第四章-4.2常系数线性方程的解法
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
离散数学 4.2.2常系数线性微分方程的解法
n
n 1
(4.32)
'''
其中 , 为常数，A(t ), B(t ) 为实系数多项式，其中
一个多项式次数为m，另一个多项式次数不超过m.
类似地，特解形如：
k t x t [P(t )cos t Q(t) sim t]e
其中k为特征方程 F ( ) 0 的根 i 的重数,P(t) Q(t)都是次数不超过m的t的多项式。
4 Ae e ,
1 t 1 (t ) te . 从而 A , 于是 x 4 4
因此原方程的通解为
t
t
1 t x(t ) c1e c2 e te . 4
3t t
d x d x dx t 例14 求方程 的通解。 3 3 x e ( t 5) dt 3 dt 2 dt
2 d y dy 2 例8 求解方程 x x y 0. 2 dx dx
解：作变换 x et (即t ln x)
则
2 2 d y 1 d y dy dy 1 dy 2 ( 2 ), 2 , dx x dt dt dx x dt 2 d y dy 把上式入原方程得 2 y 0 2 dt dt 上述方程的通解为: y(t ) (c1 c2t )et ;
解：对应齐次方程特征方程为
3 2
3
2
3 3 1 ( 1) 0 有三重特征根 1, 故该方程有特解形如：
3
(t ) t 3 ( A Bt )et x
将x (t ) t 3 ( A Bt )et 代入方程得：
(6 A 24Bt)e e (t 5) 1 3 5 1 t 比较系数得 A , B 从而 x(t ) t (t 20)e , ; 24 6 24
常微分方程4.2
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
Chapter4.2常系数线性微分方程的解法
2011-10-26
第四章第2节 常系数线性微分方程的解法
9
定理9 定理 若方程
dn x dn−1x dx + a1(t) n−1 +L+ an−1(t) + an (t)x = u(t) + i v(t) n dt dt dt
(ai(t),u(t),v(t) 都是实值函数)有复值解 x=U(t)+iV(t), 那么这个解的实部 U(t) 和虚部 V(t) 分别是以下方 程的解:
设K′=α−iβ是K=α+iβ的共轭复数,则有
eKt = eKt
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第四章第2节 常系数线性微分方程的解法
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函数eKt的其它性质:
e ( K 1 t + K 2 t ) = e K 1t ⋅ e K 2 t
de Kt = Ke Kt dt d n Kt e = K n e Kt dt n
dn z(t) dn−1z(t) dz(t) + a1(t) +L+ an−1(t) + an (t)z(t) = f (t) n n−1 dt dt dt
对于 a≤ t ≤b 恒成立.
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第四章第2节 常系数线性微分方程的解法
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定理8 定理 如果方程(4.2)中所有系数 ai(t)(i=1,2,…,n) 都 是实值函数,而 x=z(t)=ϕ(t)+iψ(t) 是方程的复值解, 则 z(t) 的实部 ϕ(t),虚部 ψ(t) 和共轭复值函数也都 是方程(4.2)的解.
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第四章第2节 常系数线性微分方程的解法
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设 z1(t), z2(t) 是定义在 a≤t≤b 上的可微函数,c 是复 值常数,有以下等式:
Word可编辑_常微分方程理论知识与算法 常系数线性方程的解法
第二节常系数线性方程的解法由前面的讨论，我们知道关于线性方程的通解的结构问题，从理论上说，可以认为已经解决了，但是求方程通解的方法还没有具体给出。
事实上，对于一般的线性方程是没有普遍的解法的。
本节介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性方程及可以化为这一类型的方程。
我们将看到，为了求得常系数齐线性方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。
对于某些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。
所以我们一定要记住常系数线性方程固有的这种简单特性。
这一节的内容完全可以和线性振动理论（质点振动理论、电磁振荡理论等）结合起来学习。
从这里我们可以清晰地看出，物理问题提供微分方程以很直观的实际背景，而微分方程为更深刻地立即物理现象提供有力的工具，这是我们学习这一节要注意的问题。
讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及到实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。
4.2.1复值函数与复值解如果对于区间中的每一实数，有复数与它对应，其中和是在区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数。
如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并定义如果，我们就称在连续。
显然，在连续就相当于、在连续。
当在区间上每点都连续时,就称在区间上连续。
如果极限存在,就称在有导数（可微）。
且记此极限为或者。
显然，在处有导数相当于、在处有导数，且如果在区间上每点都有导数，就称在区间上有导数。
对于高阶导数可以类似地定义。
设、是定义在上的可微函数,是复值常数，容易验证下列等式成立：在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常数。
下面给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义由上述定义立即推得如果以表示复数的共轭复数，那末容易证明=此外，函数还有下面重要性质：（1）事实上，记，，那末由定义得到（2），其中为实变量。
常系数线性方程的解法
