点A 的纵坐标y 关于t 〔单位：秒〕的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.。