高三数学第一轮知识网络复习课件3

∴
1
1－q
＝4·
1
1－q
，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.
∴a4＝a1q3＝q3＝3.
• [点评] 解有关等比数列的前n项和问题 时，一定要注意对公比q进行分类讨论， 否则会出现漏解现象．
• 7．(2009·浙江)设Sn为数列{an}的前n项 和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常 数． • (1)求a1及an； • (2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m 成等比数列，求k的值． • [解析] (1)由Sn＝kn2＋n得， • a1＝S1＝k＋1， • an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)． • a1＝k＋1也满足上式， • 所以a ＝2kn－k＋1，n∈N*.
• 3．等比中项 x，G，y成等比数列 ，那么G叫做a与 • 若三个数 b的等比中项，即 . G2＝ab • 4．等比数列的常用性质 n－m q • (1)通项公式的推广：an＝am· ， (n，m∈N＋)． • (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n， ak ·∈ al＝ am ·an (k，l，m， n N ＋ )，则 .
• 2．(2010·辽宁文)设Sn为等比数列{an}的 前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2， 则公比q＝( ) • A．3 B ．4 • C ．5 D．6 • [答案] B • [解析] 本题考查等比数列公比的求解． • ∵S3＝S2＋a3 3S3＝a4－2 • ∴3S3＝3(S2＋a3)＝a4－2 • ∵3S2＝a3－2 a4 ∴4a3＝a4∴q＝a ＝4，选 B. • ∴a3－2＋3a33＝a4－2
a1qn－1 a1qn a1 ＝ － . q－1 q－1 q－1
• 6．等比数列前n项和的性质 • 公比不为－1的等比数列{an}的前 n项和Sn， qn 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列， 其公比为 .
• 基础自测 • 1．(2010·江西文)等比数列{an}中，|a1| ＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( ) • A．(－2)n－1 • B．－(－2)n－1 • C．(－2)n • D．－(－2)n • [答案] A
[解析]
本题是不等式与数列综合的题目， 考查了等
比数列的性质及不等式的内容，a5>a2⇒－8a2>a2⇒9a2<0 a5 ⇒ a2<0 ， a5 ＝－ 8a2 ⇒a ＝－ 8 ⇒ q3 ＝－ 8 ⇒ q ＝－ 2 ， a2 ＝ 2 a1q<0⇒a1>0.|a1|＝1⇒a1＝1，∴an＝1· (－2)n－1＝(－2)n－1， 故选 A.
• 知识梳理 • 1．等比数列的定义 • 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 同一个常数 前一项的比都等于 ，那么这个 公比 数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数 q(q≠0) 列的 ，通常用字母 表 示． • 2．等比数列的通项公式 n－1 a · q 1 • 设等比数列 {an}的首项为a1，公比为q， 则它的通项an＝ .
• (2)由am，a2m，a4m成等比数列得， • (4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k ＋1)， • 将上式化简得， • 2km(k－1)＝0， • 因为m∈N*，所以m≠0， • 故k＝0，或k＝1.
• [例1] (2009·福建文)等比数列{an}中， 已知a1＝2，a4＝16. • (1)求数列{an}的通项公式； • (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项 和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n 项和Sn. • [分析] 本小题主要考查等差数列、等比 数列等基础知识，考查运算求解能力，考 查化归与转化思想．
• 3．(2009·海南宁夏理)等比数列{an}的前 n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数 列．若a1＝1，则S4＝( ) • A．7 • B． 8 • C．15 • D．16 • [答案] C • [解析] 本题主要考查等差数列、等比数 列的性质，考查运算能力．
设等比数列{an}的首项为 a1， 公比为 q； 由 4a1,2a2， a3 成等差数列，得 4a2＝4a1＋a3， ∴4a1q＝4a1＋a1q3，又∵a1＝1， ∴q2－4q＋4＝0，解得 q＝2， a11－q4 1×1－24 ∴S4＝ ＝ ＝15. 1－q 1－2
• (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列， 则{λ an}(λ ≠0)，{ }，{an2}，{an·bn等比 }， { }仍是 数列．
5．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，
a11－qn 当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝ 1－q ＝
• 考纲解读 • 1．理解等比数列的概念． • 2．掌握等比数列的通项公式与前n项和 公式． • 3．能在具体的问题情境中识别数列的等 比关系，并能用有关知识解决相应的问 题． • 4．了解等比数列与指数函数的关系．
• 考向预测 • 1．以定义及等比中项为背景，考查等比 数列的判定． • 2．以考查通项公式、前n项和公式为主， 同时考查等差、等比数列的综合应用． • 3．以选择题、填空题的形式考查等比数 列的性质．
• 4．在等比Leabharlann 列{an}中，若an>0且a3a7＝ 64，则a5的值为( ) • A．2 B．4 • C ．6 D．8 • [答案] D • [解析] ∵{an}是等比数列． • ∴a3a7＝a52＝64. • 又∵an>0， • ∴a5＝8.故选D.
• 5．若数列{an}满足a1，a2－a1，a3－ a2，…，an－an－1，….是首项为1，公比 为2的等比数列，则an等于________． • [答案] 2n－1 • [解析] an－an－1＝a1qn－1＝2n－1
a2－a1＝2 a3－a2＝22 即 … n－1 a － a ＝ 2 n n－1
• 相加：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－ 2
n n
• 6．(2011·安徽怀宁一模)设等比数列{an} 的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________. • [答案] 3 • [解析] 本题考查等比数列的通项公式及 前n项和公式． • 若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然 S6≠4 S3，故 qa≠1， a 1－ q6 1－q3