§4.2 常系数线性方程的解法讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。
4.2.1 复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复数()()()z t t i t ϕψ=+与它对应，其中()t ϕ和()t ψ是区间a t b ≤≤上定义的实函数，i 是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t 。
如果实函数()t ϕ，()t ψ当t 趋于0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t i t ϕψ→→→=+如果00lim ()()t t z t z t →=，我们就称()z t 在0t 连续。
显然，()z t 在0t 连续相当于()t ϕ、()t ψ在0t 连续。
当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时，就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续。
如果极限000()()limt t z t z t t t →--存在，就称()z t 在0t 有导数（可微）。
且记此极限为0()dz t dt 或者0()z t '。
显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ、()t ψ在0t 处有导数，且000()()()dz t d t d t i dt dt dtϕψ=+ 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数，就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数。
对于高阶导数可以类似地定义。
设12(),()z t z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数，c 是复值常数，容易验证下列等式成立： []1212()()()()dz t dz t dz t z t dt dt dt+=+ []11()()dz t dcz t c dt dt= []121221()()()()()()dz t dz t dz t z t z t z t dt dt dt⋅=⋅+⋅ 在讨论常系数线性方程时，函数Kte 将起着重要的作用，这里K 是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
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总结： 求常系数齐次线性方程(4.19)通解的步骤 第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2 ,, k ,
第二步: 写出不同特征根所对应的方程(4.19) 的解
(a) 对每一个实单根k , 方程有解e ; (b) 对每一个m 1重实根k , 方程有m个解;
k t
e , te , t e , , t
F () a1
n
n1
an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征 根。
13
求解常系数线性微分方程问题 转化为求解一个代数方程问题。
14
1)特征根是单实根的情形
设1 , 2 ,, n 是特征方程（4.17）的n个彼此不相等
x1 e , x2 e , x3 e , x4 e
t
t
2t
2t
于是所求方程的通解为
x c1e t c2 et c3e 2t c4 e 2t
16
2)特征根是单虚根的情形
设有单复根 值解
λ1, 2 α iβ，此时，由定理8，可以求得实
e t cost , e t sin t
类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微
分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运
算。对于某些特殊的非齐次线性微分方程也可以通过代 数运算和微分运算求得它的通解。
1
具体内容
复值函数与复值解 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 非齐次线性微分方程的解法：比较系数法
4.2.1 引子:复值函数和复值解
9
(3)定理9
若方程
d nx d n1 x a1 (t ) n1 an (t ) x u (t ) iv(t ) n dt dt
有复值解x U (t ) iV (t ), 这里ai (t )(i 1,2,, n)
及u(t ), v(t )都是实值函数 , 则这个解的实部 U (t )和虚 部V (t )分别是方程
4
2
dt
dt
解
特征方程为 4 22 1 (2 1) 2 0 ,
1, 2
即有特征根 即有实值解
i,
1,2 i都是二重根 ,
cost , t cost , sin t , t sin t;
故方程的通解为
x(t ) (c1 c2t ) cost (c3 c4t ) sin t; 这里c1 , c2 , c3 , c4为任常数 ;
d x d x a1 (t ) n 1 an (t ) x u (t ) n dt dt
和
n
n 1
d nx d n 1 x a1 (t ) n 1 an (t ) x v(t ) n dt dt
10
的解.
4.2.2常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
1、主要内容
两个如下形式的解
kt
kt
2 kt
m 1 k t
e ;
(c) 对每一个重数是一的共 轭复数 i, 方程有
e t cos t , e t sin ;
有两个实根和两个复根,均是单根
x(t ) c1et c2et c3 cost c4 sin t;
这里c1 , c2 , c3 , c4为任常数 ;
18
3) 特征根是重根的情形
设特征方程有k重根 1 ，由代数学基本知识有
F (1 ) F ' (1 ) ) 0
限 ，并且定义
lim z (t ) lim (t ) i lim (t )
t t 0 t t 0 t t0
如果 lim z (t ) z (t 0 ) ，就称 z(t ) 在 t 0 处连续。 t t
0
3
复值函数在区间上连续的定义：如果复值函数z(t)在 区间I上每一点处都连续, 则称它在区间I上连续。
(2)定理8 如果方程(4.2)的所有系数a (t )(i 1, 2,, n) i
都是实值函数, 而x z (t ) (t ) i (t )是方程的复值 解, 则z (t )的实部 (t )和虚部 (t )及z (t )的共轭复数 z (t ) 也都是方程(4.2)的解.
eKt e( i )t e t (cos t i sin t )
6
基本性质(欧拉公式)
e e cos βt 2
iβt
iβt
e e , sin βt 2i
iβt
iβt
重要性质
e
( K1 K 2 ) t
e e
K1t K 2t
(乘积)
deKt Ke Kt dt
dz(t 0 ) d(t 0 ) d(t 0 ) i dt dt dt
3、复值函数的微分运算性质
dz1 (t ) dz2 (t ) dz [ z1 (t ) z2 (t )] dt dt dt
线性性
dz1 (t ) dz [c z1 (t )] c dt dt
5
乘积性
实值解
e t cos t , te t cos t , t 2e t cos t ,, t k 1e t cos t e sin t , te sin t , t e sin t ,, t e sin t
22
t
t
2 t
k 1 t
例4 求方程 d x 2 d x x 0的通解. 4 2
1 t
2 1 t
k 1 1t
19
特征根
2 , 3 ,, m 的重数分别为：
k 2 , k3 ,, k m ; ki 1
则有基本解组
e , te , t e , , t e 2t 2t 2 2t k2 1 2t e , te , t e , , t e emt , temt , t 2 emt , , t km 1emt
§4.2 常系数线性方程的解法
关于线性微分方程的通解的结构问题，从理论上说，
已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。 事实上，对于一般的线性方程是没有普遍的解法的。但 通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解 还是有帮助的。所以，这里将介绍求解问题能够彻底解
决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一
dz1 (t ) dz2 (t ) dz [ z1 (t ) z2 (t )] z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
4、复指数函数的定义和性质
设 K i 是任意一复数，这里 , 是实数，而 t为实 变量, 我们定义复指数函数
d e n Kt K e n dt
n Kt
(微分)
(高阶微分)
7
5、 复值解
d x d x a1 (t ) n 1 an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt n n 1 d x d x a1 (t ) n1 an (t ) x 0 (4.2) n dt dt
则可以用这一对实值解去等价替代(4.22)中的一 对共轭的复值解,如果还有复特征根,这种过程可 以继续下去,最终总可以得到一个实的基本解组.
17
d x 例2 求方程 4 x 0的通解. dt 解 特征方程为 4 1 0
有根 1 1, 2 1, 故方程的通解为
4
3 i, 4 i;
20
1 t
1 t
2 1 t
k1 1 1 t
例3 求方程 d x 3 d x 3 d x dx 0的通解. 4 3 2
4
3
2
dt
dt
dt
dt
解
特征方程为
4 33 32 ( 1)3 0 , 有根 1 0, 2,3, 4 1,
1 0是单根, 2,3,4 1是三重根 ,
2 t
的根，则相应地方程（4.16）有如下n个解
e ,e
1 t
,, e
n t
(4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关，从而组成方程 （4.19）的基本解组。
如果 i (i 1,2,, n) 均为实数，则(4.22)是方程(4.19) 的n个线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为
xe
t
(4.20)
于是有 n λt n 1 λt λt d e d e de λt L[e λt ] a a a e 1 n 1 n n n 1 dt dt dt ( λn a1 λn 1 an 1 λ an )e λt F ( λ)e λt 0 由此可见, 要（4.20）是方程（4.19）的解的充要条件为
下面分三步来讨论基本解组的构成 先讨论 1 0 的情形 此时基本解组的部分函数为 再考虑
1, t, t ,, t
2
k 1
1 0 的情形
1t x ye 把这种情况通过变换 化为第一种情况。
由此而得到基本解组中相应的部分函数
e , te , t e ,, t e
1 t
注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也 在该点连续。
2、复值函数在点有导数的定义
z (t ) z (t 0 ) 如果极限 lim 存在，就称z(t)在 t 0 点有导数（可 t t0 t t0
微）,且记此极限为 dz(t 0 ) 或者
dt
z' (t 0 ) 。
4
显然 z (t )在 t 0 处有导数相当于 (t ) ,(t ) 在 t 0 处有导数，且
x c1e c2 e cn e